СООТНОШЕНИЕ МАССА-РАДИУС ДЛЯ ТВЕРДЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ

(Перевод с сокращениями статьи MASS-RADIUS RELATIONSHIPS FOR SOLID EXOPLANETS)

Те, кому не интересно вникать в то, как и каким образом рассчитывались модели твердых планет, могут сразу переходить к результатам.

Абстракт.
Мы использовали новые модели внутреннего строения холодных планет для изучения зависимости радиуса твердых экзопланет от их массы, рассматривая планеты, состоящие в основном из железа, силикатов, воды и углеродных соединений. Мы нашли, что зависимость радиуса от массы для холодных планет любого состава с массой порядка массы Земли можно выразить с помощью степенного закона вот такой не слишком простой формы:

,
где Ms и Rs - безразмерные (приведенные) величины массы и радиуса (о них дальше). Эта функция является возрастающей, т.к. все обычные вещества, из которых могут состоять твердые планеты, имеют уравнение состояния, которое хорошо аппроксимируется модифицированной степенной функцией:

Здесь p0 - плотность при нулевом давлении, P - давление.

Мы нашли, что для выяснения состава твердых планет по измеренным массе и радиусу не нужны детальные модели внутреннего строения планет (учитывающие влияние температуры и фазовые переходы). Для твердых планет, не имеющих мощной атмосферы, мы также нашли, что:
- с 5%-ной погрешностью определив массу и радиус планеты, можно выяснить, сложена ли она преимущественно железом, силикатами или водяным льдом, но нельзя определить ее точный состав;
- что с 5%-ной погрешностью определив массу и радиус планеты, можно идентифицировать планеты, сложенные водяным льдом (содержание льда больше 25%);
- что минимальный размер среди планет данной массы будет у планеты, состоящей из железа;
что зависимость масса-радиус для углеродных планет перекрывается с аналогичной зависимостью для водно-силикатных планет из-за близких плотностей при нулевом давлении и похожих уравнениях состояния.
Мы предложили определение "суперземли", основанное на явном различии в радиусах между планетой с мощной атмосферой и без нее.

Введение
Модель
Уравнение состояния
Численные результаты
Общее соотношение масса-радиус для твердых планет
Обсуждение

Введение.
Растущее число и неожиданное разнообразие недавно открытых внесолнечных планет подвигло нас на изучение зависимости масса-радиус для твердых планет. Центральный вопрос, который мы себе задали - что мы можем сказать о составе экзопланеты, зная ее массу и радиус? Ответ на этот вопрос требует как численных моделей планетных недр, так и понимания настоящих ограничений и будущих перспектив точных наблюдений масс и радиусов планет.
Растущее число известных экзопланет включает в себя и несколько планет с интересными радиусами. Так, планета HD 149026 b имеет настолько малый радиус для своей измеренной массы, что должна иметь ядро с массой 60-70 масс Земли, или 2/3 ее полной массы. Другая планета GJ 436 b, имеющая массу, близкую к массе Нептуна, имеет и радиус, близкий к радиусу Нептуна (что было выяснено из транзитных наблюдений этой планеты). Неожиданное разнообразие экзопланет включает в себя 14 экзопланет с m sin i < 21 массы Земли, включая одну с массой 7.5 масс Земли и другую с массой 5 масс Земли, вращающуюся на внутреннем крае обитаемой зоны ее родительской звезды. Обзоры событий микролинзирования привели к открытию двух маломассивных планет: одну с массой около 5.5 масс Земли, и другую с массой около 13 масс Земли, находящихся на расстоянии около 2.5 а.е. от их родительских звезд, что говорит о широкой распространенности планет с массой порядка массы Нептуна.
Космические миссии дают нам дополнительный стимул для наших исследований. COROT (запущенный 27 декабря 2006 года) и KEPLER (запуск которого планируется на 2008 год) будут исследовать маломассивные экзопланеты методом изучения транзитов - т.е. проходов планеты по диску своей звезды. GAIA (запуск планируется на 2011 год) точно измерит расстояния до звезд (а значит, и звездные радиусы), что позволит также точно определить и радиусы транзитных планет. Наземная техника измерений лучевой скорости родительских звезд достигла высокой точности и сможет измерить массу большинства планет, которых откроют КОРОТ и Кеплер.
Для изучения вопроса, что мы можем сказать о составе экзопланеты по измеренным массе и радиусу, мы вывели теоретические зависимости "масса-радиус" для широкого диапазона масс экзопланет. Для исследования широкого диапазона масс и составов мы сделали одно важное упрощение: мы положили, что вся планета имеет одинаковую (и притом низкую) температуру. Эта аппроксимация одинаковой низкой температуры полезна как практическое упрощение, потому что для температур около 300К и для давлений ниже 200 Гигапаскалей для большого числа материалов уравнения состояния достаточно хорошо известны. При этом полные уравнения состояния при температурах, которое могут быть достигнуты в недрах массивных твердых планет, для интересующих нас материалов являются или вовсе неизвестными, или известными очень плохо. Особенно неуверенно определяются уравнения состояния в интервале давлений, лежащих выше пределов статических экспериментов сжатия (порядка 200 Гигапаскалей), но ниже аналитических законов высокого давления плазменной физики (> 10000 Гигапаскалей).

Мы взяли за основу фундаментальную работу Заполски и Салпитера (Zapolsky, H. S. & Salpeter, E. E. 1969, ApJ, 158, 809), которые вычислили зависимости масса-радиус для однородных сфер нулевой температуры, состоящих из простых веществ. Мы усовершенствовали их подход, используя более точное уравнение состояния при давлениях до 1000 Гигапаскалей. Мы расширили их подход: рассматривая более реалистичный состав планет; рассматривая дифференцированные планеты; исследуя эффекты не равной нулю температуры в изменении радиуса и массы; изучая возможные погрешности наблюдений в измерении массы и радиуса.
Эта работа служит дополнением к работам других авторов, работающих над физическими моделями маломассивных экзопланет. Детальные исследования Легера со товарищи (L`eger, A., Selsis, F., Sotin, C., Guillot, T., Despois, D., Mawet, D., Ollivier, M., Lab`eque, A., Valette, C., Brachet, F., Chazelas, B., & Lammer, H. 2004, Icarus, 169, 499) посвящены водным планетам и представляют детальную модель недр и атмосферы планеты с массой 6 масс Земли, которая состоит из воды (3 массы Земли), силикатной мантии (2 массы Земли) и железного ядра (1 масса Земли). Валенсия (Valencia, D., O'Connell, R. J., & Sasselov, D. 2006, Icarus, 181, 545) вычислил зависимость масса-радиус для "суперземель" и "супермеркуриев" (определяя их в своей работе как планеты массой 1-10 масс Земли и составом, подобным Земле, и планеты массой 1-10 масс Меркурия с составом, подобным Меркурию, соответственно). Ehrenreich со товарищи (Ehrenreich, D., Lecavelier des Etangs, A., Beaulieu, J.-P., & Grasset, O. 2006, ApJ, 651, 535) построили модель маленьких холодных экзопланет для изучения открытой с помощью микролинзирования планеты OGLE-2005-BLG-390 L b. Еще несколько товарищей исследовали зависимость масса-радиус для ледяных и каменных планет. Мы делаем более широкий обзор, чем вышеупомянутые работы, и используем более простые модели, чтобы охватить широкий диапазон составов и масс планет.
Мы описываем нашу модель в п. 2 и уравнения состояния в п. 3. В п. 4 мы представляем зависимость масса-радиус для однородных и дифференцированных планет и обсуждаем эффекты изменения фазового состояния и не равной нулю температуры. В п. 5 мы опишем общую зависимость масса-радиус, общую для всех твердых экзопланет, соответствующих нашим аппрокимациям. Мы обсудим границы применимости наших моделей в п. 6.

