<< Открытие t-кварка | Оглавление | Литература >>
Комментарии переводчика
Покажем, как получаются формулы (2) и (3) методами квантовой теории поля.
Везде далее будем предполагать, что имеет место следующий процесс:
фермион с 4-импульсом 
и антифермион с 4-импульсом 
аннигилируют в фотон или глюон с 4-импульсом
,
из которого рождается пара фермион-антифермион с 4-импульсами
и 
соответственно. Фермионы в начальном и конечном
состояниях считаются ультрарелятивистскими, то есть
. Обозначим 
.
а) Рассмотрим реакцию
(рис. 2 (a)).
Примем, что 
и
. Тогда, согласно
правилам Фейнмана, получаем для матричного элемента
 |
 |
 |
|
|
 |
Усредняя квадрат модуля матричного элемента по спинам начальных фермионов и суммируя по спинам конечных, находим
 |
|
 |
|
|
 |
где
,
и 
-спинорные индексы, 
-лоренцовский индекс.
В системе центра масс 4-импульсы фермионов имеют вид
 |
|||
 |
где
, 
-угол между направлениями движения
частиц 
и
. Можно проверить, что для скалярных
произведений 4-векторов справедливы следующие формулы
Тогда
 |
Используя выражение для двухчастичного фазового объема в случае безмассовых частиц
, запишем
дифференциальное сечение реакции в виде
 |
Интегрируя по
от -1 до 1, получаем окончательное
выражение для полного сечения
 |
которое совпадает с формулой (2).
б) Рассмотрим несколько более сложную реакцию
. Введем цветовые индексы кварков
и 
. Очевидно, что
. Матричный
элемент реакции имеет вид
 |
где
- заряд кварка 
в единицах 
. Учитывая, что
, после усреднения по спинам начальных лептонов
и суммированию по спину и цвету конечных кварков находим:
 |
Для суммирования по спину и цвету кварков использовалась матрица плотности вида
.
Сечение реакции
равно
 |
в) Теперь рассмотрим реакцию вида
,
где 
-виртуальный глюон (рис. 2 (b)).
Пусть
, где
- набор из восьми матриц Гелл-Манна размерности
, а
- цветовой индекс глюонов.
Поясним, почему глюоны имеют восемь цветовых индексов. Каждый глюон несет
на себе два цветовых индекса: один - кварка, другой - антикварка.
Например, синий-антизеленый или красный-антикрасный. Как легко
видеть, всего таких комбинаций девять. Но комбинация "красный-антикрасный
синий-антисиний зеленый-антизеленый" бесцветна и не участвует
в сильном взаимодействии. Таким образом, на девять комбинаций
кварковых индексов существует одно условие, что ведет к восьми
независимым комбинациям. Конечно, подобное рассуждение не является
строгим. Математически строго восемь глюонных цветовых индексов
получается, если использовать теорию групп (подробнее см., например,
книгу [10]) Для 
-матриц верны следующие соотношения
(см. [10]):
и
при 
. Примем, что 
и что
.
Тогда для матричного элемента процесса можно записать
 |
|
 |
|
|
 |
Усредняя по спинам и цветам начальных кварков и суммируя по спинам и цветам конечных, получаем выражение
 |
|
 |
|
|
 |
поскольку
 |
Таким образом, для сечения процесса
получаем формулу
 |
которая воспроизводит выражение (3).
Задача. Покажите, что сечение процесса
равно
 |
г) Кратко остановимся на реакции
. В отличии
от хорошо известной из КЭД реакции
, вычисление
сечения аннигиляции кварков в глюоны на порядок более сложно даже в
случае безмассовых кварков. Это связано с тем, что в КХД к двум
аннигиляционным диаграммам, известным из КЭД, добавляется третья
от трехглюонной вершины. Без вывода приведем окончательный ответ
для дифференциального сечения аннигиляции кварков в глюоны в СЦМ
сталкивающихся частиц в пределе нулевых масс кварков:
Расходимость при
возникла из-за
пренебрежения массами сталкивающихся кварков.
Задача. Данных, приведенных в пунктах б)-г),
вполне достаточно, чтобы написать выражение для
. Подскажем, что при
написании формулы (6) проводились усреднения по
начальным поляризациям и цветам кварков и суммирования
по конечным поляризациям и цветам глюонов. В случае реакции
нужно просуммировать по начальным поляризациям
и цветам глюонов и усреднить по конечным поляризациям и
цветам кварков.
д) Наконец, скажем несколько слов о возможных каналах распадов
-кварка. Абсолютно доминирующим является канал 
.
Ширина распада, в пренебрежении массами 
-бозона и 
-кварка,
дается формулой
где
-матричный элемент матрицы
Кабаяши-Маскава (КМ-матрицы). Поскольку КМ-матричные элементы
кварковых переходов 
и 
равны соответственно
и
, то распады
по каналам 
и 
составляют примерно 0,2% и
0,01% от общего числа всех распадов -кварка. Таким образом,
полная ширина распада