Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.abitu.ru/olimp/faculty/fivt/olimpiada2008/solutions-arpfpaicaew.doc Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Dec 29 05:24:47 2008 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 23:48:47 2012 Êîäèðîâêà: koi8-r Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò

(Ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)


Ôàêóëüòåò Èííîâàöèé è Âûñîêèõ Òåõíîëîãèé

[pic]

Çàî÷íàÿ îëèìïèàäà ÔÈÂÒ-2007
Ðåøåíèÿ
Äîëãîïðóäíûé - 2008
Çàäà÷è.

1(8 áàëëîâ). Âåëèêèé Èìïåðàòîð Ñâÿùåííîé Ïîäíåáåñíîé Èìïåðèè Àâãóñò Õóàíöçû
èçîáð¸ë ñïåöèàëüíûé øòðèõêîä äëÿ çàïèñè äàò ðîæäåíèé ñâîèõ ïîääàííûõ. Äàòû
ðîæäåíèÿ øèôðóþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ øèðîêèõ è óçêèõ âåðòèêàëüíûõ
ïîëîñîê, à òàêæå ðàñïîëîæåíèåì è êîëè÷åñòâîì ÷¸ðíûõ ãîðèçîíòàëüíûõ ïîëîñîê.
Âîò íåêîòîðûå äàòû, çàïèñàííûå ñ ïîìîùüþ ýòîãî øòðèõêîäà. Â Ñâÿùåííîé
Ïîäíåáåñíîé Èìïåðèè ìåñÿöû è äíè òî÷íî òàêèå æå, êàê ó íàñ, òàê ÷òî âàì íå
ñîñòàâèò òðóäà ðàçîáðàòüñÿ, êàêèì ñïîñîáîì øèôðóþòñÿ äàííûå è ðàñøèôðîâàòü
ïîñëåäíèå òðè øòðèõ-êîäà.
(Çàäà÷à ïðåäëîæåíà áàçîâîé êàôåäðîé ABBYY)
Ðåøåíèå:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|17 ÿíâàðÿ |4 èþíÿ 2007|22 èþíÿ 1941 |8 äåêàáðÿ 1994|2 ôåâðàëÿ 2002|9 ìàÿ 1945 ã. |
|1976 ã. |ã. |ã. |ã. |ã. | |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 íîÿáðÿ |12 àïðåëÿ |25 îêòÿáðÿ |28 èþíÿ 1999 |26 èþëÿ 2001 |22 ñåíòÿáðÿ |
|2005 ã. |1961 ã. |1982 ã |ã. |ã. |2008 ã. |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|14 ìàÿ 2000|1 àïðåëÿ |28 íîÿáðÿ 1986|14.04.1981 |11.12.1982 |19.03.2004 |
|ã. |1986 ã. |ã. |âòîðíèê |ñóááîòà |ïÿòíèöà |


Êðèòåðèè îöåíîê:
Ðàñøèôðîâàíû äíè íåäåëè 1
Ðàñøèôðîâàíû ÷èñëà è ìåñÿöû 3
Ðàñøèôðîâàí ïåðâûé ãîä 1
Ðàñøèôðîâàí âòîðîé ãîä 1
Ðàñøèôðîâàí ïîñëåäíèé ãîä 2

2(5 áëëîâ). Êîìïüþòåðíàÿ ñåòü ñîñòîèò èç 500 êîìïüþòåðîâ. Â ïàìÿòè êàæäîãî
çàïèñàíî ïî îäíîìó ÷èñëó. Êàæäûé êîìïüþòåð çà îäíó ñåêóíäó ìîæåò ñäåëàòü
îäíó èç äâóõ îïåðàöèé: ñëîæèòü äâà ÷èñëà èëè îòîñëàòü ïàêåò äàííûõ ëþáîãî
ðàçìåðà ëþáîìó äðóãîì êîìïüþòåðó. Çà êàêîå íàèìåíüøåå âðåìÿ óäàñòñÿ ñëîæèòü
âñå ÷èñëà, çàïèñàííûå íà êîìïüþòåðàõ. (Êîìïüþòåð ìîæåò ñêëàäûâàòü ÷èñëà è
ïðèíèìàòü äàííûå îò íåñêîëüêèõ êîìïüþòåðîâ îäíîâðåìåííî).
(Çàäà÷à ïðåäëîæåíà áàçîâîé êàôåäðîé ÓÐÂèÈÒ)
Ðåøåíèå:
Îáîçíà÷èì ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ÷èñåë (íà ðàçíûõ êîìïüþòåðàõ) êîòîðîå
ìîæíî ñëîæèòü çà âðåìÿ t ÷åðåç F(t). Ðàññìîòðèì ïîñëåäíþþ ñåêóíäó
âû÷èñëåíèé: íà êàêîì-òî êîìïüþòåðå K ïðîèñõîäèò ñêëàäûâàíèå äâóõ
(ïîñëåäíèõ) ÷èñåë a è b. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî a
ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ ÷èñåë ñëîæåííûõ íà êîìïüþòåðå K, à b ïðèøëî ñ
íåêîòîðîãî äðóãîãî êîìïüþòåðà. Ïîýòîìó a ÿâëÿåòñÿ ñóììîé íå áîëåå ÷åì F(t -
1) ÷èñåë, à b íå áîëåå ÷åì F(t - 2) ÷èñåë. Ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî F(t) = F(t -
1) + F(t - 2), ò.ê. F(t) - ìàêñèìàëüíî êîëè÷åñòâî. Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ
F(1) = 1, à F(2) = 2. Òåïåðü ìû ìîæåì íàéòè çíà÷åíèå F(t) äëÿ îñòàëüíûõ t:
ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ôèáîíà÷÷è.
T |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |12 |13 |14 | |F(t) |1 |2 |3 |5 |8 |13
|21 |34 |55 |89 |144 |233 |377 |610 | |Òàêèì îáðàçîì ñëîæèòü âñå ÷èñëà íà
500 êîìïüþòåðàõ ìîæíî áóäåò íå áûñòðåå ÷åì çà 14 ñåêóíä. Ñóùåñòâîâàíèå
ïðèìåðà äîêàçûâàåòñÿ ïî èíäóêöèè.
Êðèòåðèè îöåíîê:
Îïèñàíèå ïðåäïîñëåäíåãî øàãà 2
Ïîëó÷åíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ôèáîíà÷÷è 1
Îòâåò 1
Ïðèìåð 1

