дНЙСЛЕМР БГЪР ХГ ЙЩЬЮ ОНХЯЙНБНИ ЛЮЬХМШ. юДПЕЯ НПХЦХМЮКЭМНЦН ДНЙСЛЕМРЮ : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=99
дЮРЮ ХГЛЕМЕМХЪ: Fri May 5 15:25:14 2006
дЮРЮ ХМДЕЙЯХПНБЮМХЪ: Tue Oct 2 03:01:27 2012
йНДХПНБЙЮ: koi8-r
оНХЯЙНБШЕ ЯКНБЮ: О О О О О О

яНДЕПФЮМХЕ

бБЕДЕМХЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1. рЕНПЕРХВЕЯЙХЕ НЯМНБШ ПЮАНРШ:
1.1. мЕНОПЕДЕКЕММШЕ СПЮБМЕМХЪ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ Я ДБСЛЪ МЕХГБЕЯРМШЛХ . .
. 3
1.2. юКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ Х КХМЕИМНЕ ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ мнд . . . . . . . . .
. . . . . . . .3
1.3. йНМЕВМШЕ ЖЕОМШЕ ДПНАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.4. лЕРНДШ ПЕЬЕМХЪ МЕНОПЕДЕКЕММШУ СПЮБМЕМХИ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ Я ДБСЛЪ
МЕХГБЕЯРМШЛХ Х ХУ ЯПЮБМЕМХЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2. гЮДЮВХ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ Х ХУ ПЕЬЕМХЪ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 10
гЮЙКЧВЕМХЕ Х ЯОХЯНЙ КХРЕПЮРСПШ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

бБЕДЕМХЕ

дКЪ ПЕЬЕМХЪ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ ОЕПБНИ
ЯРЕОЕМХ Я ДБСЛЪ МЕХГБЕЯРМШЛХ
ax + by = c
(1)
ОПХЛЕМЪЧРЯЪ ЛМНЦХЕ ЛЕРНДШ Х ЯОНЯНАШ. мЕЙНРНПШЕ ХГ МХУ ЯБЪГЮМШ Я
ЮКЦНПХРЛНЛ еБЙКХДЮ. й МХЛ НРМНЯЪРЯЪ: ЯОНЯНА, НЯМНБЮММШИ МЮ КХМЕИМНЛ
ОПЕДЯРЮБКЕМХХ мнд ВХЯЕК a Х b, ЛЕРНД ЙНМЕВМШУ ЖЕОМШУ ДПНАЕИ, ЛЕРНД
ПЮЯЯЕХБЮМХЪ.
жЕКЭ ДЮММНИ ПЮАНРШ:
ОПНБЕЯРХ ЯПЮБМЕМХЕ, ЮМЮКХГ ОЕПЕВХЯКЕММШУ ЯОНЯНАНБ, ХУ РПСДНЕЛЙНЯРХ Б
ГЮБХЯХЛНЯРХ НР ГМЮВЕМХИ ЙНЩТТХЖХЕМРНБ СПЮБМЕМХЪ (1). оНД
РПСДНЕЛЙНЯРЭЧ ЛШ ОНМХЛЮЕЛ ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ,
ОПХЛЕМЕММНЦН Й ВХЯКЮЛ a Х b.
дКЪ ДНЯРХФЕМХЪ ДЮММНИ ЖЕКХ МЕНАУНДХЛН ЯМЮВЮКЮ ХГСВХРЭ ЯКЕДСЧЫХЕ
БНОПНЯШ:
1. мЕНОПЕДЕКЕММШЕ СПЮБМЕМХЪ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ Я ДБСЛЪ МЕХГБЕЯРМШЛХ, ХУ
ПЮГПЕЬХЛНЯРЭ, ТНПЛСКШ ПЕЬЕМХИ.
2. юКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ.
3. йНМЕВМШЕ ЖЕОМШЕ ДПНАХ Х ХУ ОПХЛЕМЕМХЕ Й МЮУНФДЕМХЧ ВЮЯРМШУ ПЕЬЕМХИ
МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ.
4. яОНЯНАШ Х ЛЕРНДШ ПЕЬЕМХИ МЕНОПЕДЕКЕММШУ СПЮБМЕМХИ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ Я
ДБСЛЪ МЕХГБЕЯРМШЛХ.
оПХБЕДЕЛ ЙПЮРЙНЕ ХУ ХГКНФЕМХЕ Б ОСМЙРЕ 1.

