Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=228 Дата изменения: Fri May 5 15:25:36 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:41:31 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: arp 220

[pic]


Муниципальный общеобразовательный лицей ?17.













Реферат по геометрии.





Тема: вписанный в окружность четырёхугольник.






Учащаяся: Шахова Анастасия Викторовна


Класс: 10А


Научный руководитель: Колесова Наталья Геннадьевна.
























г. Северодвинск.
2003 г.
Содержание:

1. Содержание.......................2
2. Введение........................3
3. Признак четырёхугольника, около которого можно описать
окружность........................4
4. Местоположение центра описанной около четырёхугольника
окружности.......................5
5. Общие свойства вписанных в окружность
четырёхугольников:...........................6
a) теорема Птолемея;...................-
b) аналог формулы Герона для вписанного в окружность
четырёхугольника;...................7
c) ещё один способ вычисления площади вписанного в окружность
четырёхугольника..............8
6. Свойства вписанного в окружность четырёхугольника, диагонали которого
перпендикулярны.............9
7. Определение гармонического четырёхугольника......12
8. Свойства и признак гармонического четырёхугольника...-
9. Примеры решения задач.................15
10. Заключение................... 19
11. Список используемой литературы...........20



















Введение.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек
и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из
данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не
должны пересекаться.
Существуют различные виды классификаций четырёхугольников, например,
по параллельности сторон выделяют параллелограмм, у которого попарно
параллельны все стороны, и трапецию, у которой параллельны две стороны, по
равенству сторон выделяют ромб и квадрат, по равенству всех углов -
квадрат и прямоугольник и так далее. Одна из классификаций предполагает
возможность вписать окружность в четырёхугольник и описать окружность около
него.
Планиметрические задачи на комбинацию окружности и четырёхугольника,
как правило, встречаются на олимпиадах, конкурсах и вступительных
экзаменах. Чаще фигурирует вписанный в окружность четырёхугольник, и, даже
когда его нет в условии задачи, он может использоваться как вспомогательный
элемент.
Изучая литературу, решая геометрические задачи, я обратила внимание
на то, что вписанный в окружность четырёхугольник обладает рядом очень
интересных свойств. И я решила изучить некоторые из них. Поэтому я свою
работу посвятила вписанному в окружность четырёхугольнику.













Признак четырёхугольника, около которого можно описать окружность.

Многоугольник называется вписанным, если существует окружность, на
которой лежат все его вершины. Эта окружность называется описанной около
многоугольника. Известно, что около любого треугольника можно описать
окружность. Легко привести пример и вписанного четырёхугольника - квадрат.
Однако, сколько мы не будем пытаться описать окружность около ромба, не
являющегося квадратом, ничего не получится. Поэтому среди четырёхугольников
полезно выделить класс таких, около которых можно описать окружность.
Необходимое условие того, что около четырёхугольника можно описать
окружность таково: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника
равна [pic].
Докажем его.

Рассмотрим четырёхугольник [pic](см. рис.1),
вписанный в окружность. В нём:

[pic], [pic][pic][pic][pic], поэтому
[pic][pic]+[pic][pic][pic]([pic][pic]
+[pic][pic]) [pic]
[pic], что и требовалось доказать.
Теперь докажем, что это же условие является достаточным.








Рис.2 Рис.3
Рассмотрим четырёхугольник [pic]. Пусть[pic][pic]+[pic][pic]
[pic].Опишем окружность около [pic] [pic] и покажем, что точка [pic] также
будет лежать на этой окружности. Предположим, что это не так. Тогда либо
она лежит вне окружности (рис.2), либо внутри окружности (рис.3). Пусть
прямая [pic] пересекает окружность в точках [pic] и [pic](возможно
совпадающих, если [pic] лежит вне окружности, а [pic]- касательная).
Соединим точки [pic] и [pic]. Заметим теперь, что[pic] [pic][pic] [pic],
так как, с одной стороны, четырёхугольник [pic] - вписанный, поэтому
[pic][pic]+[pic][pic][pic], а с другой стороны, по условию, [pic][pic]
+[pic][pic][pic]. Но тогда прямые [pic] и [pic]параллельны, а поскольку они
имеют общую точку[pic], это значит, что они совпадают, то есть совпадают и
точки [pic] и [pic]. Таким образом четырёхугольник [pic]- вписанный.
Итак, признак четырёхугольника, около которого можно описать
окружность формулируется так: для того, чтобы около четырёхугольника можно
было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его
противоположных углов была равна [pic].