2. Модель.
Мы решали систему из трех уравнений для функций m(r) - масса в пределах радиуса r, P(r) - давление на расстоянии r от центра, p(r) - плотность сферической планеты на расстоянии r от центра:

здесь P(r) (уравнение 3) суть уравнение состояния, уникальное для данного конкретного вещества.
Были получены различные аппроксимации уравнений состояния, мы детально описываем их в п. 3. Для представленных здесь основных вычислений для твердых материалов мы пренебрегли температурной зависимостью в уравнении состояния и использовали экспериментальные данные, полученные для комнатной температуры. Важность температурного вклада в давление обсуждается в п. 4.2.2.
Мы численно интегрировали уравнения 1 и 2, начиная интегрирование из центра планеты (r = 0) и используя граничные условия: M(0) = 0, P(0) = Pcentral, где Pcentral - выбранное давление в центре планеты. Другим граничным условием мы использовали P(Rp) = 0. Выбором Pcentral как внутреннего граничного условия и внешнего граничного условия P(Rp) = 0 определяется радиус планеты Rp и полная масса планеты Mp = m(Rp).
Интегрирование уравнений 1 и 2 много раз для различных значений Pcentral обеспечивает зависимость масса-радиус для данного уравнения состояния.
Для дифференцированных планет, состоящих из нескольких веществ, мы определяли желательные доли массы ядра и каждой из оболочек. В этом случае мы интегрировали уравнения 1 и 2, как было описано выше, задавая Pcentral и другие граничные условия. Мы переключались от одного вещества к следующему, как только достигалась желательная доля массы (с учетом предположения о полной массе планеты). Так как раньше завершения данного интегрирования мы не знаем полную массу, к которой это интегрирование приведет, мы должны были сделать несколько попыток, чтобы получилась модель с желательным распределением вещества.
Мы протестировали нашу программу, пытаясь повторить кривые масса-радиус из работы Заполски и Салпитера, используя их уравнения состояния. Наши кривые масса-радиус отличаются от их кривых на несколько процентов.

3. Уравнение состояния.
Уравнение состояния описывает отношение между плотностью, давлением и температурой для данного вещества в условиях термодинамического равновесия. Поскольку мы рассчитывали модель без учета температурной зависимости, мы выбирали форму уравнения состояния, соответствующую комнатной или равной нулю температуре. Для давления P < 200 Гигапаскалей мы использовали ряды экспериментальных данных. Для P > 10000 Гигапаскалей, где становится определяющим давление вырожденных электронов, мы использовали теоретическое уравнение состояния Томаса-Ферми-Дирака.
За подробным изложением всей математики отсылаю читателя к оригинальной работе, там все подробно расписано.

4. Численные результаты.
Теперь мы опишем результаты решения уравнений 1-3, полученных с помощью выбранных нами уравнений состояния веществ.
Мы использовали нашу модель для исследования отношения масса-радиус для планет с массами 0.01-1000 масс Земли. Нижняя граница этого диапазона охватывает небольшие планеты вроде Меркурия, а также небольшие тела, подобные ледяным спутникам Юпитера и Сатурна. Верхняя граница соответствует массе в 13 масс Юпитера. Начиная с этой массы, самогравитация водородно-гелиевых тел становится достаточной для загорания в их недрах ядерных реакций с участием дейтерия или водорода, и такое тело уже не считается планетой (а считается коричневым карликом или звездой).

4.1. Отношения масса-радиус.
4.1.1. Однородные планеты.
Следуя за Заполски и Салпитером, мы сначала рассмотрели планеты однородного состава (состоящие из одного-единственного вещества). Эта искусственная ситуация поможет нам понять основные свойства соотношения масса-радиус для планет. На рисунке 4 показаны соотношения масса-радиус для однородных планет, состоящих из чистого водорода, водородно-гелиевой смеси (гелия 25% по массе), воды (льда), силиката магния (перовскита) и железа.

Рисунок 4. Графики соотношения масса-радиус для твердых планет. По горизонтальной оси отложены массы планет (в массах Земли), по вертикальной оси - радиусы планет (в радиусах Земли). Непрерывными линиями показаны соотношения масса-радиус для однородных планет: голубой - для водородных планет, синей - для планет из водного льда, красной - для планет из силиката магния, зеленой - для планет из железа. Пунктирными линиями показаны соотношения для неоднородных планет. Голубой точечной линией показано соотношение для планет из смеси водорода и гелия (гелия 25% по массе). Красной точечной линией показано соотношение масса-радиус для планет с железным ядром (70% по массе) и силикатной мантией (30% по массе), т.е. для аналогов Меркурия. Красной пунктирной линией показано соотношение для планет с железным ядром (32.5% по массе) и силикатной мантией (67.5% по массе), т.е. для аналогов Земли. Синей пунктирной линией показаны планеты следующего состава: 75% водяного льда, 22% силикатной мантии и 3% железного ядра. Синей пунктирно-точечной линией показаны планеты состава 45% льда, 48.5% силикатной мантии и 6% железного ядра, т.е. аналогов Ганимеда. Синей точечной линией показаны планеты с 25% льда, 52.5% силикатов и 22.5% железа. Синими треугольниками показаны планеты Солнечной системы. Слева направо: Марс, Венера, Земля, Уран, Нептун, Сатурн, Юпитер. Малиновыми квадратами показаны известные транзитные экзопланеты, в том числе GJ 436 b с радиусом 3.95 радиусов Земли и HD 149026 b с радиусом 8.14 радиусов Земли. Заметим, что для высоких масс становится важным давление вырожденных электронов. При этом радиус планет в большом интервале масс остается примерно постоянным, а при дальнейшем увеличении массы планеты даже немного уменьшается.