1. рЕНПЕРХВЕЯЙХЕ НЯМНБШ ПЮАНРШ

1.1. мЕНОПЕДЕКЕММШЕ СПЮБМЕМХЪ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ Я ДБСЛЪ МЕХГБЕЯРМШЛХ

нОПЕДЕКЕМХЕ. мЕНОПЕДЕКЕММШЛ СПЮБМЕМХЕЛ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ Я ДБСЛЪ
МЕХГБЕЯРМШЛХ МЮГШБЮЕРЯЪ СПЮБМЕМХЕ БХДЮ:
ax + by = c,
ЦДЕ a, b, c - ВХЯКЮ ХГ МЕЙНРНПНИ ДЮММНИ ЯНБНЙСОМНЯРХ (ДЕИЯРБХРЕКЭМШЕ,
ПЮЖХНМЮКЭМШЕ, ЖЕКШЕ Х Р. О.), ОПХВЕЛ a Х b МЕ ПЮБМШ МСКЧ. пЕЬЕМХЪЛХ
МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ МЮГШБЮЧРЯЪ КЧАШЕ ОЮПШ ВХЯЕК (x0; y0),
ОПХМЮДКЕФЮЫХУ ДЮММНИ ЯНБНЙСОМНЯРХ, ЙНРНПШЕ СДНБКЕРБНПЪЧР СПЮБМЕМХЧ. кЧАНЕ
РЮЙНЕ ПЕЬЕМХЕ МЮГШБЮЕРЯЪ ВЮЯРМШЛ. аСДЕЛ ПЮЯЯЛЮРПХБЮРЭ МЕНОПЕДЕКЕММШЕ
СПЮБМЕМХЪ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ.
рЕНПЕЛЮ 1. еЯКХ ЯБНАНДМШИ ВКЕМ c МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ
ax + by = c
МЕ ДЕКХРЯЪ МЮ МЮХАНКЭЬХИ НАЫХИ ДЕКХРЕКЭ ЙНЩТТХЖХЕМРНБ a Х b, РН СПЮБМЕМХЕ
МЕ ХЛЕЕР ЖЕКШУ ПЕЬЕМХИ. ( 1
рЕНПЕЛЮ 2. еЯКХ ЙНЩТТХЖХЕМРШ Ю Х b МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ
ax + by = c
ЪБКЪЧРЯЪ БГЮХЛМН ОПНЯРШЛХ ВХЯКЮЛХ, РН СПЮБМЕМХЕ ХЛЕЕР, ОН ЙПЮИМЕИ ЛЕПЕ,
НДМН ЖЕКНЕ ПЕЬЕМХЕ.
рЕНПЕЛЮ 3. бЯЕ ЖЕКШЕ ПЕЬЕМХЪ МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ
ax + by = c,
Б ЙНРНПНЛ a Х b ЪБКЪЧРЯЪ БГЮХЛМН ОПНЯРШЛХ ВХЯКЮЛХ, ГЮДЮЧРЯЪ ТНПЛСКЮЛХ
x = x0 + bt, y = y0 - at,
ЦДЕ (x0; y0) - МЕЙНРНПНЕ ПЕЬЕМХЕ СПЮБМЕМХЪ, Ю t - ОПНХГБНКЭМНЕ ЖЕКНЕ ВХЯКН.
рЕОЕПЭ С МЮЯ ЕЯРЭ ТНПЛСКШ, ОНГБНКЪЧЫХЕ МЮУНДХРЭ БЯЕ ЖЕКШЕ ПЕЬЕМХЪ
МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ ax + by = c, МН ВРНАШ ХЯОНКЭГНБЮРЭ ХУ, МСФМН
ГМЮРЭ ЙЮЙНЕ-МХАСДЭ НДМН ПЕЬЕМХЕ ДЮММНЦН СПЮБМЕМХЪ. оНГМЮЙНЛХЛЯЪ Я
МЕЙНРНПШЛХ ЛЕРНДЮЛХ МЮУНФДЕМХЪ ВЮЯРМНЦН ПЕЬЕМХЪ, Б НЯМНБЕ ЙНРНПШУ КЕФХР
ЮКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ.

1.2. юКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ Х КХМЕИМНЕ ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ мнд
юКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ - ЩРН ЯОНЯНА МЮУНФДЕМХЪ МЮХАНКЭЬЕЦН НАЫЕЦН ДЕКХРЕКЪ
ДБСУ ЖЕКШУ ВХЯЕК. нМ НЯМНБЮМ МЮ ЯКЕДСЧЫХУ КЕЛЛЮУ:
кЕЛЛЮ 1. еЯКХ b ? a, РН мнд (b; a) = a.
кЕЛЛЮ 2. еЯКХ b = aq + r, ЦДЕ 0 < r < a Х a, b НРКХВМШ НР МСКЪ, РН
мнд (b; a) = мнд (a; r).
юКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ ДКЪ НРШЯЙЮМХЪ МЮХАНКЭЬЕЦН НАЫЕЦН ДЕКХРЕКЪ ВХЯЕК b
Х a ЯНЯРНХР Б ЯКЕДСЧЫЕЛ. яМЮВЮКЮ ВХЯКН b ДЕКЪР МЮ ВХЯКН a, b ( a ( 0. еЯКХ
b ? a, РН ОН КЕЛЛЕ 1 мнд (b; a) = a. б ОПНРХБМНЛ ЯКСВЮЕ ОНКСВЮЕЛ НЯРЮРНЙ
r1: b = aq0 + r1. дЕКХЛ a МЮ r1. еЯКХ a ? r1, РН мнд (a; r1) = r1, Ю
РНЦДЮ мнд (b; a) = мнд (a; r1). еЯКХ ФЕ a МЕ ДЕКХРЯЪ МЮ r1, РН ОНКСВХРЯЪ
НЯРЮРНЙ r2. дЕКХЛ r1 МЮ r2 Х Р. Д. оНЯЙНКЭЙС НЯРЮРЙХ, ОНКСВЮЕЛШЕ Б
ОПНЖЕЯЯЕ ДЕКЕМХЪ, САШБЮЧР Х ЪБКЪЧРЯЪ МЮРСПЮКЭМШЛХ ВХЯКЮЛХ, РН МЮ ЙЮЙНЛ-РН
ЬЮЦС ОНКСВХЛ ДЕКЕМХЕ АЕГ НЯРЮРЙЮ. оНЯКЕДМХИ, МЕ ПЮБМШИ МСКЧ НЯРЮРНЙ
ЪБКЪЕРЯЪ МЮХАНКЭЬХЛ ДЕКХРЕКЕЛ ВХЯЕК a Х b. щРН СРБЕПФДЕМХЕ ЛНФМН
ЯТНПЛСКХПНБЮРЭ Б ЯКЕДСЧЫЕЛ БХДЕ: ЕЯКХ b = aq0 + r1; 0 ≤ r1
< a,
a = r1q1 + r2; 0 ≤ r2 < r1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rn -2 = rn -1 · qn -1 + rn; 0 ≤ rn < rn -1,

( 1 - ДНЙЮГЮРЕКЭЯРБЮ РЕНПЕЛ ОПХБЕДЕМШ Б СВЕАМХЙЕ "юКЦЕАПЮ Х РЕНПХЪ
ВХЯЕК" (ВЮЯРЭ 3) - м. ъ. бХКЕМЙХМ.

