Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.astronaut.ru/bookcase/books/isz/text/06.htm
Дата изменения: Sun Jun 2 12:46:15 2013
Дата индексирования: Fri Feb 28 05:50:29 2014
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: п п п п п п п р п р п р п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п
ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Некоторые принципиальные положения, используемые при расчете спутника

Для того чтобы искусственный спутник вращался вокруг земного шара по круговой орбите и не падал бы на ее поверхность, необходимо на основании начала Даламбера, чтобы его вес на заданной высоте орбиты был равен центробежной силе. Обозначив через:
m - массу спутника;
Vкр - его окружную скорость, направленную по касательной к орбите;
R0 - радиус земного шара;
r - радиус орбиты спутника;
g и g0 - ускорение силы тяжести соответственно на высоте h = r - r0 и у поверхности Земли, - получим, пренебрегая притяжением Солнца и планет, сопротивлением атмосферы и нецентральностью потенциала земного тяготения, простое математическое выражение сформулированного выше условия:

Из этого равенства нетрудно определить скорость Vкр, которой должен обладать спутник для того, чтобы вращаться вокруг Земли на высоте h:

.

Подставляя в это выражение величину

,

так как ускорение силы земного тяготения по мере удаления от ее поверхности убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли, получим окончательно:

.

В общем случае при движении спутника вокруг Земли по эллиптической траектории скорость его в любой точке этой траектории будет определяться равенством:

,

где а является большой полуосью эллипса.
Следовательно, чем выше над поверхностью Земли будет располагаться траектория спутника, тем меньшую окружную скорость Vкр ему надо будет иметь. Наибольшее значение окружной скорости получим у поверхности Земли, когда r = r0. Подставляя численные значения:
g0=9,81 м/сек2 и r0=6,378*106 м, получим:

м/сек.

Если бы у поверхности Земли при этом отсутствовала атмосфера, то, сообщив некоторому телу горизонтальную скорость 7912 м/сек, можно было бы получить искусственный спутник Земли, вращающийся по круговой орбите у самой ее поверхности. Эту скорость иногда называют 'первой космической скоростью'. Но в реальных условиях плотные слои атмосферы у поверхности Земли, разумеется, немедленно затормозят движение такого спутника, и он, потеряв скорость, неизбежно упадет на поверхность Земли.
По мере подъема на высоту плотность земной атмосферы довольно быстро убывает. Так, например, на высоте 50 км плотность ее составляет всего лишь одну тысячную долю значения плотности у поверхности моря, а на высоте 100 км - менее одной миллионной.
Однако, как показывают соответствующие расчеты, даже одной миллионной доли ее значения у земной поверхности достаточно для того, чтобы заметно тормозить свободный полет спутника Земли на высотах порядка 100 км.
Если представить себе спутник, выполненный в виде шара, с нагрузкой на площадь миделя (миделем называется наибольшее поперечное сечение осесимметричного тела), равной 200 кг/м*2, то на высоте 200 км он сумеет продержаться всего лишь около двух с половиной суток, после чего скорость его станет значительно меньше требуемой для круговой орбиты, спутник начнет снижаться в более плотные слои атмосферы и там, быстро потеряв скорость, упадет на Землю.
Поэтому можно предполагать, что создание искусственных спутников Земли будет целесообразно лишь на высотах более чем 200 км.
На высотах же порядка 100 км придется, очевидно, осуществлять спутники с очень небольшой дополнительной (маршевой) тягой, уравновешивающей сопротивление среды. Такие спутники с небольшой тягой предложено называть 'сателлоидами'.
Для того чтобы запустить искусственный спутник Земли, необходимо будет не только сообщить ему окружную скорость Vкр, определяемую вышеприведенным равенством, но и затратить некоторую работу на подъем его с поверхности Земли до заданной высоты h.
Эту работу подъема Th можно определить как разность потенциальной энергии тела при нахождении его у поверхности Земли и потенциальной энергии этого тела на высоте h.
Мерой потенциальной энергии в этом случае (в поле гравитационных сил) будет служить произведение веса mg тела на данном уровне на его удаление r от центра Земли.
Тогда на поверхности Земли потенциальная энергия тела, обладающего массой m, будет равна mg0r0, а на высоте h=r-r0 определится равенством:

,

Разность этих двух значений потенциальной энергии будет равна:

Следовательно, такую работу Тh надо будет затратить на то, чтобы поднять спутник, обладающий массой m, с поверхности Земли на высоту h.
Выражая работу Th через некоторую скорость Vh, определяемую равенством

,

получим:

.

Таким образом, полная затрата энергии Тх на то, чтобы поднять спутник, обладающий массой m, с поверхности Земли на высоту h и сообщить ему там скорость Vкр будет равна сумме:

.

Если эту суммарную работу Тх выразить также через некоторую характеристическую скорость Vx, определяемую аналогично скоростям Vкр и Vh выражением:

,

то после сокращения написанного равенства на m:2 и подстановки значений скоростей Vкр и Vh получим:

,

или, подставляя в первый радикал численные значения постоянных величин g0 и r0, окончательно будем иметь:

.

