Уважаемые участники форума, поскольку в нашей среде появились эрудированные релятивисты, рискну еще раз поставить на обсуждение, на мой взгляд, интересную тему.

 Предлагается вновь обсудить решение ОТО для центрально-симметричного вакуумного поля тяготения, известное как решение Шварцшильда. Анализ данного решение представляет большой интерес, поскольку оно обычно рассматривается в качестве математической модели экзотических квазизвездных объектов, "стянутых в точку" собственным полем тяготения, - "черных дыр".

  Данное  решение может быть записано в сферических координатах в виде набора отличных от нуля компонент метрического тензора gik
 g00 = 1- rg/r, g11 = - (1- rg/r)^(-1), g22 = - r ^ 2, g33 = -r^2 sin^2(tet), (1)
 где rg =2km/c^2 - гравитационный радиус поля, и k - гравитационная постоянная. (Надеюсь, отказ от опускания индексов метрического тензора не приведет к недоразумениям).
   
  Нас будут интересовать особенности центрально симметричного поля тяготения (ЦСПТ), отвечающего малым  значениям радиальной координаты r (0<r<2rg) и большой плотности массивного тяготеющего тела, когда rg достаточно велико. Считается, что метрика (1) описывает стационарный объект, причем переменная r может принимать значения от нуля до бесконечности. Поскольку характер решения резко изменяется при смене знака разности r - rg, принято вести речь о внешнем r > rg , и внутреннем r < rg  решениях Шварцшильда, описывающих единый объект. При этом в отличие от внешнего внутреннее решениe Шварцшильда считается не до конца понятым [1]. Внутренняя область зачастую представляется, как некое экстраординарное вместилище навсегда исчезнувших внутри"черной дыры" материальных объектов.

  Осмелимся утверждать, что вопреки принятому мнению, внешнее и внутреннее решения Шварцшильда описывают два резко различающихся объекта, причем в отличие от внешнего внутреннее решение описывает нестационарный объект. Действительно, при r<rg метрический коэффициент g11, отвечающий координате r, становится положительным, а коэффициент g00 при координате t - отрицательным, и таким образом вопреки первоначальному соглашению переменная r здесь играет роль временной координаты, а переменная t' - роль радиальной координаты. Метрические коэффициенты g00 и g11, являясь функцией r, теперь фактически зависят от времени, что и свидетельствует о нестационарном характере рассматриваемого решения.

  Проблемы с пониманием метрической структуры внешнего решения связаны с использованием шварцшильдовой системы координат, скрывающей монотонный характер изменения радиуса сферического сечения объекта при изменении радиальной координаты. В рассматриваемой системе отсчета внешнее решение как бы обрывается при r<rg, хотя фактически оно может иметь симметричное продолжение. Это становится понятным при сохраняющей метрику (1) замене dr на -dr в выражении для ds^2. Сказанное выше иллюстрируется на рис.1б, где показана  поверхность вращения метрически изоморфная центральному сечению внешнего решения Шварцшильда. На рис.1а показана образующая линия названной поверхности, причем толстыми линиями показана основная часть шварцшильдова поля, а тонкие линии отвечают его продолжению.
 
   По-видимому, полное ЦСПТ,показанное на рис 1б в теоретическом плане может быть использовано для описания объекта, соединяющего две вселенные, однако оно непригодно для описания квазизвездных объектов, в частности так называемых "черных дыр". При описании звездных объектов может использоваться лишь частичное вакуумное ЦСПТ, отвечающее области изменения радиуса сферического сечения r>rg, которое "сшивается" с внутренним материальным решением Шварцшильда [1], где радиус поперечного сечения изменяется в диапазоне от 0 до r1>=rg, см. рис.1в.


 В теоретическом плане большой интерес представляет предельное внешнее решение Шваршильда, отвечающее квазиточечному источнику поля тяготения, когда радиус тела достигает своего минимального значения. Такое поле можно получить следующим путем. Представим себе тяготеющее тело в виде полой сферы радиуса  r>rg и массы m. Легко понять, что внутри сферического тела пространство является плоским, а снаружи его описывается частичным вакуумным РШ. Образующая линия поверхности вращения, метрически изоморфной плоскому центральному сечению рассматриваемого поля, показана на рис 2а.
 При этом внутренняя область характеризуется замедлением времени протекания процессов в соответствии с коэффициентом к = v(1 - rg / R). Поле тяготения, отвечающее сингулярному источнику получается путем уменьшения радиуса сферического тела при сохранении его массы до достижения равенства R= rg = 2Gm/c2. При этом во внутренней области объекта ход времени замедляется до нуля, и эта область объективно никак не проявляется, что отмечено пунктирной линией на рис 2б, где изображена образующая линия изоморфной поверхности y = 2 v(rg(r-rg)). Очевидно, вместо ожидаемой точечной, реально мы имеем дело со сферической сингулярностью. Центральная область  r<rg здесь, как и в случае чисто вакуумного РШ, не имеет физического смысла.


