Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=44 Дата изменения: Fri May 5 15:24:47 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:56:02 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п р п

Название тезисов: Применение дифференциальных уравнений для моделирования
физических процессов.
Автор: Романов Илья.
Научный руководитель: Мельникова Л. Е., учитель математики гимназии ?4.
Гимназия ?4 г. Подольска. Адрес: 142115 Московская область, г. Подольск,
ул. Правды, д. 21.

ВВЕДЕНИЕ.
Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается
математическая физика. Круг вопросов математической физики тесно связан с
изучением различных физических процессов. Круг вопросов, относящихся к
математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются
задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными
производными. Расположение материала соответствует основным типам
уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших
физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.

1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа
наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами
колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа [pic] называется
волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение
процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня,
электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний
газа и т.д.

1.1.Уравнение колебаний струны. В математической физике под струной
понимают гибкую, упругую нить. Задача заключается в определении формы
струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки
струны в зависимости от времени.
Проекция на ось Ou сил, действующих на элемент [pic]( на концах этого
элемента, по касательным к струне, действуют силы Т; касательные образуют с
осью Ox углы [pic]), будет равна: [pic]. Внешние силы, приложенные к
элементу, приравниваем к силе инерции (F=ma) и получаем уравнение движения
[pic](где[pic] - линейная плотность струны). Это и есть волновое уравнение
- уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны
необходимы еще и краевые условия, постановку которых рассмотрим в пункте
1.3.

1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.
Электрический ток в проводе характеризуется величиной i (x, t) и
напряжением v (x, t), которые зависят от координаты x точки провода и от
времени t. Рассмотрим элемент провода [pic]. Падение напряжения на элементе
складывается из омического и индуктивного. Итак, сокращая на х,
[pic], где R и L - сопротивление и коэффициент индуктивности. Разность
токов, выходящего из элемента [pic] и входящего в него за время [pic],
расходуется на зарядку элемента и на утечку через боковую поверхность
провода (А - коэффициент утечки), поэтому получим уравнение [pic]Получили
два равенства, которые принято называть телеграфными уравнениями.
Из их системы можно легко получить уравнение, содержащее только искомую
функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию v (x, t).
Если пренебречь утечкой через изоляцию [pic] и сопротивлением [pic], то эти
уравнения переходят в волновые уравнения, где : [pic]1/CL.

1.3. Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны.
Решим задачу, рассматриваемую в 1.1., используя краевые условия. Пусть,
концы струны при [pic] неподвижны. Тогда: [pic][pic](граничные условия).
Пусть при t = 0 форма струны определяется функцией f (x), т.е.[pic],
скорость в каждой точке струны -функцией [pic], т.е. [pic] (начальные
условия). Будем искать решение уравнения[pic] удовлетворяющее однородным
граничным и начальным условиям. Используем метод разделения переменных или
метод Фурье.
Вспомогательная задача: найти решение уравнения, представимое в виде
произведения [pic]где X (x) - функция только переменного x, T (t) - функция
только переменного t.
В связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о
собственных значениях, которую часто называют задачей Штурма - Лиувилля.
Решению задачи в общем случае: [pic]
Начальные условия позволяют определить An и Bn : [pic]
Таким образом мы полностью определяется функция, дающая решение исследуемой
задачи.

2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
2.1. Уравнение распространения тепла в стержне.
Рассмотрим однородный стержень длины [pic]и изучим процесс распространения
тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х=0,
другой - с точкой х=[pic].
Пусть u (x, t) - температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t.
Используя физические формулы, установленные опытным путем получим, что
приток тепла в элемент стержня за время [pic]t будет равняться: [pic], где
S -площадь сечения, k - коэффициент теплопроводности. В то же время[pic]
где с-теплоемкость, [pic]-плотность ([pic][pic]xS - масса элемента
стержня). Приравнивая выражения [pic], получим: [pic]
Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в
однородном стержне.

2.2. Температурные волны.
Задача о распространении температурных волн в почве является одним из
первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой
Фурье, к изучению явлений природы.
Эта задача является характерной задачей без начальных условий. Таким
образом, приходим к следующей задаче: найти ограниченное решение уравнения
теплопроводности [pic] удовлетворяющее условию u (0, t) = A cos [pic]t.
Предполагается, что функции u (x, t) и ( (t) ограничены всюду. Запишем
граничное условие в виде [pic] Решение будем искать в виде [pic] получим,
что [pic]
На основании полученного решения можно дать характеристику процесса
распространения температурной волны в почве (законы Фурье), изложенные в
работе.

Заключение
В работе приведены примеры применения дифференциальных уравнений для
моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, электрические
колебания в проводах, распространение тепла в стержне, распространение
температурных волн в почве.
В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений
при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не
всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и
данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное
уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса
при определенных условиях. Дифференциальные уравнения имеют большое
прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач
естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии,
физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма
часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления
(процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти
уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения
этих законов. Расчет радиотехнических схем и вычисление траекторий
спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения
химических реакций - все это производится путем изучения и решения
дифференциальных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА.
1. Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления», М.,
«Наука», 1972, том. 2.
2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер «Курс математического анализа», М.,
«Просвещение», 1976.
3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», М.,
«Наука», 1972.
4. Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.
5. Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»,
М., «Наука», 1969, том.