![На первую страницу](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
<< Лекция 6. Нормальная Земля | Оглавление | Лекция 8. Фигура геоида >>
- 7.1 Формула Сомильяны
- 7.2 Нормальная сила тяжести
- 7.3 Вторые производные гравитационного потенциала
- 7.4 Вторые производные потенциала притяжения в околоземном пространстве
Лекция 7. Нормальное поле тяжести Земли
Формула Сомильяны. Нормальная сила тяжести. Вторые производные гравитационного потенциала. Локальное уравнение поверхности уровня. Кривизны и радиусы кривизны нормального сечения поверхности уровня. Вторые производные нормального потенциала. Первые и вторые производные гравитационного потенциала в околоземном пространстве.
7.1 Формула Сомильяны
Итальянский геодезист Сомильяна (Somigliana) в 1929 году получил точную формулу, показывающую распределение силы тяжести на уровенной поверхности эллипсоида вращения. Вопреки правилам русского языка эта формулa вошла в русскую литературу как формула Сомильяна, как если бы его фамилия была Сомильян. Мы будем склонять его фамилию, поэтому должны назвать его формулу именем Сомильяны.
Как мы видели, потенциал притяжения эллипсоида в
эллипсоидальных координатах имеет
вид (формула (6.17)):
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img478.gif)
Потенциал тяжести отличается тем, что аддитивно включает в себя центробежный потенциал
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img513.gif)
Таким образом
Учитывая, что
, получим
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img516.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img517.gif)
Для того, чтобы получить силу тяжести на поверхности эллипсоида ,
необходимо продифференцировать функцию
вдоль координатной линии
Элемент дуги в этом случае равен
, где
-- коэффициент Ламе,
который, в данном случае, равен
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img521.gif)
Таким образом, производную потенциала тяжести по нормали к поверхности
эллипсоида можно записать так
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img522.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img523.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img524.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img102.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img525.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img526.gif)
Теперь удельную силу тяжести на поверхности эллипсоида можно записать так
Мы получили искомую формулу для удельной силы тяжести на поверхности
уровенного эллипсоида. Однако нам необходимо избавиться от
постоянных
и
.
Заметим, что точка
,
соответствует полюсу эллипсоида, а
точка
,
-- экватору. Будем снабжать
обозначение для силы тяжести соответственно индексами
и е.
Из (7.2) получим
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img532.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img533.gif)
Теперь формулу (7.2) можно переписать следующим образом
Для того, чтобы получить формулу Сомильяны в окончательном виде, необходимо от эллипсоидальной системы координат перейти к геодезической. Сопоставим две системы координат для точек поверхности эллипсоида
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img535.gif)
где
(см. лекцию 2, раздел 2.4).
Поскольку ( понятия долготы в геодезической и эллипсоидальной системах
координат совпадают), поэтому
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img538.gif)
Отсюда
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img539.gif)
Имеем очевидные выражения для связи и
:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img540.gif)
После несложных упрощений, окончательно получим формулу Сомильяны
7.2 Нормальная сила тяжести
В геодезии и геофизике основной характеристикой гравитационного поля являются гравитационные аномалии, полученные как разность между наблюденным значением удельной силы тяжести и предвычисленным. Однако сравнивать эти значения можно только, в случае когда наблюденное и нормальное значения относятся к одной и той же точке пространства. В действительности же нормальную силу тяжести относят к общему земному эллипсоиду, а наблюденное -- к физической поверхности Земли. Такие аномалии в геодезии именуют смешанными аномалиями. Иногда наблюденное значение редуцируют, то есть вносят поправки, позволяющие вычислить значение силы тяжести в другой точке или на другой поверхности. При этом используют ту или иную гипотезу о строении верхних слоев Земли. В этом случае понятие гравитационные аномалии уточняют, например гравитационные аномалии в редукции Фая или гравитационные аномалии в редукции Гленни.
Итак, нормальное значение силы тяжести относят к общему земному эллипсоиду, которое можно вычислить по строгой формуле (7.4). Эта формула строгая лишь в том случае, когда поверхность эллипсоида есть поверхность уровня, чего в действительности нет. На практике в задачах геодезии и геофизики применяют приближенную формулу для нормальной силы тяжести. Причем численные значения коэффициентов, входящие в эту формулу, утверждают на Генеральной ассамблее Международного Союза геодезии и геофизики.
Вернемся к формуле Сомильяны. Упростим ее, отбрасывая малые величины порядка
куба сжатия. Введем в обращение понятия геометрического сжатия
и гравитационного сжатия
. Обе величины мы будем считать одного порядка малости. В
формуле Сомильяны мы должны заменить
величиной
, а вместо
взять
:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img545.gif)
Разлагая полученное выражение в степенной ряд относительно и
, будем иметь
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img547.gif)
Поскольку
,
полученная формула принимает вид
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img549.gif)
Итак, сила тяжести на поверхности эллипсоида вращения (уровенного) с точностью до малых второй степени относительно сжатия может быть представлена формулой
численные значения коэффициентов
определяются эмпирически.
На Генеральной Ассамблее
Международного Союза, состоявшейся в Москве в 1971 году
рекомендованы следующие значения (сила
тяжести -- в миллигалах)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img552.gif)
7.3 Вторые производные гравитационного потенциала
Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой точке пространства. Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке P направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с касательной к силовой линии.
Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести (удельной) можно записать следующим образом
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img553.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img554.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img555.gif)
В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними индексами
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img556.gif)
Вторые производные потенциала можно изобразить в виде квадратной матрицы
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img557.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img558.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img559.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2001/07/17/0001169819/img560.gif)
Остается 5 независимых элементов этой матрицы, которая представляет собой тензор вторых производных гравитационного потенциала.
Рассуждения можно продолжить и дальше, образуя третьи производные, четвертые и т.д. Но уже третьи производные нельзя изобразить в виде матрицы: это будет куб размером 3х3, который на двухмерном листе бумаги изобразить трудно. Совершенно невозможно изобразить в виде геометрических фигур производные более высоких порядков. Это будут тензоры высоких валентностей.
Эквипотенциальную поверхность в окрестности точки
можно аппроксимировать плоскостью -- это будет касательная плоскость --
эллипсоидом, гиперболоидом и другими поверхностями второго порядка.
В последнем
случае уравнение этой поверхности будет иметь вид
Уравнение касательной плоскости получим, отбрасывая в (7.7) квадратичную форму
где
. Величины
-- суть компоненты вектора силы тяжести. Изменяя постоянную
,
получим семейство плоскостей, параллельных той, что проходит через точку
P.
Для упрощения выкладок, часто направление местной геодезической системы
выбирают следующим образом: ось PX направляют на север,
ось PY -- строго на
восток, а ось PZ совпадает с вектором
силы тяжести и направлена вертикально
вниз. В этом случае
.
Уравнение(7.8) принимает вид
.
Обозначим приращение
высоты буквой
, получим формулу для вычисления приращения
потенциала
, которую часто называют формулой Брунса.
Определим кривизну нормального сечения уровенной поверхности
. Решим это уравнение относительно
переменной
:
.
Тогда радиус кривизны
в точке
по формуле Монжа
определяется формулой
,
где