Все однородные планеты демонстрируют одинаковое поведение радиуса как функции массы. До масс планет, примерно равных 500 массам Земли (полторы массы Юпитера), радиус планет растет с увеличением их массы. В этом режиме в состоянии гидростатического равновесия силы притяжения уравновешиваются кулоновскими силами. Для больших масс давление в недрах планет становится достаточно большим для ионизации атомов. Для таких больших масс силы притяжения уравновешиваются давлением вырожденных свободных электронов, и чем больше массы мы добавляем к планете, тем больше она сжимается (уменьшается в размерах). Хотя планеты не являются полностью вырожденными (это достигается в недрах звезд белых карликов), давление вырожденных электронов действительно дает существенный эффект для отношения масса-радиус для массивных планет.
В работе Заполски и Солпитера детально обсуждается максимальный радиус для планеты данного однородного состава. Если предположить, что наш выбор охватывает все основные возможные вещества, слагающие планеты, то из рис. 4 мы можем сделать некоторые выводы о диапазоне размеров планет. Во-первых, соотношение масса-радиус для железных планет показывает, что у такой планеты будет минимальный радиус среди всех планет данной массы. Во-вторых, т.к. вода имеет наименьшую плотность среди всех материалов, которые мы изучали (за исключением водорода и гелия), водные (ледяные) планеты будут иметь максимальный радиус среди планет без мощной атмосферы.
Соотношения масса-радиус для планет однородного состава (рис. 4) могут быть использованы для выяснения основного вещества, из которого состоит планета. Используя Солнечную систему в качестве примера, из рис. 4 и 5 мы можем вывести, что Земля и Венера сложены в основном из смеси силикатов и железа, тогда как Меркурий сложен в основном из железа. Мы может также вывести, что Уран и Нептун не являются ни водородно-гелиевыми планетами, ни "каменными гигантами": они сложены преимущественно камнями и льдом и должны иметь небольшую, но мощную газовую оболочку. Юпитер и Сатурн лежат вблизи кривой водородно-гелиевых планет. Водородно-гелиевые недра горячих юпитеров демонстрируют эффекты высокой температуры и не могут хорошо быть описаны в модели холодных однородных планет. На самом деле, мы и не стремились моделировать в данной работе планеты-гиганты.
Рис. 4 показывает, что транзитная планета HD 149026 b должна содержать значительную долю элементов тяжелее водорода и гелия. Более детальные модели эволюции и внутреннего строения показывают, что HD 149026 b содержит около 70 масс Земли скального материала, что составляет 2/3 его полной массы. Планета GJ 436 b, имеющая массу 22.6 масс Земли и радиус 3.95 радиусов Земли, должна иметь мощную водородно-гелиевую атмосферу, поскольку ее радиус явно больше, чем радиус планеты из чистого водяного льда. Радиус планеты Gliese 876 d с массой 7.5 масс Земли не был измерен, но измерение радиуса с точностью 5% позволило бы определить, является эта планета преимущественно каменной, преимущественно ледяной или имеет мощную газовую оболочку.
Мы моделировали массивные твердые экзопланеты вплоть до массы 4000 массы Земли (13 масс Юпитера). Неизвестно, существуют ли они в природе. В стандартной теории образования планет массивные планеты сложены преимущественно водородом и гелием, масса их ядра не превышает 10 масс Земли. Случай HD 149026 b с массой ядра в 70 масс Земли показывает, что ситуация не столь простая. Массивные твердые экзопланеты с массой в сотни и тысячи масс Земли, возможно, формируются около массивных звезд (спектральных классов О и В, массой 5-120 масс Солнца), протопланетный диск вокруг которых содержит достаточно тяжелых элементов. Кроме того, эти звезды сильно излучают в ультрафиолетовом диапазоне и обладают мощным звездным ветром, что способствует фотоиспарению возникающего протопланетного газового диска, позволяя образоваться массивным планетам из оставшегося твердого материала.

4.1.2. Дифференцированные (неоднородные) планеты.
Все планеты Солнечной системы имеют несколько слоев разного состава. Эти планеты дифференцированы: более плотное вещество лежит ниже менее плотного. Мы рассмотрим дифференцированные планеты различного состава. Мы сосредоточимся на веществах, из которых сложены планеты и спутники Солнечной системы: железе, силикатах, водяном льде и водороде с гелием. Мы проигнорируем элементы, чья распространенность слишком низка для того, чтобы повлиять на радиус планет в рамках нашей модели.
Мы рассмотрели два типа дифференцированных, лишенных газа планет: железно-силикатные планеты и водные (ледяные) планеты. Эти планеты лишены мощной газовой оболочки, хотя могут иметь атмосферы, слишком тонкие для того, чтобы заметно повлиять на измеренный радиус планеты (Земля и Венера тоже попадают в их число). Рисунок 4 показывает соотношение масса-радиус для дифференцированных планет, лишенных газовой оболочки. Рисунок 5 показывает эти же соотношения, но с большей детализацией.
В общем и целом, радиусы дифференцированных планет (где более плотное вещество расположено ниже менее плотного) лежат между радиусами однородных сфер, состоящих целиком из более плотного или менее плотного вещества.

Рисунок 5. Соотношение масса-радиус для планет с радиусом меньше 4 радиусов Земли (т.е. лишенных мощной атмосферы). Цветные линии обозначают планеты того же состава, что и на рисунке 4: синие - планеты из водяного льда, красные - планеты из силиката магния, зеленые - планеты из железа. Черными крестами показаны 2%-ные и 10%-ные диапазоны погрешностей в определении массы и радиуса экзопланет. Каждый график показывает различный диапазон масс планет. Синими треугольниками показаны планеты земного типа Солнечной системы. Экзопланеты Gliese 876 d и Gliese 581 c показаны малиновыми квадратами на графике "с" - хотя их радиусы неизвестны, они показаны для представления уже известных маломассивных экзопланет. Планета GJ 436 b показана на графике d.

Мы исследовали железно-силикатные планеты, состоящие из железного ядра и мантии из силиката магния. Мы рассматривали планеты с долевой массой железного ядра, равной 32.5% (суперземли) и 70% (супермеркурии). Обращает на себя внимание, насколько хорошо массы и радиусы Меркурия, Венеры и Земли ложатся на линии холодных железно-силикатных планет, как это показано на рисунке 5.
Мы показали плотность как функцию радиуса для силикатных планет на рисунках 6а и 6б. Как и ожидалось, у более массивных планет более плотные ядра.

