Говорят, что Луна светит отраженным солнечным светом, и спектр
лунный в видимом диапазоне почти такой же, как и солнечный.
 А почему так получается, что Солнце на восходе и закате красное,
а Луна - нет? Лунный свет рассеивается в земной атмосфере не так,
как солнечный?

Тут еще имеет значение время наблюдения - Солнце ведь заходит вечером (что естественно), непосредственно после долгого дня  , а днем обычно дует ветер, который и поднимает пыль. Вот Солнце и краснеет на заходе. Но обычно ветер к вечеру стихает, и если Луна восходит уже на темном небе, то это означает, что атмосфера уже немного "отстоялась", и пыль частично осела обратно на землю (появление росы этот процесс ускоряет). Можно ожидать, что в среднем, чем позже взойдет Луна, тем меньше будет заметно ее покраснение. Кстати, это известный факт - Солнце на восходе также бывает красным гораздо реже, чем на закате. И все потому же - за ночь атмосферная пыль оседает.

Земная атмосфера рассеивает солнечный свет. Рассеяние света происходит на случайных микроскопических неоднородностях плотности воздуха.
Интенсивность рассеяния света обратно пропорциональна четвертой степени длины световой волны (закон Рэлея). Сильнее всего рассеиваются фиолетовые, синие и голубые лучи, слабее всего - оранжевые и красные.
Вследствие этого земное небо имеет днем голубой цвет: наблюдатель воспринимает рассеянный в атмосфере солнечный свет, спектр излучения которого сдвинут в сторону коротких волн. По той же причине далекие леса и горы кажутся нам голубыми и синими.
Диски Солнца и Луны на восходе и закате приобретают красный цвет: с приближением к горизонту удлиняется путь световых лучей, прошедших без рассеяния, спектр их сдвигается в сторону длинных волн.
Обратите внимание на зори: вначале узенькая, кроваво-красная полоска утренней зари бледнеет, розовеет, наливается желтизной, а небо в зените из темного, почти черного становится густо-фиолетовым, потом сиреневым, синим и голубым, а вечером все происходит наоборот.