Механика твердого тела. Лекции.
В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
Примеры таких тел показаны на рис. 1.20: волчок с шарнирно закрепленным острием (а), конус, катающийся по плоскости без проскальзывания (б). В этом случае тело имеет три степени свободы - начала систем XYZ и x0y0z0, введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера:
![]() | (1.22) |
Для твердого уела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Доказательство этой теоремы можно найти в учебниках. Для нас важно следствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Естественно, что положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени в общем случае меняется.
![]() |
Рис. 1.20. |
Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно неподвижное системы XYZ (или x0y0z0) - это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно подвяжись системы xyz, жестко связанной с твердым телом, - это тоже коническая поверхность - подвижный аксоид. Например, в случае конуса AO1, катящегося по поверхности другого конуса AO2 без проскальзывания (рис. 1.21; точка А подвижного конуса шарнирно закреплена) неподвижный аксоид совпадает с поверхностью неподвижного конуса AO2, а подвижный аксоид - с поверхностью подвижного конуса AO1.
![]() |
Рис. 1.21. |
Скорость произвольной точки твердого тела можно рассчитать как линейную скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси:
![]() | (1.23) |
где r - радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ или x0y0z0, совмещенного с точкой закрепления. Следует только иметь в виду, что, в отличие от вращения вокруг неподвижной оси, "плечо" вектора v (расстояние рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения) является функцией времени.
Ускорение произвольной точки твердого тела
![]() | (1.24) |
состоит из двух частей: ускорения, связанного с неравномерностью вращения
(изменением по величине)
![]() | (1.25) |
и центростремительного (нормального) ускорения
![]() | (1.26) |
где - радиус-вектор, проведенный от мгновенной
оси вращения в рассматриваемую точку. Здесь следует помнить, что угловое
ускорение
связано с изменением угловой скорости не
только по величине, но и по направлению, так что
и
не перпендикулярны друг другу.
Проекции вектора мгновенной угловой скорости на оси системы xyz, жестко
связанной с твердым телом, можно выразить через углы Эйлера
(см. Рис. 1.3) и их производные по времени
Действительно, вектор
можно представить в виде
суммы трех составляющих:
![]() | (1.27) |
Здесь и
- единичные векторы вдоль осей
Oz и Oz0 соответственно,
- единичный вектор вдоль
линии узлов OA (на рис. 1.3 эти орты не показаны). Определим проекции
векторов
входящих
в (1.27), на оси системы xyz (см. рис. 1.3):
![]() | (1.28) |
![]() | (1.29) |
![]() | (1.30) |
Из (1.27 - 1.30) получим:
![]() | (1.31) |
![]() | (1.32) |
![]() | (1.33) |
Уравнения (1.31-1.33) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они, в
частности, позволяют определить величину и направление вектора мгновенной
угловой скорости если закон движения тела задан в виде (1.22).
В ряде случаев вращение тела с закрепленной точкой вокруг мгновенной оси
удобно представить как суперпозицию двух вращений вокруг пересекающихся
осей. В случае, изображенном на рис. 1.22, вершина конуса шарнирно
закреплена в точке О; ось конуса горизонтальна, а основание конуса катится
без проскальзывания по горизонтальной плоскости S. Вектор угловой скорости
направлен вдоль мгновенной оси вращения ОМ (скорость точек О и М равна
нулю); при движении конуса мгновенная ось вращения изменяет свое положение,
описывая некоторую коническую поверхность с вершиной в точке О. Абсолютное
вращение конуса с угловой скоростью
можно представить в виде суммы
![]() | (1.34) |
где - угловая скорость относительного вращения конуса вокруг
собственной оси симметрии,
- угловая скорость переносного вращения
самой оси конуса вокруг вертикали. Если задана
то
![]() |
где - угол полураствора конуса,
- радиус основания конуса,
- его высота.
![]() |
Рис. 1.22. |
Замечание. Движение тела, представляющее собой одновременное вращение вокруг
нескольких осей с угловыми скоростями может
быть сведено к вращению вокруг одной оси с угловой скоростью
![]() | (1.35) |
Движение свободного твердого тела.
Свободное твердое тело может совершать любые перемещения относительно лабораторной системы XYZ. В этом, самом общем случае, оно имеет 6 степеней свободы.
Опираясь на теорему Эйлера (см. выше), движение свободного твердого тела
можно представить в виде суперпозиции поступательного движения, при котором
все точки движутся как произвольно выбранный полюс (начало системы
x0y0z0) и вращательного движения вокруг мгновенной оси,
проходящей через этот полюс. Этому рассмотрению соответствуют 6 независимых
координат: 3 декартовы координаты X, Y, Z точки, принятой за полюс, и 3 угла
Эйлера (см. рис. 1.3).
Положение произвольной точки А тела в лабораторной системе XYZ определяется
радиус-вектором :
![]() | (1.36) |
где - радиус-вектор точки О, принятой за полюс,
- радиус-вектор точки А относительно полюса.
Скорость точки А
![]() | (1.37) |
где - скорость полюса, а
- линейная
скорость вращательного движения вокруг оси, проходящей через полюс. Ускорение точки А
![]() |