Рисунок 6. Внутреннее строение твердых экзопланет. На каждом графике сверху вниз показаны планеты с массами 50, 10, 5 и 1 земных масс. На графике "а" показаны планеты с массой железного ядра 32.5% и силикатной мантией 67.5% (аналоги Земли). На графике "b" показаны планеты с массой железного ядра 70% и силикатной мантией 30% (аналоги Меркурия). На графике "с" показано внутреннее строение водных планет с массой железного ядра 6.5%, силикатной мантии 48.5% и ледяной оболочки 45%. На графике "d" показана внутренняя структура двух планет одинаковой массы (6 масс Земли) и радиуса (2 радиуса Земли). Красной линией показана модель с соотношением железа/силикатов/льда как 17/33/50, а черной пунктирной линией - как 6.5/48.5/45 (аналогичная Ганимеду)

Мы назвали водными планетами твердые планеты, состоящие из воды более чем на 25%. Согласно этому определению, спутники Юпитера Ганимед и Каллисто также будут водными планетами.
Мы исследовали водные планеты с железным ядром и силикатной мантией. Мы рассматривали планеты с фиксированной долевой массой: ядра - 6.5%, силикатной мантии - 48.5% и воды - 45% (подобно спутнику Юпитера Ганимеду); 3% ядра, 22% мантии и воды 75%; 17% ядра, 58% - силикатной оболочки и 25% воды. Рисунок 6с показывает профили плотности как функции радиуса планеты для планет, на 45% состоящих из воды (льда).
Мы сравнили нашу модель суперземли (32.5% железное ядро + 67.5% силикатная мантия), с моделью, лучше всего описывающую Землю: ядро массой 32.5% из FeS (массовая доля серы в ядре 10%), и мантия, на 90% состоящая из (Mg,Fe)SiO3 и на 10% состоящая из MgO. Результат этой модели Земли, показанный на рисунке 7а, хорошо согласуется с нашей взятой за основу сравнения моделью суперземли. Замечательно, что наша простая модель отличается от реального радиуса Земли всего на 3%.

Рисунок 7. Соотношения масса-радиус твердых планет для иллюстрации эффектов фазовых переходов. Графики "a" и "b": сверху вниз непрерывные кривые показывают: планеты из чистого перовскита (MgSiO3), силикатная планета с ядром из эпсилон-железа массой 32.5%, силикатная планета с железным ядром массой 70%, планета из чистого железа. Пунктирные линии выше или ниже каждой из непрерывных кривых - соотношения масса-радиус, полученные из экспериментально полученных уравнений состояния без учета давления вырожденных электронов. Верхняя прерывистая линия показывает соотношение для силикатных планет, в недрах которых перовскит переходит в энстатит при давлениях ниже 10 Гигапаскалей. Малиновые квадраты показывают "суперземли", состоящие из 32.5%-ного ядра из FeS и 67.5% мантии, в свою очередь на 90% состоящей из (Mg,FeSiO3) и на 10% из MgO. Графики "c" и "d": сверху вниз непрерывные линии показывают водные планеты следующего состава в процентах железа/силиката магния/водяного льда: 0/0/100 (т.е. из чистого льда), 3/22/75, 6.5/48.5/45, 22.5/52.5/25. Точечные линии ниже каждой из непрерывных кривых - соотношения масса-радиус для планет с BME-уравнением состояния водного льда. Прерывистая линия показывает планеты из чистого водяного льда с жидкой водой при давлениях ниже 10 Гигапаскалей. Малиновые треугольники показывают соотношение масса-радиус для водных планет состава 17/33/50, иллюстрируя сходство (вырождение) решений с водными планетами состава 6.5/48.5/45.

Среди планет различного состава происходит дальнейшее вырождение решений для отношения масса-радиус. Например, кривые масса-радиус для планет, состоящие на 10% из воды и имеющие железное ядро с массой 27% и силикатной мантией 63%, частично перекрываются с кривыми масса-радиус для силикатных планет. Второй пример, если мы возьмем планету, подобную рассмотренной Легером (массой 6 масс Земли, из которых 1 масса Земли приходится на железное ядро, 2 массы Земли на силикатную мантию, и 3 масс Земли на лед), мы найдем, что полный радиус такой планеты всего на 0.5% будет отличаться от нашей модели планеты с железным ядром 6.5%, мантией 48.5% и льдом 45%. Несмотря на то, что полная масса и радиус таких планет будут одинаковыми, их внутренняя структура будет заметно отличаться, как и показано на рис. 7б.

4.1.3. Планеты с водородно-гелиевой газовой оболочкой.
Мы сейчас вернемся к обсуждению дифференцированных планет с мощной водородно-гелиевой оболочкой. Для простоты и последовательности мы использовали уравнение состояния для водорода и гелия с нулевой температурой. Низкотемпературное уравнение состояния для водородно-гелиевой смеси может описывать реальные планеты только плохо и несовершенно, но тут важен один момент. Поскольку низкотемпературное уравнение состояния всегда занижает объем, занимаемый газом, использование этого уравнения состояния ярко показывает, что добавление водородно-гелиевой оболочки драматически увеличивает радиус планет. Так, добавление 20% (по массе) водородно-гелиевой оболочки вдвое увеличивает радиус планеты.

Рисунок 8. Влияние водородно-гелиевой газовой оболочки на радиусы планет, показывающее, что даже небольшая по массе H/He оболочка вносит огромный вклад в радиусы планет. Линии на этом рисунке аналогичны линиям на рисунке 4. Малиновые квадраты суть планеты с фиксированной массой ядра, на 30% состоящего из железа и на 70% из силиката магния. Голубые квадраты показывают только массы и радиусы ядер. График "а" показывает планеты с фиксированной массой ядра, равной 5 (слева) и 10 масс Земли (справа). График "b" показывает планеты с фиксированной массой ядра, равной (слева направо) 20, 50 и 100 масс Земли. Эти графики еще недооценивают радиусы планет с H/He оболочкой, поскольку водород и гелий рассматривались при нулевой температуре, с учетом высокой температуры радиусы таких планет будут еще больше.

Рисунок 8 показывает отношения масса-радиус для планет с газовой оболочкой и фиксированной массой ядра. Ядра состоят на 70% из силиката магния и на 30% из железа. Показаны 5 случаев: планеты с фиксированной массой ядра в 5, 10, 20, 50 и 100 масс Земли. Величины на рисунке 8 показывают нижние пределы на радиусы, т.к. температурные эффекты сдвинут кривые налево и вверх, в сторону больших радиусов. На рисунке 8 мы также покажем радиус ядра водородно-гелиевых планет как функцию полной массы (ядро фиксированной массы плюс окружающая его водородно-гелиевая оболочка). Все планеты с мощной H/He оболочкой имеют радиусы большие, чем однородные ледяные планеты. Поэтому планеты даже с относительно небольшой долей массы водорода и гелия можно отличить от планет с тонкой газовой оболочкой (рисунок 8). Например, Уран и Нептун, как считается, на 10% состоят из водорода и гелия. При этом Уран и Нептун более чем в 2 раза больше, чем планеты этой же массы, но состоящие из ядра без водородно-гелиевой оболочки.
Мы предлагаем называть планеты без мощной газовой оболочки (т.е. планеты, лежащие ниже линии чисто ледяных планет) - суперземлями.

