Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/instolimp/a_2b3xxm/f_83qk Дата изменения: Fri May 5 20:46:36 2006 Дата индексирования: Mon Oct 1 22:18:43 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: mdi

Московский физико-технический институт

(Государственный университет)

Факультет управления и прикладной математики



[pic]






ЗАОЧНАЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ








Долгопрудный - 2006
Математика

1. Решить уравнение [pic]

2. Решить (в зависимости от параметра a) уравнение
[pic]
3. Найдите все функции f, такие что
. [pic] - строго возрастает,
. [pic] [pic]
[pic]- функция, обратная к[pic] Предполагается, что она везде определена.
4. По данным журнала «За рулем», в 2005 г. в Москве насчитывалось 493
автобусных маршрута. Назовем две остановки попарно отдаленными, если для
того чтобы проехать от одной из них к другой необходимо совершить не менее
6 пересадок. С любой остановки за конечное число пересадок можно добраться
до любой другой остановки. Автобусы по маршруту движутся в обоих
направлениях. Какое максимальное число попарно отдаленных остановок могло
существовать в 2005 году?
5. Дан квадрат 2005 ( 2005. Центральная клетка в нем закрашена в черный
цвет, остальные белые. За один ход можно изменить все цвета на
противоположенные в любой диагонали квадрата (не обязательно главной).
Можно ли с помощью этих операций перекрасить всю доску в белый цвет?
6. В квадратной таблице 17 ( 17 закрашены в черный цвет 80 клеток,
остальные белые. Разрешается закрасить строку или столбец в черный цвет,
если большинство клеток на этой линии - черные. Доказать, что при помощи
таких операций нельзя сделать всю таблицу черной.
7. Докажите, что для любых двух последовательностей [pic] и [pic] выполнено
неравенство
[pic], где [pic] и [pic]
8. На каждой стороне треугольника взято по две точки таким образом, чтобы
все шесть отрезков, соединяющих каждую точку с противоположной вершиной,
были равны между собой. Докажите, что середины этих шести отрезков лежат на
одной окружности.

