Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=264 Дата изменения: Fri May 5 15:26:04 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:42:32 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п р п р п

Применение теории групп в физике

цель работы: усвоить основные представления теории групп. на конкретных
примерах показать эффективность метода теории групп для анализа поведения
физических систем.


Содержание

Введение. Постановка задачи.
1. Ферми- и Бозе частицы с точки зрения теории групп.
2. Группа симметрии треугольника.
3. Исследование колебаний треугольника.
Заключение

Введение. Постановка задачи.
Представления симметрии играют огромную роль в постановке и анализе
физических задач. Известно, что законы сохранения энергии, импульса,
момента импульса системы связаны с однородностью времени, однородностью и
изотропностью пространства соответственно. Многие задачи решаются просто,
если использовать симметрию и, конечно, физические представления. Форма
законов всемирного тяготения Ньютона и закона Кулона следует из сферической
симметрии задачи для точечной массы (заряда) и законов сохранения массы и
заряда соответственно. Во многих конкретных задачах: при расчете
электрических и магнитных полей, в задачах гидродинамики, исследовании
колебаний и т.д. - соображения симметрии являются эффективным методом,
позволяющим получить относительно простые конечные формулы.
Часто элементы симметрии и соотношения между ними можно выразить на
языке теории групп. В кристаллографии такой подход позволил
систематизировать разные виды симметрии в кристаллографические классы.
Теория групп является в физике важным методом рассмотрения задач,
которые трудно решить аналитически или вычислительными методами. Часто,
исходя из теории групп, можно получить принципиальные результаты, имеющие
общий характер, например, в теории элементарных частиц.
Научиться применять методы групп можно, прежде всего, на конкретных
примерах. Учитывая довольно сложные математические построения теории групп,
целесообразно начинать с самых простых случаев, для усвоения которых
достаточно знаний средней школы.
Значение метода для понимания фундаментальных законов с точки зрения
симметрии иллюстрируется при рассмотрении ферми- и бозе частиц.
На примере группы треугольника показывается ход рассуждений и суть
группового подхода: построение представлений, деление группы на
неприводимые представления.
Колебания треугольника рассматриваются для того, чтобы
проиллюстрировать связь спектров с симметрией системы. В этом случае можно
судить о поведении частот во внешних полях на основе группового подхода без
сложных вычислений.

1. Ферми- и Бозе частицы
Существование двух сортов частиц разной симметрии - один из важнейших
результатов физики XX века. Ферми-частицы, например, электроны,
характеризуются тем, что в одном состоянии не может находиться более одной
частицы, что связано с тем, что Ферми- частицы имеют полуцелый спин, Бозе-
частицы имеют целый спин, в одном состоянии может находиться любое число
частиц.
Существование двух сортов частиц следует из принципа тождественности
частиц, который следует их квантовой механики, и группы зеркальной
симметрии. Покажем это.
Пусть состояние системы, состоящей их N одинаковых частиц, описывается
функцией, зависящей от параметров этих частиц
|((x1, x2, ., xN(. |(1.1)|


В квантовой механике - это волновая функция и физический смысл имеет
квадрат модуля этой функции (вероятность найти систему в данном состоянии)
- (((2. Очевидно, что при операции симметрии, например, при перестановке
частиц функция может изменить знак или сохранить знак. Состояние при этом
не меняется, так как частицы тождественны. Действие оператора перестановки
двух частиц запишется
|[pic]((x1. xk. xe. xN ( = (((x1. xk. xe. xN (. |(1.2)|


Собственные значения оператора p((1, что соответствует регулярному
представлению группы из двух элементов - единичного I и зеркального
отражения P:
|[pic] |(1.3)|


Это представление разбивается на два неприводимых одномерных представления
с характерами: (((I(((, (1(P((( и (2(I(((, (2(P((((. В силу тривиального
результата такое представление единственно.
Если симметрия частиц соответствует значению P(((, то в одном состоянии
не может быть больше, чем одна частица. Если частица xk. xe находятся в
одном состоянии, то их перестановка ничего не меняет; следовательно, в этом
случае
|((x1. xN ( ( (((x1. xN ( ( 0, |(1.4)|