4.1.4. Нестандартные планеты - планеты из углерода и гелия.
Сейчас мы рассмотрим планеты, чей состав резко отличен от состава планет Солнечной системы, и начнем с углеродных планет. Предварительно мы представим идею углеродных планет, т.е. планет, более чем на 50% состоящих из углерода. Углеродные планеты могут сформироваться в области пространства, где отношение углерода к кислороду C/O > 1 в противоположность солнечному содержанию этих веществ, где C/O = 0.5. При C/O > 1 из газовой фазы конденсируются совсем другие вещества, чем при C/O < 1 (химическое равновесие смещается). Например, доминирующим веществом, содержащим кремний, становится карбид кремния SiC (вместо силикатов, где кремний связан с кислородом). Такие богатые углеродом области могут образоваться или при локальном обилии углерода и/или при недостатке воды в протопланетном диске. Они могут также встречаться в протопланетном диске, для которого общее отношение C/O > 1, подобно диску, из которого сформировались планеты пульсара PSR 1257+12, или хорошо известному осколочному диску вокруг звезды Бета Живописца.
Углеродные планеты до сих пор неизвестны. Детали состава таких планет будут зависеть от температуры, состава и отношений содержания различных элементов в протопланетном диске. Наиболее вероятно образование карбида кремния и графита (этот вывод основан на наблюдениях состава атмосферы углеродных звезд).
Мы вычислили соотношение масса-радиус для трех различных видов углеродных планет. Первый вид включает в себя железное ядро и мантию из карбида кремния. Второй - железное ядро и мантию из графита. И наконец, третий тип состоит из чистого угарного газа CO. Планеты из угарного газа могут формироваться в звездном диске, составленном из вещества CO-белого карлика, разодранного его более массивным звездным компаньоном.
Главный результат наших вычислений состоит в том, что отношения масса-радиус для углеродных планет перекрываются с аналогичной величиной водно-силикатных планет. Это происходит оттого, что плотность при нулевом давлении для карбида кремния (3.22 г/куб.см) близка к аналогичной величине для силиката магния (4.10 г/куб.см). При этом плотность при нулевом давлении графита (2.25 г/куб.см) примерно в 2 раза больше плотности льда VII (1.46 г/куб.см), так что графитовая планета с железным ядром будет иметь примерно ту же среднюю плотность, что и водная планета с железным ядром и силикатной мантией. Кривая масса-радиус для планет из угарного газа также перекрывается кривой масса-радиус для водных планет с железным ядром и силикатной мантией. Наши "угарные" планеты имеют ту же среднюю плотность, что и планеты из водяного льда, потому что их плотности при нулевом давлении близки. Точные отношения масса-радиус для угарных планет должны строиться с учетом температуры и более точного уравнения состояния, нежели то, что мы применили.
Мы также вычислили отношение масса-радиус для чисто гелиевых планет. Мы снова использовали уравнение состояния гелия при нулевой температуре, чтобы не вводить свободный параметр, основанный на неизвестной энтропии планеты. Поэтому отношение масса-радиус для гелиевых планет получилось приблизительным. Планеты, состоящие преимущественно из гелия, могут формироваться из маломассивных белых карликов. Например, гелиевые планеты, возможно, могут формироваться в одном из типов симбиотических двойных систем, называемых системами типа AM CVn (AM Гончих Псов), состоящих из двух гелиевых белых карликов, окруженных общим гелиевым аккреционным диском, сформированным веществом, перетекающим с менее массивного белого карлика на более массивный. После потери большей части своей массы остаток белого карлика может попасть в область планетных масс.

4.2. Фазовые переходы и температурные эффекты.
В реальных планетах происходят фазовые переходы, а температура в их недрах поднимается гораздо выше 300К. Здесь мы исследуем влияние фазовых переходов и высокой температуры на массу и радиус планет. В то время как модели, учитывающие фазовые переходы и высокую температуру, куда более реалистичны, чем наши простые модели, они усложняют внутренние граничные условия и обязательно попадают в область параметров, где уравнения состояния известны плохо. Смотрите работы Легера, Валенсии, Селсиса и Сотина (L.eger, A., Selsis, F., Sotin, C., Guillot, T., Despois, D., Mawet, D., Ollivier, M., Lab`eque, A., Valette, C., Brachet, F., Chazelas, B., & Lammer, H. 2004, Icarus, 169, 499); Valencia, D., O'Connell, R. J., & Sasselov, D. 2006, Icarus, 181, 545; Selsis, F., Chazelas, B., Borde, P., Ollivier, M., Brachet, F., Decaudin, M., Bouchy, F., Ehrenreich, D., Griessmeier, J. ., Lammer, H., Sotin, C., Grasset, O., Moutou, C., Barge, P., Deleuil, M., Mawet, D., Despois, D., Kasting, J. F., & Leger, A. 2007, ArXiv Astrophysics e-prints; Sotin et al. (2007); Valencia et al. (2007b)) и др., где рассмотрены модели маломассивных планет с учетом фазовых переходов и температуры для некоторых типов планет.

4.2.1. Фазовые переходы.
В этом разделе мы покажем, что фазовые переходы при невысоком давлении мало влияют на кривые масса-радиус планет. Невысокими считаются давления меньше 10 Гигапаскалей. Далее мы обсудим фазовые переходы некоторых ключевых веществ индивидуально.
Вода.
Мы начнем исследование с рассмотрения фазового перехода жидкой воды в лед. При комнатной температуре модуль объемного сжатия K0 жидкой воды по порядку величины меньше, чем K0 для льда VII. Кроме того, плотность жидкой воды и льда VII отличаются на 50%. Несмотря на эти значительные различия в физических свойствах, важно помнить, что жидкости - плохо сжимаемые вещества, и мы ожидаем, что они ведут себя скорее как твердые вещества, нежели как газы под высоким давлением. Чтобы исследовать эффект присутствия жидкой воды для водной (ледяной) планеты, мы предполагаем, что жидкая вода будет присутствовать при давлении ниже 10 Гигапаскалей. Чтобы оставаться жидкой при таком высоком давлении, ее температура должна быть порядка 650К. Рассмотрим разницу между планетой из чистого водяного льда и планетой с жидким океаном. Мы нашли, что для планет в диапазоне масс от 1 до 4 масс Земли разница в радиусе чисто ледяной планеты и планеты с жидким океаном не превышает 3%. Для планет с массой больше 5 масс Земли эта разница становится меньше 1%.
Силикаты.
Теперь мы рассмотрим фазовый переход в наших планетах из силиката магния между перовскитом и энстатитом. Мы приняли, что при давлениях меньше 10 Гигапаскалей силикат магния находится в виде энстатита. Разница между модулем упругости и плотностью при нулевом давлении для перовскита (фазы высокого давления) и энстатита (фазы низкого давления) оказывается меньше разницы между водой и льдом и составляет меньше 1%. Соответственно, радиус планеты из чистого перовскита и планеты, в недрах которой силикат магния переходит в энстатит при давлении ниже 10 Гигапаскалей, отличается менее чем на 1% (см. рис. 7).
Железо.
Теперь мы рассмотрим фазовые переходы в железе. Фаза низкого давления у железа называется Fe(alfa). Fe(epsilon) и Fe(alfa) имеют одинаковые модули упругости K0 и K`0 (в пределах погрешностей измерений) и слегка отличаются только значениями плотности при нулевом давлении. Кроме того, Fe(alfa) существует только при давлении ниже 10 Гигапаскалей, тогда как в недрах дифференцированных планет железное ядро явно находится под большим давлением. Исходя из этих соображений, можно сказать, что фазовый переход в железе почти не влияет на радиус планет.