Физика

1. На рисунке показано положение электрона и позитрона в некоторый момент.
Расстояние между линиями сетки a = 0,01 мм. Определите минимальное
расстояние между частицами при дальнейшем движении. За какое время это
расстояние станет минимальным? [pic], [pic]м/с. Элементарный электрический
заряд [pic]Кл, масса электрона [pic] кг.
2. Конденсатор емкостью [pic]мкФ зарядили до напряжения [pic] = 8 В, а
конденсатор емкостью [pic] = 10 мкФ - до напряжения [pic] = 12 В.
Конденсаторы соединили с резисторами, сопротивления которых [pic] = 9 кОм и
[pic] = 30 кОм, и разомкнутыми ключами (см. рисунок). Какое количество
теплоты выделится в каждом из резисторов после одновременного замыкания
обоих ключей?
3. После того, как мыши разыграли кота Леопольда, он не на шутку разозлился
и отправился в погоню за ними на ракете. Скорость его ракеты [pic], а
скорость ракеты мышей [pic]. С точки зрения неподвижного наблюдателя
Крокодила Гены расстояние между ними в начальный момент было [pic] км. С
какой скоростью кот Леопольд будет догонять мышей с их точки зрения? Через
неделю у кота Леопольда (по его часам!) день рождения, поэтому он решает
примириться с мышами и посылает им приглашение в виде серии фотонов.
Сколько времени с точки зрения мышей длилась погоня? Мир считается
установленным в тот момент, когда они получат приглашение.
4. В установке для разделения изотопов [pic] и [pic] пучок однократно
ионизированных ускоренных ионов урана с энергией [pic]эВ попадает от
источника через щель S в однородное магнитное поле, перпендикулярное
плоскости движения ионов. В магнитном поле ионы разных масс движутся по
различным окружностям и, совершив полуоборот, попадают в приёмники.
Конструкция последних должна быть такова, чтобы расстояние между пучками
[pic] и [pic] на выходе было не меньше [pic] мм. Какова должна быть
индукция магнитного поля [pic], удовлетворяющая этому условию? Найти время
[pic], необходимое для полного разделения [pic]кг природного урана, если
сила анодного тока, создаваемого источником, равна [pic] мА. Указание: для
малых [pic] справедлива формула [pic].
5. Цилиндрический деревянный стакан с толстым дном и очень тонкими
стенками, наполненный до краев водой, плавает дном вниз в трубе,
погруженной вертикально в сосуд с водой. Стакан покрыт тонкой пленкой,
предотвращающей его воспламенение. Диаметр трубы чуть больше диаметра
стакана. Температура воды в стакане 27(С. Около дна стакана находится
маленький легкий электронагреватель (он автоматически выключается, когда
вся вода из стакана выкипает). На рисунке приведена часть графика
зависимости глубины погружения стакана h от времени (, прошедшего после
включения электронагревателя. а) Продолжите этот график до ( = 20 мин.
б) Определите толщину дна стакана. Потери тепла и теплоемкость стакана не
учитывайте. Поверхностыми явлениями пренебрегите. Плотность воды
1000 кг/м3, а дерева - 500 кг/м3. Удельная теплоемкость воды
c = 4200 Дж/(кг ( К), удельная теплота парообразования r = 2,3 МДж/кг.
6. Искусственный спутник Земли массой [pic]кг, движущийся по круговой
орбите радиусом [pic]км, нужно перевести на другую круговую орбиту, радиус
которой больше на [pic]км. Перевод осуществляют с помощью двух коротких
включений двигателя.
а) На сколько изменится скорость спутника?
б) На сколько изменится потенциальная энергия спутника?
в) На сколько изменится механическая энергия спутника?
г) Сколько надо времени для перехода с одной круговой орбиты на другую?
д) Каково общее время работы двигателя, если он развивает силу тяги
[pic]Н?
Масса Земли [pic]кг. Расчеты могут быть приближенными.
7. Три одинаковых конденсатора, каждый ёмкости [pic] соединили
последовательно и подключили к батарее с ЭДС (. После их полной зарядки
конденсаторы отсоединяют от батареи и подключают к ним одновременно два
резистора сопротивлением [pic], как показано на рисунке. Какое количество
тепла выделится на каждом из резисторов? Чему равны токи через резисторы в
тот момент, когда напряжение на среднем конденсаторе в 10 раз меньше ЭДС
батареи?
8. Кусок металлической трубы массой [pic] и внутренним сечением [pic]
изогнут в форме полуокружности радиуса [pic] [pic]. Труба может свободно
вращаться вокруг точки А. Этот кусок трубы лежит на столе, причём
коэффициент трения равен [pic]. В точке А к трубе присоединяют гибкий
шланг, по которому течёт жидкость плотностью [pic] со скоростью [pic].
Найти наибольшую скорость, при которой труба всё ещё будет неподвижна.
Указание: [pic].
Слово декана
ФУПМ готовит специалистов по прикладной математике. Особенности работы
наших выпускников - участие в конкретных проектах, имеющих заказчиков и,
как правило, жесткие сроки выполнения. Работа математика-прикладника обычно
требует много сил и полной самоотдачи. Поэтому, если Вы любите напряженную
и увлекательную творческую работу и хотите видеть конкретный выход, то
прикладная математика для Вас.
На нашем факультете за многие годы сложился уникальный микроклимат, все
ведущие российские школы по прикладной математике представлены на ФУПМ. И
неважно, какую именно специализацию Вы изберете, к какому направлению
приложите свои знания - будь то математическая физика, моделирование
социально-экономических систем, управление техническими системами или
computer science. На нашем факультете Вы получите хорошую предметную
подготовку во всех отраслях современной прикладной математики и привычку
упорно работать, умение учиться и самостоятельно осваивать новые разделы и
направления.
Выпускники факультета сейчас работают по всему миру. И везде
востребованы те лучшие качества, которые были воспитаны в счастливые
студенческие годы на нашем факультете, и те знания, которые студенты сумели
получить.
На нашем факультете всегда найдется та предметная область, к которой Вы
сможете применить свои знания и способности. Мы будем рады, если Вы
пополните собой ряды студентов нашего факультета.
С уважением,
декан ФУПМ, д. ф.-м. н., выпускник ФУПМ 1978 года
Александр Алексеевич ШАНАНИН.