Местоположение центра описанной около четырёхугольника окружности.

Теперь посмотрим, где находится центр окружности, описанной около
четырёхугольника, если она есть. Справедливо следующее
Утверждение: если четырёхугольник является вписанным, то центр описанной
около него окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам четырёхугольника.
В самом деле, серединный перпендикуляр к отрезку содержит все точки,
равно удаленные от концов этого отрезка, следовательно, точка пересечения
серединных перпендикуляров вписанного в окружность четырёхугольника равно
удалена от вершин этого четырёхугольника, то есть от некоторых точек
окружности. По определению центра окружности, из этого следует, что данная
точка - центр описанной около этого четырёхугольника окружности.









Общие свойства вписанных в окружность четырёхугольников.

Теорема Птолемея.

Вписанный в окружность четырёхугольник обладает рядом интереснейших
свойств. Одно из них было доказано древнегреческим математиком и астрономом
Клавдием Птолемеем (около 100 г.н.э.-около 178 г.н.э) в его знаменитом
сочинении «Альмагест» (астрономы в странах арабского Востока называли эту
книгу «Альмаджисти» - «Величайшее», отсюда и происходит её название
«Альмагест»).
Вот эта теорема, носящая ныне имя Птоломея: произведение диагоналей
вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных
сторон.
Докажем её.
Рассмотрим вписанный в окружность
четырёхугольник[pic] (см. рис.4). Нужно
доказать, что
[pic][pic][pic].
Возьмём на диагонали [pic] такую точку[pic],
что [pic][pic][pic][pic]. Тогда [pic]и [pic]
подобны, так как [pic][pic][pic][pic]
[pic][pic].Поэтому[pic][pic], то есть
[pic]. (1)
Ясно также, что[pic][pic][pic][pic] ( так как [pic][pic][pic][pic]
+[pic][pic], а
[pic][pic][pic][pic] +[pic][pic], где [pic][pic][pic][pic] (по условию)), а
значит,
[pic] и [pic] подобны, так как [pic][pic][pic][pic] (опираются на одну
дугу), поэтому [pic], то есть
[pic][pic]. (2)
Сложив полученные равенства (1) и (2), получим:
[pic]+ [pic][pic]+ [pic][pic][pic].
Теорема доказана.
Это доказательство в основном следовало доказательству самого
Птолемея, приведённому им в книге «Альмагест».

Аналог формулы Герона для вписанного в окружность четырёхугольника.

Другому древнему греку Герону Александрийскому (около 1 века н.э.)
принадлежит известная формула вычисления площади треугольника через длины
его сторон
S=[pic], где a, b, c - стороны треугольника, а p - его полупериметр .
Оказывается, что эта формула обобщается на случай вписанного
четырёхугольника, а именно справедлива
Теорема: если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон a, b, c, d, то
его площадь S может быть вычислена по [pic]формуле
S=[pic], где p=[pic] - полупериметр четырёхугольника.
Эта теорема была установлена индийским математиком Брахмагуптой
(около 598 г.н.э. - 660 г.н.э.). До наших дней дошло его сочинение
«Усовершенствованное учение Брахмы», значительную часть которого составляют
математические результаты. Докажем формулу Брахмагупты.
Рассмотрим вписанный четырёхугольник [pic] (см.
рис.5) со сторонами [pic] и [pic]. Разобьём его
диагональю [pic] на два треугольника.

