Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=69 Дата изменения: Fri May 5 15:24:58 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:05:04 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: total solar eclipse

В данном проекте рассматривается вопрос решения обобщённого уравнения
Маркова:
[pic], (1)
где xi - целые, n™3, k - натуральное число. Без ограничения общности можно
рассматривать только решения данного уравнения в натуральных числах.
Для каждого решения можно найти его соседнее по m -ой координате. Для
этого, заменив в уравнении (1) xm на x, решить получившееся квадратное
уравнение. От каждого решения можно прийти к коренному решению,
максимальная координата которого не больше максимальной координаты, любого
из его соседних решений. Обратно от коренных решений, переходя по соседним
решениям, мы можем получить все решения данного уравнения. Итак, вопрос
нахождения всех решений данного уравнения сводится к поиску его коренных
решений.
Рассмотрим решение (x1, x2,., xn), x1™ x2™.™ xn обобщённого уравнения
Маркова.
Тогда если данное решение коренное, то верны следующие утверждения:
Утверждение 1. [pic].
Утверждение 2. [pic], где[pic]
Из этих двух утверждений несложно вытекает следующее:
Утверждение 3. Для данного n обобщённое уравнение Маркова имеет
конечное число корневых решений (при любом k).
Данные утверждения позволяют указать следующий алгоритм поиска при
заданном n всех корневых решений:
I) рассмотреть всевозможные наборы [pic], x3™.™ xn, xi - натуральные,
такие, что [pic];
II) для всех таких наборов для каждого натурального x2 от x3 до [pic]
включительно определить, является ли число [pic] полным квадратом
([pic]);
III) если [pic] (то есть выполняется II)), положить x1=[pic]. Получаем
упорядоченное корневое решение (x1, x2,., xn).
На основе этого алгоритма была написана компьютерная программа. С
помощью неё было получено полное описание решений обобщённого уравнения
Маркова для всех n<46000.