Сила Р, действующая между двумя свободными массами m и ∆m, приводит обе массы в движение, причем направления их движений обратны друг другу. Если сила Р действует в течение τ сек., то она придает массе m скорость ∆v, а массе ∆m скорость с. Оказывается, что абсолютные значения этих скоростей обратно пропорциональны массам.
|
или |
|
Этот закон называется 'законом сохранения центра тяжести'. Если эти массы удержать в какой-нибудь момент движения и соединить невесомым стержнем (фиг. 12), то получится подобие гантели, центр тяжести которой S находится между m и ∆m. Обозначив расстояния от центров масс до центра тяжести через D и d, получим из законов механики
m ћ D = ∆m ћ d (a)
В течение какого-то времени t масса m проходит путь S = ∆v ћ t, а масса ∆m - путь S = ct. При умножении обеих частей уравнения (3) на t получим:
m∆v ћ t = ∆mc ћ t |
или |
m ћ S = ∆m ћ s (b) |
Сравнивая уравнения (а) и (Ь), получим, что d и D могут заменить s и S и наоборот, т.е. в любой момент времени точка, в которой первоначально находились обе массы, является общим центром тяжести. Если поместить массы m и ∆m в середине коромысла весов и приложить между ними силу, то, пока m и ∆m будут двигаться по коромыслу, оно останется в горизонтальном положении потому, что общий центр тяжести остается неподвижным.
Для того чтобы показать, что с и ∆v направлены в противоположные стороны, запишем уравнение (3) так:
m∆v = - c∆m |
или |
m∆v + c∆m = 0 (4) |
Принятый нами способ обозначения имеет то преимущество, что расчет становится независимым от абсолютной скорости и в каждый данный момент ракету можно предполагать неподвижной, а движущимся все остальное*.
Если ∆m исчезающе мало по сравнению с m, как одна молекула газа по сравнению со всей ракетой, то ∆v также весьма мало по сравнению со скоростью истечения с. Таким образом оказывается возможным перейти к дифференциальным обозначениям, и уравнение примет вид
c ћ dm = m ћ dv = 0 (5)
Идеальным является случай, когда ракета движется по прямой в безвоздушном пространстве, свободном от действия сил тяжести; в этом случае интегрирование может быть легко выполнено:
или |
|
(6)* |
Численные значения mo/m1 в зависимости от vx и с даны (в м/сек) в табл. 2.
Таблица 2
Значение идеальной конечной скорости весьма важно в теории ракет, так как эта скорость характеризует техническое совершенство ракеты и позволяет оценивать вносимые в ее конструкцию изменения. Здесь можно привести соответствующие примеры.
При высоких скоростях полета величина ln(mo/m1) приблизительно обратно пропорциональна скорости истечения с, но так как в этом случае ln(mo/m1) получает большие значения, то значительно проще увеличивать не mo/m1, а с.
Когда устройство, которое увеличивает мертвый вес ракеты, но повышает скорость истечения с, оказывается выгодным и когда нет?
Обозначим через М1 массу ракеты, не заполненной топливом, М0 - массу загруженной ракеты, η - массу устройства, которое должно увеличить скорость истечения, G - более высокую скорость истечения (под влиянием действия устройства) и с - меньшую скорость истечения. Идеальную конечную скорость обозначим через Vх в случае скорости С и через vx - в случае скорости с. Пусть будет V > v, если Vх > vx.
c (lnmo - lnm1) = vx;
C [ln(mo + η)- ln(m1 + η)] = Vx;
Если Vх > vx, то
c (lnmo - lnm1) < C [ln(mo + η)- ln(m1 + η)] = Vx
или окончательно
|
При незначительной величине отношения конечной и начальной масс и при одной и той же скорости истечения идеальная скорость vx приблизительно пропорциональна запасу топлива. Действительно, согласно (6) получается:
Это приблизительно равно vx/c если vx << c. Таким образом в данном случае при относительно большой загрузке получается выигрыш, даже когда скорость истечения имеет несколько меньшее значение.
Гоман* кладет в основу рассуждений не идеальную конечную скорость, а отношение масс mo/m1 которое необходимо было бы, чтобы ее достичь при скорости истечения с = 2000 м/сек. Преимущество принятой нами системы изложения заключается, во-первых, в том, что при расчетах идеальные скорости складываются, в то время как отношения масс должны перемножаться и, во-вторых, в том, что в поставленные требования с не входит; таким образом мы можем наиболее удобным образом сравнивать отдельные ракеты (см. гл. IX).
Сила тяги ракетного двигателя может быть получена также и из закона импульсов. Пусть Р - сила, dm/dt - расход горючего за единицу времени (dt настолько мало, что массу ракеты и поток газа можно считатьпостоянными), с - скорость истечения газов; тогда
|P ћ dt| = |c ћ dm| или P = c ћ dm/dt (7)
Поэтому также [см. формулу (5)]
b = bx - Q/m ; b = bx - dq/dt
где bx - идеальное ускорение, т. е. такое ускорение, которое получит ракета под действием реактивней силы в безвоздушном пространстве, свободном от сил тяготения.
Если идеальному ускорению противодействует сила Q, то тормозящее действие силы Q обратно пропорционально массе ракеты. Обозначим это замедление через dq/dt. Тогда
или
b ћ dt = bx ћ dt - dq
Здесь bdt - действительный прирост скорости за время dt, мы обозначим его dv; bxdt - приращение скорости при отсутствии силы тяжести в безвоздушном пространстве и поэтому обозначается через dvx.
Таким образом
bdt = dvx - dq (9)
Сложение отдельных приращений скорости даст действительную скорость v.
Таким образом интегрирование дает
v = vx - q
где q является суммой отдельных замедлений, или, что то же самое, величиной, на которую vx больше v.
В случае, когда направление прироста скорости dv составляет угол ε к направлению скорости (фиг. 13), скорость изменяется по величине только на слагающую dv cos ε, слагающая же dv sin ε действует лишь на изменение направления. Если нас интересует только скорость полета, а не направление движения, то мы получим ее из равенства
v = ∫ cos ε dv (10)
Особый случай, который встретится далее при расчетах 'синэргической" траектории, будет случаем, когда dvx действует в направлении v; q же составляет с этим направлением угол α. Если принять, что dq и dvx действуют в одном направлении, когда α = 0, то получим:
dv = dvx + cos α ћ dq
и
v = vx + ∫ cos α ћ dq (11)