Фазовые переходы при высоком давлении.
Даже если существуют фазовые переходы при большом давлении (не рассмотренные здесь), мы ожидаем, что связанные с ними изменения уравнения состояния будут малыми, и полученные радиусы планет изменятся незначительно. Фазовые переходы являются следствием перестановки атомов в структуре кристалла и связанных изменений в химических связях. По мере роста давления атомы упаковываются все более и более эффективно, и важность узоров химических связей значительно падает. Например, при давлении выше 100 Гигапаскалей постперовскитовая фаза силиката магния и перовскит имеют очень близкие значения модуля упругости и плотности при нулевом давлении (отличаются друг от друга на несколько процентов).
Однако мы предупреждаем, что хотя учет фазовых переходов не является необходимым для наших целей, необходимы теоретические расчеты для точного вычисления уравнения состояния при высоких давлениях (между 200 и 10000 Гигапаскалей), поскольку для множества случаев экстраполяция от экспериментальных данных (BME или Vinet EOS) не была сделана. Например, для ледяных планет с массой больше 10 масс Земли эффект экстраполяции экспериментальных данных без учета более точного уравнения состояния при высоком давлении становится значительным (рис. 7d).
При очень высоких давлениях становится применимым уравнение состояния Томаса-Ферми-Дирака. Для понимания, в каком диапазоне масс планет становятся важны эффекты Томаса-Ферми-Дирака, мы показали кривую масса-радиус, проигнорировав ионизацию давлением и давление вырожденных электронов (пунктирная линия на рис. 7).

4.2.2. Температура.
Температура мало влияет на радиус твердых экзопланет. Причина этого заключается в том, что плотность твердого тела относительно мало изменяется под действием теплового давления. При низком давлении структура кристаллической решетки вносит основной вклад в плотность материала, и вклад тепловых колебаний в плотность сравнительно мал. При высоком давлении природа плотно упакованных атомов предотвращает любые существенные структурные изменения под действием теплового давления. Кроме того, любое изменение средней плотности планеты фиксированного состава приводит к меньшему изменению радиуса планеты, поскольку радиус пропорционален кубическому корню из плотности. Некоторые авторы заявили (и показали на примере моделей), что температура не важна для получения полной массы и радиуса планеты.

Далее в оригинальной работе детально оценивается влияние температуры на плотность для трех главных материалов, которые здесь рассматриваются: воды, силикатов и железа. За подробностями я отсылаю всех желающих к оригиналу (стр. 7-8). Приведу только вывод:
Мы утверждаем, что даже для горячих гигантов, которые делают один оборот за несколько дней и чья поверхностная температура достигает 1000-2000К, вклад теплового давления в радиус остается малым.

5. Общее соотношение масса-радиус для твердых планет.
При взгляде на рисунок 4 проницательный читатель может заметить, что соотношения масса-радиус для различных планет имеют одинаковую форму, возможно, вызванную симметрией основных уравнений. Действительно, такая симметрия есть, как и общая форма функции соотношения масса-радиус, которую мы обсудим ниже. Эта общая форма справедлива для планет с массой меньше примерно 20 масс Земли.

5.1. Уравнение состояния в виде модифицированной степенной функции.
Наше общее отношение масса-радиус основано на одинаковой форме уравнений состояния для всех твердых веществ, которые мы рассматривали. Низкотемпературное (т.е. при постоянной температуре 300К) уравнение состояния твердых веществ мы рассматривали в виде функции
p = p0 + c Pⁿ (12)
В таблице 4 представлены параметры p0, c, n, наилучшим образом описывающие вещества в диапазоне давлений P < 10¹⁶ Па. Плотности, полученные посредством этой аппроксимации, отличаются от плотностей, полученных из рассмотрения более детальных уравнений состояния, которые мы использовали, на 2-5% для диапазона давлений P < 5 10⁹ и P > 10¹³ Па. В промежуточном диапазоне давлений расхождение менялось от 1 до 12%.
Подобие уравнений состояния для всех твердых веществ происходит из-за поведения химических связей под давлением. При низких давлениях химические связи между молекулами вещества могут противостоять давлению. Выше определенного давления энергия, переданная веществу, разрушает химические связи, и структура вещества радикально меняется. Граничное давление примерно равно модулю упругости материала. Для нашего простого аналитического уравнения состояния модуль упругости есть

Такое уравнение состояния называется модифицированным степенным уравнением состояния.

Степенное уравнение состояния записывается в форме

или ,
где Kp - константа, а m - индекс политропы.
Наше уравнение состояния отличается от степенного уравнения состояния добавлением константы p0, она учитывает приблизительную несжимаемость твердых тел и жидкостей при низких давлениях.

5.2. Безразмерные уравнения структуры планет.
Новое общее уравнение состояния включает в себя имеющие размерность величины p0 и c, что позволит нам записать уравнения 1 и 2 в безразмерной форме. Мы перенормируем переменные P, p, m и r, как это показано ниже, причем нижний индекс s относится к новым переменным:

где

и

В новых переменных уравнения структуры планет выглядят так:

Если на пальцах, то P1 - давление, при котором плотность вещества увеличивается вдвое по сравнению с плотностью при нулевом давлении, а m1 - масса планеты, при которой в центре достигается давление P1.

Рисунок 15 показывает безразмерные отношения масса-радиус, полученные численным решением вышеприведенных уравнений. Он показывает полную безразмерную массу планеты Ms как функцию безразмерного радиуса планеты Rs, где Rs определен из внешнего граничного условия P(Rs) = 0.
Безразмерные кривые масса-радиус зависят только от n. Мы отрисовали кривые для трех величин n: n = 0.513 (вода), n = 0.528 (железо) и n = 0.544 (силикаты). Эти величины n перекрывают диапазон поведения всех уравнений состояния, которые мы изучали.

Рисунок 15. Безразмерные соотношения масса-радиус для различных материалов. Безразмерная масса и радиус даны уравнениями 15 и 16. Эти безразмерные соотношения масса-радиус зависят только от индекса n из уравнения состояния в виде модицированной степенной функции (n = 0.513 соответствует воде, n = 0.528 соответствует железу, и n = 0.541 соответствет силикату магния). Для Ms < 4 форма всех трех функций практически одинакова. Черными квадратами показано приближенное аналитическое решение уравнения 39, которое справедливо при Ms << 1 и одинаково для всех n.

