СООТНОШЕНИЕ МАССА-РАДИУС ДЛЯ ТВЕРДЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ

(Перевод с сокращениями статьи MASS-RADIUS RELATIONSHIPS FOR SOLID EXOPLANETS)

Те, кому не интересно вникать в то, как и каким образом рассчитывались модели твердых планет, могут сразу переходить к результатам.

Абстракт.
Мы использовали новые модели внутреннего строения холодных планет для изучения зависимости радиуса твердых экзопланет от их массы, рассматривая планеты, состоящие в основном из железа, силикатов, воды и углеродных соединений. Мы нашли, что зависимость радиуса от массы для холодных планет любого состава с массой порядка массы Земли можно выразить с помощью степенного закона вот такой не слишком простой формы:

,
где Ms и Rs - безразмерные (приведенные) величины массы и радиуса (о них дальше). Эта функция является возрастающей, т.к. все обычные вещества, из которых могут состоять твердые планеты, имеют уравнение состояния, которое хорошо аппроксимируется модифицированной степенной функцией:

Здесь p0 - плотность при нулевом давлении, P - давление.

Мы нашли, что для выяснения состава твердых планет по измеренным массе и радиусу не нужны детальные модели внутреннего строения планет (учитывающие влияние температуры и фазовые переходы). Для твердых планет, не имеющих мощной атмосферы, мы также нашли, что:
- с 5%-ной погрешностью определив массу и радиус планеты, можно выяснить, сложена ли она преимущественно железом, силикатами или водяным льдом, но нельзя определить ее точный состав;
- что с 5%-ной погрешностью определив массу и радиус планеты, можно идентифицировать планеты, сложенные водяным льдом (содержание льда больше 25%);
- что минимальный размер среди планет данной массы будет у планеты, состоящей из железа;
что зависимость масса-радиус для углеродных планет перекрывается с аналогичной зависимостью для водно-силикатных планет из-за близких плотностей при нулевом давлении и похожих уравнениях состояния.
Мы предложили определение "суперземли", основанное на явном различии в радиусах между планетой с мощной атмосферой и без нее.

Введение
Модель
Уравнение состояния
Численные результаты
Общее соотношение масса-радиус для твердых планет
Обсуждение

Введение.
Растущее число и неожиданное разнообразие недавно открытых внесолнечных планет подвигло нас на изучение зависимости масса-радиус для твердых планет. Центральный вопрос, который мы себе задали - что мы можем сказать о составе экзопланеты, зная ее массу и радиус? Ответ на этот вопрос требует как численных моделей планетных недр, так и понимания настоящих ограничений и будущих перспектив точных наблюдений масс и радиусов планет.
Растущее число известных экзопланет включает в себя и несколько планет с интересными радиусами. Так, планета HD 149026 b имеет настолько малый радиус для своей измеренной массы, что должна иметь ядро с массой 60-70 масс Земли, или 2/3 ее полной массы. Другая планета GJ 436 b, имеющая массу, близкую к массе Нептуна, имеет и радиус, близкий к радиусу Нептуна (что было выяснено из транзитных наблюдений этой планеты). Неожиданное разнообразие экзопланет включает в себя 14 экзопланет с m sin i < 21 массы Земли, включая одну с массой 7.5 масс Земли и другую с массой 5 масс Земли, вращающуюся на внутреннем крае обитаемой зоны ее родительской звезды. Обзоры событий микролинзирования привели к открытию двух маломассивных планет: одну с массой около 5.5 масс Земли, и другую с массой около 13 масс Земли, находящихся на расстоянии около 2.5 а.е. от их родительских звезд, что говорит о широкой распространенности планет с массой порядка массы Нептуна.
Космические миссии дают нам дополнительный стимул для наших исследований. COROT (запущенный 27 декабря 2006 года) и KEPLER (запуск которого планируется на 2008 год) будут исследовать маломассивные экзопланеты методом изучения транзитов - т.е. проходов планеты по диску своей звезды. GAIA (запуск планируется на 2011 год) точно измерит расстояния до звезд (а значит, и звездные радиусы), что позволит также точно определить и радиусы транзитных планет. Наземная техника измерений лучевой скорости родительских звезд достигла высокой точности и сможет измерить массу большинства планет, которых откроют КОРОТ и Кеплер.
Для изучения вопроса, что мы можем сказать о составе экзопланеты по измеренным массе и радиусу, мы вывели теоретические зависимости "масса-радиус" для широкого диапазона масс экзопланет. Для исследования широкого диапазона масс и составов мы сделали одно важное упрощение: мы положили, что вся планета имеет одинаковую (и притом низкую) температуру. Эта аппроксимация одинаковой низкой температуры полезна как практическое упрощение, потому что для температур около 300К и для давлений ниже 200 Гигапаскалей для большого числа материалов уравнения состояния достаточно хорошо известны. При этом полные уравнения состояния при температурах, которое могут быть достигнуты в недрах массивных твердых планет, для интересующих нас материалов являются или вовсе неизвестными, или известными очень плохо. Особенно неуверенно определяются уравнения состояния в интервале давлений, лежащих выше пределов статических экспериментов сжатия (порядка 200 Гигапаскалей), но ниже аналитических законов высокого давления плазменной физики (> 10000 Гигапаскалей).