При r=r0 скорость Vx становится равной (Vкр)0 у поверхности Земли, то есть 7912 м/сек - 'первой космической скорости', так как при этом условии никакой работы на подъем спутника не расходуется. При r стремящемся к бесконечности скорость Vx стремится к 11 190 м/сек.
Тело, получившее такую скорость у поверхности Земли, способно будет удалиться от нее на бесконечно большое расстояние. Эту скорость именуют иногда 'второй космической скоростью'.
Промежуточные значения Vкр и Vx для различных высот h представлены в таблице 2 и показаны на рис. 13.

Рис. 13. График изменения круговой скорости V<sub>кр</sub> полета спутника Земли и его характеристической скорости V<sub>х</sub> в зависимости от высоты расположения круговой орбиты над поверхностью Земли

Рис. 13. График изменения круговой скорости Vкр полета спутника Земли и его характеристической скорости Vх в зависимости от высоты расположения круговой орбиты над поверхностью Земли

Так, например, для того чтобы получить спутник, вращающийся вокруг Земли на высоте 200 км, ему необходимо сообщить, как минимум, работу, определяемую характеристической скоростью Vx=8031 м/сек. В реальных условиях разгона спутника ракетой потребуются еще некоторые дополнительные затраты энергии на преодоление силы сопротивления воздуха в плотных слоях атмосферы, на преодоление силы земного тяготения в период разгона спутника ракетой и, наконец, на последовательное изменение направления скорости полета спутника.

Таблица 2

Высота h, км Круговая скорость Vкр, м/сек Характеристи- ческая скорость Vx, м/сек Сидерический период обращения
час. мин. сек.
0 7912 7912 1 24 25
200 7791 8031 1 28 25
300 7732 8088 1 30 27
400 7675 8142 1 32 29
500 7619 8194 1 34 32
1000 7356 8431 1 45 02
2000 6903 8806 2 07 09
4000 6203 9312 2 55 17
6000 5679 9640 3 48 18
∞ 0 11190 0 0 0


Эти дополнительные работы могут быть оценены некоторыми добавками к характеристической скорости Vx, которые в сильной степени зависят от выбранной для спутника программы набора скорости и от формы траектории его подъема на заданную высоту.
Численные расчеты показывают, что для реальных соотношений веса, ускоряющей силы и габаритов спутника сумма этих дополнительных скоростей может быть доведена до 10 - 15% от значения величины характеристической скорости.
Таким образом, учитывая реальные условия подъема и разгона спутника, эта скорость Vx должна быть увеличена на 10 - 15% по сравнению с ее теоретическим значением. Если скорость Vx была определена порядка 8 км/сек, то в реальных условиях она должна быть увеличена примерно до 9 км/сек.
Исходя из этой последней величины скорости, могут уже определяться энергетические ресурсы, необходимые для запуска искусственного спутника Земли.
Наиболее реальным современным летательным аппаратом, способным обеспечить получение скоростей полета порядка 8 - 9 км/сек, является ракета.
Скорость полета ракеты в условиях отсутствия сил тяготения и сопротивления среды определяется известной формулой Циолковского:

,
где Vz обозначает скорость полета ракеты, определяемую формулой Циолковского; и - скорость отброса частиц топлива из ракеты или, как ее было предложено называть, 'эффективная скорость' истечения, а величина z, стоящая под знаком натурального логарифма, есть отношение начальной массы ракеты к ее конечному значению, именуемое обычно 'числом Циолковского'.
Скорость и отброса топлива из ракеты определяется обычно опытным путем.
Измеряя на огневом стенде одновременно тягу Р ракетного двигателя и потребляемое им количество топлива W, расходуемого из ракеты ежесекундно, находят их соотношение или так называемую удельную тягу:

Это первостепенной важности соотношение показывает, сколько килограммов тяги на протяжении одной секунды может дать ракетный двигатель на каждый килограмм расходуемого им топлива.

Рис. 14. Зависимость скорости V<sub>z</sub> полета ракеты, определенной по формуле Циолковского от отношения z (числа Циолковского

Рис. 14. Зависимость скорости Vz полета ракеты, определенной по формуле Циолковского от отношения z (числа Циолковского

Умножив Руд на ускорение земного тяготения g0=9,81 м/сек2, получим скорость в м/сек отброса топлива из ракеты, которую необходимо подставить в формулу Циолковского. На рис. 14 приведен график, показывающий связь между Руд, величиной z и скоростью Vz.
Современные ракетные двигатели обеспечивают Руд порядка 250 [кг сек/кг]. Поэтому для получения скорости 9 км/сек необходимо у ракеты обеспечить число Циолковского z~40.