3(5 áàëëîâ). Ïóòåøåñòâåííèê çàáëóäèëñÿ â ãóñòîì ëåñó è âèäèò íå äàëüøå ÷åì
íà 3 ìåòðà. Îí çíàåò, ÷òî â 5 êèëîìåòðàõ ïðîõîäèò ïðÿìîëèíåéíàÿ äîðîãà, íî
íå çíàåò â êàêîì íàïðàâëåíèè. Ìîæåò ëè ïóòåøåñòâåííèê ïðîäóìàòü ñâîé ïóòü
òàê, ÷òîáû ïðîéäÿ 32 êèëîìåòðà ãàðàíòèðîâàíî âûéòè íà äîðîãó?
(Çàäà÷à ïðåäëîæåíà áàçîâîé êàôåäðîé ÓÐÂèÈÒ)

Ðåøåíèå:
Ðàññìîòðèì ïóòü (ñì. ðèñóíîê). Ò.ê. äîðîãà ïðîõîäèò âíóòðè êðóãà ðàäèóñîì 5
êì, òî åñëè ïóòåøåñòâåííèê ïîéäåò ïî ýòîìó ïóòè, òî îí ãàðàíòèðîâàíî âûéäåò
íà äîðîãó, ãäå áû îíà íå íàõîäèëàñü. Äëèíà ýòîãî ïóòè ðàâíà: [pic]ž5êì=
31,9865êì.
Îòâåò: Äà, ìîæåò.
Êðèòåðèè îöåíîê:
Ïðèìåð ïóòè 3
Äîêàçàòåëüñòâî, ÷òî ïóòü ïîäõîäèò 1.5
Ïîäñ÷åò äëèíû 0.5

4(3 áàëëà). Ó äîñêè äëÿ èãðû â ñòîêëåòî÷íûå øàøêè îòîðâàíû ÷åòûðå ïîëÿ -
a10, d7, f5, j1. Âû ïûòàåòåñü ïëîòíî âûëîæèòü ýòó äîñêó ôèãóðêàìè òåòðàìèíî
(ôèãóðêàìè äëÿ èãðû â òåòðèñ). Áåç êàêîé ôèãóðêè âàì òî÷íî íå îáîéòèñü?
(Çàäà÷à ïðåäëîæåíà áàçîâîé êàôåäðîé Cognitive Technologies)
Ðåøåíèå:

Ó îïèñàííîé â çàäà÷å äîñêè 50 ÷¸ðíûõ êëåòîê è 44 áåëûõ. Êàæäàÿ ôèãóðà
òåòðàìèíî ïîêðûâàåò 4 êëåòêè. Ïðè ýòîì 6 òèïîâ ôèãóð ïîêðûâàþò 2 áåëûõ è 2
÷¸ðíûõ êëåòêè êàæäàÿ, è òîëüêî "ò-îáðàçíîå" òåòðàìèíî ïîêðûâàåò 3 êëåòêè
îäíîãî öâåòà è îäíó êëåòêó äðóãîãî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïîêðûòèè äàííîé
äîñêè íå îáîéòèñü áåç "ò-îáðàçíîãî" òåòðàìèíî. Ïðèìåð òàêîãî ïîêðûòèÿ
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå:
Êðèòåðèè îöåíîê:
Äîêàçàòåëüñòâî 1
Ïðèìåð 1
Îòâåò 1 2

5(4 áàëëà). Ïðèäóìàéòå ÿñíîå, ÷¸òêîå èñòèííîå óòâåðæäåíèå íà õîðîøåì
ðóññêîì ÿçûêå, òàêîå, ÷òî åñëè âñòàâèòü â íåãî ÷àñòèöó «íå», ñìûñë
óòâåðæäåíèÿ èçìåíèòñÿ ðîâíî íà ïðîòèâîïîëîæíûé (êàê ýòî è äîëæíî áûòü
ñîãëàñíî ëîãèêå), à âîò èñòèííîñòü ñîõðàíèòñÿ.
(Çàäà÷à ïðåäëîæåíà áàçîâîé êàôåäðîé Cognitive Technologies)
Ðåøåíèå:

1. Ëþáûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ îáúåêòîâ, íå èçìåíèâøèõñÿ ïðè äîáàâëåíèè
÷àñòèöû "íå", äîëæíû ìåíÿòü èñòèííîñòü ïðè îòðèöàíèè ñìûñëà óòâåðæäåíèÿ
(çàêîí èñêëþ÷¸ííîãî òðåòüåãî).