Обзор базовых кафедр ФУПМ
Прикладные Математика и Физика - это основная специальность, по которой
ведется обучение на всех факультетах МФТИ. Система Физтеха предусматривает,
что студенты и аспиранты факультета в одной «упряжке» с преподавателями и
учеными базовых организаций - ведущих НИИ РАН - непосредственно участвуют в
поиске новых идей, добыче научных знаний, разработке технологий, реализации
приложений.
Сложные физические, технологические, технические, финансовые,
экономические, управленческие, информационные задачи, решение которых
невозможно без применения математики и ЭВМ - предмет содержательного и
формализованного изучения и разработок. Процесс таких исследований
завершается получением конечного результата: технологий, проектов, бизнес-
планов, математических и компьютерных моделей, действующих вычислительных
или программных комплексов.
Любой выпускник факультета владеет математическим аппаратом, «вслепую»
работает за компьютером. Многие студенты и аспиранты факультета не
ограничиваются прикладным программированием и использованием известных
математических технологий. Они становятся профессиональными математиками,
системными программистами.
Производственные предприятия, промышленные и аграрные комплексы,
территориальные и национально-хозяйственные системы, транспортные сети и
коммуникации, политические и социально-демографические процессы, финансовые
структуры и информационные системы - это все то множество объектов, на
описание и исследование которых нацелен факультет.
На нашем факультете студенты обучаются по основной для МФТИ
специальности 511600 «Прикладные математика и физика» в течение 6 лет (4
года по программе бакалавриата и 2 года магистратуры).
Наши базовые кафедры:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - на базе Института
автоматизации проектирования РАН, зав. кафедрой академик РАН
О. М. Белоцерковский.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ - на базе
Вычислительного центра РАН им. А. А. Дородницына, зав. кафедрой член-корр.
РАН Ю. Н. Павловский.
Специализации: Математическая физика - руководитель специализации член-
корр. РАН Ю. Г. Евтушенко; Теория управления и исследования операций -
руководитель специализации член-корр. РАН Ю. Н. Павловский.
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ - на базе Вычислительного центра РАН
им. А. А. Дородницына, зав. кафедрой член-корр. РАН К. В. Рудаков.
Специализации: Проектирование и организация систем - руководитель
специализации д.т.н., профессор А. И. Эрлих; Интеллектуальный анализ данных
- руководитель специализации член-корр. РАН К. В. Рудаков.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - на базе Института математического
моделирования РАН, зав. кафедрой академик РАН А. А. Самарский.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА - на базе Института прикладной математики
им. М. В. Келдыша РАН, зав. кафедрой член-корр. РАН Ю. П. Попов.
Специализации: Управление динамическими системами - руководитель
специализации д.ф.-м.н. С.А.Мирер; Прикладная математика - руководитель
специализации член-корр. РАН Ю.П. Попов.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА И МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ - на базе
Института кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины, зав. кафедрой
академик НАНУ И. В. Сергиенко.
Управляющие информационные системы - на базе Государственного НИИ
авиационных систем, зав. кафедрой академик РАН Е. А. Федосов.
СИСТЕМНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ - на базе Института системного анализа РАН, зав.
кафедрой член-корр. РАН Ю. С. Попков.
АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ - на базе Института народно-
хозяйственного прогнозирования РАН, зав. кафедрой академик РАН
В. В. Ивантер.
СИСТЕМНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - на базе Института системного программирования
РАН, зав. кафедрой член-корр. РАН В. П. Иванников
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ (специализация на кафедре информатики МФТИ) - зав.
кафедрой профессор д.ф.-м.н. И. Б. Петров.
В 2005 году студенты сняли фильм о родном факультете: поступление,
студенческая жизнь, учеба, отдых, интервью с известнейшими преподавателями.
Ознакомиться с ним Вы можете на сайте
http://fupm.fizteh.ru/forentrants/filmfupm.html/
Приемная комиссия МФТИ: 141709, Московская область, г. Долгопрудный,
Институтский пер., 9. МФТИ, Аудиторный корпус, 109 ауд., тел. +7 (495) 408-
48-00, E-mail: compr@edu.mipt.ru
Деканат ФУПМ: 141709, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский
пер., д. 9, ФУПМ. Тел. 408-80-88. Адрес нашего сайта:
http://fupm.fizteh.ru/. E-mail: fupm@fizteh.ru.
В 2005 году на бюджетную форму обучения ФУПМ принял 103 человека. Из
поступивших математику по ЕГЭ зачли 17 человек, физику - 2 человека, оба
предмета - 5 человек. Институт имеет военную кафедру (Факультет Военного
Обучения). Всем иногородним студентам предоставляется общежитие. В 2005
году средний балл зачисленных на факультет составил 21,84 из 24 возможных.
Много других интересных для абитуриента сведений можно найти в разделе
абитуриент официального сайта МФТИ http://mipt.ru/abitur/. Сайт для
абитуриентов МФТИ http://abitu.ru/.
Из отзыва Игоря Янковского, выпускника ФУПМ 1985 г., аспирантуры МФТИ
1988 г., к.ф.-м.н., зам. руководителя Управления внедрения