По теореме косинусов

[pic][pic][pic].
Так как [pic] - вписанный четырёх-
угольник, то [pic], поэтому [pic], [pic],
следовательно,
[pic] или
[pic]. (1)
Площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников, на
которые он разбивается своей диагональю, то есть
[pic] или
[pic]. (2)
Возведём равенства (1) и (2) в квадрат и сложим их, учитывая, что [pic].
Получим, что
[pic],[pic]Окончательно получаем, что S=[pic]. Теорема доказана.

Ещё один способ вычисления площади вписанного четырёхугольника.

Площадь вписанного четырёхугольника можно найти и другим
способом. Докажем теорему: если четырёхугольник со сторонами [pic] и [pic]
вписан в окружность радиуса [pic], то его площадь [pic] равна
[pic].
Для этого рассмотрим вписанный в окружность радиуса [pic] четырёхугольник
со сторонами [pic] и [pic](см. рис.6).
[pic] или [pic][pic].
Пусть диагонали четырёхугольника [pic]
соответственно равны [pic] и [pic], тогда,
воспользовавшись формулой [pic], где [pic] -
стороны треугольника, а [pic] - радиус
описанной окружности, получаем:
[pic] (1) или
[pic]. (2)
Перемножим равенства (1) и (2). Получим, что
[pic]
( так как по теореме Птолемея [pic]), отсюда
[pic], что и требовалось доказать.

Свойства вписанного в окружность четырёхугольника, диагонали которого
перпендикулярны.

Также рядом интереснейших свойств обладает вписанный четырёхугольник,
диагонали которого перпендикулярны. Укажем некоторые из них.

Свойство1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и
перпендикулярная одной из сторон, делит противоположную сторону пополам.
Докажем его.
Пусть [pic] - вписанный четырёхугольник, диагонали которого
перпендикулярны, и прямая [pic] проходит через точку [pic] пересечения
диагоналей и перпендикулярна стороне [pic](см. рис.7).
Точки пересечения её со сторонами [pic] и
[pic] обозначим через [pic] и [pic]. Надо
доказать, что [pic].
Из [pic]: [pic], также
[pic],получается, что[pic]
дополняет углы [pic] и [pic] до [pic], из этого
следует, что[pic], а
[pic]( так как они опираются на одну дугу),
и[pic](как вертикальные).
Получаем,
[pic], откуда
[pic] - равнобедренный,
[pic] - равнобедренный (аналогично), следовательно,
[pic].
Получаем, [pic]. Свойство доказано.

Свойство 2. Расстояние от центра описанной окружности до любой из
сторон равно половине противоположной стороны.
И действительно, рассмотрим четырёхугольник [pic], вписанный в
окружность, диагонали которого перпендикулярны (см. рис.8). [pic]-
расстояние от центра окружности до стороны [pic]. Докажем, что [pic].
В равнобедренном [pic] [pic]. Откуда,[pic] - средняя линия [pic], где [pic]
- диаметр окружности, следовательно, [pic].
Получается, что нам надо доказать, что [pic],
то есть доказать, что равны хорды, а для этого
докажем равенство дуг, стягиваемых этими
хордами, а именно [pic] и [pic], но [pic], а
[pic],
следовательно, нам нужно доказать равенство
[pic] и [pic].
В самом деле, в[pic], где [pic], [pic] опирается на дугу [pic], и,
значит, равен половине этой дуги, то есть [pic], а
[pic]. В то же время,
на [pic] опирается [pic], следовательно, [pic], из этого
получаем, что [pic], но [pic](так как они опираются на одну дугу), значит,
[pic], следовательно, [pic],
из этого [pic], получаем [pic], следовательно, [pic]. Свойство доказано.

Свойство 3. Сумма квадратов сторон равна увосьмерённому радиусу в
квадрате описанной окружности.
Докажем его.
Рассмотрим вписанный в окружность
четырехугольник [pic], диагонали которого
перпендикулярны (см. рис.9). В нём [pic],
[pic],[pic], [pic], а радиус описанной
окружности равен [pic]. Докажем, что [pic].
Обозначим [pic] как [pic], [pic] как
[pic], [pic] как [pic], [pic] как [pic], [pic]
как [pic],[pic] как[pic], тогда
[pic] (так как опирается с [pic] на одну дугу), аналогично
[pic], [pic], [pic], [pic].
По теореме синусов получаем из [pic]:
[pic],

Из[pic]:
[pic],
Из [pic]:
[pic],
Из [pic]:
[pic].
Из этих равенств получаем, что [pic], тогда [pic],
[pic] (так как [pic]), из этого
[pic] следовательно,
[pic]. Окончательно получаем, что[pic].
Свойство доказано.