2. Åäèíñòâåííûé èçìåíèâøèéñÿ îáúåêò - ñàìà ôðàçà. Ñëåäîâàòåëüíî,
óòâåðæäåíèå êàñàåòñÿ ñàìîé ôðàçû, ïðè÷¸ì ñâîéñòâ, èçìåíèâøèõñÿ ïðè
äîáàâëåíèè ÷àñòèöû "íå". Íàïðèìåð, ÷èñëà ñëîâ â ôðàçå. Ïðèìåð: "Ôðàçà,
êîòîðóþ âû ñåé÷àñ ÷èòàåòå, ñîñòîèò èç äåâÿòè ñëîâ". Îíà èñòèííà. Ïðè
äîáàâëåíèè ñëîâà «íå» ïîëó÷èì: "Ôðàçà, êîòîðóþ âû ñåé÷àñ ÷èòàåòå, íå
ñîñòîèò èç äåâÿòè ñëîâ". Èñòèííîñòü ôðàçû íå ìåíÿåòñÿ, ò.ê. â íåé óæå 10
ñëîâ.
Êðèòåðèè îöåíîê:
Ïðèìåð 3
Äîêàçàòåëüñòâî 1

6(3 áàëëà çà âîïðîñ À + 2 áàëëà çà âîïðîñ Á). Åñòü 100 óçíèêîâ, êîòîðûõ
ïðèãîâîðèëè ê ñìåðòíîé êàçíè. Íî ó íèõ åñòü øàíñ ñïàñòèñü. Èõ áóäóò â
ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå çàïóñêàòü â òåìíóþ êîìíàòó, â êîòîðîé åñòü îäèí ðû÷àã
(ðû÷àã ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç äâóõ ïîëîæåíèé). Ïîñëå òîãî, êàê
î÷åðåäíîé óçíèê ïîáûâàåò â ýòîé êîìíàòå, îí ìîæåò çàÿâèòü, ÷òî óæå âñå
óçíèêè õîòÿ áû ïî îäíîìó ðàçó ïîáûâàëè â ýòîé êîìíàòå. Åñëè îí îêàæåòñÿ
ïðàâ, òî âñåõ îòïóñòÿò, åñëè îøèáåòñÿ, òî èõ âñåõ êàçíÿò. Ìîãóò ëè óçíèêè
ñîâìåñòíî ðàçðàáîòàòü ñòðàòåãèþ, ïîçâîëÿþùóþ èì ãàðàíòèðîâàííî ñïàñòèñü? Òî
åñòü, ïåðåä ýòèì «àòòðàêöèîíîì» îíè âñå íàõîäÿòñÿ â îáùåé êàìåðå, ó íèõ
åñòü øàíñ äîãîâîðèòüñÿ. Êàæäîìó óçíèêó ãàðàíòèðîâàíî, ÷òî îí ïîáûâàåò â
ýòîé êîìíàòå, è ïîñëå î÷åðåäíîãî ïîñåùåíèÿ åãî êîãäà-íèáóäü åù¸ ðàç òóäà
çàâåäóò. Ðåøèòå çàäà÷ó â ñëó÷àÿõ: À) Óçíèêè çíàþò, ÷òî èçíà÷àëüíî ðû÷àã
íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè «âûêë»; Á) èçíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ðû÷àãà èì
íåèçâåñòíî.
(Ôîëüêëîð)

Ðåøåíèå:
À) Óçíèêè äîãîâàðèâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûáèðàåòñÿ óçíèê-ñ÷åò÷èê,
êîòîðûé, çàõîäÿ, è âèäÿ, ÷òî ðû÷àã âêëþ÷åí - âûêëþ÷àåò åãî è óâåëè÷èâàåò
çàïîìíåííîå ÷èñëî íà 1 (èçíà÷àëüíî ÷èñëî ðàâíî 0), åñëè ðû÷àã âûêëþ÷åí -
ïðîñòî âûõîäèò. Îñòàëüíûå óçíèêè, âèäÿ ðû÷àã âûêëþ÷åííûì, âêëþ÷àþò åãî
(òîëüêî â ïåðâûé ðàç, êîãäà îíè çàõîäÿò â êîìíàòó), à, âèäÿ åãî âêëþ÷åííûì
- íå äåëàþò íè÷åãî. Ò.ê. èçíà÷àëüíî ðû÷àã âûêëþ÷åí, à âêëþ÷àþò åãî òîëüêî
óçíèêè-íåñ÷åò÷èêè ïî îäíîìó ðàçó êàæäûé, òî óçíèêó-ñ÷åò÷èêó äîñòàòî÷íî
äîñ÷èòàòü äî 99.
Á) Àíàëîãè÷íî, íî óçíèêè-íåñ÷åò÷èêè âêëþ÷àþò ðû÷àã ïî äâà ðàçà, à ñ÷åò÷èê
ñ÷èòàåò äî 198.
Êðèòåðèè îöåíîê:
Ñòðàòåãèÿ â ïóíêòå À 2
Äîêàçàòåëüñòâî â ïóíêòå À 1
Ñòðàòåãèÿ â ïóíêòå Á 2