rn -1 = rn · qn,
РН мнд (b; a) = rn.
тСМДЮЛЕМРЮКЭМСЧ ПНКЭ Б ДЮКЭМЕИЬЕЛ ХГКНФЕМХХ ХЦПЮЕР ЯКЕДСЧЫЕЕ ЯБНИЯРБН
МЮХАНКЭЬЕЦН НАЫЕЦН ДЕКХРЕКЪ:
ЕЯКХ d - МЮХАНКЭЬХИ НАЫХИ ДЕКХРЕКЭ ВХЯЕК a Х b, РН ЯСЫЕЯРБСЧР РЮЙХЕ ЖЕКШЕ
ВХЯКЮ x Х y, ВРН ax + by = d.
дНЙЮГЮРЕКЭЯРБН. бНЯОНКЭГСЕЛЯЪ ЮКЦНПХРЛНЛ еБЙКХДЮ. оНКСВЮЕЛ
r1 = a - bq0 = ax1 + by1, ЦДЕ x1 = 1, y1 = - q0
r2 = b - r1q1 = b - (ax1 + by1)q1 = a( - q1x1) + b(1 - q1y1) = ax2 +
by2, ЦДЕ x2 = - q1x1, y2= 1 - q1y1 - ЖЕКШЕ ВХЯКЮ.
оПНДНКФЮЪ ЮМЮКНЦХВМШЕ ПЮЯЯСФДЕМХЪ Х БШЙКЮДЙХ, ОНКСВХЛ: rn = axn + byn,
ЦДЕ xn, yn - ЖЕКШЕ ВХЯКЮ. мН rn = d. гМЮВХР, d = ax + by, ЦДЕ xn = x, yn =
y.
оПХЛЕП. мЮИДЕЛ КХМЕИМНЕ ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ мнд ВХЯЕК 144 Х 59.
оПХЛЕМЪЪ ЮКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ Й ВХЯКЮЛ 144 Х 59, ОНКСВЮЕЛ:
144 = 59 · 2 + 26
59 = 26 · 2 + 7
26 = 7 · 3 + 5
7 = 5 · 1 + 2
5 = 2 · 2 + 1
2 = 1 · 2.
оНЯКЕДМХИ, НРКХВМШИ НР МСКЪ НЯРЮРНЙ ПЮБЕМ 1, ОНЩРНЛС мнд (144; 59) = =
1. гЮЛЕРХЛ, ВРН Б ЯХКС ОЕПБНЦН ПЮБЕМЯРБЮ
26 = 144 - 59 · 2.
оНДЯРЮБКЪЪ ЩРН ГМЮВЕМХЕ БН БРНПНЕ ПЮБЕМЯРБН, ОНКСВЮЕЛ
7 = 59 - (144 -59 · 2) · 2 = 59 · 5 - 144 · 2.
оНДЯРЮБКЪЪ ЩРХ ГМЮВЕМХЪ Б ПЮБЕМЯРБН 5 = 26 - 7 · 3, ОНКСВЮЕЛ
5 = 144 - 59 · 2 - (59 · 5 - 144 · 2) · 3 = 144 · 7 - 59 · 17.
оНДЯРЮБКЪЪ ОНЯКЕДМХЕ ДБЮ ГМЮВЕМХЪ Б ПЮБЕМЯРБН 2 = 7 - 5 · 1, ОНКСВЮЕЛ
2 = 59 · 5 - 144 · 2 - 144 · 7 - 59 · 17 = 59 · 22 - 144 · 9.
мЮЙНМЕЖ, Б ПЮБЕМЯРБЕ 1 = 5 - 2 · 2 ГЮЛЕМХЛ 5 МЮ 144 · 7 - 59 · 17, Ю 2
МЮ 59 · 22 - 144 · 9 Х ОНКСВХЛ ХЯЙНЛНЕ КХМЕИМНЕ ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ:
1 = 144 · 7 - 59 · 17 - (59 · 22 - 144 · 9) · 2 = 144 · 25 + 59 · (-
61).
гДЕЯЭ x = 25 Х y = - 61.

1.3. йНМЕВМШЕ ЖЕОМШЕ ДПНАХ

оСЯРЭ t - ПЮЖХНМЮКЭМНЕ ВХЯКН: t =[pic], a > 0. вХЯКН t ЛНФМН
ОПЕДЯРЮБХРЭ Б БХДЕ ДПНАХ НЯНАНЦН БХДЮ. щРН ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ РЕЯМН ЯБЪГЮМН Я
ЮКЦНПХРЛНЛ еБЙКХДЮ. оПХЛЕМХЛ юКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ Й ВХЯКЮЛ b Х a;
ОНЯКЕДНБЮРЕКЭМН ОНКСВХЛ:
b = aq0 + r1, [pic]
a = r1q1 + r2, [pic]
(2)
r1 = r2q2 + r3, [pic]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rn - 2 = rn - 1qn - 1 + rn, [pic]
rn - 1 = rnqn, [pic]
хГ БРНПНЦН ПЮБЕМЯРБЮ ОНКСВЮЕЛ, ВРН
[pic].
(3)
оНДЯРЮБКЪЪ ЩРН БШПЮФЕМХЕ Б ОЕПБНЕ ПЮБЕМЯРБН (2), ОНКСВХЛ:
[pic]
(4)
мН ХГ РПЕРЭЕЦН ПЮБЕМЯРБЮ (2) ЯКЕДСЕР, ВРН
[pic]
оНДЯРЮБКЪЪ ЩРН БШПЮФЕМХЕ Б (4), ОНКСВЮЕЛ:
[pic]
б ЙНМЖЕ ЙНМЖНБ, ОНКСВЮЕЛ:
[pic][pic] (5)

