Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=181 Дата изменения: Fri May 5 15:25:06 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:51:51 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.sai.msu.su sn sncat

О специальных числах [pic]и числах, с ними связанными.
Работа посвящена изучению коэффициентов разложения [pic] (n - натуральное)
в степенной ряд: [pic]
1.Получим несколько свойств чисел a(n;k). Обозначим [pic]. Из
равенства [pic] приравнивая коэффициенты при равных степенях x,
получим соотношение: a(n;k)-a(n;k-1)=a(n-1;k)+a(n-1;k-1). Посчитаем
значение a(1;k). Из формулы геометрической прогрессии: [pic] Отсюда
[pic]. При k>0 a(1;k)=2; a(1;0)=1. Поскольку [pic], то [pic]
2.Выведем удобную для вычислений формулу a(n+1;k), если
известны значения a(n;k).
Посчитаем производную [pic]: [pic] Отсюда: [pic] Но [pic] [pic]
и получаем следующее соотношение: [pic] Теперь посчитаем a(n;k) в
начальных точках для n=2;3;4 по уже известному значению [pic]
a(2,k)=[pic] аналогично [pic] [pic]
3.Введём в рассмотрения числа [pic]тесно связанные с [pic]
Докажем формулу: [pic] Так как [pic] откуда и получаем
требуемое.
По этой формуле посчитаем [pic] в начальных точках: [pic] [pic]
[pic]
Для [pic] справедлива формула аналогичная [pic] [pic] Для её
доказательства достаточно заметить, что [pic] и что [pic]
4.Получим ещё соотношение для [pic] [pic] Отсюда: [pic]
[pic]Отсюда уже и получаем соотношение: [pic] [pic]
5.Можно ввести в рассмотрение ещё один тип чисел: [pic]
Так как [pic] то [pic] [pic] Так как [pic] и [pic], то, вычитая
одно из другого, получим: [pic] Поскольку [pic], то [pic]или [pic]
6.Заметим, что [pic] Так как свободный член левой части
равенства равен 1, то [pic] отсюда [pic] Также как и для [pic] и
[pic] для [pic] справедливо тождество: [pic] По формуле [pic] можно
посчитать [pic] в начальных точках: [pic] [pic]
7.Получим ещё одно тождество для [pic] [pic] [pic] С другой
стороны [pic] [pic]
Отсюда: [pic] Получаем соотношение [pic]
8.[pic] можно посчитать и по другому: [pic] [pic] Но [pic]
Отсюда [pic]. Совершенно аналогично получаем: [pic] и [pic].
9.Поскольку [pic], то [pic] Аналогично: [pic]
10.Заметим, что [pic]. Поэтому [pic] [pic], или [pic]. Отсюда
[pic], или (k-натуральное) [pic]. Проведя аналогичные рассуждения,
получим: [pic] [pic] или [pic]. Отсюда: [pic].