7(6 áàëëîâ). Íà ãîðèçîíòàëüíîì ãëàäêîì ñòîëå íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè äðóã
îò äðóãà ïîêîÿòñÿ N îäèíàêîâûõ øàðèêîâ, îáðàçóÿ ïîëóîêðóæíîñòü, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Îáùàÿ ìàññà øàðèêîâ ðàâíà M. Øàðèê ìàññû m
ïðèáëèæàåòñÿ ê ïîëóîêðóæíîñòè ñëåâà. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ýòîãî øàðèêà
ïîäîáðàíû òàê, ÷òî îí óäàðÿåòñÿ î êàæäûé èç N øàðèêîâ èç ïîëóîêðóæíîñòè è
ïðîäîëæàåò ñâî¸ äâèæåíèå â íàïðàâëåíèè, îáðàòíîì èñõîäíîìó.  ïðåäåëå[pic],
òàê ÷òî ìàññà M/N êàæäîãî øàðèêà â ïîëóîêðóæíîñòè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, íàéäèòå
ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå M/m, êîòîðîå ïîçâîëÿåò íàëåòàþùåìó øàðèêó, ïðîéäÿ ïîë-
îêðóæíîñòè, äâèãàòüñÿ â óêàçàííîì íàïðàâëåíèè. Âñå ñîóäàðåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü
àáñîëþòíî óïðóãèìè, ðàçìåðàìè øàðèêîâ ïðåíåáðå÷ü.
(Äîâáíÿ À., ñòóäåíò 3 êóðñà ÔÈÂÒ)
Ðåøåíèå:
Ïóñòü [pic] - ìàññà êàæäîãî èç øàðèêîâ â ïîëóîêðóæíîñòè. Íåîáõîäèìî, ÷òîáû
óãîë îòêëîíåíèÿ øàðà [pic] ïîñëå êàæäîãî ñòîëêíîâåíèÿ áûë ðàâåí [pic]. Òåì
íå ìåíåå, åñëè îòíîøåíèå [pic] äîñòàòî÷íî ìàëî, òàêîãî óãëà îòêëîíåíèÿ
íåâîçìîæíî äîñòè÷ü.
Ðàññìîòðèì äëÿ íà÷àëà ðåçóëüòàò ñòîëêíîâåíèÿ íàëåòàþùåãî øàðà ìàññîé [pic]
ñ ïîêîÿùèìñÿ øàðîì ìàññîé [pic]. Ïîêàæåì, ÷òî ìàêñèìàëüíûé óãîë îòêëîíåíèÿ
øàðà [pic] îò íà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ðàâåí [pic]. Ïóñòü íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü
íàëåòàþùåãî øàðà ðàâíà [pic]; [pic], [pic] è [pic], [pic] - êîíå÷íûå
ñêîðîñòè è óãëû ðàññåèâàíèÿ øàðîâ [pic] è [pic] ñîîòâåòñòâåííî. Çàêîíû
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà äëÿ äâóõ øàðîâ áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
[pic] (1) [pic] (2) [pic] (3)
Èçáàâëÿÿñü îò [pic] ïóòåì ïåðåíîñà âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ýòîò óãîë â îäíó
÷àñòü óðàâíåíèé (2), (3) è äàëüíåéøåãî âîçâåäåíèÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé â
êâàäðàò è èõ ñëîæåíèÿ, ïîëó÷èì: [pic] (4) Ïîäñòàâëÿÿ â (4) âûðàæåíèå äëÿ
[pic], âçÿòîå èç óðàâíåíèÿ (1), óìíîæåííîãî ïðåäâàðèòåëüíî íà [pic]: [pic].
Ïðèõîäèì ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ äëÿ [pic]:[pic]äèñêðèìèíàíò êîòîðîãî íå
äîëæåí áûòü îòðèöàòåëüíûì: [pic].Îòêóäà [pic] è [pic]. Âåðíåìñÿ ê íàøåé
çàäà÷å. Èòàê, óãîë îòêëîíåíèÿ ïîñëå êàæäîãî ñòîëêíîâåíèÿ äîëæåí áûòü ðàâíûì
[pic], ñèíóñ ýòîãî óãëà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ [pic]. Äëÿ ìàëûõ óãëîâ
[pic], è [pic] èëè [pic].
Êðèòåðèè îöåíîê:
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà äëÿ äâóõ øàðîâ 1
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ äâóõ øàðîâ 1
Íàõîæäåíèå ìàêñèìàëüíîãî óãëà îòêëîíåíèÿ 3
Ïðàâèëüíûé îòâåò 1

8(4 áàëëà) Ãîðîä èìååò ôîðìó êâàäðàòà 10õ10, èçîáðàæ¸ííîãî íà ðèñóíêå.Â
óçëàõ ñåòêè ðàñïîëàãàþòñÿ äîìà, à ëèíèè ñåòêè èçîáðàæàþò òðóáû, ñîåäèíÿþùèå
ýòè äîìà. Ïî òðóáàì öèðêóëèðóåò îòîïëåíèå, ïðè÷åì ïî êàæäîé òðóáå òå÷åò
íåíóëåâîé ïîòîê. Â íåêîòîðûõ èç íèõ èçâåñòíî íàïðàâëåíèå äâèæåíèå âîäû
(ñì. ðèñóíîê). Òàêæå èçâåñòíî, ÷òî ó êàæäîãî äîìà åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíà
âõîäÿùàÿ òðóáà è ïî êðàéíåé ìåðå îäíà âûõîäÿùàÿ. Êâàäðàòèêè, íà êîòîðûå
òðóáû ðàçáèâàþò ãîðîä, íàçîâåì ïëîùàäÿìè. Êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî
ïëîùàäåé, ïî êîòîðûì âîäà öèðêóëèðóåò â îäíîì íàïðàâëåíèè (ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå èëè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) âñåãäà íàéäåòñÿ?
(Ñòåáåëåâ Ì., ñòóäåíò 2êóðñà ÔÈÂÒ)
Ðåøåíèå:
Ïîñêîëüêó ìû çíàåì, ÷òî â äîìàõ âîäà íå íàêàïëèâàåòñÿ, òî â êàæäûé äîì ïî
êàêîé-òî òðóáå âòåêàåò âîäà è ïî äðóãîé - âûòåêàåò. Äîêàæåì, ÷òî âíóòðè
êàæäîãî öèêëà åñòü íóæíàÿ íàì ïëîùàäü. Èç âñåõ öèêëîâ âíóòðè
äàííîãî(âêëþ÷àÿ åãî) âîçüìåì öèêë ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè. Åñëè ýòîò
ìíîãîóãîëüíèê - ïëîùàäü, òî çàäà÷à ðåøåíà. Åñëè íåò, òî èç êàêîé-ëèáî åãî
âåðøèíû åñòü ðåáðî âíóòðü öèêëà. Ïîéäåì ïî ýòîìó ðåáðó âíóòðü öèêëà
ñîãëàñíî íàïðàâëåíèÿì ñòðåëîê (èëè ïðîòèâ, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê áûëî
íàïðàâëåíî ïåðâîå ðåáðî). Òàêèì îáðàçîì, ìû êîãäà-ëèáî ïîïàäåì èëè â
âåðøèíó ïåðâîíà÷àëüíîãî öèêëà èëè â óæå ïðîéäåííóþ. Åñëè ïîïàëè â óæå
ïðîéäåííóþ, òî ïîëó÷èëè öèêë, ïëîùàäü êîòîðîãî ìåíüøå (ïîñêîëüêó ìû íå
ìîãëè âûáðàòüñÿ çà ãðàíèöû öèêëà, ò.ê. ãðàô ïëîñêèé). Åñëè ìû ïîïàëè â
âåðøèíó öèêëà - òî ïîñòðîåííûé ïóòü äîïîëíÿåò îäíó èç ïîëîâèíîê öèêëà äî
öèêëà ìåíüøåé ïëîùàäè. Ïîëó÷àåì, ÷òî òîò öèêë âñå æå ÿâëÿëñÿ ïëîùàäüþ.
Ïîýòîìó âíóòðè êàæäîãî èç 5 öèêëîâ, èçîáðàæåííûõ íà êàðòèíêå åñòü íóæíàÿ
íàì ïëîùàäü. Çíà÷èò èõ õîòÿ áû 5. Ïðèâåäåì ïðèìåð íà 5:
Êðèòåðèè îöåíîê:
Ïðàâèëüíûé îòâåò 1
Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî âíóòðè êàæäîãî öèêëà åñòü ïëîùàäü 2
Ïðèìåð 1

