Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=208 Дата изменения: Fri May 5 15:24:30 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:53:06 2012 Кодировка: koi8-r

Математика.
Гимназия ?1543.
Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра
Косов Дмитрий, 11 класс «В».
Адрес школы: ул. 26-ти Бакинских комиссаров, дом 3, корпус 5,
тел. 4342658, e-mail: root@s43.msk.su
Научный руководитель: старший научный сотрудник ЦЭМИ РАН
А. А. Заславский e-mail: zasl@cemi.rssi.ru

Треугольник является наиболее простой и в то же время наиболее
интересной из плоских фигур. Известно множество весьма красивых свойств
треугольника (см., например [1]). Пространственным аналогом треугольника
является тетраэдр. Поэтому естественно выяснить, для каких свойств
треугольника существуют пространственные аналоги. Вначале напомним
известные факты [2-3].
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят друг друга в
отношении 2:1. - Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами
тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке и делят друг
друга в отношении 3:1.
2. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. - Вокруг любого
тетрадра можно описать сферу.
3. В любой треугольник можно вписать окружность. Аналогичное свойство для
тетраэдра можно формулировать по-разному. Сфера, касающуяся всех граней
тетраэдра, существует всегда. А вот сфера, касающаяся всех его ребер,
существует не в любом, а только в так называемом каркасном тетраэдре,
суммы противоположных ребер которого равны.
4. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Аналогичное свойство
выполнено лишь в ортоцентрическом тетраэдре, противоположные ребра
которого перпендикулярны.
Теперь опишем новые результаты.
1. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и точки касания
противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной
точке (точка Жергонна). В тетраэдре аналогичное свойство выполнено тогда
и только тогда, когда произведения косинусов половин противоположных
двугранных углов равны.
2. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и точки касания
противоположных сторон с вневписанными окружностями, пересекаются в одной
точке (точка Нагеля). В тетраэдре аналогичное свойство выполнено тогда и
только тогда, когда произведения синусов половин противоположных
двугранных углов равны.
3. Для любой точки P лучи, симметричные лучам AP, BP, CP, относительно
биссектрис соответствующих углов треугольника ABC пересекаются в одной
точке, которая называется изогонально сопряженнной к P [4].
Можно определить изогональное сопряжение и для трехгранного угла:
пусть дан трехгранный угол SABC и точка M внутри него. Тогда прямая SM есть
пересечение плоскостей ASM, BSM и CSM. Рассмотрим двугранный угол при ребре
AS: он разбит плоскостью ASM на два двугранных угла ((ASC)^(ASM)) и
((ASM)^(ASB)). Рассмотрим точку M' такую, что ((ASC)^ASM'))=((ASM)^(ASB)) и
(ASC)^(ASM))=((ASM')^(ASB)). Тогда нетрудно доказать, что точка M' обладает
таким же свойством и в отношении двух других двугранных углов. Полученную
таким образом прямую SM' будем называть сопряженной с прямой SM.
Для того, чтобы вести речь о сопряжении в тетраэдре, нам потребуется
определить четырехмерные барицентрические координаты точки относительно
тетраэдра: в нашем случае четырьмя координатами точки M будут отношения
объемов четырех тетраэдров MBCD, MACD, MABD и MABC к объему всего тетраэдра
ABCD (без ограничения общности задачи можно положить VABCD=1, тогда
барицентрическими координатами точки M будут непосредственно четыре
вышеуказанных объема). Пусть AM'A, BM'B, CM'C и DM'D-прямые, сопряженные с
AM, BM, CM и DM соответственно. Нам удалось доказать, что если исходные
прямые (чевианы) пересекаются в одной точке (M), то и сопряженные им
пересекаются в одной точке (M'). Эту-то точку M' мы и будем называть
сопряженной точке M.
Укажем некоторые свойства изогонального сопряжения. Разумеется,
аналогичные свойства верны для треугольника.
1. Центр вписанной сферы, очевидно, переходит сам в себя.
2. Центр тяжести сопряжен с точкой Лемуана, сумма квадратов от которой до
граней тетраэдра минимальна.
3. Точку P', изогонально сопряженнную точке P, можно построить так. Пусть
A', B', C', D' - основания перпендикуляров, опущенных из P на грани
тетраэдра ABCD. Тогда перпендикуляры, опущенные из вершин ABCD на
соответствующие грани A' B' C' D', пересекутся в P'.
В заключение приведем пример нерешенной задачи. Поскольку ортоцентр, в
отличие от центра описанной сферы, существует не во всяком тетраэдре,
назовем псевдоортоцентром точку, сопряженную с центром описанной сферы.
Интересно выяснить, совпадает ли псевдоортоцентр с ортоцентром в
ортоцентрическом тетраэдре, и обладает ли он свойствами, напоминающими
свойства ортоцентра, в произвольном.


Литература


1. С. Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers, 2000
http://cedar.evansville.edu/~ck6/encyclopedia/
2. В.Матизен. Равногранные и каркасные тетраэдры. Приложение к "Кванту",
1995, ? 1.
3. В.Матизен, В.Дубровский. Из геометрии тетраэдра. Приложение к "Кванту",
1996, ? 3.
4.В.Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. М., МЦНМО,2000.