Мы взяли за основу фундаментальную работу Заполски и Салпитера (Zapolsky, H. S. & Salpeter, E. E. 1969, ApJ, 158, 809), которые вычислили зависимости масса-радиус для однородных сфер нулевой температуры, состоящих из простых веществ. Мы усовершенствовали их подход, используя более точное уравнение состояния при давлениях до 1000 Гигапаскалей. Мы расширили их подход: рассматривая более реалистичный состав планет; рассматривая дифференцированные планеты; исследуя эффекты не равной нулю температуры в изменении радиуса и массы; изучая возможные погрешности наблюдений в измерении массы и радиуса.
Эта работа служит дополнением к работам других авторов, работающих над физическими моделями маломассивных экзопланет. Детальные исследования Легера со товарищи (L`eger, A., Selsis, F., Sotin, C., Guillot, T., Despois, D., Mawet, D., Ollivier, M., Lab`eque, A., Valette, C., Brachet, F., Chazelas, B., & Lammer, H. 2004, Icarus, 169, 499) посвящены водным планетам и представляют детальную модель недр и атмосферы планеты с массой 6 масс Земли, которая состоит из воды (3 массы Земли), силикатной мантии (2 массы Земли) и железного ядра (1 масса Земли). Валенсия (Valencia, D., O'Connell, R. J., & Sasselov, D. 2006, Icarus, 181, 545) вычислил зависимость масса-радиус для "суперземель" и "супермеркуриев" (определяя их в своей работе как планеты массой 1-10 масс Земли и составом, подобным Земле, и планеты массой 1-10 масс Меркурия с составом, подобным Меркурию, соответственно). Ehrenreich со товарищи (Ehrenreich, D., Lecavelier des Etangs, A., Beaulieu, J.-P., & Grasset, O. 2006, ApJ, 651, 535) построили модель маленьких холодных экзопланет для изучения открытой с помощью микролинзирования планеты OGLE-2005-BLG-390 L b. Еще несколько товарищей исследовали зависимость масса-радиус для ледяных и каменных планет. Мы делаем более широкий обзор, чем вышеупомянутые работы, и используем более простые модели, чтобы охватить широкий диапазон составов и масс планет.
Мы описываем нашу модель в п. 2 и уравнения состояния в п. 3. В п. 4 мы представляем зависимость масса-радиус для однородных и дифференцированных планет и обсуждаем эффекты изменения фазового состояния и не равной нулю температуры. В п. 5 мы опишем общую зависимость масса-радиус, общую для всех твердых экзопланет, соответствующих нашим аппрокимациям. Мы обсудим границы применимости наших моделей в п. 6.

