О распределении больших полуосей орбит внесолнечных планет
<< 3. Вероятность обнаружения планеты | Оглавление | 5. Численные результаты >>
4. Функции распределения
Эффект селекции отражен формулой (4): планет, имеющих
, мы не видим совсем; при 
шансы планеты быть
обнаруженной стремительно растут с уменьшением 
. С ростом 
(т. е. с увеличением 
и уменьшением ошибки наблюдений 
)
эффект селекции уменьшается.
Полностью эффект селекции выявляется в трансформации функций
распределения.
Пусть имеется большое число 
наблюденных звезд, имеющих каждая по
планете с круговой орбитой. Пока в нашем распоряжении слишком мало
данных,
чтобы оперировать с многомерными распределениями 
, , , 
.
Ограничимся простейшей одномерной задачей. Именно, фиксируем , ;
предположим независимость распределений , ; изотропность
ориентации
вектора площадей. Тогда статистическая ситуация полностью описывается
плотностью вероятности 
: число планет с расстоянием от до
равно
.
Найдем плотность вероятности 
величины среди открытых
планет.
Очевидно, число планет с расстояниями от до и наклонами от
до 
равно
. Число
открытых
планет с расстояниями между и равно
есть
до среди всех открытых
планет есть
Величина
совпадает с вероятностью открытия планеты с данными ,
и случайными , . Обратим внимание, что равна нулю при
.
Формулы (4)-(6) конструктивно определяют 
, если
известна 
. Однако относительно мы можем пока лишь строить
догадки. В то же время может быть найдена (пусть пока не очень
уверенно) из наблюдений.
Решим обратную задачу построения по известной .
Дана непрерывная неотрицательная функция , определенная на
,
равная нулю на
и такая, что интеграл
сходится. Так как
- плотность вероятности, то потребуем еще
Легко проверить, что (6) выполняется при любом
, если
определяется равенством (8). Чтобы найти , вычислим
интеграл от обеих частей (8) по промежутку
:
Фиксируем произвольное
,
. Тогда
Так как
известно, то формула (10) определяет положительное
число
, после чего (8) дает нам при
.
Итак, мы нашли все функции , дающие наблюдаемую плотность
. Правее точки распределение неизвестно. Левее функция
определена с точностью до множителя . Это важная
информация, т. к. она содержит исчерпывающие сведения о
распределении расстояний среди всех планет, расположенных не
далее от своей звезды.
Действительно, обозначим через 
соответствующую плотность
вероятности. По определению
Подставляя в числитель и знаменатель следующее из (5) выражение
, получим искомое
Из (11), (9) вытекают полезные соотношения
Следует помнить, что
безразмерна,
;
,
,
имеют размерность
[м
]; , и безразмерны, связаны соотношением
(10), причем 
,
,
.
<< 3. Вероятность обнаружения планеты | Оглавление | 5. Численные результаты >>
|
Публикации с ключевыми словами:
Экзопланета
Публикации со словами: Экзопланета | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
Астрометрия
-
Астрономические инструменты
-
Астрономическое образование
-
Астрофизика
-
История астрономии
-
Космонавтика, исследование космоса
-
Любительская астрономия
-
Планеты и Солнечная система
-
Солнце