Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=42 Дата изменения: Fri May 5 15:24:46 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:02:31 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: galactic collision

Тема нашей исследовательской работы: «Решение уравнений в целых
числах». Мы обратились к ней, так как она недостаточно полно изложена в
действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на
олимпиадах, так и на вступительных экзаменах в вузы. Цель работы:
рассмотреть методы решения уравнений в целых числах и узнать об известных
диофантовых уравнениях. Методы исследования: анализ и синтез различных
источников информации, а также самостоятельное решение уравнений в целых
числах различными способами.
Диофантовы уравнения - алгебраические уравнения с целыми
коэффициентами или системы таких уравнений, у которых разыскиваются целые
или рациональные решения.
Названы по имени древнегреческого учёного Диофанта (3 век до н. э.), в
книге которого «Арифметика» впервые обстоятельно исследовались такие
уравнения. Задачи диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, а
проблемы решения уравнений относятся скорее к алгебре, чем к арифметике,
но они имеют свои особенности:
1) они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными
коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые, т. е. число
уравнений в них меньше числа неизвестных
2) решения требуется найти только целые, часто натуральные.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно
выделить следующие методы: способ перебора вариантов, алгоритм Евклида,
цепные дроби, метод разложения на множители, решение уравнений в целых
числах как квадратных относительно какой-либо переменной, метод остатков,
метод бесконечного спуска.
Рассмотрим некоторые из них на примерах.
Способ перебора вариантов.
Задача: Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У
осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд - по 5. Всего конечностей
насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?
Решение: Пусть х - количество морских звёзд, у - количество осьминогов.
Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим
уравнение: 5х + 8у = 39.
Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или
отрицательным числами. Следовательно, если х - целое неотрицательное число,
то и у=(39 - 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно,
чтобы выражение 39 - 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор
вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.
Ответ: (3; 3)
Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо
переменной.
Задача: Решите в целых числах 5хќ+ 5уќ + 8ху + 2у - 2у + 2 = 0.
Решение:
Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 5хќ+(8у-
2)х+5уќ+2у+2=0, х1,2 = (1 - 4у ±–(1 - 4у) ќ - 5(5уќ + 2у + 2))/5 = (1 - 4у
±– -9(у + 1)ќ)/5.
Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю,
т.е. -9(у + 1) = 0, отсюда у = -1. Если у = -1, то х =1.
Ответ: (1; -1)
Метод остатков.
Задача: Решите в целых числах 3Є = 1 + уќ
Решение: Видно, что (0; 0) - решение данного уравнения. Докажем, что других
решений нет.
Рассмотрим случаи:
1) a ( N, y ( N
(1)
Если a ( N , то 3Є делится на 3 без остатка, а уќ + 1 при делении на 3 даёт
остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство (1) при натуральных
значениях х и у невозможно.
2)Если a - целое отрицательное число, y ( Z, тогда 0<3Є<1, а 1+уќ(0 и
равенство (1) также невозможно. Следовательно, (0; 0) - единственное
решение.
Ответ: (0; 0).
Метод бесконечного спуска.
Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей
схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый
бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс
должен на чём-то кончаться.
Задача: Решить в целых числах xЁ - 3yЁ - 9zЁ = 0 (2)
Решение: Видно, что левая часть уравнения (2) не поддаётся никаким
преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел xЁ = =3(yЁ-3zЁ).
Число xЁ кратно 3, значит и число х кратно 3, т . е. х=3х1
(3). Подставим (3) в (2) 27х1Ё-3уЁ-9zЁ=0, 9x1Ё-yЁ-3zЁ=0 (4)
yЁ=3(3x1Ё-zЁ). Тогда уЁ кратно 3, значит и у кратно 3, т. е. у=3у1 (5).
Подставим (5) в (4) 9х1Ё -27у1Ё - 3zЁ=0. Из этого уравнения следует, что
zЁ кратно 3, а значит и z кратно 3, т.е. z=3z1.
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (2), кратны
трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, получаем числа, кратные трём.
Единственное целое число, удовлетворяющее трём. Единственное целое число,
удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения
(0; 0; 0) .
Известные диофантовы уравнения.
Познакомимся с одной задачей из «Арифметики» Диофанта: «Заданный
квадрат разложить на 2 квадрата».
Эта задача эквивалентна уравнению второй степени хќ + уќ = аќс с
неизвестными х и у при заданном значении параметра а, Простейшее решение
данного уравнения получается при нулевом значении одного из неизвестных.
Другие решения Диофант ищет, выполняя подстановку у = kx - a, где k -
произвольное рациональное число. В результате исходное уравнение приводится
к виду (kx - a)ќ + xќ = aќ, откуда после преобразований получаются
рациональные выражения для неизвестных x и y.
х = a*2k / (kќ + 1), y = a* (kќ - 1) / (kќ + 1)
Способ Диофанта позволяет находить так называемые пифагоровы тройки
чисел - наборы целых чисел x, y, z, выражающих длины сторон прямоугольного
треугольника, т.е. удовлетворяющих уравнению хќ + уќ = zќ. Пример такой
тройки - 3,4,5.
Около 1630 года перевод «Арифметики» попал в руки выдающемуся
французскому математику Пьеру Ферма. Бессмертный труд Диофанта вдохновил
Ферма на очень тонкие и глубинные теоретико-числовые исследования.
Знаменитой стала и задача Ферма, написанная, как комментарий на полях
книги Диофанта: «Найти прямоугольный треугольник в числах, гипотенуза,
которого была бы квадратом а, также и сумма сторон при прямом угле». Эта
задача об отыскании таких пифагоровых троек x, y, z, что длина гипотенузы
z и сумма длин катетов х + у представляют собой полные квадраты, имеет
бесконечно много решений. Минимальные из них, это числа, найденные Ферма:
х = 4565486027761, у = 1061652293520, z = 4687298610289 (здесь z=2165017
ќ).
За уравнением вида хќ - ауќ = 1 утвердилось название «уравнение
Пелля» - по имени математика Джона Пелля, которому Эйлер ошибочно приписал
один из способов его решения. Одна из знаменитых проблем Давида
Гильберта, сформулированных на II Международном конгрессе математиков в
Париже в 1990 г., заключалась в следующем: пусть дано произвольное
диофантово уравнение; требуется указать общий метод, следуя котором, можно
было бы за конечное число шагов узнать, имеет ли оно решение в целых
числах.
В 1970 г. Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что такого общего
метода не существует.
Заключение.
В процессе работы над рефератом мы заметили множество интереснейших
фактов, связанных с решением уравнений в целых числах. Решение уравнений в
целых числах - очень увлекательная задача. С древнейших времён накопилось
множество способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако, только
в нашем веке появились общие приёмы их исследования. Терема Пифагора также
является диофантовым уравнением.
Решение уравнений в целых числах - один из самых красивых разделов
математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых
уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили
неизгладимый след в этой интереснейшей теории.
В целом тема очень увлекательна, и мы планируем продолжить по ней работать.