После остановки двигателя ракета продолжает лететь, подобно выстреленному снаряду. Большую часть своего пути ракета дальнего действия проходит в безвоздушном пространстве.

Траектория полета на участке от точки выхода из атмосферы до точки повторного проникновения в нее может быть подсчитана с астрономической точностью.

При значении скорости до 11 180 м/сек траектория, как следует из астрономии, является эллипсом с фокусом в центре Земли.

Согласно второму закону Кеплера, радиус-вектор r из центра Земли к летящей ракете опишет в равные промежутки времени равные площади. Если обозначим через v начальную скорость полета (по отношению к центру Земли), α - угол между траекторией и горизонталью в месте выхода из атмосферы, t - время и F - площадь, описанную за время t радиусом-вектором (фиг. 27), то получим

*

Так как значения dF при одних и тех же dt должны оставаться постоянными, то для двух точек траектории получим (см. Фиг. 27):

Если обозначить через m массу тела, g - ускорение силы тяжести, то работа А, которая необходима для поднятия какоro-нибудь тела в поле действия земного тяготения на высоту dr выразится так:

dA = mgdr, (56)

причем, конечно,

dr = dh.

Далее,

Когда тело совершает подъем благодаря своей скорости, т.е. использованию своей кинетической энергии, то

и из (58) и (56а) следует:

Теоретически наиболее высокую точку траектории (r_max) и наиболее низкую (r_min) мы получим, если учтем, что в этих точках траектория горизонтальна, и поэтому можем принять cos α = 1

Тогда из (55а), (57) и (59) получим:

и, далее,

Знак плюс перед радикалом даст r_max, знак минус - r_min.

Подставляя v₁ = √2g₁r₁, получим r_max = ∞. Тело, которое брошено с Земли с такой скоростью, не вернется на Землю обратно, будет двигаться по параболе.

В целях упрощения введем новую величину

Тогда из (60) получим:

Большая ось эллипса равна сумме r_max и r_min, а половина большой оси

Линейный эксцентриситет

и численный эксцентриситет

Из аналитической геометрии известно, что

если р - параметр эллипса, а угол φ избран для r_min равным 180њ и для r_max - равным нулю. Отсюда

Из обоих равенств получим, имея в виду (е) и (b),

Для вычисления дальности стрельбы на поверхности Земли необходимо определить величину угла φ₂ - φ₁ который образуют радиусы, проведенные из центра Земли к ракете. Дальность стрельбы определяется из уравнения

так как

*

Это правильно, если φ выражается в радианах; если же φ выражается в градусах, то

Из уравнения (f) получаем:

Отсюда и из (е), (h) и (i) следует:

Таким образом дальность стрельбы зависит не только от х, но и от cos α. Она будет наибольшей при максимальном значении φ. Этот максимум можно определить, если принять

Из (к), (е) и (h) следует:

И это выражение обращается в нуль, если

Для наглядности на фиг. 28 показана кривая зависимости cos α от х*.

Таким образом получим

И если учесть, что cos² φ = 1 - sin² φ,

когда φ выражено в градусах, то

Это выражение становится мнимым, если х > 1, потому что тогда при горизонтальном выстреле ракета облетит всю Землю и вернется обратно в исходный пункт (если х не больше 2; в последнем случае ракета вообще не вернется на Землю). Следовательно, здесь нет смысла определять оптимальный угол выстрела.

Длительность полета ракеты. Приближенное значение длительности полета ракет дальнего действия можно быстро определить, если разделить длину пути на поверхности Земли на горизонтальную слагающую скорости ракеты в момент окончания работы двигателя*.

Точное значение длительности полета определяют по второму закону Кеплера. Постоянная площадь df/dt, которую описывает радиус-вектор в секунду, известна, и отсюда следует:

и

cледовательно,

Это выражение может быть проинтегрировано, если ввести новую переменную

*

Если учесть, что

*

то

Далее...

Расчет будет немного точнее, если φ определить из среднего значения угловой скорости, а √(1 - х) разложить в степенной ряд и отбросить высшие степени х. Например,
или

ω можно выразить так:

Это равенство записано неточно. Поскольку нуль лежит между φ₁ и φ₂, то, если считать, что положительное направление отсчета идет от φ₁ к φ₂, следовало бы написать

    или