Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=252 Дата изменения: Fri May 5 15:24:50 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:45:14 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: europa

Розы и розетки.
Тезисы работы.
Отображение, каждому действительному числу t ставящее в соответствие
вектор r(t), называется вектор - функцией. Зафиксировав (на плоскости или в
пространстве) начало О, для t(R построим вектор OM(t)=r(t). Множество точек
{M(t)|t(R} называется годографом вектор - функции r(t).
В случае плоскости для любого ((R можно определить образ данного
вектора n при повороте R( на угол (, положив R((n)=O R((N), если ON=n.
С помощью вектор - функций удобно описывать различные движения
материальной точки. Например, равномерное вращение точки M около начала О
описывается вектор - функцией r(t)=r R(t(e) (|e|=1), где r=|OM|=const, ( -
угловая скорость вращения, e - фиксированный вектор. Движение точки M вдоль
прямой (OE), где OE=e, описывается вектор - функцией вида r(t)=f(t)*e
(f:R(R). Сложное движение, при котором М движется вдоль прямой (ОЕ), а эта
прямая вращается с угловой скоростью I около точки О описывается вектор -
функцией вида r(t)=f(t)*Rt(e).
В случае, когда f(t)=a+Acos(t, точка М совершает периодические
колебания с частотой ( (с периодом Е=2П/() и с амплитудой («размахом) А
относительно точки а на прямой (ОЕ). Годограф вектор - функции вида
r(t)=(a+Acos(t)Rt(e), т.е. траектория движущейся указанным образом точки М,
называется розеткой, а при а=0 - розой.
Если на плоскости выбрано начало О и зафиксирован вектор e=OE, то
каждую точку M(0 можно задать полярными координатами: М((r;(), где r=|OM|,
(((EOM; здесь r - радиус точки М, r(0, (-азимут точки М, то можно записать
ОМ=rR( (e). Удобно считать, что r и ( могут принимать любые значения от
-((до (, ставя в соответствие паре (r; () точку М по формуле ОМ=rR( (e)
(тогда каждая точка M будет иметь бесконечно много наборов (r; () полярных
координат r=|OM|, (((EOM+2Пk, k(Z или r= -|OM|, (((EOM+П+2Пk). При этом
соглашении розетки - годографы вектор - функций вида r(t)=(a+Acos(t)Rt(e) -
задаются уравнениями в полярных координат вида r=a+Acos(( (из
r(t)=(a+Acos(t)Rt(e) имеем: r=a+Acos(t, (=t, откуда получаем соотношение
r=a+Acos(().
Легко записать формулы перехода от полярных координат (r, () к
декартовым (x;y): если ось Ox напрвить вдоль прямой (ОЕ), то x=rcos(,
y=rsin(. Эти формулы позволяют записать уравнения розеток в декартовых
координатах (в виде F(x;y)=0), однако это довольно трудоёмкая работа.
(Пример. Декартово уравнение розетки r=2+cos5(/2 выглядит так:
(x2+y2)5*(2(x2+y2)+7)2=(8(x2+y2)3-5x(x2+y2)(3x2-y2)+16x4)2).
Из приведённого описания построения розеток ясно, что если при
некотором числе m поворотов на угол T=2П/( начальная точка розетки ((=0)
вернётся в своё исходное положение, т.е. mT=2Пn, то розетка будет замкнутой
кривой, а движение по ней будет периодично, с периодом T=mT; в противном
случае кривая r=t(t) никогда не замкнётся (хотя и будет
самопересекающейся). Переписав условие замкнутости розетки mT=2Пn в виде
2mП/(=2Пn ( (=m/n, мы видим, что замкнутые розетки соответствуют
рациональным значениям частоты (. Если ( иррационально, т.е. если розетка
не замкнута, то можно показать, что эта кривая (розетки r=r(t)) всюду
плотно заполняет целую область на плоскости - круг или кольцо, задаваемые в
полярных координатах соотношением a-A(r(a+A.
Целью данной работы является построение годографов выше описанных
вектор-функций с использованием современных средств визуализации. Все
графики годографов выполнены в среде Macromedia Flash 5.0 с использованием
встроенного языка программирования ActionScript. Анимационные возможности
позволяют в режиме реального времени исследовать форму кривых в зависимости
от задаваемых параметров.
Отличительными особенностями использования Flash 5.0 :
. Среда специально разработана для WEB-анимации, поэтому «живые
кривые» могут быть легко размещены в Интернет .
. Она позволяет создавать и оживлять компактную векторную графику
. Встроенный язык программирования содержит богатую библиотеку
математических функций