Свойство 4. Ломаная, вершинами которой являются две противоположные
вершины треугольника и центр описанной окружности, делит площадь
четырёхугольника пополам.
Докажем это свойство.
Рассмотрим четырехугольник [pic] вписанный в
окружность, диагонали которого перпендикулярны
(см. рис.10). [pic]- ломаная, вершинами которой
являются две противоположные вершины
четырёхугольника и центр описанной окружности.
Докажем, что [pic].
Обозначим [pic] как [pic] [pic] как [pic]. Проведём диаметр [pic]
параллельный диагонали [pic] и перпендикулярный диагонали [pic]. Обозначим
точку пересечения [pic] и [pic] буквой [pic].
[pic]
Очевидно, что [pic], получаем
[pic] но [pic] тогда
[pic]. Свойство доказано.
Итак, мы рассмотрели и доказали некоторые свойства вписанного в
окружность четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны.

Определение гармонического четырёхугольника.

Теперь обратимся к особому виду вписанного в окружность
четырёхугольника - гармоническому четырёхугольника. Гармоническим
называется вписанный в окружность четырёхугольник, произведения длин
противоположных сторон которого равны.

Очевидным примером такого четырёхугольника служит вписанный дельтоид
- четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями, одна из которых делит
другую пополам. В частности, он может быть квадратом. Другим частным видом
гармонического четырёхугольника является гармоническая трапеция. Ясно, что
она равнобедренная.


Рассмотрим теперь общие свойства гармонических четырёхугольников, а
также один из признаков гармонического четырёхугольника.



Свойства и признак гармонического

четырёхугольника.

Теорема 1. В гармоническом четырёхугольнике каждая из диагоналей
делится точкой их пересечения в отношении квадратов прилежащих сторон.
Действительно, рассмотрим гармонический
четырёхугольник [pic] (см. рис.11). Пусть [pic]-
точка пересечения его диагоналей.
[pic][pic] и [pic][pic] подобны (по двум
углам: [pic], как вертикальные, [pic], так как
опираются на одну дугу), значит, [pic] и
[pic].
[pic][pic] и [pic][pic]подобны (аналогично), получаем
[pic].
Перемножим полученные пропорции почленно:
[pic]
Но [pic], как отрезки пересекающихся хорд, следовательно,
[pic] или [pic]. (*)
Поскольку четырёхугольник [pic] гармонический, то [pic], откуда [pic].

Подставим это выражение в (*), получим
[pic].
Аналогично
[pic] и [pic], что и требовалось доказать.

Теорема 2. В гармоническом четырехугольнике расстояние от точки
пересечения диагоналей до сторон пропорциональны длинам этих сторон.
Докажем её.
Рассмотрим гармонический
четырёхугольник[pic] (см. рис.12). Пусть [pic]
- точка пересечения его диагоналей. Обозначим
расстояние от точки[pic] до прямых [pic],
[pic], [pic], [pic] соответственно [pic],
[pic], [pic], [pic].
[pic](так как [pic] и [pic] имеют общую
высоту).
С другой стороны, отношение этих же площадей равно [pic].
По теореме 1 [pic], тогда из равенства [pic][pic][pic][pic]
получаем, что [pic]. Аналогично [pic] и [pic]. Теорема
доказана.
Теперь рассмотрим один из признаков гармонического четырёхугольника.

