<< 4.3 Проблемы полевой формулировки ОТО | Оглавление | Литература к Лекции 4 >>
- 4.4.1 Тождество Каца-Бичака-Линден-Белла
- 4.4.2 Тождество Нетер для полевого лагранжиана
- 4.4.3 Суперпотенциал в полевой формулировке ОТО
- 4.4.4 Сравнение результатов метода Нетер-Белинфанте и полевого подхода
- 4.4.5 Разрешение неопределенности Боульвара-Дезера
4.4 Метод Нетер-Белинфанте и полевой подход к ОТО
Комбинация этих двух методов позволяет разрешить описанные в предыдущей части проблемы. Результаты этой части были доложены на семинаре [24].
4.4.1 Тождество Каца-Бичака-Линден-Белла
Напомним как был получен закон сохранения КБЛ [25].
Для лагранжиана
которое затем преобразовано в закон сохранения (см. (1.29) в лекции 1):
Если в процессе преобразований (4.34) не использовать уравнений Эйнштейна и не везде явно представлять , то вместо (4.35) мы получим тождество
где суперпотенциал как и прежде (см. (31) в лекции 1) имеет вид:
а ток в левой части (4.36) имеет более общий вид, чем в (4.35).
4.4.2 Тождество Нетер для полевого лагранжиана
Гравитационный лагранжиан в полевой формулировке (см. (4.26))
есть
явная форма которого
Теперь используем тождество Нетер
, чтобы преобразовать его к виду:
где
Вычтем из тождества (4.36) тождество (4.41), учтем равенство
связь (4.39), определение (4.42) и получим новое тождество:
представленное в терминах полевого подхода.
4.4.3 Суперпотенциал в полевой формулировке ОТО
Еще раз запишем общее уравнение полевой вормулировки:
где
Теперь, конечно, источник в (4.45) не является симметричным тензором энергии-импульса, соответствующим динамическому лагранжиану (4.25): . После подстановки уравнения (4.45) в тождество (4.43) получим:
Обсудим это уравнение. Прежде всего, это есть аналог уравнения КБЛ (4.35), здесь в правой части также стоит дивергенция теперь от нового суперпотенциала . Следовательно, левая часть есть сохраняющийся ток. В законе сохранения участвуют произвольные векторы и оно справедливо на произвольно искривленных фонах. Таким образом можно заключить, что построение (4.46) решает сразу первые три проблемы полевого подхода, отмеченные в предыдущей части.
Почему этот успех не был достигнут раньше? Оказывается было ошибочным предположение (для построения сохраняющегося тока на произвольном фоне) использовать источник в правой части (4.44), определенный стандартным образом в (4.30). Оказывается необходимо использовать возмущения . Отметьте также, что в левой части (4.46) содержится член взаимодействия с фоном, продекларированный качественно нами раньше [13]. Z-член в (4.46), как и везде, обращается в нуль для векторов Киллинга фона.
4.4.4 Сравнение результатов метода Нетер-Белинфанте и полевого подхода
Главным результатом лекции 2 было построение
закона сохранения (см. (24) в лекции 2):
а суперпотенциал представляет собой сумму КБЛ суперпотенциала и поправки Белинфанте:
Перепишем уравнение (4.46) в компактном виде:
где