Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=257 Дата изменения: Fri May 5 15:24:53 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:46:27 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: джемини-север

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ.

Определения.


1.Пучком называем совокупность направленных отрезков, векторов,
квазивекторов или звеньев ломаной , как угодно ветвящейся.
2.Номой пучка называем сумму норм (длин) его элементов.
3.Если в направлении, задаваемом ортом(единичным вектором) [pic] сумма
модулей проекций элементов пучка P строго больше нежели таковая пучка Q, то
говорим , что P мажорирует(строго мажорирует) Q по [pic], [pic], и пишем
P/[pic](Q/[pic]( P/[pic](Q/[pic]).
4. Если указанное свойство выполняется по всем направлениям, то пишем P/(Q/
, (соответственно, P/(Q/) и говорим ,что P изотропная мажоранта для Q.
5.Осреднение- среднеарифметическая проекция евклидова отрезка по сфере.

Применены метод осреднения проекций евклидова отрезка по сфере и метод
упорядочения совокупности проекций на данную прямую. В частности, доказано
неравенство, связывающее суммарную длину отрезков для каждой из двух
совокупностей одинакового числа вершин и суммарную длину отрезков между
вершинами первой и второй.

1.Неравенство для отрезков-ребер полного графа с четным числом вершин.

Пусть в евклидовом пространстве отмечено одинаковое количество черных
(X1,..,Xm(и белых (Y1,...,Ym( точек, обозначенные здесь своими радиус-
векторами. Всевозможные отрезки между этими точками образуют 3 пучка :
черный пучок X((Xi-Xj;1( i(j( m(, белый пучок
Y((Yi-Yj;1( i(j( m( и двуцветный пучок (X(Y) ((Xi-Yj;1( i( m,1( j( m (.В
каждом одноцветном пучке по m(m-1):2 элементов, а в двуцветном
m(m.Нижеследующая терема утверждает, что при несовпадении черных и белых
как двух множеств(неупорядоченных) норма
двуцветного пучка строго больше суммы норм одноцветных пучков (при
совпадении эти величины, очевидно, одинаковы).Сформулируем основную теорему
в изначально общепринятых терминах.
Теорема 1.Если два набора одинаковых количеств точек евклидова
пространства не совпадают, то сумма расстояний между точками разных наборов
строго больше суммы всех внутринаборных расстояний(
(([pic]i;i(1,m(([pic]([pic]j(j(1,m(((( [pic]([pic]i-[pic]j (([pic] (([pic]i-
[pic]j ((([pic]i -[pic]j((. (1)
Для доказательства Теоремы 1 понадобятся две вспомогательные теоремы,
поэтому сначала рассмотрим их и все необходимые пояснения.
Прежде чем определить Теорему 2 следует обратить внимание на Среднею
арифметическую проекцию евклидова отрезка.
Отрезок длины a, в случае надобности рассматриваем его как вектор[pic]
или квазивектор [pic]([pic][pic], определенный с точностью до знака.
Осреднение осесимметричной функции по сфере.
Пусть [pic] гипер-площадь гиперповерхности гипер-сферы единичного радиуса
в евклидовом пространстве Е размерности N (EN).Коротко [pic] называем
коэффициент, т.к. для радиуса r, очевидно, имеем(
[pic](r)= [pic]([pic] , [pic]=[pic]([pic]/N (площадь и объем
соответствующего шара).
Таким образом, осесимметричная величина f((), 0(((((см.рис. ниже)
осредняется по единичной сфере согласно формуле(
[pic] ([pic](( f d[pic]=[pic]([pic] f(()[pic](d(; N(2,
(2)
[pic] =2, причем полагая f(1 из (2) последовательно получим [pic]
конечных N, и для получения стандартного среднеарифметического [pic]
следует результат суммирования (интеграл в(1)) величины f разделить на
то же для единицы , т.е. на [pic].
Итак Теорема 2. Среднеарифметическая проекция евклидова отрезка по
единичной сфере пропорциональна длине отрезка, причем коэффициент
зависит только от размерности пространства(
[pic] ([pic]=(2/ N-1)( ([pic](([pic]/[pic] ; N(1, (([pic]((a (
0), (3)
где аксиоматически положено( ([pic]/N-1)(1, а [pic]=2 очевидно ,т.к.
это диаметр.
Доказательство. При N (2, когда единичный вектор [pic] пробегает
поверхность единичной сферы,
из (2) имеем( [pic]([pic]=([pic](([pic]/[pic]([pic] f(()[pic](cos((d(
[pic]