компании "Новая Афина" (ПрограмБанк)
«Зачем поступать на Физтех? Почему поступать именно на ФУПМ? И что это
мне даст? Многие старшеклассники за последние годы задавали себе этот
вопрос. И многие нашли правильные ответы.
Надо только знать, что Физтех - это не только институт. Физтех - это, в
первую очередь, склад ума, стиль мышления, образ жизни. Это способность
усваивать огромный объем незнакомой ранее информации и применять полученные
знания в реальных задачах.
Полностью набор знаний, именно знаний, полученных на Физтехе, в
реальной жизни может оказаться и невостребованным. Однако есть и
исключения. Можно считать, что ФУПМ - это тот самый факультет, проучившись
на котором, вы получите те знания, которые действительно пригодятся в любой
деятельности. Все, что связано с компьютерами, все, что связано с
программированием, все, что связано с базами данных - это будет
востребовано всегда и везде. А именно такие курсы являются основой
программы обучения на ФУПМе. И потом, Физтех - это марка, это брэнд.
Выпускнику Физтеха проще устроиться на работу, чем кому бы то ни было. В
нашей компании для приема на работу в резюме достаточно указать только два
слова - "закончил МФТИ" (вариант - "старшекурсник МФТИ"). Ведь мы прекрасно
знаем, что именно умеют физтехи, прошедшие через огонь и воду "шести
счастливых лет" (Строчка из старого физтеховского проспекта). Знаем и
достоинства, и недостатки. И то, и другое вполне нас устраивает. А причина
проста - организаторы и руководители компании тоже физтехи. И таких
компаний в России с каждым годом становится все больше и больше.
Так что поступайте на ФУПМ МФТИ и успешное будущее вам гарантировано!
Как к нам добраться: доехать до м. Савеловская, с Савеловского вокзала
электричкой, идущей в направлении Лобни, Дмитрова до пл. Новодачная.
Внимание! На ней останавливаются не все электрички. Перейти пути, дальше
идти по асфальтовой дорожке по ходу поезда.

От авторов задач будущему абитуриенту.
Приветствуем тебя, уважаемый старшеклассник, уважаемая старшеклассница
(нужное подчеркнуть)(.
Перед тобой 16 задач, хороших и разных. Это Заочная физико-
математическая олимпиада, которая проводится Факультетом Управления и
Прикладной Математики Московского физико-технического института. Она не
только способна занять тебя на неопределенно долгий срок, но и способна
помочь при поступлении на ФУПМ. Каждая задача - это маленький перл,
порожденный богатым воображением автора и пропущенный ножницами
организаторов. Мы рады, что ты интересуешься нашей олимпиадой, а значит
нашим институтом, нашим факультетом и математикой. Она (математика)
представлена на нашем факультете во всей красе, от чисто теоретических
курсов дискретного анализа с теорией групп, теории реализации языков
программирования (об этом курсе в двух словах не скажешь(), до чисто
прикладных вещей, таких как вычислительная математика, спец. курсы кафедры
информатики. Так что у нас есть, чем заняться. Ты спросишь: «А зачем в этой
олимпиаде физика?» Без физики ты не сможешь решать практические задачи.
Физика учит видеть только то, что важно в данной проблеме, отсеивать
ненужные детали. По выражению одной из студенток, не понимавшей, как можно
учить физику, «там решения типа давайте считать шкаф круглой тумбочкой». В
этом и заключается ее прелесть, что иногда шкаф - это действительно круглая
тумбочка (.
Мы искренне надеемся, что решение нетривиальных задач доставит тебе
массу удовольствия. Даже если ты что-нибудь не решишь, все равно высылай не
позднее 15 апреля свою работу в тонкой тетради по адресу:
141709, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9, МФТИ,
Деканат ФУПМ с пометкой «Олимпиада ФУПМ-2006»
На титульном листе разборчиво укажи свою фамилию, имя, отчество, точный
почтовый адрес, место учебы, класс, номер в ЗФТШ (если есть), нарисуй
табличку для проставления баллов за задачи. Лучшие из лучших получат диплом
победителя(
Удачи!
Задачи предлагали: Исаев Михаил, Кучумов Рустем, Малеев Алексей,
Пустовойтов Никита, Руссков Александр, Соловейчик Илья. Идеи некоторых
задач взяты из олимпиадных сборников.
Организация олимпиады - Алексей Малеев, Игорь Проценко, Никита
Пустовойтов. Если Вы хотите, чтобы в будущих олимпиадах участвовали Ваши
задачи, присылайте их в архиве на flashnik@7ka.mipt.ru
-----------------------

S

B




M

?

A



?, ?




2R