Теорема 3. Если касательные в концах одной диагонали вписанного в
окружность четырёхугольника пересекаются на прямой, содержащей вторую
диагональ, или ей параллельны, то этот четырёхугольник гармонический.
В самом деле, рассмотрим вписанный в окружность четырёхугольник [pic]
(см. рис.13). Пусть касательные в вершине [pic] и [pic] пересекаются в
точке[pic], лежащей на прямой [pic]. Докажем, что этот четырёхугольник
гармонический.
[pic] между касательной [pic] и хордой [pic] равен половине
центрального угла, опирающегося на дугу [pic].
В то же время, вписанный [pic] равен половине
того же центрального угла, следовательно,
[pic][pic][pic], тогда [pic]и [pic] подобны (по
двум углам), поэтому
[pic] (1) и [pic], следовательно, [pic].
(2)
Разделив обе части равенства (2) на [pic], получим
[pic] и, следовательно, [pic](смотри равенство (1)).
По условию касательная в точке [pic] пересекает [pic] в той же
точке[pic], поэтому [pic] (аналогично), следовательно,
[pic], то есть [pic], то есть четырёхугольник [pic] - гармонический, что и
требовалось доказать.









Примеры решения задач.


Выше мы рассмотрели общие свойства вписанного в окружность
четырёхугольника. Также свойства некоторых особых видов таких
четырёхугольников.
Теперь решим несколько задач, в которых встречается вписанный в
окружность четырёхугольник.

Задача 1. Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то
произведение расстояний от точки, лежащей на этой окружности, до двух
противоположных сторон равно произведению расстояния от этой точки до двух
других сторон, а также
произведению расстояний от той же точки до диагоналей.
Решение.
Дан четырёхугольник [pic] вписанный в окружность (см. рис.14). На
окружности возьмём точку [pic] и обозначим расстояния от этой точки до
[pic],[pic], [pic], [pic], [pic],[pic] как [pic] [pic], [pic], [pic],[pic],
[pic] соответственно.
Докажем, что [pic].
Мы знаем формулу для вычисления площади треугольника
[pic]. (1)
Также площадь треугольника можно вычислить по
формуле
[pic]. (2)
Приравняв равенства (1) и (2), получим, что
[pic], то есть
[pic].
Применяя данное равенство, получаем
из [pic] [pic] (3)
из [pic] [pic] (4)
из [pic] [pic] (5)
из [pic] [pic] (6)
Перемножив равенства (3) и (4), получим, что
[pic], аналогично из равенств (5) и (6) получим, что
[pic], значит, [pic].
Аналогично, из [pic], [pic], [pic], [pic] получим равенство
[pic], тогда [pic], что и требовалось доказать.

Задача 2. В окружность вписан четырёхугольник [pic], диагонали
которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке [pic]. Прямая,
проходящая через точку [pic] и перпендикулярная к[pic] пересекает [pic] в
точке [pic]. Найти [pic], если [pic], [pic], [pic].
Решение.
Дан вписанный в окружность четырёхугольник [pic], диагонали которого
перпендикулярны (см. рис.15). [pic], [pic], [pic]. [pic], [pic].Необходимо
найти [pic].
По свойству вписанного в окружность четырёхугольника, диагонали
которого перпендикулярны [pic].
[pic] - прямоугольный, [pic] - медиана (так как [pic]),
следовательно,[pic](по свойству медианы прямоугольного треугольника),
значит, чтобы найти [pic] нам достаточно будет найти [pic].
По теореме синусов из [pic]:
[pic], так как[pic] [pic], то [pic], то есть
[pic].
По основному тригонометрическому тождеству
[pic], то есть
[pic],
[pic].
В [pic]
[pic],то есть
[pic].
В [pic]
[pic], то есть
[pic], отсюда
[pic][pic]=[pic].
Ответ: [pic].
Подобные задачи можно встретить во вступительных заданиях. Теперь
рассмотрим несколько задач, которые можно отнести к разряду олимпиадных.