2. Модель.
Мы решали систему из трех уравнений для функций m(r) - масса в пределах радиуса r, P(r) - давление на расстоянии r от центра, p(r) - плотность сферической планеты на расстоянии r от центра:

здесь P(r) (уравнение 3) суть уравнение состояния, уникальное для данного конкретного вещества.
Были получены различные аппроксимации уравнений состояния, мы детально описываем их в п. 3. Для представленных здесь основных вычислений для твердых материалов мы пренебрегли температурной зависимостью в уравнении состояния и использовали экспериментальные данные, полученные для комнатной температуры. Важность температурного вклада в давление обсуждается в п. 4.2.2.
Мы численно интегрировали уравнения 1 и 2, начиная интегрирование из центра планеты (r = 0) и используя граничные условия: M(0) = 0, P(0) = Pcentral, где Pcentral - выбранное давление в центре планеты. Другим граничным условием мы использовали P(Rp) = 0. Выбором Pcentral как внутреннего граничного условия и внешнего граничного условия P(Rp) = 0 определяется радиус планеты Rp и полная масса планеты Mp = m(Rp).
Интегрирование уравнений 1 и 2 много раз для различных значений Pcentral обеспечивает зависимость масса-радиус для данного уравнения состояния.
Для дифференцированных планет, состоящих из нескольких веществ, мы определяли желательные доли массы ядра и каждой из оболочек. В этом случае мы интегрировали уравнения 1 и 2, как было описано выше, задавая Pcentral и другие граничные условия. Мы переключались от одного вещества к следующему, как только достигалась желательная доля массы (с учетом предположения о полной массе планеты). Так как раньше завершения данного интегрирования мы не знаем полную массу, к которой это интегрирование приведет, мы должны были сделать несколько попыток, чтобы получилась модель с желательным распределением вещества.
Мы протестировали нашу программу, пытаясь повторить кривые масса-радиус из работы Заполски и Салпитера, используя их уравнения состояния. Наши кривые масса-радиус отличаются от их кривых на несколько процентов.

3. Уравнение состояния.
Уравнение состояния описывает отношение между плотностью, давлением и температурой для данного вещества в условиях термодинамического равновесия. Поскольку мы рассчитывали модель без учета температурной зависимости, мы выбирали форму уравнения состояния, соответствующую комнатной или равной нулю температуре. Для давления P < 200 Гигапаскалей мы использовали ряды экспериментальных данных. Для P > 10000 Гигапаскалей, где становится определяющим давление вырожденных электронов, мы использовали теоретическое уравнение состояния Томаса-Ферми-Дирака.
За подробным изложением всей математики отсылаю читателя к оригинальной работе, там все подробно расписано.

4. Численные результаты.
Теперь мы опишем результаты решения уравнений 1-3, полученных с помощью выбранных нами уравнений состояния веществ.
Мы использовали нашу модель для исследования отношения масса-радиус для планет с массами 0.01-1000 масс Земли. Нижняя граница этого диапазона охватывает небольшие планеты вроде Меркурия, а также небольшие тела, подобные ледяным спутникам Юпитера и Сатурна. Верхняя граница соответствует массе в 13 масс Юпитера. Начиная с этой массы, самогравитация водородно-гелиевых тел становится достаточной для загорания в их недрах ядерных реакций с участием дейтерия или водорода, и такое тело уже не считается планетой (а считается коричневым карликом или звездой).

4.1. Отношения масса-радиус.
4.1.1. Однородные планеты.
Следуя за Заполски и Салпитером, мы сначала рассмотрели планеты однородного состава (состоящие из одного-единственного вещества). Эта искусственная ситуация поможет нам понять основные свойства соотношения масса-радиус для планет. На рисунке 4 показаны соотношения масса-радиус для однородных планет, состоящих из чистого водорода, водородно-гелиевой смеси (гелия 25% по массе), воды (льда), силиката магния (перовскита) и железа.