яНЙПЮЫЕММН ДПНАЭ БХДЮ (5) АСДЕЛ НАНГМЮВЮРЭ:
[pic] = [q0; q1, q2, q3, . . . , qn].
йНМЕВМЮЪ ЖЕОМЮЪ ДПНАЭ - ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ ПЮЖХНМЮКЭМНЦН ВХЯКЮ [pic] Б
БХДЕ
[pic]
вХЯКЮ q0, q1, q2, q3, . . . , qn МЮГШБЮЧРЯЪ МЕОНКМШЛХ ВЮЯРМШЛХ ВХЯКЮ
[pic]; БЯЕ qi - ЖЕКШЕ, Ю МЮВХМЮЪ Я q1 - МЮРСПЮКЭМШЕ.
еЯКХ ДПНАЭ [pic] ОНКНФХРЕКЭМЮЪ, РН q0 - МЮРСПЮКЭМНЕ ОПХ b > a Х q0 =
0, ОПХ b < a (Б ЩРНЛ ЯКСВЮЕ [pic] = [0; q1, q2, q3, . . . , qn]).
еЯКХ ДПНАЭ [pic] НРПХЖЮРЕКЭМЮЪ, РН ЕЕ ЛНФМН ОПЕДЯРЮБХРЭ Б БХДЕ - l +
[pic] (l, a1, b1 - МЮРСПЮКЭМШЕ; [pic] - ОПЮБХКЭМЮЪ ОНКНФХРЕКЭМЮЪ ДПНАЭ).
рНЦДЮ [pic] = [- l; q1, q2, q3, . . . , qn], q0 = - l. гДЕЯЭ ЖЕКНЕ q0
< 0; q1, q2, q3, ., qn - МЮРСПЮКЭМШЕ.
еЯКХ [pic] = c - ЖЕКНЕ, РН c = [c].
рЮЙХЛ НАПЮГНЛ, БЯЪЙНЕ ПЮЖХНМЮКЭМНЕ ВХЯКН ЛНФЕР АШРЭ ОПЕДЯРЮБКЕМН Б
БХДЕ ЙНМЕВМНИ ЖЕОМНИ ДПНАХ.
оПЕДЯРЮБКЕМХЕ ПЮЖХНМЮКЭМНЦН ВХЯКЮ Б БХДЕ МЕОПЕПШБМНИ ДПНАХ, РЮЙНИ,
ВРН ОНЯКЕДМЕЕ МЕОНКМНЕ ВЮЯРМНЕ НРКХВМН НР 1, ЕДХМЯРБЕММН [1].
дПНАХ:
?n = [pic], ?1 = [pic] ?2 = [pic] Х Р. Д. МЮГШБЮЧРЯЪ ОНДУНДЪЫХЛХ
ДПНАЪЛХ ЖЕОМНИ ДПНАХ (1) ХКХ ЯННРБЕРЯРБСЧЫЕЦН ЕИ ВХЯКЮ [pic].
нВЕБХДМН, ВРН ОНЯКЕДМЪЪ ОНДУНДЪЫЮЪ ДПНАЭ ?n = [pic] ЕЯРЭ ВХЯКН [pic].

дКЪ s-НИ ОНДУНДЪЫЕИ ДПНАХ ХЛЕЕР ЛЕЯРН ТНПЛСКЮ:
?s = [pic]
бШВХЯКЕМХЪ СДНАМН ОПНБНДХРЭ ОН ЯУЕЛЕ:
|s | |0 |1 |2 |. .|n |
| | | | | |. | |
|qs | |q0 |q1 |q2 |. .|qn |
| | | | | |. | |
|Ps |1|P0 = |P1=qoq1 + |P2 = q0q1q2 + q0|. .|Pn |
| | |q0 |1 |+ q2 |. | |
|Qs |0|Q0 = 1|Q1 = q1 |Q2 = q1q2 + 1 |. .|Qn |
| | | | | |. | |

мЕЙНРНПШЕ ЯБНИЯРБЮ ОНДУНДЪЫХУ ДПНАЕИ:
1. вХЯКХРЕКХ Х ГМЮЛЕМЮРЕКХ ОНДУНДЪЫХУ ДПНАЕИ - ЖЕКШЕ ВХЯКЮ; ГМЮЛЕМЮРЕКХ,
ЙПНЛЕ РНЦН, ВХЯКЮ МЮРСПЮКЭМШЕ Х НАПЮГСЧР БНГПЮЯРЮЧЫСЧ
ОНЯКЕДНБЮРЕКЭМНЯРЭ.
2. вХЯКХРЕКХ Х ГМЮЛЕМЮРЕКХ ДБСУ ЯНЯЕДМХУ ОНДУНДЪЫХУ ДПНАЕИ ЯБЪГЮМШ
ЯННРМНЬЕМХЕЛ:
Ps - 1Qs - PsQs - 1 = ( - 1 )s.
3. оНДУНДЪЫХЕ ДПНАХ [pic] МЕЯНЙПЮРХЛШ, Р. Е. мнд (Ps; Qs) = 1.

1.4. лЕРНДШ ПЕЬЕМХЪ МЕНОПЕДЕКЕММШУ СПЮБМЕМХИ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ Я
ДБСЛЪ МЕХГБЕЯРМШЛХ

рЕОЕПЭ ОНГМЮЙНЛХЛЯЪ Я ЛЕРНДЮЛХ ПЕЬЕМХЪ МЕНОПЕДЕКЕММШУ СПЮБМЕМХИ ОЕПБНИ
ЯРЕОЕМХ Я ДБСЛЪ МЕХГБЕЯРМШЛХ, ПЕЬЮЪ НДМН Х РНФЕ СПЮБМЕМХЕ РПЕЛЪ ЛЕРНДЮЛХ:
ПЮЯЯЕХБЮМХЪ, ОПХЛЕМЕМХЪ КХМЕИМНЦН ОПЕДЯРЮБКЕМХЪ мнд, ЙНМЕВМШУ ЖЕОМШУ
ДПНАЕИ.