Решения ведут себя по-разному по разным сторонам от линии Ms = 1. Для Ms < 1 Rs всегда возрастает с ростом Ms и не зависит от n. Для Ms > 1 Rs сильно зависит от n и не обязательно возрастает с ростом Ms. Такое разное поведение происходит потому, что для Ms << 1 уравнение состояния редуцируется до ps = 1 (постоянная плотность), а при Ms >> 1 уравнение состояния переходит в степенную форму p = Pⁿ (свойственную газам).

В таблице 4 показаны некоторые значения m1, r1 и P1 для ряда уравнений состояния, основанных на величинах p0, n и c, представленных в таблице 3.

Таблица 3.

вещество	плотность p0, кг/куб.м	с, кг/(куб.м Па-n)	n
альфа-железо	8300	0.00349	0.528
силикат магния (перовскит)	4100	0.00161	0.541
(Mg,Fe)SiO3	4260	0.00127	0.549
водяной лед	1460	0.00311	0.513
графит	2250	0.00350	0.514
карбид кремния SiC	3220	0.00172	0.537

Пояснение к табл. 3. Для веществ, представленных в табл. 3, экспериментально измеренные уравнения состояния могут быть аппроксимированы формулой
Представленные здесь величины p0, c, n действительны для давлений меньше 10¹⁶ Па.

Для Ms < 4 безразмерное отношение масса-радиус может быть аппроксимировано формулой (23):

где k1 = 0.20945, k2 = 0.0804, и k3 = 0.394; эта аппроксимация описывает наши численные результаты с погрешностью менее 1%.
Для Ms > 4 безразмерный радиус становится сильной функцией n. Однако мы можем использовать аналитическую функцию 23 для описания безразмерного соотношения масса-радиус и при больших массах, вплоть до Ms ~ 40, если будем использовать величины ki для различных материалов, представленные в таблице 4. Уравнение 23 и перенормированные параметры в таблице 4 являются удобным резюме результатов данной работы для однородных планет.

Таблица 4.

вещество	m1 (масс Земли)	r1 (радиусов Земли)	P1 (Гигапаскалей)	k1	k2	k3
альфа-железо (уравнение состояния - модифицированная степенная функция)	5.80	2.52	1192	-0.209490	0.0804	0.394
силикат магния (перовскит) (уравнение состояния - модифицированная степенная функция)	10.55	3.90	693	-0.209594	0.0799	0.413
водяной лед (уравнение состояния - модифицированная степенная функция)	5.52	4.43	114	-0.209396	0.0807	0.375
альфа-железо	4.34	2.23	-	-	-	-
силикат магния (перовскит)	7.38	3.58	-	-	-	-
водяной лед	8.16	4.73	-	-	-	-
Fe (0.325)/MgSiO3 (0.675)	6.41	3.19	-	-	-	-
Fe (0.7)/MgSiO3 (0.3)	6.41	2.84	-	-	-	-
Fe (0.225)/MgSiO3 (0.525)/ H2O (0.25)	6.41	3.63	-	-	-	-
Fe (0.065)/MgSiO3 (0.485)/ H2O (0.45)	6.88	4.02	-	-	-	-
Fe (0.03)/MgSiO3 (0.22)/ H2O(0.75)	7.63	4.42	-	-	-	-

Пояснение к табл. 4. Здесь представлены коэффициенты для безразмерных соотношений из уравнения 23. Коэффициенты дают возможность получить безразмерные величины массы, радиуса, давления и плотности. См. уравнения 13-16. Три первые строки таблицы дают дополнительно параметры соотношения масса-радиус, вычисленные для уравнений состояния в виде модифицированной степенной функции; они включают в себя величины k1, k2, k3, необходимые для подстановки в уравнение 23, действительные для Ms > 4.

Может показаться, что безразмерные отношения масса-радиус неприменимы для дифференцированных планет, т.к. дифференцированные планеты состоят из материалов с различными уравнениями состояния. Мы нашли, однако, что радиусы дифференцированных планет хорошо описываются функциональной формой, показанной на рисунке 15, для Ms < 4 (т.е. до того, как безразмерные численные решения для различных веществ начнут отличаться друг от друга). Это обстоятельство дает нам возможность обобщить наши результаты на дифференцированные планеты. Для любой дифференцированной модели планеты мы можем назначить эффективные m1 и r1. Это позволит нам аппроксимировать все наши численно полученные соотношения масса-радиус одной формулой 23. В таблице 4 представлены несколько эффективных величин m1 и r1 для нескольких примеров дифференцированных планет. Мы вычислили эти величины, сравнивая кривые масса-радиус для дифференцированных планет (показанных на рисунке 4), с уравнением 23. Для нахождения приблизительного соотношения масса-радиус для любой данной планеты, надо отыскать m1 и r1 в таблице 4 и подставить эти числа в уравнение 23, используя k1 = 0.20945, k2 = 0.0804, и k3 = 0.394.
Перенормированные переменные помогают нам понять, почему отношения масса-радиус для твердых планет очень близки друг к другу для всех веществ, которые мы рассматривали, при Ms < 1. Сначала вспомним, что Ms = 1 определена как масса, при которой центральное, т.е. максимальное давление в центре планеты равно Ps = 1. Далее, для Ps < 1 (т.е., что то же самое, для Ms < 1) плотность (и безразмерная плотность) изменяется не более чем на 2.5%, если n меняется в диапазоне от 0.513 до 0.549. Следовательно, радиус изменится не более чем на 0.85% из-за того, что r ~ p-1/3.

5.3. Аналитическое решение безразмерного уравнения.
Здесь мы получим приблизительное аналитическое решение безразмерных уравнений структуры планет. Существование и форма решения демонстрирует нам, почему кривые масса-радиус для различных планет выглядят настолько похоже. Хорошее согласие (совпадение) между этим приблизительным решением и нашими вычислениями дает нам подтверждение нашим результатам.
(Для подробного изучения всей математики отсылаю к оригиналу, стр. 10)
На рисунке 15 сравнивается это приблизительное аналитическое решение с полным численным решением безразмерных уравнений, показывая, что наши вычисления правильны.