9(4 áàëëîâ). Íàçîâåì öèôðó êðàñèâîé, åñëè ëþáàÿ åå ñòåïåíü îêàí÷èâàåòñÿ íà
íå¸ æå.  äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ êðàñèâûå öèôðû 0,1,5,6. Êàê çàâèñèò
êîëè÷åñòâî êðàñèâûõ öèôð îò îñíîâàíèÿ ñèñòåìû?
(Õàìèäóëèí À., ñòóäåíò 2 êóðñà ÔÈÂÒ)
Ðåøåíèå:
Ïóñòü n- îñíîâàíèå ñèñòåìû. Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå n=n1n2.nm, ãäå ni -
ïðîñòîé äåëèòåëü n â ñòåïåíè åãî âõîæäåíèÿ â n. Ïóñòü y - ïðîèçâåäåíèå
êàêèõ-òî nj. z= n/ y. ò.ê. ÍÎÄ(z,y)=1, òî íàéä¸òñÿ ÷èñëî k, ìåíüøåå z,
òàêîå, ÷òî x=ky ? 1 (mod z). Òîãäà x(x-1) äåëèòñÿ íà n, è x - êðàñèâàÿ
öèôðà (ò.ê. x=ky x'=k'y?1(mod z), òî k'=k.  ñàìîì äåëå, (k'-k)y äåëèòñÿ íà z, çíà÷èò è (k'-
k)( äåëèòñÿ íà z, à ò.ê. 0˜k îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî ïðîèçâåäåíèÿ nj íàéäåòñÿ åäèíñòâåííàÿ êðàñèâàÿ öèôðà,
ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì, ïîýòîìó èõ êîëè÷åñòâà ñîâïàäàþò, ò.å. êðàñèâûõ
öèôð 2n.
Êðèòåðèè îöåíîê:
Îöåíêà ñâåðõó 1
Îöåíêà ñíèçó 1
Îòâåò 2

10(5 áàëëîâ). Ïðåäñòàâèì ñåáå ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîå îáëàêî èç ÷àñòèö
ïûëè, ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà [pic].  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè êàæäàÿ
÷àñòèöà â îáëàêå èìååò ñêîðîñòü, íàïðàâëåííóþ ðàäèàëüíî îò öåíòðà îáëàêà,
êîòîðàÿ çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû ïî çàêîíó: [pic], ãäå [pic] -
êîíñòàíòà, [pic] - ðàññòîÿíèå îò öåíòðà îáëàêà äî ÷àñòèöû. Ýòîò çàêîí
èçâåñòåí êàê çàêîí Õàááëà, è ðàñøèðåíèå äàííîãî îáëàêà ïûëè åñòü ãðóáîå
ïðèáëèæåíèå ðàñøèðåíèÿ íàøåé Âñåëåííîé. Áóäåò ëè îñòàâàòüñÿ ñïðàâåäëèâûì
ýòîò çàêîí ñêîðîñòåé ïî ìåðå ðàñøèðåíèÿ îáëàêà? Êàêîé äîëæíà áûòü íà÷àëüíàÿ
ïëîòíîñòü îáëàêà ïûëè äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàñøèðåíèå ïðîäîëæàëîñü áåñêîíå÷íî
äîëãî? Ðåøèòå çàäà÷ó â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïëîòíîñòü îáëàêà îñòàåòñÿ
ïîñòîÿííîé ïðè ýâîëþöèè ñèñòåìû.
(Äîâáíÿ À., ñòóäåíò 3 êóðñà ÔÈÂÒ)
Ðåøåíèå:
Ïóñòü [pic] - ìàññà ïûëè âíóòðè ñôåðû ðàäèóñà [pic]. Èçâåñòíî, ÷òî
ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, íàõîäÿùóþñÿ íà ðàññòîÿíèè
[pic] îò öåíòðà îáëàêà, áóäåò ñèëîé âçàèìîäåéñòâèÿ òîëüêî ñ ÷àñòèöàìè,
çàêëþ÷åííûìè âíóòðè ýòîé ñôåðû ðàäèóñà [pic] (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Ãàóññà).
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè [pic] îò öåíòðà
îáëàêà: [pic] (çäåñü [pic] - ìàññà ÷àñòèöû, [pic] - å¸ óñêîðåíèå).
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïëîòíîñòü îáëàêà îñòàåòñÿ ðàâíîìåðíîé ïðè ýâîëþöèè
ñèñòåìû, ìîæíî çàïèñàòü: [pic]. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîé çàêîí
Íüþòîíà, èìååì: [pic]. Ýòîò ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî è ñêîðîñòü è óñêîðåíèå
÷àñòèöû ïðîïîðöèîíàëüíî ðàäèóñó [pic], è çàêîí Õàááëà îñòà¸òñÿ
ñïðàâåäëèâûì. Êðèòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü îáëàêà îïðåäåëÿåòñÿ èç òîãî, ÷òî
÷àñòèöà ïûëè äîëæíà äîñòèãàòü íóëåâîé ñêîðîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè:
[pic][pic][pic].
Îòêóäà íàõîäèì: [pic].
Êðèòåðèè îöåíîê:
Ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ãàóññà 2
Çàêîí Íüþòîíà 1
Ôîðìóëà óñêîðåíèÿ ÷àñòèö 1
Îòâåò 1