оПХЛЕП 1.пЕЬХРЭ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ СПЮБМЕМХЕ 3У + 29y = 14. (6)
пЕЬЕМХЕ 1. лЕРНД ПЮЯЯЕХБЮМХЪ.
бШПЮГХЛ ХГ ЩРНЦН СПЮБМЕМХЪ МЕХГБЕЯРМНЕ, ХЛЕЧЫЕЕ ЛЕМЭЬХИ ОН ЛНДСКЧ
ЙНЩТТХЖХЕМР, Б ДЮММНЛ ЯКСВЮЕ - x. оНКСВЮЕЛ:
x = [pic]

дКЪ РНЦН ВРНАШ У АШКН ЖЕКШЛ ВХЯКНЛ, МЕНАУНДХЛН БШАПЮРЭ РЮЙХЕ ЖЕКШЕ
ГМЮВЕМХЪ y, ОПХ ЙНРНПШУ [pic] ЪБКЪЕРЯЪ ЖЕКШЛ ВХЯКНЛ. оНКНФХЛ:
У1 = [pic],
ЦДЕ У1 - ОПНХГБНКЭМНЕ ЖЕКНЕ ВХЯКН. хГ ОНЯКЕДМЕЦН ПЮБЕМЯРБЮ МЮУНДХЛ:
3x1 + 2y = 2.
бШПЮГХЛ ХГ ЩРНЦН СПЮБМЕМХЪ МЕХГБЕЯРМНЕ y:
y = [pic]
оНКНФХЛ y1 = [pic], ЦДЕ y1 ? Z. рНЦДЮ ОНКСВЮЕЛ:
x1 = - 2y1.
оНДЯРЮБХЛ x1 Б БШПЮФЕМХЕ ДКЪ МЮУНФДЕМХЪ y:
y = [pic].
рНЦДЮ МЮИДЕЛ У:
У = [pic].
хРЮЙ, ОНКСВХКХ ТНПЛСКШ ПЕЬЕМХИ ДЮММНЦН СПЮБМЕМХЪ:
x = - 5 - 29y1,

y = 1 + 3y1; ЦДЕ y1 ? Z.

пЕЬЕМХЕ 2. кХМЕИМНЕ ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ мнд.
оПХЛЕМЪЪ ЮКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ Й ВХЯКЮЛ 3 Х 29, ОНКСВЮЕЛ:
29 = 3 · 9 + 2
3 = 2 · 1 + 1
2 = 1 · 2.
оНЯКЕДМХИ, НРКХВМШИ НР МСКЪ НЯРЮРНЙ ПЮБЕМ 1, ОНЩРНЛС мнд (3; 29) = 1.
гЮЛЕРХЛ, ВРН Б ЯХКС ОЕПБНЦН ПЮБЕМЯРБЮ
2 = 29 - 3 · 9.
оНДЯРЮБКЪЪ ЩРН ГМЮВЕМХЕ Б ПЮБЕМЯРБН 1 = 3 - 2 · 1, ОНКСВЮЕЛ:
1 = 3 - (29 - 3 · 9) · 1 = 3 · 10 - 29 = 3 · 10 + 29 · (- 1).
оНКСВХКХ ХЯЙНЛНЕ КХМЕИМНЕ ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ:
3 · 10 + 29 · (- 1) = 1.
сЛМНФХЛ НАЕ ВЮЯРХ МЮ 14:
3 · 140 + 29 · (- 14) = 14.
оНКСВХКХ СПЮБМЕМХЕ, ХГ ЙНРНПНЦН МЮУНДХЛ ВЮЯРМНЕ ПЕЬЕМХЕ ДЮММНЦН - (140;
- 14). гЮОХЬЕЛ ТНПЛСКШ БЯЕУ ЖЕКШУ ПЕЬЕМХИ:
x = 140 + 29t,
y = - 14 - 3t; ЦДЕ t ? Z.
сОПНЯРХЛ ТНПЛСКШ, ОНДЯРЮБХБ t = - 5. оНКСВЮЕЛ:
x = - 5 - 29y1,

y = 1 + 3y1; ЦДЕ y ? Z.

пЕЬЕМХЕ 3. лЕРНД ЙНМЕВМШУ ЖЕОМШУ ДПНАЕИ.

пЮГКНФХЛ Б МЕОПЕПШБМСЧ ДПНАЭ [pic] Х МЮИДЕЛ БЯЕ ОНДУНДЪЫХЕ ДПНАХ
ПЮГКНФЕМХЪ.
я ОНЛНЫЭЧ ЮКЦНПХРЛЮ еБЙКХДЮ ОНКСВЮЕЛ:
[pic]= [ 9; 1, 2 ].
мЮИДЕЛ ОНДУНДЪЫХЕ ДПНАХ:

|s | |0 |1 |2 |
|qs | |9 |1 |2 |
|Ps |1 |9 |10 |29 |
|Qs |0 |1 |1 |3 |

?0 = [pic], ?1 = [pic], ?2 = [pic].
оПХЛЕМХЛ ЯБНИЯРБН ОНДУНДЪЫХУ ДПНАЕИ Й ДБСЛ ОНЯКЕДМХЛ:
3 · 10 - 29 · 1 = 1;
3 · 10 + 29 · (- 1) = 1; | · 14
3 · 140 + 29 · (- 14) = 14.
оНКСВХЛ СПЮБМЕМХЕ, ХГ ЙНРНПНЦН МЮУНДХЛ ВЮЯРМНЕ ПЕЬЕМХЕ ДЮММНЦН - (140;
- 14). гЮОХЬЕЛ ТНПЛСКШ БЯЕУ ЖЕКШУ ПЕЬЕМХИ ДЮММНЦН СПЮБМЕМХЪ:
x = 140 + 29t,
y = - 14 - 3t; ЦДЕ t ? Z.
сОПНЯРХЛ ТНПЛСКШ, ОНДЯРЮБХБ t = - 5. оНКСВЮЕЛ:
x = - 5 - 29y1,

y = 1 + 3y1; ЦДЕ y1 ? Z.

оПХЛЕП 2. пЕЬХРЭ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ СПЮБМЕМХЕ 59У + 144y = 6. (7)
пЕЬЕМХЕ 1. лЕРНД ПЮЯЯЕХБЮМХЪ.
59У + 144y = 6;
x = [pic]
оСЯРЭ У1 = [pic], РНЦДЮ
59 У1 + 26y = 6;
y = [pic]
оСЯРЭ y1 = [pic], y1 ? Z,РНЦДЮ
7У1 + 26y1 = 6;
У1 = [pic]
оСЯРЭ У2 = [pic], У2 ? Z, РНЦДЮ
7У2 + 5y1 = 6;
y1 = [pic]
оСЯРЭ y2 = [pic], y2 ? Z, РНЦДЮ
2У2 + 5y2 = 1;
У2 = [pic]
оСЯРЭ У3 = [pic], У3 ? Z, РНЦДЮ
2У3 + y2 = 1;
y2 = 1 - 2У3.
рНЦДЮ: x2 = [pic],
y1 = [pic],
x1 = [pic],
y = [pic].
хРЮЙ, ОНКСВХКХ ТНПЛСКШ ПЕЬЕМХИ ДЮММНЦН СПЮБМЕМХЪ:
У = - 78 + 144У3,
y = 32 - 59 У3; ЦДЕ У3 ? Z.