Ч.Т.Д
Рассмотрим частный случай N=2:
( проекция a(=(a(((cos((
(проекция a(= a[pic](cos((d(= 4a[pic] cos(d(= 4a

Замечание. Благодаря симметрии легко показать , что та же формула (3)
сохраняется при осреднении по любой относительно направления [pic]
полусфере.
Теперь перейдем ко второй вспомогательной теореме(
Теорема 3. Если первый пучок изотропная мажоранта второго и хотя бы по
одному направлению мажорирование строгое, то норма первого пучка строго
больше пучка второго (
[pic]
((([pic](0)(P/[pic](Q/[pic])(([pic]([pic])(P/[pic](Q/[pic])((((P(((((Q).
Доказательство. Следует из Теоремы 2 путем осреднения по единичной сфере
данного по условию неравенства /Q/(0, с учетом непрерывности проекции как
функции точки на единичной сфере.

Так как две вспомогательные теоремы рассмотрены можно перейти к
доказательству Теоремы 1.

Доказательство на языке пучков. Отметим, что обе части неравенства
сохраняются при любых изменениях внутринаборных нумераций, т.е. можем
считать(
X1(X2(X3(..(Xm; Y1(Y2(Y3(..(Ym, (4)
где числа Xi,Yj означают координаты проекций соответствующих точек наших
наборов, перенумерованных так, что имеются указанные упорядоченности, таким
образом для произвольного направления [pic] проектирования получаем(
(X(Y)/ [pic]-X/ [pic]-Y/[pic]([pic]([pic]i-[pic]j (- -[pic] (([pic]i-[pic]j
((([pic]i -[pic]j((= (5)
=[pic](Xk-Yk(+[pic] ((([pic]i-[pic]j(+Xi-Yj)+( ([pic]j-[pic]i(-Xj+Yi))(
[pic](Xk-Yk((0, т.к. (X([pic] X (0 для всех чисел.
В силу взаимно однозначного соответствия между векторами и их
координатами, последнее неравенство в строгое хотя бы по одному направлению
(более того(хотя бы по одному из n наперед заданных попарно ортогональных в
En ), и из Теоремы 2 следует требуемое.

Некоторые замечания.

-1. Евклидовость в Теореме 1 по существу. Для ясности вспомним определения
общего понятия расстояния(метрика) и , в частности, порождающей метрику
нормы(
1.1.В метрическом(точечном. Не обязательно векторном ) пространстве метрика
((p,q) задается как симметричная (((p,q)=((q,p)) , положительно
определенная (((p,q)(0, ((p,q)=0((p(q)), выпуклая (((p,q)(((p,r)+((r,q)-
неравенство треугольника) функция пары точек. Если для трех различных точек
неравенство треугольника вырождается в равенство, то, по определению ,все
три точки лежат на одной геодезической (аналог прямой).
Пример( обычная сфера, на которой расстояние измеряется как наименьшая
(из ,как минимум, двух возможных) длина дуги большого круга, соединяющая
две данные точки. Здесь неравенство (1) может нарушится уже при m=2 (оно
становится равенством, если две черные есть концы одного диаметра сферы, а
белые ,- другого. Это порождено , софокусностью пары точек , когда
геодезическая между ними не единственна (здесь это любой меридиан между
точками-полюсами).
-2.Норма [pic] в нормированном (векторном)пространстве задается как
суперлинейная, т.е.( абсолютно однородная с показателем
единица((((([pic]((=(((((([pic]((, где ( число), положительно
определенная([pic](0,(( [pic]=0)(( [pic]([pic] , -нуль-вектор))), выпуклая
(([pic](([pic]+([pic](,

причем равенство лишь причем [pic](([pic]). Норма разности [pic]
порождает метрику , если [pic] назвать нулевой точкой. В численном анализе
популярны координатные Lp -нормы, когда в избранной координатной сетке
норма вектора [pic]=(X1,..,Xn) вычисляется по формуле:
[pic][pic], p(1; т.е. норма L2-евклидова. Норма L( получается из Lp -нормы
в пределе при p( ((, т.е. [pic]L( = MAX(( X1(.,(Xn((.Ниже изображены на
рис.1 единичные окружности (сферы в двумерных L1 иL().Теорема 1 для m=2
доказывается из неравенства треугольника. Но для уже для m=3 теорема
неверна, как показывает следующий контрпример(рис.2).



[pic] [pic]
рис.2 [pic]
(2) (2)
L( рис.1 L 1

2.1.Контрпример в L1:

(((Б,Б(( L1=((( 4,4(( =8 ;
(((Б,4((L1=16, см. рис.2,
и неравенство (1) становится равенством, хотя нет ни одного совпадения
черной и белой точек .