Для одноступенчатой ракеты это означает, что начальный вес ее с топливом должен быть в 40 раз больше веса пустой ракеты, после того как из нее израсходуется все топливо. Конструктивно пока это еще не удается осуществить. В лучшем случае удается сделать предельно облегченную конструкцию одноступенчатой ракеты с отношением z~6. При этом вес полезного груза ракеты получается обычно порядка 2% от ее начального (стартового) веса.
Таким образом, стремясь получить большие скорости полета ракет, приходится, как это и предсказывал К.Э.Циолковский, неизбежно переходить к конструкции ступенчатых (составных) ракет.
На рис. 14 вертикальные линии с односторонней штриховкой указывают реальные в настоящее время границы областей применения ракет с различным числом ступеней.

Рис. 15. Схема ступенчатой ракеты [по Вертрегту]

Рис. 15. Схема ступенчатой ракеты [по Вертрегту]

Существует много методов расчета ступенчатых ракет, однако большинство из них страдает сложностью, отсутствием наглядности, запутанностью терминологии и определений. Недавно в журналах Британского межпланетного общества была опубликована методика расчета ступенчатых ракет, предложенная голландским инженером Вертрегтом, которую следует признать наиболее удачной. Он предложил построить методику расчета составной ступенчатой ракеты всего лишь на определении четырех весов такой ракеты и трех соотношениях между ними, которые оказываются достаточными для выполнения большинства основных расчетов различных типов ступенчатых ракет.
На рис. 15 представлена схема ступенчатой ракеты по Вертрегту и показаны обозначения принципиальных составных частей ее.
По этой схеме ракета разбивается на полезный груз, ступени и субракеты.

Полезный груз ракеты может состоять из инструментов или людей, включая сюда также несущую конструкцию и оболочку, поддерживающую и предохраняющую их в полете.
Ступень ракеты состоит из топлива, расходуемого ракетой в период действия данной ступени до ее отделения; емкостей (баков), содержащих это топливо; двигателей; арматуры и приборов управления, если таковые имеются в отделяющейся ступени, а также из оболочки и ее несущей силовой конструкции. Субракетой называется такое сочетание полезного груза и ступеней ракеты, в котором одна из ступеней является рабочей (действующей), а все остальные ступени, продолжающие полет вместе с полезным грузом составной ракеты, являются как бы 'полезным грузом' для данной субракеты. Предложено нумеровать ступени и субракеты в восходящем порядке, начиная от вершины схемы, изображенной на рисунке, к ее основанию.
Тогда для субракеты 1 рабочей ступенью будет ступень 1, а 'полезным грузом' ее - полезный груз составной ракеты; для субракеты 2 рабочей ступенью будет ступень 2, а 'полезным грузом' ее - субракета 1 (то есть ступень 1 вместе с полезным грузом составной ракеты). Для субракеты 3 рабочей ступенью будет ступень 3, а 'полезным грузом' - субракета 2 и так далее.
Такое разграничение определений и обозначений отдельных основных частей составной ракеты очень просто; оно легко запоминается и позволяет избежать целого ряда ошибок, которые всегда возможны при отсутствии подобной четкой систематизации.
Четыре основных веса ступенчатой ракеты, подлежащие определению, будут следующие:
q - вес полезного груза ступенчатой ракеты.
Под этот вес проектируется и строится вся ракета. Поэтому он является наиболее важным весом в расчетах. Как уже указывалось выше, полезный груз состоит из инструментов или живых существ, помещаемых в ракету, силовой конструкции, несущей их, и оболочки, предохраняющей в полете.
ω -вес топлива, расходуемого из ступени.
В этот вес, обычно состоящий в основном из веса горючего и окислителя, должны быть обязательно добавлены веса вспомогательных компонентов, как, например, перекиси водорода, используемой для работы турбонасосного агрегата, катализатора сжатого газа азота, гелия и ряда других химикалий, расходуемых из данной ступени во время ее работы в полете.
Ω - 'сухой вес' ступени, то есть суммарный вес порожних баков, двигателей, турбонасосных агрегатов, клапанов и трубопроводов, несущей конструкции, оболочки, механизмов управления и т.п., то есть вес всего того, что имеется в данной ступени и вместе с нею отделяется от остальных частей ракеты в полете.
G - полный начальный вес субракеты.
Тогда, в соответствии с обусловленной выше индексацией отдельных составных частей ракеты, Gn, например, будет обозначать полный начальный вес всей ракеты, имеющей n ступеней; ω2 будет суммарный вес топлива, расходуемого, из второй ступени; Ω3 - 'сухой вес' третьей ступени и т. д.
На основе этих определений получается, что

Кроме этих данных четырех определений весов наиболее существенных частей ступенчатой ракеты, должны быть определены также три следующих соотношения их.
Во-первых, р - 'относительный' вес субракеты, то есть отношение полного начального веса субракеты к весу ее 'полезного груза'.
Таким образом:

Тогда Р - полный 'относительный' вес многоступенчатой ракеты, то есть отношение начального веса Gn n-ступенчатой ракеты к весу q ее полезного груза будет:

,

где знак обозначает произведение стоящих за этим знаком величин рi для всех значений i от 1 до n.
Величина Р является одним из наиболее важных соотношений многоступенчатой ракеты. В практике проектирования численное значение величины Р обычно не должно прево