пЕЬЕМХЕ 2. кХМЕИМНЕ ОПЕДЯРЮБКЕМХЕ мнд.
оПХЛЕМЪЪ ЮКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ Й ВХЯКЮЛ 59 Х 144, ОНКСВЮЕЛ:
144 = 59 · 2 + 26
59 = 26 · 2 + 7
26 = 7 · 3 + 5
7 = 5 · 1 + 2
5 = 2 · 2 + 1
2 = 1 · 2.
хРЮЙ, мнд ( 144; 59 ) = 1.
26 = 144 - 59 · 2,
7 = 59 - 26 · 2 = 59 - ( 144 - 59 · 2 ) · 2 = 59 · 5 - 144 · 2,
5 = 26 - 7 · 3 = 144 - 59 · 2 - ( 59 · 5 - 144 · 2 ) · 3 = 144 · 7 - 59
· 17,
2 = 7 - 5 · 1 = 59 · 5 - 144 · 2 - ( 144 · 7 - 59 · 17 ) · 1 = 59 · 22
- 144 · 9,
1 = 5 - 2 · 2 = 144 · 7 - 59 · 17 - ( 59 · 22 - 144 · 9 ) · 2 = 144
·25 + 59 · (- 61).
оНКСВХЛ: 144 · 25 + 59 · ( - 61 ) = 1; | · 6
59 · ( - 336 ) + 144 · 150 = 6.
оНКСВХКХ СПЮБМЕМХЕ, ХГ ЙНРНПНЦН МЮУНДХЛ ВЮЯРМНЕ ПЕЬЕМХЕ ДЮММНЦН -
( - 336; 150 ). гЮОХЬЕЛ ТНПЛСКШ БЯЕУ ЖЕКШУ ПЕЬЕМХИ СПЮБМЕМХЪ:
x = - 366 + 144t,
y = 150 - 59t; ЦДЕ t ? Z.
сОПНЯРХЛ ТНПЛСКШ, ОНДЯРЮБХБ t = 2. оНКСВЮЕЛ:
У = - 78 + 144t,
y = 32 - 59t ; ЦДЕ t ? Z.
пЕЬЕМХЕ 3. лЕРНД ЙНМЕВМШУ ЖЕОМШУ ДПНАЕИ.
59У + 144y = 6;
я ОНЛНЫЭЧ ЮКЦНПХРЛЮ еБЙКХДЮ ОНКСВЮЕЛ:
[pic] = [2; 2, 3, 1, 2, 2].
мЮИДЕЛ ОНДУНДЪЫХЕ ДПНАХ:

|s | |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
|qs | |2 |2 |3 |1 |2 |2 |
|Ps |1 |2 |5 |17 |22 |61 |144 |
|Qs |0 |1 |2 |7 |9 |25 |59 |

оН ЯБНИЯРБС ОНДУНДЪЫХУ ДПНАЕИ:
59 · 61 - 144 · 25 = - 1; | · (- 6)
59 · (- 366) + 144 · 150 = 6;
оНКСВХКХ СПЮБМЕМХЕ, ХГ ЙНРНПНЦН МЮУНДХЛ ВЮЯРМНЕ ПЕЬЕМХЕ ДЮММНЦН - (-
366; 150). гЮОХЬЕЛ ТНПЛСКШ БЯЕУ ЖЕКШУ ПЕЬЕМХИ:
x = - 366 + 144t,
y = 150 - 59t; ЦДЕ t ? Z.
сОПНЯРХЛ ТНПЛСКШ, ОНДЯРЮБХБ t = 2. оНКСВЮЕЛ:
У = - 78 + 144t,
y = 32 - 59t ; ЦДЕ t ? Z.

юМЮКХГХПСЪ ПЕЬЕМХЪ СПЮБМЕМХИ (6), (7) РПЕЛЪ ЛЕРНДЮЛХ, ЛНФМН ГЮЛЕРХРЭ,
ВРН Б ХУ НЯМНБЕ КЕФХР ЮКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ.

2. гЮДЮВХ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ Х ХУ ПЕЬЕМХЪ

хГ ЮМЮКХГЮ ПЕЬЕМХИ СПЮБМЕМХИ (6) Х (7) ЯКЕДСЕР, ВРН ПЕЬЕМХЕ КЧАНЦН
СПЮБМЕМХЪ ax + by = c, мнд (Ю; b) = 1, Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ, КЧАШЛ ХГ
ПЮЯЯЛНРПЕММШУ ЛЕРНДНБ, ГЮБХЯХР НР ЙНКХВЕЯРБЮ ДЕКЕМХИ Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ.
мЮИДЕЛ МЮХЛЕМЭЬЕЕ ПЮЖХНМЮКЭМНЕ ВХЯКН, ЙНРНПНЕ ОПХ ПЮГКНФЕМХХ Б ЙНМЕВМСЧ
ЖЕОМСЧ ДПНАЭ ХЛЕЕР ХГБЕЯРМНЕ ЙНКХВЕЯРБН МЕОНКМШУ ВЮЯРМШУ. ъЯМН, ВРН Б ЩРНЛ
ЯКСВЮЕ МЕОНКМШЕ ВЮЯРМШЕ q0 = q1 = q2 = q3 = . . . = qn - 1 = 1, Ю qn = 2.
мЮИДЕЛ РЮЙХЕ ВХЯКЮ ОН ЯУЕЛЮЛ:
мЮИДЕЛ РЮЙХЕ ВХЯКЮ ОН ЯУЕЛЮЛ:

|s | |0 |1 | |
|qs | |1 |2 | |
|Ps |1 |1 |3 | |
|Qs |0 |1 |2 | |

|s | |0 |1 |2 | | |
|qs | |1 |1 |2 | | |
|Ps |1 |1 |2 |5 | | |
|Qs |0 |1 |1 |3 | | |

|qs | |q0|q1 |
|bs |1 |q0|q0 q1 +|
| | | |1 |
|as |0 |1 |q1 |

хГ МЕЕ ОНКСВЮЕЛ:
b = q0q1 + 1,
b - 1 = q0q1,
Р. Й. q1 = a, РН b - 1 = q0a. нРЯЧДЮ ЯКЕДСЕР, ВРН b - 1?a.