6. Обсуждение.
6.1. Погрешности наблюдений масс и радиусов экзопланет.
Мы сейчас обсудим погрешности наблюдений масс и радиусов транзитных экзопланет. Примем обычный диапазон погрешностей в определении массы и радиуса экзопланет в 2-10%. 10% - типичное значение погрешности при наблюдении экзопланет, возникающее из погрешностей измерений. Вновь открытые транзитные экзопланеты вызывают большой интерес и наблюдаются с помощью крупных телескопов и/или множество раз для более точного определения массы и радиуса, чем это было сделано в момент открытия. Если ошибки измерения не являются главным фактором погрешностей в определении массы и радиуса, тогда этим фактором являются погрешности в определении массы и радиуса родительских звезд. Это происходит оттого, что массы и радиусы экзопланет определяются не прямо, а вычисляются из величин, включающих в себя отношения Mp/Mзвезды и Rp/Rзвезды. Отметим, что звездный шум предполагается малым, погрешности в измерении звездной массы и радиуса возводят погрешность в квадрат.
Наша 2% оценка погрешности в определении массы и радиуса экзопланет основана на оптимистической 2%-ной оценке погрешности в определении массы и радиуса родительских звезд, которая станет возможна для миллионов звезд в недалеком будущем. Это станет возможно после точного измерения расстояний до звезд и точного измерения их блеска космической миссией GAIA (запуск планируется на 2013 год). На практике радиус звезды может быть выведен непосредственно из блеска звезды и расстояния до нее. По контрасту с нашим наилучшим (2%) сценарием в настоящее время типичные погрешности в определении звездной массы и радиуса составляют 5-10%. Эти значения звездных масс и радиусов выводятся из эволюционных моделей внутреннего строения звезд, соответствующих наблюдаемым спектрам звезд. Если фотометрия достаточно хороша, погрешность в несколько процентов в определении масс и радиусов звезд и транзитных планет может стать делом обычным.
Отметим, что другой метод, интерферометрия, может измерять радиусы звезд непосредственно, но текущие погрешности этого метода гораздо выше 2%, и сам метод ограничен малым числом ближайших звезд.
Определение массы маломассивных планет с помощью наземного метода измерения лучевых скоростей родительских звезд требует сотен измерений. Поэтому определение массы для многих экзопланет может быть затруднено до тех пор, пока не будет готово некоторое число специализированных наземных телескопов. Из-за данных ограничений на наблюдательное время на больших телескопах и несовершенства текущих технологий, оптимистический диапазон будущих погрешностей в определении масс составит 5-10% для масс меньше 20 масс Земли. С текущей технологией и из-за слабости родительских звезд много маломассивных экзопланет, открытых в ходе транзитных обзоров (КОРОТ и Кеплер) останутся вообще без определения массы.
Как пример того, что нужно для обнаружения планеты с массой Земли на 50-дневной орбите вокруг одной из ярчайших солнцеподобных звезд: специализированный 8-метровый телескоп, наблюдающий 5 ярчайших звезд на протяжении 5 лет. Планета с массой Земли, более удаленная от своей звезды (например, на орбите, подобной земной), вообще не может быть обнаружена современной техникой.

6.2. Возможные различия состава экзопланет.
Учитывая данные погрешности наблюдений, какие различия в составе экзопланет мы можем обнаружить? С 20%-ной погрешностью определив массу планеты, мы можем сказать только, является ли она сложенной преимущественно твердыми породами или обладает мощной газовой оболочкой подобно Урану и Нептуну.
Далее мы считаем, что мы в состоянии установить, что планета не имеет мощной атмосферы (газовой оболочки), которая внесла бы свой вклад в радиус планеты.
Измерив массу с 10%-ной погрешностью, мы можем быть в состоянии обнаружить большое количество воды или железа - если планета вдруг имеет очень низкую или очень высокую плотность при попадании в диапазон радиусов твердых планет.
При 5%-ной погрешности мы сможем различить планеты, сложенные преимущественно льдом, преимущественно силикатами или преимущественно железом. Эти планеты сравнительно легко разделяются на диаграмме масса-радиус (рисунок 4). Это разделение первично из-за низкой плотности льда, средней плотности силикатов и высокой плотности железа. Даже с 5%-ной погрешностью зная массу и радиус, невозможно определить точный состав вроде доли различных материалов в основном и дифференцированных слоях. Идентификация водных планет возможна при 5%-ной погрешности в знании массы и радиуса, если планета более чем на 25% массы состоит из водяного льда (при правдоподобном соотношении между железом и силикатами). При этой же погрешности можно идентифицировать водную планету с любым соотношением между железом и силикатами, если массовая доля воды в ней превышает 50%. Водные планеты должны существовать; в нашей Солнечной системе спутник Юпитера Ганимед на 45% по массе состоит из водяного льда. Планеты из водяного льда должны быть самыми легкими для обнаружения из твердых экзопланет, потому что они имеют самый большой радиус при данной массе (так, их радиус может в 3 раза превышать радиус Земли при массе в 20 масс Земли).
Мы отметим, что Валенсия пришел к тому же выводу, рассматривая возможный водный состав планеты Gliese 876 d с массой 7.5 масс Земли. Обнаружение неплотной ледяной планеты так далеко от снеговой линии, где эта планета должна была образоваться, было бы сильным свидетельством в пользу миграции планет.
При 2%-ной погрешности в знании массы и радиуса планеты мы могли бы определить не только основной состав планеты (лед/силикаты/железо), но и ограничить долевую фракцию каждого материала. Однако даже при 2%-ной погрешности остается много вариантов состава планет (решение оказывается вырожденным). Например, углеродная планета с силикатной мантией и железным ядром неотличима от силикатной планеты с маленьким железным ядром, или от планеты, имеющей небольшую (10%) долю воды поверх силикатной мантии и железного ядра. Другой пример, планеты с глубоким водным океаном (даже глубже 100 км) на планете любого типа невозможно идентифицировать при погрешности 2% в определении массы и радиуса. Это происходит оттого, что океан жидкой воды вносит малый вклад в полный радиус планеты.

В ближайшие 10 лет погрешности наблюдений планетных масс и радиусов вряд ли будут лучше, чем несколько процентов. Поэтому мы утверждаем, что детальные модели внутреннего строения экзопланет не нужны для определения общего состава экзопланет. Аналитическая форма, представленная в данной работе (уравнение 23), вместе с вычислением отношений, полученных из модельных кривых (в табл. 4), оказываются достаточными на ближайшее будущее. Исследование планетных атмосфер может информировать нас о внутреннем составе планеты, удаляя некоторые из решений, полученных для данного отношения масса-радиус. Поэтому, несмотря на наш вывод, что детальные модели внутреннего строения планет не нужны для определения общего состава планеты, мы указываем, что детальные модели внутреннего строения должны объяснять состав атмосфер планет. В свою очередь, наблюдения атмосфер экзопланет могут помочь нам больше вывести о внутреннем составе экзопланет. Измерения атмосфер могут также помочь нам обнаружить интересные особенности на планетах, такие как наличие глубокого жидкого океана. Влажная, полная водяного пара атмосфера была бы лучшим индикатором такого океана, чем масса и радиус экзопланеты, т.к. считается, что мы пока не можем идентифицировать глубоководные океаны исходя из отношения масса-радиус.