Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=264 Дата изменения: Fri May 5 15:24:56 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:58:06 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: rainbow

Лескин А.А. (Тольятти, СШ ? 51, 10 кл.)

Применение теории групп в физике

цель работы: усвоить основные представления теории групп. на
конкретных примерах показать эффективность метода теории групп для анализа
поведения физических систем.
Постановка задачи. Представления симметрии играют огромную роль в
постановке и анализе физических задач. Известно, что законы сохранения
энергии, импульса, момента импульса системы связаны с однородностью
времени, однородностью и изотропностью пространства соответственно. Многие
задачи решаются просто, если использовать симметрию и, конечно, физические
представления. Форма законов всемирного тяготения Ньютона и закона Кулона
следует из сферической симметрии задачи для точечной массы (заряда) и
законов сохранения массы и заряда соответственно. Во многих конкретных
задачах: при расчете электрических и магнитных полей, в задачах
гидродинамики, исследовании колебаний и т.д. - соображения симметрии
являются эффективным методом, позволяющим получить относительно простые
конечные формулы. Часто элементы симметрии и соотношения между ними можно
выразить на языке теории групп. В кристаллографии такой подход позволил
систематизировать разные виды симметрии в кристаллографические классы.
Теория групп является в физике важным методом рассмотрения задач, которые
трудно решить аналитически или вычислительными методами. Часто, исходя из
теории групп, можно получить принципиальные результаты, имеющие общий
характер, например, в теории элементарных частиц. Научиться применять
методы групп можно, прежде всего, на конкретных примерах. Учитывая довольно
сложные математические построения теории групп, целесообразно начинать с
самых простых случаев, для усвоения которых достаточно знаний средней
школы. Значение метода для понимания фундаментальных законов с точки
зрения симметрии иллюстрируется при рассмотрении ферми- и бозе частиц. На
примере группы треугольника показывается ход рассуждений и суть группового
подхода: построение представлений, деление группы на неприводимые
представления. Колебания треугольника рассматриваются для того, чтобы
проиллюстрировать связь спектров с симметрией системы. В этом случае можно
судить о поведении частот во внешних полях на основе группового подхода без
сложных вычислений.
Ферми- и Бозе частицы. Существование двух сортов частиц разной
симметрии - один из важнейших результатов физики XX века. Ферми-частицы,
например, электроны, характеризуются тем, что в одном состоянии не может
находиться более одной частицы, что связано с тем, что Ферми- частицы имеют
полуцелый спин, Бозе- частицы имеют целый спин, в одном состоянии может
находиться любое число частиц. Существование двух сортов частиц следует из
принципа тождественности частиц, который следует их квантовой механики, и
группы зеркальной симметрии. В квантовой механике физический смысл имеет
квадрат модуля волновой функции (вероятность найти систему в данном
состоянии) - (((2. Очевидно, что при операции симметрии, например, при
перестановке частиц функция может изменить знак или сохранить знак.
Собственные значения оператора p((1, что соответствует регулярному
представлению группы из двух элементов - единичного I и зеркального
отражения P. Если симметрия частиц соответствует значению P(((, то в одном
состоянии не может быть больше, чем одна частица. Если частица xk. xe
находятся в одном состоянии, то их перестановка ничего не меняет; т.е.
вероятность такого состояния равна нулю. Если P(((, то запрет на число
частиц в одном состоянии отсутствует. Элемент симметрии P((( с характером
(1, -1) соответствует фермионам, имеющий полуцелый спин.
Группа симметрии треугольника. Группа требований равностороннего
треугольника содержит 6 элементов: I - тождество, A - поворот на 120(, B -
поворот на 240(, C, D, E - отражения относительно линий P, Q и R -
соответственно. Группа изоморфна группе перестановок из трех элементов (1,
2, 3). Оказывается, что группа имеет три класса I; AB, CDE, причем I, IAB -
подгруппы треугольника. Всегда существует единичное представление
размерности n=1 [pic], в котором каждому элементу ставится в соответствие
1. Второе представление размерности n=1 [pic] получим, поставив в
соответствие 1 элементам IAB и -1 элементам C, D, E, что соответствует
разбиению на классы. Составим таблицу характеров представлений, которые
определяются как след матрицы. Убедимся, что разбиение регулярного
представления, которое в нашем случае имеет размерность n=6 на приведенные
выше неприводимые представления является единственным. В нашем случае это
соответствует соотношению
|12 + 12 + 22 = 6. |


Представлений размерности ni=1 в данном случае только 2 с учетом того, что
элементы одного класса имеют одинаковый характер, представление размерности
- единственно возможное. В более сложных случаях вычисления сложнее, но сам
ход рассуждений, в общем, сохраняется.
Колебания треугольника. Рассмотрим три массы m в вершинах
равностороннего треугольника, связанные пружинами. Найдем нормальные
колебания этой механической системы. Теория групп позволяет сделать ряд
заключений о частотах нормальных колебаний, не прибегая к вычислениям.
Регулярное представление D разбивается на неприводимые представления
|[pic]. |


Каждому представлению соответствует одна частота, т.е. частоты для
двухмерных представлений двухкратно вырождены (для трехмерного трижды
вырождены и т.д.). Если найти характеры матриц D(g)V, где V - матрица
взаимодействия частиц, то частоты можно вычислять непосредственно методом
групп. Такие вычисления могут быть проще, чем решение дифференциальных
уравнений, так как можно явным образом использовать симметрию задачи. В
нашем случае из 6 степеней свободы - одна вращательная, что соответствует
представлению [pic]. Этим движениям соответствуют равные нулю частоты.
Симметрия системы может быть изменена за счет наложения внешнего
электрического или магнитного поля, или механических сил. Методом групп
можно прогнозировать расщепление линий спектра излучения.

Заключение. Рассмотрены примеры применения теории группы для решения
физических задач. Показана схема определения параметром группы: выделение
классов, характеров неприводимых представлений, разбиение регулярного
представления группы на неприводимые представления. Теория групп эффективна
при формулировке фундаментальных выводов: таких как обоснование
существования двух сортов частиц - бозе- и ферми частиц, на которые делятся
все частицы, известные в современной физике. При рассмотрении конкретных
задач теория групп позволяет сделать заключения о поведении системы без
сложных вычислений, используя представления о симметрии системы. Такие
предсказания имеют существенное значение при исследовании спектров.