Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=125 Дата изменения: Fri May 5 15:24:38 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:19:43 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: equinox

ИЗУЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

Данная работа посвящена изучению хаотической динамики в нескольких
простых физических системах с диссипацией в отсутствии случайных
внешних воздействий. Литературные источники с анализом
детерминированного хаоса (ДХ) в рассмотренных ниже системах нам
неизвестны. В связи с простотой этих систем физическая ценность
исследований ДХ в них нуждается в обосновании. Оно таково.
Закономерности хаоса в детерминированных системах носят универсальный
характер: не зависят от природы физической системы и реализуются через
конечное число сценариев. При этом, закономерности ДХ в очень сложных
физических системах часто оказываются теми же, что и в простых
системах с небольшим числом степеней свободы [1-3].
Численными методами была изучена динамика трех различных механических
систем, в которых нами были обнаружены хаотические режимы колебаний.
Система 1. Шарик, падая под действием силы тяжести в отсутствии
сил сопротивления, испытывает неупругий удар с известным
коэффициентом восстановления R о плоскость. Плоскость ориентирована
нормально к направлению движения шарика и совершает гармонические
колебания по закону Y=H0 * sin(w * t).
Система 2. Шарик, падая под действием силы тяжести и двигаясь в
вязкой среде, испытывает абсолютно упругий удар о плоскость.
Ориентация плоскости и закон её движения тот же, что и в системе 1.
Сила сопротивления, обусловленная вязким трением, имеет вид: Fc = - B
* v; где B - коэффициент сопротивления, v - скорость шарика.
Система 3. Однородная упругая струна длиной L, с линейной
плотностью ( и линейным натяжением C, натянутая и закрепленная в
точках A и B, помещена в вязкой среде. Под действием периодической
внешней силы струна совершает малые поперечные колебания вблизи
своего положения равновесия. В плоскости колебаний струны случайным
образом (с помощью генератора случайных чисел) расположены локальные
центры, со стороны которых на ближайшие к ним участки струны действует
сила притяжения. Радиус действия локальных центров существенно меньше
амплитуды поперечных колебаний струны. Задаваемый силовой закон
взаимодействия локального центра с участком струны позволяет струне
преодолевать локальные центры притяжения при её колебательном
движении. Сила вязкого торможения, действующая при движении струны па
её участок (L, имеет вид: Fc = - G * v * (L; где G - коэффициент
сопротивления, v - скорость участка
Анализ проводился при различных значениях следующих параметров:
для системы 1 - g (ускорение свободного падения), H0 ,
w, R;
для системы 2 - g , H0 , w, B ;
для системы 3 - G, (, C, Lc - среднее расстояние
между локальными центрами,
F0 - амплитуда силы взаимодействия между струной и
центром.
Для описанных систем определялись зависимости: координаты шарика
от времени - h(t) (система 1 и 2) и формы струны от времени -
U(x,t) при различных начальных условиях и различных значениях
параметров систем. Анализ этих зависимостей свидетельствует о
следующем. Для систем 1 и 2 при выполнении условия H0 * w 2 > g
существуют такие критические значения R* и B*, что при R< R*
и B> B* движение шарика является строго периодическим, тогда как
при R> R* и B< B* их движение внешне ничем не отличается от
случайного. Для системы 3 условие перехода к хаосу можно записать
используя параметр ( = (G * Lc)/(2 *(*F0 )1/ 2. Его критическое
значение (* ( 1, при ( > 1 струна совершает строго
периодические колебания с частотой внешней силы, тогда как при (
< 1 колебания имеют хаотический характер. Изучены сценарии перехода
к хаосу в этих системах. После перехода к хаосу в системах
проявляются две следующие важные закономерности.
1) Воспроизводимость зависимостей h(t) и U(x,t), состоящая в
том, что эти зависимости при неизменных начальных условиях
всегда точно повторяются при последующих многократных вычислениях.

2) Чувствительность зависимостей h(t) и U(x,t) к начальным
условиям. Пренебрежимо малые отличия в начальных условиях спустя
небольшой промежуток времени приводят к радикальному изменению
зависимостей
Проведенный качественный и количественный анализ динамики
рассмотренных систем, в отсутствии каких-либо случайных воздействий в
них, свидетельствует, что процессы эволюции этих систем, несмотря на
их сложность и внешнюю схожесть со случайными процессами, являются
процессами детерминированными, подчинящимися закономерностям
детерминированного хаоса.


Литература.

1. В.С.Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. Москва - Ижевск,
2002г.
2. Ю.А.Данилов. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное
введение. Москва, 2001г.
3. Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко. Колебания, волны, структуры.
Москва, 2001г.