11(3 áàëëà). Êàòÿ è Ðîìà èãðàþò â ñëåäóþùóþ èãðó: ïî î÷åðåäè áåðóò êàìíè
èç êó÷è, ñîñòîÿùåé èç 2007 êàìíåé, ïðè÷¸ì ìîæíî áðàòü òîëüêî ïðîñòîå ÷èñëî
êàìíåé, ìåíüøåå 200, èëè 1 êàìåíü. Íà÷èíàåò Êàòÿ, ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå
ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå?
( Ìàðòåìüÿíîâ Ð., ñòóäåíò 1 êóðñà ÔÈÂÒ)
Ðåøåíèå:
Äîêàæåì ÷òî Êàòÿ âñåãäà ñìîæåò äåéñòâîâàòü òàê, ÷òî ïîñëå å¸ õîäà â êó÷å
âñåãäà áóäåò îñòàâàòüñÿ ÷èñëî êàìíåé êðàòíîå 4. Ïðîâåä¸ì äîêàçàòåëüñòâî ïî
èíäóêöèè ïî n, ãäå n - êîëè÷åñòâî õîäîâ Êàòè.
1) Áàçà èíäóêöèè. n=1: Êàòÿ áåð¸ò 3 êàìíÿ è îñòà¸òñÿ 2004, êîòîðîå äåëèòñÿ
íà 4.
2) Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä îò n ê n+1. Ïóñòü ïîñëå n-ãî õîäà Êàòè â êó÷å
îñòàëîñü Y êàìíåé (Y êðàòíî 4), à Ðîìà ñâîèì n õîäîì âçÿë X êàìíåé.
Çàìåòèì, ÷òî X íå äåëèòñÿ íà 4, ò. ê. îíî äîëæíî áûòü ïðîñòûì. Çíà÷èò
ðàçíîñòü Y-X íå äåëèòñÿ íà 4: îíà ìîæåò äàâàòü îñòàòîê 1, 2 èëè 3 ïðè
äåëåíèè íà 4. Òîãäà ñëåäóþùèì ñâîèì õîäîì Êàòÿ áåð¸ò ÷èñëî êàìíåé ðàâíîå
îñòàòêó ïðè äåëåíèè X-Y íà 4. Ïîëó÷àåì, ÷òî ïîñëå (n+1)-ãî õîäà Êàòè,
îñòàâøååñÿ ÷èñëî êàìíåé â êó÷å äåëèòñÿ íà 4. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Çíà÷èò, ïîñëå êàæäîãî õîäà Êàòè îñòàâøèåñÿ ÷èñëî â êó÷å äåëèòñÿ íà 4, à
ïîñëå õîäà Ðîìû íå äåëèòñÿ. Òàê êàê â ñàìîì êîíöå â êó÷å íå îñòà¸òñÿ
êàìíåé, à 0 äåëèòñÿ íà 4, òî Êàòÿ âñåãäà ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó.
Îòâåò: Êàòÿ.
Êðèòåðèè îöåíîê:
Îòâåò 1
Ñòðàòåãèÿ 1
Äîêàçàòåëüñòâî 1

12(4 áàëëà). Íà äèàìåòðå êðóãëîé ïëàòôîðìû çàêðåïëåíû ðåëüñû, ïî êîòîðûì
ìîæåò ñâîáîäíî ïåðåìåùàòüñÿ ïóñêîâàÿ óñòàíîâêà. Ïëàòôîðìà âðàùàåòñÿ ñ
ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ [pic]. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíî ïîëîæåíèå
ïëàòôîðìû è ïóñêîâîé óñòàíîâêè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè [pic] (ñòðåëî÷êà
óêàçûâàåò íà ïóñêîâóþ óñòàíîâêó). Â ýòîò æå ìîìåíò ïóñêîâàÿ óñòàíîâêà
íà÷èíàåò äâèæåíèå ïî çàêîíó [pic], ãäå [pic]- ðàäèóñ ïëàòôîðìû, à [pic] -
ðàññòîÿíèå äî îñè ïëàòôîðìû. Â ìîìåíò âðåìåíè [pic] â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ
óñòàíîâêè ìãíîâåííî ñòàðòóåò îðàíæåâàÿ ðàêåòà. Èçîáðàçèòå òðàåêòîðèþ
äâèæåíèÿ ðàêåòû ñ òî÷êè çðåíèÿ íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ íàä
ïëàòôîðìîé è îáîçðåâàþùåãî âñþ ïëàòôîðìó öåëèêîì.
(Ãàðèôóëëèí Ý., ñòóäåíò 2 êóðñà ÔÈÂÒ)
Ðåøåíèå:
Ïóñòü [pic] - óãîë ìåæäó ðåëüñàìè è îñüþ [pic].
1)[pic] [pic]
2)[pic]
Äàëåå ðåøàåì â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.
3)Ïîëîæèì äëÿ íåêîòîðûõ [pic] [pic][pic][pic]. Îòñþäà ïîëó÷àåì [pic][pic]
Çàìåòèì, ÷òî ïðè [pic] óñòàíîâêà íàõîäèòñÿ â öåíòðå ïëàòôîðìû,
ñëåäîâàòåëüíî, îíà íå èìååò âðàùàòåëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè, à èìååò ëèøü
ïîñòóïàòåëüíóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âäîëü ðåëüñ.
4)Èññëåäîâàíèå íà ýêñòðåìóì:
[pic]. Îòñþäà [pic] [pic]
(Çíàê "-" ïîêàçûâàåò èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà [pic]â ñèñòåìå,
ñâÿçàííîé ñ ðåëüñàìè)
5) [pic]. [pic].
Çäåñü èñïîëüçîâàíû îãðàíè÷åíèÿ [pic]
Î÷åâèäíî, ïðè [pic] óñòàíîâêà äâèæåòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè, à ïðè [pic] - â
äðóãîì.
6) [pic] - ïîñòóïàòåëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ óñòàíîâêè â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé
ñ ðåëüñàìè.
[pic] [pic].
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè [pic]èëè [pic] óñòàíîâêà íå èìååò ïîñòóïàòåëüíîé
êîìïîíåíòû ñêîðîñòè è äâèæåòñÿ âìåñòå ñ ïëàòôîðìîé ñî ñêîðîñòüþ [pic].
Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ â ýòèõ òî÷êàõ êàñàåòñÿ êðóãà ðàäèóñà
[pic].
7) Êîíòðîëüíûå òî÷êè:
[pic]
8)Â ìîìåíò [pic] [pic]. Ðàêåòà íàõîäèòñÿ â öåíòðå ïëàòôîðìû è èìååò
íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü [pic], íàïðàâëåííóþ ïàðàëëåëüíî îñè [pic].
Èñõîäÿ èç ïóíêòîâ (1)-(8) ñòðîèì òðàåêòîðèþ:
Êðèòåðèè îöåíîê:
Ïåðåõîä â ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû 1
Èññëåäîâàíèå ýêñòðåìóìîâ 1
Êîíòðîëüíûå òî÷êè 1
Ðèñóíîê òðàåêòîðèè 1