т.е. вероятность такого состояния равна нулю. Если P(((, то запрет на число
частиц в одном состоянии отсутствует. Элемент симметрии P((( с характером
(1, -1) соответствует фермионам, имеющий полуцелый спин. Суждение о
величине спина S (число, характеризующее собственный момент частицы)
следует из того, что при вращении в спиновом пространстве волновая функция
умножается на величину (-1)2S.
Таким образом, существование только двух сортов частиц является
следствием симметрии элементарных частиц, которая легко выражается языком
теории групп.
Можно представить себе случай, когда в одном состоянии «разрешается»
находиться не более P частиц (P(1). Тогда кроме бозе- и ферми частиц должны
существовать и другие частицы - группы симметрии была бы сложнее (содержала
бы и другие элементы кроме I и P). Но современная физика допускает только
два сорта частиц, что соответствует группе зеркальной симметрии.

2. Группа симметрии треугольника
Группа требований равностороннего треугольника (рис. 1) содержит 6
элементов: I - тождество, A - поворот на 120(, B - поворот на 240(, C, D, E
- отражения относительно линий P, Q и R - соответственно. Группа изоморфна
группе перестановок из трех элементов (1, 2, 3). Легко видеть, что группа
имеет три класса I; AB, CDE, причем I, IAB - подгруппы треугольника.

Построим представления группы. Всегда существует единичное
представление размерности n=1 [pic], в котором каждому элементу ставится в
соответствие 1. Второе представление размерности n=1 [pic] получим,
поставив в соответствие 1 элементам IAB и -1 элементам C, D, E, что
соответствует разбиению на классы. Для построения двухмерного представления
используем представление поворота с помощью матрицы
|[pic], |(2.1)|


где ( - угол поворота системы координат x', y', относительно исходной x, y
(рис. 1). Очевидно, что поворот треугольника на угол ( соответствует
повороту системы координат на угол ((. Тогда легко получить матрицы
|[pic], [pic] |(2.2)|


Элемент C соответствует изменению направления оси x((x, следовательно
|[pic], |(2.3)|


Используем умножение
E ( AC, D ( BC,
получим
|[pic] |(2.4)|


Составим таблицу характеров представлений, которые определяются как след
матрицы
[pic]
Как следовало ожидать, элементы одного класса в любом представлении
имеют одинаковые характеры.
Убедимся, что разбиение регулярного представления, которое в нашем
случае имеет размерность n=6 на приведенные выше неприводимые представления
является единственным. Воспользуемся формулой
|[pic]. |(2.5)|


В нашем случае это соответствует соотношению
|12 + 12 + 22 = 6. |(2.6)|


Очевидно, что число 6 можно разбить на квадраты i целых чисел таким
единственным способом. Представлений размерности ni=1 в данном случае
только 2 с учетом того, что элементы одного класса имеют одинаковый
характер. Заметим, что характеры каждого представления должны
удовлетворять соотношению
|[pic]. |(2.7)|


Легко проверить, что результаты, приведенные в таблице удовлетворяют
условию (2.7).
Итак, мы получили необходимые для приложений параметры представления
группы: разбиение на неприводимые представления и характеры классов. В
более сложных случаях вычисления сложнее, но сам ход рассуждений, в общем,
сохраняется.