 Как было отмечено ранее, при r<rg вакуумное ЦСПТ описывает нестационарный объект, причем переменная r играет роль временной координаты, а переменная t - радиальной координаты. Для избежания дальнейших недоразумений целесообразно взаимно заменить обозначения рассматриваемых координат, после чего компоненты метрического тензора будут иметь следующий вид:
g00 = (1 - rg/t)^(-1),  g11 = -(1- rg/t), g22 = -t^2,  g33= -(t sin(tet))^2.  (2)
 Легко понять, что  радиус сферического сечения объекта здесь не зависит от радиальной координаты и совпадает с временной координатой. Таким образом изучаемый объект представляет собой своеобразный туннель со сферическим сечением, постоянным вдоль его длины и изменяющимся во времени.
  Таким образом, рассмотренное выше нестационарное вакуумное решение Шварцшильда описывает самостоятельный изолированный от вселенной континуальный объект и представляет собой формальное математическое образование, которое не имеет никакого отношения к реальной действительности.
 
 В работе [2] рассматривается несколько новых, отличных от шварцшильдовской, координатных систем с монотонно изменяющейся метрикой при переходе через границу r = rg, главной из которых является система Крускала-Шекереса (КШ). Казалось бы приведенные выше рассуждения о независимости решений для внешнего и внутреннего ЦСПТ не верны. Но это не так. Никакая, корректно введенная (с невырожденным якобианом преобразования), система координат не может изменить физическую сущность объекта или явления. Новая система может лишь облегчить или усложнить понимание физической сущности явления. Классический пример - облегчение понимания законов небесной механики при переходе от геоцентрической системы Птолемея к гелиоцентрической системе Коперника.
  Однако упомянутые преобразования КШ как раз характеризуются вырожденностью якобиана при r = rg (бесконечность его членов). Говоря конкретнее, разрывность исходных метрических коэффициентов здесь скомпенсирована разрывным преобразованием координат по КШ. Естествено, при этом искажена физическая картина поля. Кроме того, понимание физической картины поля затруднено переходом к времязависимым координатам, что создает кажущуюся зависимость внешнего решения от времени. Образно выражаясь, вводя систему координат КШ, мы делаем шаг назад - от системы Коперника к системе Птолемея, совершая к тому же ошибку в математических преобразованиях.

Более подробно см. http://olvov1.narod.ru/
   Литература
1) Л.Ландау, Е.Лифшиц. Теория поля, т.2, "Наука", 1967
2) Ч.Мизнер, К.Торн, Д.Уиллер. Гравитация, т. I-III, "Мир", 1977г.

 P.S. Чтобы появились картинки надо сохранить файл и повторно его открыть.

 С уважением. О.Львов   

Сергей, а ведь можно еще и третью СО рассмотреть - наблюдателя, находящегося близко от ЧД, но покоящегося.
Какая из них физичнее?

Из этого рассмотрения, насколько я помню, можно практически сразу извлечь излучение Хокинга.
Есть координаты Эддингтона - они неразрывны на r=rg.

lvov
а у Ландавшица якобиан невырожден при r=r_g.. чем будете крыть? (-:

C. Хартиков:   1.  Уважаемый Олег! Я не очень понял, какой Вами поставлен вопрос.
   2.  По-моему, то же самое (но другими словами) написано и в Ландау-Лифшице: там пишут о двух совершенно разных системах отсчета - удаленного наблюдателя и падающего наблюдателя. 

 
  1. В результате анализа центрально-симметричного решения Щварцильда (РШ) я утверждаю, что вопреки принятому мнению здесь мы имеем дело с двумя совершенно разными и независимыми решениями.
 
 Первое, так называемое, внешнее РШ описывает статический объект, радиус поперечного сферического сечения которого определен в интервале от r_g до бесконечности.
 Второе - внутреннее РШ - описывает нестационарный пульсирующий объект, а именно, сферический гравитацинный туннель с постоянными в каждый момент времени, но изменяющимися во времени радиусом пространственного сечения (от 0 до r_g) и длиной (от нуля до бесконечности).