13(3 áàëëà çà ôèçè÷åñêóþ ÷àñòü + áàëëû çà èäåþ ïðèìåíåíèÿ). Îáùåå
ïîòðåáëåíèå ýíåðãèè ëþäüìè ñîñòàâëÿåò 2.5 ÒÂò (íà êîíåö 2006 ãîäà).
Îöåíèòå, âî ñêîëüêî ðàç ýòà öèôðà áîëüøå äëÿ ðàñòåíèé, ó÷èòûâàÿ ÷òî îíè
ïîãëîùàþò 0.8% âñåé äîõîäÿùåé äî ïëàíåòû ñîëíå÷íîé ýíåðãèè. Ñâåòèìîñòü
Ñîëíöà [pic]Âò. Ïðåäëîæèòå ïðèìåíåíèå ýíåðãèè ðàñòåíèé. Ãäå è êàê åå ìîæíî
èñïîëüçîâàòü? Âûãîäíî ëè ýòî? ×òî íóæíî, ÷òîáû ýòó ýíåðãèþ èñïîëüçîâàòü?

Óêàçàíèå: Ñâåòèìîñòü - ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, èçëó÷àåìàÿ òåëîì çà åäèíèöó âðåìåíè.
(Ñàôðîíîâ Â., ñòóäåíò 5 êóðñà ÔÀÊÈ)
Ðåøåíèå:
Âåëè÷èíà ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ, ïðèõîäÿùåãîñÿ íà êâàäðàòíûé ìåòð â ñåêóíäó
äëÿ îðáèòû Çåìëè (ñîëíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ) ðàâíà ïðèáëèçèòåëüíî N=1400 Âò/ì2.
Äëÿ åå ïîëó÷åíèÿ ñâåòèìîñòü Ñîëíöà íàäî ïîäåëèòü íà ïëîùàäü ñôåðû ðàäèóñîì
150 ìëí. êì (60% ýòîé ýíåðãèè ðàññåèâàåò àòìîñôåðà, 40% äîõîäÿò äî
ïîâåðõíîñòè, â ñâîþ î÷åðåäü îêîëî 2% îò ýòèõ 40% ïîãëîùàþò ðàñòåíèÿ, îòñþäà
öèôðà k=0.8% =[pic]).
Ïëîùàäü ïîãëîùåíèÿ äëÿ äèñêà ðàäèóñîì 6400 êì (ïðèáëèæåíèå Çåìëè) ðàâíà S ~
[pic]. Ïîëó÷àåì ýíåðãåòèêó öàðñòâà ðàñòåíèé: [pic] [pic][pic]Âò. Ýòà öèôðà
ïðèìåðíî â 600 ðàç ïðåâûøàåò ñóùåñòâóþùèå ïîòðåáíîñòè ëþäåé â ýíåðãèè.
Îòâåò: [pic]Âò
Êðèòåðèè îöåíîê:
Îöåíêà ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ íà ìåòð êâàäðàòíûé 1
Îöåíêà ïëîùàäè ïîãëîùåíèÿ äëÿ Çåìëè, êàê [pic] 1
Äðóãàÿ îöåíêà ïëîùàäè ïîãëîùåíèÿ äëÿ Çåìëè 1
Îòâåò 1