дЮКЕЕ ОЕПЕИДЕЛ Й ПЮЯЯЛНРПЕМХЧ РПЕУ ДЕКЕМХИ Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ.
рЕНПЕЛЮ 3. еЯКХ k - ДЕКХРЕКЭ b + 1, РН Я b НМ АСДЕР ДЮБЮРЭ РПХ ДЕКЕМХЪ
Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ.
дНЙЮГЮРЕКЭЯРБН. оПЕДЯРЮБХЛ ЙНМЕВМНИ ЖЕОМНИ ДПНАЭЧ ВХЯКН [pic],
ОНКСВЮЕЛ:
[pic].
мН [pic] - ЖЕКНЕ ВХЯКН, ГМЮВХР [pic] ХЛЕЕР РПХ ДЕКЕМХЪ Б ЮКЦНПХРЛЕ
еБЙКХДЮ Х Б ОПЕДЯРЮБКЕМХХ ЙНМЕВМНИ ЖЕОМНИ ДПНАЭЧ БХД [pic].
пЮЯЯЛНРПХЛ БЯЕ ПЮЖХНМЮКЭМШЕ ВХЯКЮ b, ОПЕДЯРЮБКЕММШЕ ЙНМЕВМШЛХ ЖЕОМШЛХ
ДПНАЪЛХ, МЮ ОПНЛЕФСРЙЕ НР 3 ДН 54. оСРЕЛ МЕОНЯПЕДЯРБЕММШУ БШВХЯКЕМХИ ДКЪ
ЙЮФДНЦН b МЮИДЕЛ ВХЯКН Ю, Я ЙНРНПШЛ НМН ХЛЕЕР ЛЮЙЯХЛЮКЭМНЕ ЙНКХВЕЯРБН
ДЕКЕМХИ Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ. пЕГСКЭРЮРШ ОПЕДЯРЮБХЛ Б БХДЕ ДХЮЦПЮЛЛ
(ПХЯСМНЙ 1).

пХЯСМНЙ 1.
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
хГ ДХЮЦПЮЛЛ БХДМН, ВРН ВХЯКЮ, ЯРНЪЫХЕ ПЪДНЛ Я u2, u3, u4, u5, ХЛЕЧР МЮ
НДМН ДЕКЕМХЕ ЛЕМЭЬЕ, Р. Е. ЕЯКХ b = ui + 1 ХКХ b = ui - 1, ЦДЕ i = 2, 3, 4,
5, РН ЛЮЙЯХЛЮКЭМНЕ ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ ПЮБМН i - 1. ю С u6, u7, u8 ЯНЯЕДМХЕ
ВХЯКЮ ХЛЕЧР МЮ ДБЮ ДЕКЕМХЪ ЛЕМЭЬЕ Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ, Р. Е. ЕЯКХ b = ui +
1 Х b = ui - - 1, ЦДЕ i = 6, 7, РН ЛЮЙЯХЛЮКЭМНЕ ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ ПЮБМН i
- 2. лНФМН БШЯЙЮГЮРЭ ОПЕДОНКНФЕМХЕ, ВРН Я СБЕКХВЕМХЕЛ i, ВХЯКЮ, ПЪДНЛ
ЯРНЪЫХЕ Я Хi, АСДСР ХЛЕРЭ ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ ЛЕМЭЬЕ,
ВЕЛ i - 2. [pic]
б ЯКЕДСЧЫЕИ РЮАКХЖЕ 1 ОПЕДЯРЮБКЕМШ ВХЯКЮ b НР 3 ДН 55. дКЪ ЙЮФДНЦН ХГ
МХУ СЙЮГЮМШ ВХЯКЮ, ДЮЧЫХЕ Я МХЛХ МЮХАНКЭЬЕЕ ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ Б ЮКЦНПХРЛЕ
еБЙКХДЮ, Х ЙНКХВЕЯРБЮ ДЕКЕМХИ ДКЪ МХУ.
рЮАКХЖЮ 1.
|вХЯКН b |вХЯКЮ, ДЮЧЫХЕ Я b |йНКХВЕЯРБН |
| |МЮХАНКЭЬЕЕ ЙНКХВЕЯРБН |ДЕКЕМХИ |
| |ДЕКЕМХИ | |
|3 |2 |2 |
|4 |3 |2 |
|5 |3 |3 |
|6 |5 |2 |
|7 |4, 5 |3 |
|8 |5 |4 |
|9 |5, 7 |3 |
|10 |7 |3 |
|11 |7, 8 |4 |
|12 |7 |4 |
|13 |8 |5 |
|14 |9, 11 |4 |
|15 |11 |4 |
|16 |9 |4 |
|17 |10, 11, 12, 14 |4 |
|18 |11, 13 |5 |
|19 |11, 12 |5 |
|20 |11, 13, 17 |4 |
|21 |13 |6 |
|22 |13, 17 |4 |
|23 |14, 18 |5 |
|24 |13, 17, 19 |4 |
|25 |14, 16, 18 |5 |
|26 |15, 19 |5 |
|27 |17, 19 |5 |
|28 |17, 23 |5 |
|29 |18, 21 |6 |
|30 |19 |6 |
|31 |18, 19 |6 |
|32 |23, 25 |5 |
|33 |19, 20, 26, 28 |5 |
|34 |21 |7 |
|35 |22, 27 |5 |
|36 |23, 25 |5 |
|37 |23, 29 |6 |
|38 |23, 33 |5 |
|39 |25 |6 |
|40 |29 |6 |
|41 |23, 25, 26, 30 |6 |
|42 |23, 31 |5 |
|43 |25, 31 |6 |
|44 |27, 31 |6 |
|45 |26, 28, 37 |6 |
|46 |27, 29 |6 |
|47 |29, 34 |7 |
|48 |31 |6 |
|49 |30, 31 |7 |
|50 |29, 31 |7 |
|51 |31, 37, 40 |6 |
|52 |33, 41 |6 |
|53 |39, 45 |6 |
|54 |31, 35, 37, 47 |5 |
|55 |34 |8 |

