Простая модель однородной вселенной.Будем искать нестатическую метрику однородной и изотропной вселенной с постоянной плотностью вещества epsilon в предположении, что ТЭИ - идеальная жидкость, и такой, чтобы при условии epsilon=0 она переходила в метрику Минковского. Давление и плотность не зависит от положения тела, поэтому метрические компоненты зависят только от времени или являются постоянными. Интервал в общем виде записывается следующим образом в 'декартовых' координатах:
\[ ds^2=b(t)dt^2-a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2) \quad(1) \]
В такой записи с=1. Обычно его ищут в сферических координатах, но они имею нехорошую координатную особенность при r=0 . Обычно о ней забывают, а надо бы эту точку вырезать из всего 3-х мерного пространства. Кроме того при решении Толмена внутри статического однородного шара, появляется член вида C/r, который отбрасывают из соображения невозможности сингулярности в данной точке. Мне это всегда не нравилось, поскольку эту точку можно и нужно вырезать, исходя из особенности сферических координат. Уравнения Гильберта-Эйнштейна таким образом (справа сделал замену на E и P для простоты) записываются:
\[ R_0^0-R/2=8G\piε=E, R_i^i-R/2=-8Gπp=-P , i=1,2,3 \quad(2) \]
В силу однородности и изотропности можно считать, что плотность ε и давление p не зависит от координат x,y,z. А наблюдателя можно поместить в любую точку и в любую систему отсчета и от этого ТЭИ не изменится. Уравнения (2) дают такую систему дифференциальных уравнений:
\[ \dot{a}^2=a^2 \sqrt {bE/3} \quad (3) \]
\[ a\dot{a}\dot{b}- 2ab\ddot{a}- b\dot{a}^2=Pa^2 b^2 (4) \]
Точка сверху - производная по времени t.
Наиболее простой случай: когда
b=Const=b0 В этом случае первое легко интегрируется и дает 2 корня:
\[ a=a_0 e^{t\sqrt{Eb/3}} ,\quad a=a_0 e^{-t\sqrt{Eb/3}} (5) \]
Подстановка (5) в (4) дает простой, но важный случай:
p=-ε так называемое отрицательное давление (антигравитация). Чтобы в отсутствии вещества при E=0 метрика переходила в метрику Минковского в декартовых координатах положим
b0=a0=1 Окончательно метрика для первого решения (5) имеет вид:
\[ ds^2=dt^2-e^{2t\sqrt{E/3}} (dx^2+dy^2+dz^2) \quad (6) \]
Где \[ E=8Gπε \]
Как видно никакого движения вещества нет \[ T_0^1=0 \]. Нет и расширения вселенной. Есть изменение геометрии за счет экспоненциального роста пространственных метрических компонент. Таким образом ТЭИ в такой модели:
\[ T_i^k=8Gπε\delta_{i}^{k} \]
Скалярная кривизна постоянна \[ R=-4E=-32Gπε \]
Красное смещение.При
y=z=0 Наблюдатель находится в точке
x=0, излучатель в точке x, расстояние от x до 0 :
\[ L=\int_{0} ^{x}\sqrt{g_{xx}} dx=xe^{t\sqrt{E/3}} \quad (7) \]
Скорость:
\[ V=dL/dt=x\sqrt{E/3} e^{t\sqrt{E/3}}=L\sqrt{E/3} \quad (8) \]
Постоянная Хаббла \[ H=\sqrt{E/3} \].
Это согласуется с выражением (114.
из ЛЛ-2 пар. 114: \[ H=\frac{da} {adt} \]
Плотность\[ ε=H^2/8G\pi \]
Если \[ H=0.25*10^{-17} {1/c} \] , то плотность такой вселенной должна быть:
\[ ε=1*10^{-29} (г/cм^3) \]
Красное смещение можно интерпретировать не как 'разбегание' вещества, а как изменение метрических компонент во времени ( что более понятно).
Частные случаи и замечанияПылевой случай в данной модели невозможен. В этом можно убедиться непосредственно подставив в (4) давление
p=0. Оно не удовлетворяется.
Пока я делал вычисления, то вспомнил, что похожую идею высказывали Глинер и его последователь Чернин. Но у них таким свойством
p=- ε обладает вакуум, а уравнения они записывают с космологическим членом. Мне данный фокус не очень ясен. Таким образом они решают раздельно уравнения для барионного вещества (+темная материя) и отдельно для вакуума. Мне кажется это не совсем корректно, поскольку уравнения Эйнштейна нелинейны и их надо привести в систему координат, когда и первые и вторые производные будут входить линейно или применить линеаризованный метод. Либо предположить биметрический вариант теории.
В данной модели нет сингулярности и не нужна гипотеза инфляция. Можно сказать, что вселенная все время находится в состоянии слабой инфляции.
Вселенная в начале своего развития неустойчива. Уравнения в точке t=0 мы имеем псевдоевклидову геометрию. Задача Коши в точке
t=0:
\[ g_{ii}(t=0)=0, \quad \dot{g}_{ii}(t=0)=+\sqrt{E/3}, i=1,2,3 \]
В зависимости от знака производной вселенная или 'расширяется' или 'сжимается'. Большого взрыва не было, или точнее сказать это был переход от псевдоевклидового пространства к геометрии (6)