14(5 áàëëîâ). Íåäàëåêî îò ïîëíîâîäíîé ãîðíîé ðåêè â ïðîøëîì ãîäó áûë
ïîñòðîåí ó÷àñòîê æåëåçíîé äîðîãè, ñòîèìîñòüþ 1ìëí. ó.å.  ýòîì ãîäó áûëî
ïðèíÿòî ðåøåíèå î ñòðîèòåëüñòâå ãèäðîýëåêòðîñòàíöèè íà ýòîé ðåêå. Åñòü
âûáîð ìåæäó äâóìÿ ïðîåêòàìè ñòàíöèé îäèíàêîâîé ìîùíîñòè. Ïåðâàÿ ìîæåò áûòü
ïîñòðîåíà ê êîíöó ãîäà, íî âñëåäñòâèå ðàçëèâà ðåêè áóäåò çàòîïëåí óæå
ïîñòðîåííûé ó÷àñòîê æåëåçíîäîðîæíîãî ïîëîòíà. Ÿ ñòîèìîñòü ñîñòàâèò 6,5
ìëí. ó.å., ðàáîòû ïî ïåðåíîñó ïîëîòíà áóäóò âûïîëíåíû â êîíöå ñëåäóþùåãî
ãîäà è îáîéäóòñÿ â 1.2 ìëí. ó.å. Âñå âûïëàòû ïðîèçâîäÿòñÿ ïî îêîí÷àíèè
ñòðîèòåëüñòâà, è äðóãèõ çàòðàò äëÿ çàïóñêà íå ïîòðåáóåòñÿ. Âòîðàÿ ìîæåò
áûòü ïîñòðîåíà ê êîíöó ñëåäóþùåãî ãîäà, ïðè÷¸ì ñòðîèòåëüñòâî òðåáóåò âûïëàò
4 ìëí. ó.å. â êîíöå ýòîãî ãîäà è 6 ìëí. ó.å. â êîíöå ñëåäóþùåãî. Â ýòîì
ñëó÷àå çàòîïëåíèÿ íå ïðîèñõîäèò. Ñ÷èòàÿ òåìï ïàäåíèÿ öåííîñòè äåíåã (ñòàâêó
äèñêîíòà) 1,2 â ãîä, âûáåðåòå ëó÷øèé íà Âàø âçãëÿä ïðîåêò è àðãóìåíòèðóéòå
ñâîé âûáîð.
(Ìàëååâ À., ñòóäåíò 4 êóðñà ÔÈÂÒ)
Ðåøåíèå:
Ñòîèìîñòü äåíåã âî âðåìåíè ïàäàåò áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî äåíüãè, îáðàùàÿñü ãäå
áû òî íè áûëî, ìîãóò ïðèíîñèòü áåçðèñêîâóþ ïðèáûëü. Íàïðèìåð, ìîæíî â
íà÷àëå ãîäà êóïèòü ãîñóäàðñòâåííûå öåííûå áóìàãè ÑØÀ è ïðàêòè÷åñêè
ãàðàíòèðîâàííî â êîíöå ãîäà ïîëó÷èòü íåêèé ïðîöåíò ïðèáûëè. Êîíå÷íî,
ñóùåñòâóåò è âòîðîé ôàêòîð îáåñöåíèâàíèÿ äåíåã - èíôëÿöèÿ, íî ïîñêîëüêó â
óñëîâèè íåò ñîîòâåòñòâóþùèõ äàííûõ, òî äëÿ ïðîñòîòû îïóñòèì ó÷¸ò ýòîãî
ôàêòîðà. Âñå âûïëàòû â îáîèõ èç ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîåêòîâ ïðîèçâîäÿòñÿ ëèáî
â êîíöå òåêóùåãî ãîäà, ëèáî â êîíöå ñëåäóþùåãî, ïîýòîìó ïðèâåä¸ì âñå
âûïëàòû ê êîíöó òåêóùåãî ãîäà (äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ çàäà÷è, ìîæíî ïðèâîäèòü
èõ ëþáîìó äðóãîìó, íî îáÿçàòåëüíî îäíîìó è òîìó æå äëÿ äâóõ ïðîåêòîâ
ìîìåíòó âðåìåíè). Ïî óñëîâèþ òåìï ïàäåíèÿ öåííîñòè äåíåã âî âðåìåíè ðàâåí
1,2 â ãîä, ïîýòîìó ñòîèìîñòü 1 ó.å. â êîíöå âòîðîãî ãîäà ðàâíà [pic]â êîíöå
ýòîãî ãîäà.
Çàìåòèì, ÷òî ó÷àñòîê æåëåçíîäîðîæíîãî ïîëîòíà óæå ïîñòðîåí â ïðîøëîì ãîäó,
è ñåé÷àñ óæå íåëüçÿ ïîâëèÿòü íà ðåøåíèå î åãî ñòðîèòåëüñòâå. Ïîýòîìó
çàòðàòû íà åãî ñòðîèòåëüñòâî, ïðîèçâåä¸ííûå â êîíöå ïðîøëîãî ãîäà, íå
äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ ïðè ñåãîäíÿøíåì âûáîðå (òàê íàçûâàåìûé «ïðèíöèï
íåóïðàâëÿåìîñòè ïðîøëûì»).
Îñòà¸òñÿ òîëüêî ïîäñ÷èòàòü è ñðàâíèòü çàòðàòû ïî êàæäîìó ïðîåêòó,
ïðèâåä¸ííûå íà êîíåö òåêóùåãî ãîäà:
1-ûé ïðîåêò: [pic]; 2-îé ïðîåêò: [pic].
Îòâåò: ïåðâûé.
Êðèòåðèè îöåíîê:
Ó÷¸ò ïàäåíèÿ ñòîèìîñòè äåíåã âî âðåìåíè 1
Èñïîëüçîâàíèå ïðèíöèïà íåóïðàâëÿåìîñòè ïðîøëûì 1
Ïðàâèëüíî ïîäñ÷èòàííûå çàòðàòû íà ðåàëèçàöèþ ïåðâîãî ïðîåêòà 1
Ïðàâèëüíî ïîäñ÷èòàííûå çàòðàòû íà ðåàëèçàöèþ âòîðîãî ïðîåêòà 1
Îòâåò 1

Îðãàíèçàòîðû îëèìïèàäû: Ìàëååâ Àëåêñåé, Çóáàíîâ Äìèòðèé, Êðèâöîâ Âàëåðèé
Åâãåíüåâè÷, Ìàðòåìüÿíîâ Ðîìàí, Ñòåáåëåâ Ìàêñèì, Õàìèäóëèí Àíäðåé.
Ôèíàíñîâàÿ ïîääåðæêà: êîìïàíèÿ ABBYY, êîìïàíèÿ Cognitive Technologies.
-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

m