  2. Ни о каких двух системах отсчета я речи не веду. В каждом случае рассматривается одна система отсчета (Шварцшильда), в которой гравитационное поле выглядит наиболее просто. Однако во втором случае я переосмысливаю переменные t и r, и меняю их местами в соотстветствии с принятыми обозначениями: для временной переменной - t, и для радиальной пространственной переменной - r. О системе отсчета падающего наблюдателя у меня вообще речи нет.
 
  Почему-то всем спецам хочется сшить эти два не имеющих друг к другу никакого отношения решения, что они "успешно" и реализуют путем нарушения математических законов. А именно, разрывность решения в области r = r_g компенсируют подходящей разрывностью коэффициентов якобиана координатного преобразования..

  v0rtex: lvov, а у Ландавшица якобиан не вырожден при r=rg,  чем будете крыть?

  Нет, ув. v0rtex, здесь та же история. Посмотрите формулы преобразования координат Леметра (100.1). Частные производные тау по r и R по r здесь обращаются в бесконечность при r = r_g, а значит туда же и якобиан преобразования координат. Зато в квадратичной форме (100.3) все бесконечности компенсируются и вроде бы все Окей.

bob: Олег. Это показывает только ограниченность применимости Шварцшильда. Его сингулярность на радиусе напоминает, скорее, ультрафиолетовую катастрофу в термодинамике. Она разделяет эти два внешне разных объекта и Крускалом устраняется. Решение Шварцшильда содержит лишние артефакты.

  Я уже сказал, как устраняется: ценой спрятанной математической ошибки. Сообщение Stepы, относительно непрерывности координат Эддингтона оспорить не могу, с таковыми не знаком. Но думается здесь та же история, что с координатами Крускала и Леметра.

    С уважением  О.Львов 

     Цитата lvov: "Я уже сказал, как устраняется: ценой спрятанной математической ошибки"

     Я не согласен. Преобразование от координат Шварцшильда к этим "неразрывным" координатам, действительно, осуществляется с "плохим" якобианом. Это делает такие преобразования недопустимыми. Но ведь дело не в том, чтобы все решения получать только преобразованиями из координат Шварцшильда. Главное - это удовлетворить уравнениям Эйнштейна, что у рассматриваемых координат и решений в порядке.
     То есть, если бы изначально искать решение задачи Шварцшильда, выбрав "нужные" координаты, то можно было бы сразу прийти к решению, минуя координаты Шварцшильда.

Хартиков: Главное - это удовлетворить уравнениям Эйнштейна, что у рассматриваемых координат и решений в порядке

     В порядке ли? Хороший вопрос, надо подумать.  С уважением О.Львов

Может вы мне скажите Олег, почему частицы могут вылетать из полюсов черной дыры, если по закону Шварцильда не одно тело не может преодолеть ее притяжения даже со световой скоростью в пределах одноименной сферы?

Уважаемые.
.
Ваши попытки рассуждать о внешнем и внутреннем решении напоминает известную историю о дискуссии, сколько чертей уместится на кончике иглы.
.
Нет для падающего тела изменений при прохождении известного Вам радиуса.
Приведу цитату из  ___Физическая интерпретация решения Шварцшильда___:
.
 Предложен физический процесс, соответствующий концепции искривления геометрии пространства-времени Эйнштейна для объяснения Гравитации. Получение основных результатов стало возможным за счет последовательного применения принципа эквивалентности Эйнштейна, приводящего к концепции динамичной метрики. Разъяснен физический смысл решения Шварцшильда. Сделан расчет результатов опыта Паунда-Ребки.

      Целью работы является показать физический смысл того искривления геометрии пространства-времени, которые были введены А.Эйнштейном для объяснения Гравитации.

Дискуссия на scientific.ru по ссылке
http://www.scientific.ru/dforum/altern/1121720430
.
Полностью дискуссия на
http://gek47.narod.ru/new_gra.html
.
И вопрос к О.Львову
.
Олег, я приводил некогда эти ссылки в одной из дискуссий, Вы взялись просмотреть их.
.
Так как реакции от Вас не последовало, и дискуссия затухла, я делаю вывод, что Вы не поняли изложенное в ссылках.
.
Вот именно это меня и интересует - момент, с которого Вы перестали читать, поскольку в том, что Вы не поняли - моя вина.
Значит, я написал непонятно - ведь я автор, мне-то все понятно.....

Цитата lvov: "Уважамый Сергей, насколько я понял Вы считаете, что сшитые решения Шваршильда удовлетворяют уравнениям ОТО лишь на том основании, что пока не встречали ошибок в серьезной научной литературе..."

