Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=4 Дата изменения: Fri May 5 15:24:29 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:47:04 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: apollo 13

Новые свойства точек Фейербаха.


В работе исследуются новые свойства точек Фейербаха треугольника. Под
точками Фейербаха понимаются точки касания окружности Эйлера (т.н.
окружности 9-ти точек) с вписанной и тремя вневписанными окружностями
треугольника (соответственно в точках F, Fa, Fb и Fc). В работе доказаны
следующие новые результаты:
Теорема I: Квадрат расстояния между точками Фейербаха F и Fa равен
d(FFa)ќ= Rќ/(R-2r) ћ (aќ- 4?a r)/ (R+2?a).
Теорема II: Квадрат расстояния между точками Фейербаха Fa и Fc равен
d(FaFc)ќ = Rќ/(R + 2?a)(R + 2?c) • (a + c)ќ.
Теорема III: Треугольник ?FaFbFc является равносторонним тогда и только
тогда, когда ?ABC равносторонний.
Теорема IV: Не существует треугольник, для которого четырёхугольник FFaFbFc
является прямоугольным.
Теорема VI: Точки F, I, O9, Fb лежат на одной прямой, прямой Фейербаха,
тогда и только тогда, когда ? = 60є.
Теорема VII: FFaFbFc является трапецией (FFaЎFcFb ) тогда и только тогда,
когда a = (b + c)/2, либо b = (a +c)/2, либо c = (a + b)/2.
Теорема VIII: Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до ортоцентра равен
d(FH)ќ = (4RЁ - 2Rrќ - rЁ + pќ(R + r))/(R
- 2r).
Теорема IX: Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра тяжести
треугольника равен
d(FG)ќ = [pќ(R + r) - r(4R + r)ќ]/9(R - 2r).
Теорема X: Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра вневписанной
окружности при стороне b равен
d(FIb)ќ = ?bќ + R(bќ - 4r?b)/(R-2r).
Теорема XI: Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра описанной
окружности равен
d(FO)ќ = [RЁ + 2r(pќ-rќ) - Rr(6R + 5r)]/(R - 2r).
Теорема XII: Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до точки Нагеля равен
d(FN)ќ = 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)].
Теорема XIII: Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до точки Жергона
равен d(FJ)ќ=1/(R -2r) • [8/3 • pќr(8Rќ + rќ)/(4R + r)ќ - 3Rќr - 5r/9 •
(pќ - r(4R + r)) - 11pќrќR/(4R + r)ќ].
Теорема XIV: Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра описанной
окружности равен
d(FaO)ќ = [(6Rќ + rќ - pќ)rp + RЁ(p-a) + Rrќp(3p-4a)/(p-a)]/[R(p-a) + 2rp].

Теорема XV: Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до ортоцентра
треугольника равен
d(FaH)ќ = [?a[R(4(R + 3r) - ?a) + 3(rќ - pќ)] + R[R(6R - 4r) - (pќ +
rќ)]]/(R + 2?a).
Теорема XVI: Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра тяжести
треугольника равен
d(FaG)ќ = R?a(4R - ?a)/3(R + 2?a) + (R - ?a)(pќ- rќ - 4Rr)/9(R + 2?a).
Теорема XVII: Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра
вневписанной окружности при стороне b равен
d(FaIb)ќ = R(a + b)ќ/(R + 2?a) + ?bќ.
Теорема XVIII: FN = FI, если исходный треугольник является равносторонним,
либо pќ=(16Rќr -19Rrќ+ rЁ)/(R - r).
Теорема XIX: FN = NI тогда и только тогда, когда pќ = 17Rr - 7rќ и R/r ™
9/4.
Теорема XX: NI = FI тогда и только тогда, когда pќ = 16Rr - 4rќ и R ™ 9/4 •
r.
Теорема XXI: ?NFI является равнобедренным тогда и только тогда, когда либо
1) pќ = (16Rќr - 19Rrќ + rЁ)/(R-r), либо 2) R ™ 9/4 • r и либо pќ=16Rr -
4rќ, либо pќ=17Rr - 7rќ.
Теорема XXII: В ?NFI угол (FIN = 90,( тогда и только тогда, когда исходный
треугольник не является правельным и pќ = 18Rr - 9rќ и R ( 2r.
Теорема XXIII: ?NFI является прямоугольным ((FIN = 90() и равнобедренным
тогда и только тогда, когда R =5/2•r и p = 6r.
Теорема XXIV: В ?NFI угол (FIN = 90(, а (IFN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 13r/6, а p = r(30.
Теорема XXV: В ?NFI угол (FIN = 90(, а (INF = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 7r/2, а p = 3r(6.
Теорема XXVI: Треугольник ?NFI является прямоугольным с углом (FNI = 90(
тогда и только тогда, когда исходный треугольник не является правильным и
pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r).
Теорема XXVII: Прямоугольный треугольник ?NFI с углом (FNI = 90( является
равнобедренным, т.е. IN = FN тогда и только тогда, когда R = r(19/4 + (89)
и pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r) либо pќ = 17Rr - 7rќ.
Теорема XXVIII: В ?NFI угол (FNI= 90(, а (IFN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 13r/6, а p = r(359/4(3.
Теорема XXIX: В ?NFI угол (FNI= 90(, а (FIN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 7r/2, а p = r(207/2.
Следствие 1: Точки Фейербаха F и Fa совпадают тогда и только тогда, когда b
= c , т.е.
исходный треугольник является равнобедренным.
Следствие 2: Квдрат расстояния от точки Фейербаха F до центра вневписанной
окружности при стороне a равен d(FIa)ќ = ?aќ + (b-c)ќ • R/(R-2r)
Следствие 3: FaFc = FaFb тогда и только тогда, когда исходный треугольник
является равнобедренным, т.е. b = c или aќ(a + b + c) + abc = (b + c)[bќ +
cќ + ab + ac].
Следствие 4: Ортоцентр никогда не совпадает с точкой Фейербаха F.
Следствие 5: Точка Фейербаха F и центр тяжести треугольника совпадают тогда
и только тогда, когда pќ = r (4R + r)ќ/(R + r).
Следствие 6: Точка Фейербаха F и центр описанной окружности никогда не
совпадают.
Следствие 7: Точка Фейербаха F никогда не совпадает с точкой Нагеля.
Следствие 8: R?a(4R - ?a) + (R - ?a)(pќ- rќ - 4Rr)/3 > 0.
Следствие 9: ?NFI является равносторонним тогда и только тогда, когда R=3r
и
p = 2r(11.
Литература:
1) - Зетель С.И. «Новая геометрия треугольника», учпедгиз, 1962 г.
2) - Мальцев Ю.Н., Саженков А.Н. «Олимпиадные задачи по математике
«РЕШИ+ЕСЛИ=СИЛЁН»», г. Барнаул, издательство «День», 1994 г.
3) - Пайсон М.Б. «Нахождение расстояний от точки Жергона до других
замечательных точек треугольника», г. Барнаул, 1998 г.
4) - Полякова Г.С. «Некоторые новые свойства точки Лемуана в треугольнике»,
г. Барнаул, 2001 г.
5) - Ракова М.Н. «Новые свойства точки Нагеля», г. Барнаул, 1999 г.
6) - Солтан В.П., Мейдман С.И. «Тождества и неравенства в треугольнике», г.
Кишинёв, Штиица, 1982 г.