3. Колебания треугольника
Рассмотрим три массы m в вершинах равностороннего треугольника,
связанные пружинами, постоянная которых равна K (рис. 2). Предположим, что
массы могут двигаться только в плоскости рисунка. Найдем нормальные
колебания этой механической системы.
Пронумеруем массы, как показано на рисунке. Смещения масс от положения
равновесия будем характеризовать координатами x1, y1; x2, y2; x3, y3
соответственно


Чтобы найти частоты нормальных колебаний, следует решить систему
уравнений движения. В данном случае система содержит три дифференциальных
уравнения второго порядка, частот будет 6, что соответствует 6 степеням
свободы системы (каждая материальная точка может перемещаться по двум
направлениям x и y). В данном случае можно решить задачу непосредственно,
если решить дифференциальные уравнения, но в общем случае, когда число
материальных точек велико, задача может быть довольно сложной.
Теория групп позволяет сделать ряд заключений о частотах нормальных
колебаний, не прибегая к вычислениям. Заметим, что вследствие симметрии
взаимодействия частиц, колебания не могут изменить симметрию треугольника.
Регулярное представление D разбивается на неприводимые представления
|[pic] |(3.1)|


где c1 - коэффициент, показывающий сколько раз неприводимое представление
содержится в регулярном, ( - означает прямое произведение представлений.
Можно показать, что
|ci ( ni, |(3.2)|


ni - размерность представления.
В нашем случае (h=6)
|[pic]. |(3.3)|


Каждому представлению соответствует одна частота, т.е. частоты для
двухмерных представлений двухкратно вырождены (для трехмерного трижды
вырождены и т.д.). Матрица для D имеет диагонально блочный вид
|[pic]. |(3.4)|


Характер регулярного представления прост ((I((h=6, ((g(I((0. Если найти
характеры матриц D(g)V, где V - матрица взаимодействия частиц, то частоты
можно вычислять непосредственно методом групп. Такие вычисления могут быть
проще, чем решение дифференциальных уравнений, так как можно явным образом
использовать симметрию задачи. Но для понимания поведения системы нет
необходимости в достаточно громоздких преобразованиях.
В нашем случае из 6 степеней свободы - одна вращательная, что
соответствует представлению [pic]. Этим движениям соответствуют равные нулю
частоты
|[pic]. |(3.5)|


Частота (1 представления [pic] не вырождена и соответствует колебаниям по
биссектрисам треугольника (рис.3а). Две другие, соответствующие
представлению [pic], вырождены: (32(('32. В явном виде разделить эти
движения нельзя, но характер их типа представленного на рис. 3б.

Соотношения между частотами в безразмерном виде можно получить из условия
|[pic]. |(3.6)|


или с учетом того, что (2(0, (32(0
|[pic]. |(3.7)|


Sp (шнур или след) - сумма диагональных элементов матрицы. Для единичного
элемента g=I [pic] (применим константу V0=1), [pic], [pic].
Следовательно, получим
|[pic]. |(3.8)|


Чтобы найти частоты нужно получить еще одно соотношение, например,
вычислить [pic]. В нашем случае можно показать, что ((((('(((3/2, т.е.
вдвое меньше, чем (1. Но, вообще говоря, такие вычисления не являются
непосредственной целью теории групп.
Важно, что мы можем сделать заключения о поведении системы при
нарушении симметрии. В рассматриваемом случае это можно сделать, изменив
жесткость одной из пружин. Тогда вместо двух частот будет три частоты
колебаний: за счет нарушения симметрии вырождение снимается ((((('((. В
практическом и теоретическом плане такие предсказания имеют важное значение
при исследовании спектров излучения. Симметрия системы может быть изменена
за счет наложения внешнего электрического или магнитного поля, или
механических сил. Методом групп можно прогнозировать расщепление линий
спектра излучения.


Заключение

Рассмотрены примеры применения теории группы для решения физических
задач. Показана схема определения параметром группы: выделение классов,
характеров неприводимых представлений, разбиение регулярного представления
группы на неприводимые представления.
Теория групп эффективна при формулировке фундаментальных выводов: таких
как обоснование существования двух сортов частиц - бозе- и ферми частиц, на
которые делятся все частицы, известные в современной физике.
При рассмотрении конкретных задач теория групп позволяет сделать
заключения о поведении системы без сложных вычислений, используя
представления о симметрии системы. Такие предсказания имеют существенное
значение при исследовании спектров.
-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]