мЮОПХЛЕП, ДКЪ b = 41 ЛЮЙЯХЛЮКЭМНЕ ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ ПЮБМНЕ ЬЕЯРХ АСДЕР
Я ВХЯКЮЛХ 23, 25, 26, 30; ДКЪ БЯЕУ НЯРЮКЭМШУ Ю, ВХЯКН ДЕКЕМХИ ЛЕМЭЬЕ ЬЕЯРХ.
я ОНЛНЫЭЧ РЮАКХЖШ КЕЦЙН НОПЕДЕКХРЭ НАЗЕЛ МЕНАУНДХЛШУ БШВХЯКЕМХИ Х
БШАПЮРЭ ЛЕРНД, ЙНРНПШЛ СДНАМН ПЕЬЮРЭ СПЮБМЕМХЕ ax + by = c. мЮОПХЛЕП, БГЪБ
СПЮБМЕМХЕ 13У + 22y = c, МЮУНДХЛ, ВРН ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ Б ЮКЦНПХРЛЕ
еБЙКХДЮ ПЮБМН 4, Х ВРН ЛНФМН ОПХЛЕМЪРЭ КЧАНИ ХГ РПЕУ ЛЕРНДНБ. ю ЕЯКХ БГЪРЭ
СПЮБМЕМХЕ 29У + 50y = c, РН ОН РЮАКХЖЕ НОПЕДЕКЪЕЛ, ВРН ЙНКХВЕЯРБН ДЕКЕМХИ
ПЮБМН 7. оНМЪРМН, ЛЕРНД ПЮЯЯЕХБЮМХЪ КСВЬЕ МЕ ОПХЛЕМЪРЭ, Р. Й. ЕЦН
ХЯОНКЭГНБЮМХЕ АСДЕР ЯБЪГЮМН Я ББЕДЕМХЕЛ 6 МНБШУ ОЕПЕЛЕММШУ, Ю ЩРН МЕСДНАМН.
б ЩРНЛ ЯКСВЮЕ ОПЕДОНВРХРЕКЭМЕЕ ПЕЬЮРЭ СПЮБМЕМХЕ ЛЕРНДНЛ ЙНМЕВМШУ ЖЕОМШУ
ДПНАЕИ.

гЮЙКЧВЕМХЕ
оПХ БШОНКМЕМХХ ДЮММНИ ПЮАНРШ ЯЮЛНЯРНЪРЕКЭМН ОНКСВЕМШ ЯКЕДСЧЫХЕ
ПЕГСКЭРЮРШ:
1. еЯКХ b > 55 Х us-1 < b < us, РН БЕПУМЪЪ ЦПЮМХЖЮ ЙНКХВЕЯРБЮ ДЕКЕМХИ Я
ВХЯКНЛ Ю, 1 < Ю < b, Б ЮКЦНПХРЛЕ еБЙКХДЮ ПЮБМЮ S (Я СВЕРНЛ ОПХМЪРШУ
НАНГМЮВЕМХИ);
2. еЯКХ b < 55, РН БЕПУМЪЪ ЦПЮМХЖЮ ЙНКХВЕЯРБЮ ДЕКЕМХИ Я ВХЯКНЛ Ю, 1 < Ю <
b, НОПЕДЕКЕМЮ РНВМН ОН РЮАКХЖЕ 1;
3. еЯКХ Ю МЕ ЪБКЪЕРЯЪ РЮЙХЛ ВХЯКНЛ, ЙНРНПНЕ Я b ХЛЕЕР ДБЮ ДЕКЕМХЪ
(РЕНПЕЛШ 1, 2 ), РН МХФМЪЪ ЦПЮМХЖЮ ЙНКХВЕЯРБЮ ДЕКЕМХИ МЕ ЛЕМЭЬЕ РПЕУ;
4. еЯКХ БШОНКМЕМШ СЯКНБХЪ РЕНПЕЛШ 3, РН МХФМЪЪ ЦПЮМХЖЮ ЙНКХВЕЯРБЮ ДЕКЕМХИ
МЕ ЛЕМЭЬЕ ВЕРШПЕУ.
аНКЭЬНЕ ЙНКХВЕЯРБН ОПНБЕДЕММШУ БШВХЯКЕМХИ ОПЕДЯРЮБКЕМН Б ДХЮЦПЮЛЛЮУ Х
РЮАКХЖЕ 1. щРН ЛНФЕР АШРЭ ХЯОНКЭГНБЮМН Б ДЮКЭМЕИЬХУ ХЯЯКЕДНБЮМХЪУ Х Б
ОПЮЙРХЙЕ ПЕЬЕМХЪ МЕНОПЕДЕКЕММНЦН СПЮБМЕМХЪ ax + by = c Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ,
ЙНЦДЮ ЙНЩТТХЖХЕМРШ МЕ ОПЕБШЬЮЧР 55.

яОХЯНЙ КХРЕПЮРСПШ
1. бХКЕМЙХМ м. ъ. юКЦЕАПЮ Х РЕНПХЪ ВХЯЕК.- л.: мЮСЙЮ, 1974.
2. яНКНБЭЕБ ч. мЕНОПЕДЕКЕММШЕ СПЮБМЕМХЪ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ.- / йБЮМР, ?2
1994.
3. бЮЦСРЕМ б. м. юКЦНПХРЛ еБЙКХДЮ Х НЯМНБМЮЪ РЕНПЕЛЮ ЮПХТЛЕРХЙХ.- /
йБЮМР, ?6 1972.