     Нет, Олег, я просто высказал большие сомнения в том, что нам с Вами удастся обнаружить, будто эти решения не удовлетворяют уравнениям поля, так как куча народу за 20-й век перепахали ОТО вдоль и поперек (если обнаружится, что они не удовлетворяют, то нам гарантирована публикация  ). Я обязательно просчитаю все это, но несколько позже.

     Цитата lvov: "И еще одна заковыка: в начале выкладок делается вывод, что РШ описывает статическое поле, а заключение предлагается сшитое не стационарное поле тяготения"

     Здесь все в порядке: статическим называется поле, для которого можно выбрать такую систему отсчета, в которой все компоненты метрического тензора не зависят от временной координаты (ну, и еще кое-что, о чем Вы знаете). Но это не означает, что в других координатах метрический тензор не будет зависеть от времени.

     Цитата lvov: "В координатной системе Эддингтона вообще исчезает из рассмотрения актуальная область r<rg..."

     Ну, и что? В ньютоновой механике тоже можно поприкалываться и выбрать такую систему координат, в которой некие области просто исчезнут из рассмотрения. Но это же не означает, что не существует других координат, в которых все в порядке.

     Цитата lvov: "А далее, все же предлагают несколько вариантов сшитой системы отсчета при использовании разрывных преобразований координат..."

     Олег, не вижу никаких проблем: для тела, падающего к центру, благодаря новым координатам решение прослеживается до самого конца. Но в этих же координатах, для внешнего наблюдателя нет никакой возможности проследить это падение до конца. Где здесь противоречие или ошибка?

     Цитата lvov: "Таким образом остается единственный приемлемый вариант, отказаться от использования внутреннего решения Шваршильда, поскольку оно не имеет физического смысла..."

     Я тоже считаю "внутреннее" решение нефизичным для нас - "внешних". Но, видимо, не стоит его выкидывать только на этом основании. Хотя бы по той причине, что будущее объединение гравитации с квантовой механикой, возможно, покажет, что и в этом "внутреннем" решении есть какой-то смысл для нас - "внешних".

     Цитата lvov: "Если я даю неверное объяснение, надеюсь г. Хартиков поправит меня..."

     Если честно, то я не понял, о каких частицах, вылетающих из полюсов ЧД, говорил Макс.

Stepa: а где на Шварцшильдовской ЧД полюса?

   Насколько я понимаю, к модели гравитационного туннельного прохода по рис 1а,1б вопросов нет, а речь идет о модели с сингулярностью по  рис. 2б. Верно, здесь нет точечной сингулярности, но есть сферическая сингулярность. Объект, конечно не привычный, но здесь нет логических нелепостей, которые налицо в известных некорректно сшитых моделях. Внутренность сферы Шварцильда любопытна тем, что здесь нулевой ход времени (g00=0), а стало быть нет протекания каких-либо процессов. Пространство под сферой Шварцшильда в приведенной модели плоское, но возможны также модели с внутренним материальным наполнением и соответственно искривленным пространством, ход же времени остается нулевым.
   Что же касается реальных массивных звездных объектов, то они, на мой взгляд, скорее отвечают модели, показанной на рис. 1в. Такая модель может мало отличаться от теоретической модели ЧД.

   Уважаемый Stepa, за Вами должок. Все таки, каким образом описанный Вами на топике "Сторонники и противники ТО" двоной пульсар подтверждает ОТО. Догадку то я высказал, но Вы ее не подтвердили и не опровергли.

 

  eugeni: И вопрос к О.Львову. Олег, я приводил некогда эти ссылки в одной из дискуссий, Вы взялись просмотреть их. Так как реакции от Вас не последовало, и дискуссия затухла, я делаю вывод, что Вы не поняли изложенное в ссылках. Вот именно это меня и интересует - момент, с которого Вы перестали читать, поскольку в том, что Вы не поняли - моя вина. Значит, я написал непонятно - ведь я автор, мне-то все понятно.....

  Извините, Евгений, что оставил Ваш вопрос без внимания, и снова чуть не упустил его. Я попытаюсь разобраться в материалах по Вашим ссылкам. А еще было бы лучше, если бы Вы упростили мою работу, изложив кратко вопрос на настоящем топике. Что же касается упоминаемого Вами падающего тела, то насколько я понимаю, его собственная система отсчета имеет физический смысл лиш до момента достижения сферы Шварцшильда.

      С уважением  О.Львов