Задача 3. На дуге [pic] описанной окружности [pic] правильного
[pic]-угольника [pic] взята точка [pic]. Докажите, что [pic], где [pic].
Решение.
Дан многоугольник [pic], вписанный в окружность, на которой лежит
точка [pic] (см. рис.16). Докажем, что [pic], где [pic].
Обозначим сторону многоугольника или отрезок [pic], где
[pic], как [pic], а меньшую диагональ многоугольника или отрезок
[pic], где[pic], как [pic].
Тогда, по теореме Птолемея, из вписанного
четырёхугольника [pic] получаем, что
[pic],
из [pic]:
[pic],
из [pic]:
[pic],
из [pic]:
[pic],
из [pic]:
[pic].
Подобные равенства получаем из всех остальных вписанных в данную окружность
четырёхугольников с вершинами в точке [pic] и трёх последовательных
вершинах данного многоугольника.
Сгруппируем в полученных равенствах сомножители [pic] с
нечетными номерами слева, а с четными справа. Сложив эти равенства, получим
в левой части:
[pic]
Аналогично получим в правой части
[pic], отсюда
[pic][pic], следовательно,
[pic], что и требовалось доказать.

Задача 4. Расстояния от центра описанной окружности остроугольного
треугольника до его сторон равны [pic],[pic] и [pic]. Докажите, что [pic].
Решение.
Дан остроугольный [pic], вписанный в окружность радиуса [pic] с центром в
точке [pic] (см. рис.17). Обозначим стороны, [pic], [pic],[pic] через
[pic], [pic], [pic] соответственно. Расстояния от точки [pic] до
[pic],[pic], [pic] равны [pic], [pic] и [pic]. Докажем, что [pic].
Пусть [pic], [pic],[pic] - середины сторон [pic],[pic] и [pic]. Мы
знаем, что центр описанной около треугольника окружности лежит на
пересечении серединных перпендикуляров к его
сторонам, следовательно, [pic] - основание
[pic], [pic]- основание [pic],[pic] - основание
[pic].
Рассмотрим четырёхугольник [pic], в
котором[pic][pic], значит, в данный
четырёхугольник можно вписать окружность.
Тогда, применяя теорему Птолемея, получаем, что
[pic]
Умножив обе части данного равенства на 2, получим
[pic]. (*)
Так как [pic]- средняя линия [pic], то [pic].
Тогда из равенства (*) получаем, что[pic]. (1)
Аналогично, [pic] (2) и [pic] (3).
Кроме того, [pic][pic]
[pic], то есть
[pic]. (4)
Складывая равенства (1), (2), (3), (4), получим
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], в конечном итоге получаем, что[pic],
что и требовалось доказать.

Заключение.

В данной работе было рассмотрено что такое вписанный в окружность
четырёхугольник, каким свойством должен обладать четырёхугольник, чтобы его
можно было вписать в окружность, какие свойства присущи вписанному в
окружность четырёхугольнику и его особым видам. В заключении работы было
разобрано несколько задач.
Но это далеко не всё, что может быть изучено по теме «Вписанный в
окружность четырёхугольник». Расширить представленную в реферате тему можно
изучением вписанной трапеции, прямоугольника и других особых видов
выпуклого четырёхугольника, а также изучением четырёхугольника, который
может быть как вписан в окружность, так и описан около неё.













Список используемой литературы.

1. Журнал «Квант» ?2, 1992г. (стр. 37- 39).
2. Журнал «Квант» ?10, 1991г. (стр. 49- 51).
3. И.Л. Никольская «Факультативный курс по математике 7-9» (стр. 328-329).
4. В.В. Прасолов «Задачи по планиметрии».
5. И.Ф. Шарыгин «Геометрия (планиметрия) 9-11».
6. В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович «Практикум по элементарной
математике (геометрия)».
-----------------------
Рис.17

Рис.16

Рис.15

Рис.14

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Рис.9

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Рис.13

Рис.1


A



B



C



D



A



B



E



D



A



B



E



D



A



D



C



B



B



C



D



A



A



D



C



B



A



D



C



B



F



E



C



C


H

C

E


K



A



D



B


E

O


C





A



D



B


С


A



D



B



K



N



O



H


B

C

D


A



M



M



A


D

C

B

D

A

B


C


F

E


B



D



С



A



P



M


A2n+1

A

A1

A2

A3

A4


C



A



Bb



B1



A1



C1


A


B



D



C



E