Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=251 Дата изменения: Fri May 5 15:24:50 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:56:44 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: sojourner

Периодичность на плоскости.
Понятие «периодичность», является одним из фундаментальных понятий в
математике и встречается практически в каждом ее разделе, будь то алгебра,
дифференциальная геометрия или теория дифференциальных уравнений.
Наиболее наглядным (но далеко не тривиальным) объектом для демонстрации
идеи периодичности являются символьные последовательности (или сверхслова).
Пусть А={a,b,c,.} некоторый алфавит из конечного набора символов (букв).
Сверхсловом мы назовем любую бесконечную в обе стороны последовательность
символов из А и будем обозначать W={wn}, где wn(A - символ, стоящий на n-м
месте. Сверхслово называется периодическим, если существует такое N, что
wn+N=wn для любого n.
Подсловом сверхслова W мы назовем любую конечную подпоследовательность
символов из W.
В терминах свойств сверхслов и их подслов решаются многие интересные
задачи из различных областей математики. Одним из основных свойств
сверхслова является количество его различных подслов данной длины. Известен
следующий классический результат:
Теорема. ПустьW -сверхслово над алфавитом из двух символов А={a,b}.
Обозначим через Т(k) количество его различных подслов длины k. Если для
какого-то K T(K)( K, то W-периодическое сверхслово.
Результат естественным образом обобщается на случай алфавита из n символов.

Если оценку T(K)( K ослабить, то есть задать условие, что для любого k
T(k)( k+1, то возникает интересный класс сверхслов (уже не обязательно
периодических), так называемых сверхслов Штурма (Sturmian superword).

Целью данной работы является изучение понятия периодичность на «двумерном
объекте», в качестве которого мы возьмем бесконечное клетчатое поле, каждая
клетка которого окрашена в один из нескольких ( в нашем случае двух)
цветов.
Раскраску плоскости назовем периодичной вдоль направления v (где v-
целочисленный вектор), если для каждой клетки, клетка, получающаяся из
данной переносом на v, окажется такого же цвета.
Аналогом подслова на плоскости является шаблон. Шаблоном мы назовем
несколько клеток на плоскости, которые можно «подвигать» не меняя
расстояния между ними. Строго говоря, шаблон из n клеток - это
упорядоченный набор из n-1 целочисленного вектора. Шаблон назовем
нетривиальным, если не существует прямой проходящей через все его клетки.
Естественным образом определяется такое понятие как раскраска шаблона. Как
и в случае сверхслов, для данного шаблона F через T(F) обозначим
количество различных раскрасок F.
Основные результаты:
Теорема. Пусть для некоторого нетривиального шаблона F из n клеток T(F)(n.
Тогда существует два направления, вдоль которых раскраска периодична.
Следствие. Существует бесконечно много таких направлений.
Гипотеза. При условии, что для если для любого n и для любого шаблона F из
n клеток T(F)(n+1, то либо существует одно направление, вдоль которого
раскраска периодична, либо это раскраска плоскости, в которой ровно одна
клетка первого цвета, а остальные - другого ( или наоборот).
Гипотеза была проверена автором с помощью алгоритма на компьютере для малых
n, и пока не доказана.