К.Е.Путро
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОНЕЧНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
НАТУРАЛЬНОГО РЯДА

Теорема Евклида

В этом параграфе мы рассмотрим доказательство Евклида того, что ряд простых чисел бесконечен (книга 11, приложение 20 "Начал"). Это доказательство может служить образцом изящества и простоты.
 Пусть Р - простое число. Рассмотрим произведение всех простых  чисел от 2 до P, добавим к нему 1 и положим N = 2*3*5*...*P+1. Это число не может делиться на 2, так как если бы оно делилось на 2, то и разность N - 2*3*5*...*P   делилась бы на 2. Но разность этих чисел равна 1 и не делится на 2. Аналогично убеждаемся в том, что N не может делится на 3, на 5 и вообще ни на какое другое число вплоть до P. С другой стороны, N должно делиться на какое-нибудь простое (на само себя, если N простое, или на любой простой делитель N, если N составное). Следовательно, существует простое число, отличное от любого из простых 2, 3, 5, ..., P и потому большее P. Таким образом ряд простых чисел оборваться не может.

Опровержение теоремы Евклида

Если исключить из произведения  2*3*5*...*P  число 2, как четное число, то произведение 3*5*...*P  будет нечетным числом. Тогда выражение N = 3*5*...*P+1 четное, а, следовательно, составное число. Если  N является четным числом, то оно имеет множитель меньше Р, т. е.  без участия числа  2 теорема Евклида не доказывает бесконечность простых чисел в натуральном ряду.

Опровергнув теорему Евклида, необходимо представить доказательство конечности простых чисел в натуральном ряду.
Поскольку среди четных чисел (за исключением сомнительного числа 2) не может быть простых чисел, нужно исключить из натурального ряда все четные числа. Этим мы уменьшим на половину зону поиска простых чисел.  Для этого предлагается поставить надежные 'фильтры', которые бы исключили возможность проникновения четных чисел и гарантировали бы присутствие всех нечетных чисел натурального ряда. В качестве таких 'фильтров' предлагается использовать формулы  (6п +1),  (6п + 3) и (6п + 5), где 'п' изменяется от нуля до беспредела. Пропустив сквозь них все числа натурального ряда, получим три числовых спектра, в которых не окажется ни одного четного числа, и не будет утрачено ни одно нечетное число натурального ряда. Каждое нечетное число займет место в своем числовом спектре, и оно не сможет 'мигрировать' из одного числового спектра в другой. Представим начала трех числовых спектров, которые может каждый продолжить самостоятельно до необходимой ему глубины числа, для того, чтобы убедиться в отсутствии в них четных чисел и наличии всех нечетных чисел натурального ряда.

Первый спектр нечетных чисел натурального ряда (6п + 1)

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43,. 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103,109,115, 121 и т.д.

Второй спектр нечетных чисел натурального ряда (6п + 3)

3, 9,15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93,  93, 99,.105, 111,.117, 123 и т.д.

Третий спектр нечетных чисел натурального ряда (6п + 5)

5,.11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77,  83, 89, 95, 101, 107, 113,. 119, 125 и т.д.

Обращает на себя внимание тот факт, что во второй  числовой спектр не может проникнуть простое число (за исключением числа 3), и гарантией тому является второй 'фильтр', формулу которого можно записать в следующем виде  6п + 3 = 3(2п + 1). Наличие множителя 3 во втором 'фильтре' гарантирует всем числам, отобранным  во второй числовой спектр, деление их без остатка на число 3, и в этом может убедиться каждый. Если во втором числовом спектре все его числа целочисленно делятся на 3, то непонятно почему ни одно число первого и третьего числового спектра не делятся на 3 без остатка.
Мы еще на треть уменьшим зону поиска простых чисел если исключим из рассмотрения все числа второго числового спектра, и сконцентрируем все внимание только на числах первого и третьего числовых спектров.
Вначале рассмотрим ту часть третьего числового спектра, которая вмещается по ширине страницы, и разложим все его составные числа на множители.

Третий спектр нечетных чисел натурального ряда (6п + 5)

5,.11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77,  83, 89, 95, 101, 107, 113,. 119, 125 и т.д.
5                          5                          5                          5                                    5
                            7                                    7                                              7
                                                                 11
                                                      13
                                                                                                                17
                                                                                  19
Обращает на себя внимание тот факт, что после появления в третьем числовом спектре числа 5 по всему этому спектру прокатывается его 'мгновенное эхо', делающее 'остановки' через каждые пять единиц. Примечательно то, что на каждой такой 'остановке' могут располагаться только составные числа. Следовательно, на этих 'остановках' никогда не будет простых чисел, и зона их размещения в третьем числовом спектре ограничивается расстоянием между этими 'остановками'.
Вывод: в третьем числовом спектре не должно существовать групп  простых чисел, в которых  находится более четырех идущих последовательно простых чисел. Кто обнаружит в третьем числовом спектре более четырех неразделенных друг от друга простых чисел, тот  опровергнет  доказательство о граничности простых чисел в третьем числовом спектре натурального ряда.
После появления в третьем числовом спектре простого числа 7 оно так же, как и простое число 5, расставляет рожденные им составные числа через каждые 7 единиц вдоль всего третьего числового спектра. Примечательно то, что эти составные числа могут располагаться  в промежутках между четырьмя свободными местами, не занятыми составными числами, рожденными числом 5. А это уменьшает в третьем числовом спектре количество свободных мест, в которых могут располагаться простые числа.
После появления в этом числовом спектре простого числа 11, оно размещает через каждые 11 единиц рожденные им составные числа вдоль всего числового спектра, уменьшая, тем самым, свободные места для расположения в них простых чисел в третьем числовом спектре.
То же самое будет происходить в третьем числовом спектре после появления в нем простых чисел  13, 19, 37, 41 и всех последующих простых чисел данного числового спектра. Все рождаемые ими составные числа будут располагаться друг от друга на расстояниях, равных величинам простых чисел. Главное состоит в том, что они будут располагаться  в тех промежутках, которые оставило им число 5. Появление новых составных чисел в третьем числовом спектре автоматически уменьшает количество мест, в которых могут располагаться простые числа. А появление в третьем числовом спектре новых простых чисел автоматически уменьшает количество свободных мест для расположения последующих простых чисел.
Вывод: в третьем числовом спектре неизбежно наступит критический момент, когда весь его числовой ряд будет заполнен составными числами и в нем не останется места для расположения  простых чисел. Значит, в третьем числовом спектре будет  последнее простое число, после которого  будут идти только составные числа.
Вывод: в третье числовом спектре количество простых чисел конечно.

Практически то же самое будет происходить и в первом числовом спектре.
Первый спектр нечетных чисел натурального ряда (6п + 1)

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43,. 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103,109,115, 121 и т.д.
1
                    5                           5                         5                             5
                                           7                                    7
                                               11                                                              11
                                                                               13
                                                                          17
Различие только в том, что в первом числовом спектре число 5 занимает пятое место в этом числовом ряду. Нет необходимости повторять приведенное выше доказательство, поскольку каждый может сделать это самостоятельно.
Окончательный вывод: в натуральном ряду чисел существует последнее простое число Км, после которого во всех трех числовых спектрах располагаются только составные числа.
На основании ислледованой части натурального ряда чисел можно заключить, что последнее простое число Км находится в первом числовом спектре. Третий числовой спектр заканчивается своим простым числом, величина которого на две единицы меньше максимального простого числа, т.е. оно равно Км - 2. Эти простые числа являются близнецами.


http://www.putro1.narod.ru/Mac.HTM