Рисунок 4. Графики соотношения масса-радиус для твердых планет. По горизонтальной оси отложены массы планет (в массах Земли), по вертикальной оси - радиусы планет (в радиусах Земли). Непрерывными линиями показаны соотношения масса-радиус для однородных планет: голубой - для водородных планет, синей - для планет из водного льда, красной - для планет из силиката магния, зеленой - для планет из железа. Пунктирными линиями показаны соотношения для неоднородных планет. Голубой точечной линией показано соотношение для планет из смеси водорода и гелия (гелия 25% по массе). Красной точечной линией показано соотношение масса-радиус для планет с железным ядром (70% по массе) и силикатной мантией (30% по массе), т.е. для аналогов Меркурия. Красной пунктирной линией показано соотношение для планет с железным ядром (32.5% по массе) и силикатной мантией (67.5% по массе), т.е. для аналогов Земли. Синей пунктирной линией показаны планеты следующего состава: 75% водяного льда, 22% силикатной мантии и 3% железного ядра. Синей пунктирно-точечной линией показаны планеты состава 45% льда, 48.5% силикатной мантии и 6% железного ядра, т.е. аналогов Ганимеда. Синей точечной линией показаны планеты с 25% льда, 52.5% силикатов и 22.5% железа. Синими треугольниками показаны планеты Солнечной системы. Слева направо: Марс, Венера, Земля, Уран, Нептун, Сатурн, Юпитер. Малиновыми квадратами показаны известные транзитные экзопланеты, в том числе GJ 436 b с радиусом 3.95 радиусов Земли и HD 149026 b с радиусом 8.14 радиусов Земли. Заметим, что для высоких масс становится важным давление вырожденных электронов. При этом радиус планет в большом интервале масс остается примерно постоянным, а при дальнейшем увеличении массы планеты даже немного уменьшается.

Все однородные планеты демонстрируют одинаковое поведение радиуса как функции массы. До масс планет, примерно равных 500 массам Земли (полторы массы Юпитера), радиус планет растет с увеличением их массы. В этом режиме в состоянии гидростатического равновесия силы притяжения уравновешиваются кулоновскими силами. Для больших масс давление в недрах планет становится достаточно большим для ионизации атомов. Для таких больших масс силы притяжения уравновешиваются давлением вырожденных свободных электронов, и чем больше массы мы добавляем к планете, тем больше она сжимается (уменьшается в размерах). Хотя планеты не являются полностью вырожденными (это достигается в недрах звезд белых карликов), давление вырожденных электронов действительно дает существенный эффект для отношения масса-радиус для массивных планет.
В работе Заполски и Солпитера детально обсуждается максимальный радиус для планеты данного однородного состава. Если предположить, что наш выбор охватывает все основные возможные вещества, слагающие планеты, то из рис. 4 мы можем сделать некоторые выводы о диапазоне размеров планет. Во-первых, соотношение масса-радиус для железных планет показывает, что у такой планеты будет минимальный радиус среди всех планет данной массы. Во-вторых, т.к. вода имеет наименьшую плотность среди всех материалов, которые мы изучали (за исключением водорода и гелия), водные (ледяные) планеты будут иметь максимальный радиус среди планет без мощной атмосферы.
Соотношения масса-радиус для планет однородного состава (рис. 4) могут быть использованы для выяснения основного вещества, из которого состоит планета. Используя Солнечную систему в качестве примера, из рис. 4 и 5 мы можем вывести, что Земля и Венера сложены в основном из смеси силикатов и железа, тогда как Меркурий сложен в основном из железа. Мы может также вывести, что Уран и Нептун не являются ни водородно-гелиевыми планетами, ни "каменными гигантами": они сложены преимущественно камнями и льдом и должны иметь небольшую, но мощную газовую оболочку. Юпитер и Сатурн лежат вблизи кривой водородно-гелиевых планет. Водородно-гелиевые недра горячих юпитеров демонстрируют эффекты высокой температуры и не могут хорошо быть описаны в модели холодных однородных планет. На самом деле, мы и не стремились моделировать в данной работе планеты-гиганты.
Рис. 4 показывает, что транзитная планета HD 149026 b должна содержать значительную долю элементов тяжелее водорода и гелия. Более детальные модели эволюции и внутреннего строения показывают, что HD 149026 b содержит около 70 масс Земли скального материала, что составляет 2/3 его полной массы. Планета GJ 436 b, имеющая массу 22.6 масс Земли и радиус 3.95 радиусов Земли, должна иметь мощную водородно-гелиевую атмосферу, поскольку ее радиус явно больше, чем радиус планеты из чистого водяного льда. Радиус планеты Gliese 876 d с массой 7.5 масс Земли не был измерен, но измерение радиуса с точностью 5% позволило бы определить, является эта планета преимущественно каменной, преимущественно ледяной или имеет мощную газовую оболочку.
Мы моделировали массивные твердые экзопланеты в