Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=198 Дата изменения: Fri May 5 15:26:28 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:40:59 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Принципы дедуктивного построения геометрии и основные положения
геометрии Лобачевского












Автор : Пустовойтов Никита Юрьевич,



ученик 11 «А» класса



муниципальной средней



общеобразовательной школы N65



г. Воронежа.



Научный руководитель :



Кроткова Лариса Витальевна,



учитель муниципальной средней



общеобразовательной школы N65,



Сороссовский учитель.








Содержание

Аксиоматическое построение геометрии
3
V постулат - ключ к созданию геометрии Лобачевского
6
Свойства прямых в геометрии Лобачевского
7
Простейшие кривые в геометрии Лобачевского
14
Сумма углов в треугольнике
15

Особенности треугольников в геометрии Лобачевского
17

Простейшие поверхности в геометрии Лобачевского
19
Значение геометрии Лобачевского
21
Список использованной литературы
22








Аксиоматическое построение геометрии

Одним из первых древнегреческих геометров был Евклид, являющийся одним
из наиболее влиятельных математиков всех времен. С трудов Евклида началось
дедуктивное построение геометрии: из аксиом и основных понятий строятся
определения, доказываются теоремы.
«Начала» («Stoicheia», другой перевод названия - «Элементы») Евклида
представляют собой завершение целого ряда не дошедших до нас математических
произведений. Изложение Евклида построено в виде строго логического вывода
теорем из системы определений, постулатов и аксиом. Труд начинается с
определений тех терминов, которые в ней вводятся. Можно выделить небольшое
число наиболее простых понятий, с помощью которых определяются остальные.
«Исходные» же понятия настолько просты и ясны, что не требуют определения.
За определениями Евклид вводит 5 постулатов и аксиомы. Постулатами у
Евклида назывались утверждения о возможности построения. Приведем их
формулировки.
1. Через две точки можно провести прямую.
2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.
3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и
если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые
пересекутся с той стороны, где это имеет место.
Пятый постулат равносилен так называемой аксиоме параллельности
прямых. Эта аксиома формулируется следующим образом: "Через точку, не
лежащую на данной прямой, в плоскости, определяемой этой точкой и данной
прямой, можно провести прямую и притом только одну, не пересекающую
данную". Попытки сделать из этой аксиомы теорему позволили в XIX веке в
полной мере оценить мудрость Евклида.
Аксиомы у Евклида - предложения, вводящие отношения равенства и
неравенства величин. Приведем формулировки аксиом из первой книги.
1. Равные одной и той же величине равны между собой.
2. Если к равным придать равные, то получатся равные.
3. Если от равных отнять равные, то получатся равные.
4. Совмещаемые друг с другом равны друг другу.
С помощью полученной системы понятий, постулатов и аксиом Евклид
осуществляет построение своей геометрии. В дальнейшем математики не
разделяли аксиом и постулатов, а общие понятия, принимаемые без
доказательства, стали называть аксиомами.
Последующие поколения математиков не во всем соглашались с системой
аксиом и определений Евклида и пытались ее улучшить. Например, IV постулат
удалось доказать как теорему, исходя из остальных аксиом. В то же время,
система аксиом Евклида не была полной, в ней отсутствовали, например,
аксиомы непрерывности и порядка, происходила апелляция к зрительному
восприятию чертежей, что иногда вызывало грубейшие ошибки. Постепенно, к
концу XIX века выявились принципы аксиоматического метода и основные
требования к системе аксиом. Их можно изложить довольно кратко следующим
образом:
А) Вводится в рассмотрение некоторое основное множество (и, может
быть, его подмножества), элементы которого получают свои наименования или
обозначения (например, точки А, В, ., прямые а, b, . и плоскости (, (, . и
т.п.).
Б) Допускается, что эти элементы могут находиться в некоторых основных
отношения друг к другу (например, точка лежать между двумя другими). Эти
отношения только называются, но их конкретный смысл никак не определяется.
В) Формулируются аксиомы, которые характеризуют свойства введенных
основных отношений между элементами.
В математических выводах следует опираться только на логические
следствия из аксиом. Но, чтобы эта система аксиом могла служить основой для
логически выводимой содержательной теории (т.е. не такой теории в которой
вместе с утверждением можно доказать его отрицание), к ней предъявляются
определенные требования:
10. Система аксиом должна быть непротиворечивой.
20. Система аксиом должна быть независимой. Это требование не
обязательно, но желательно. В системе не должно содержаться аксиом,
доказываемых как теоремы, исходя из остальных аксиом.
30. Система аксиом должна быть полной. Это требование не всегда
предъявляют к системе аксиом. Во многих теориях от него отказываются
(например, в алгебре), но при аксиоматизации евклидовой геометрии оно
обязательно. Системы аксиом рассматриваются в какой-либо интерпретации
(модели), при этом в каждой интерпретации элементы и отношения могут
истолковываться по-своему. Требование полноты системы аксиом состоит в том,
чтобы все интерпретации были изоморфны, т.е. между основными элементами и
отношениями в любых двух интерпретациях можно было установить взаимно
однозначное соответствие, приводящее соответственные элементы в
соответственные соотношения.
Система аксиом у Евклида не удовлетворяет этим принципам. Наиболее
известным из изложений геометрии, удовлетворяющих вышеизложенным
требованиям, являются «Основания геометрии», опубликованные в 1899 г.
немецким математиком Давидом Гильбертом.
В аксиоматике Гильберта не определяются понятия «точка», «прямая»,
«плоскость» и отношения между ними, выражаемые словами «между», «лежит»,
«конгруэнтен». Аксиомы Гильберта делятся на 5 групп.
I группа состоит из 8 аксиом принадлежности (соединения), которые
описывают отношение «принадлежности» («лежит»).
А1. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из
этих двух точек.
А2. Для двух различных точек существует не более одной прямой,
проходящей через каждую из этих двух точек.
Эти две аксиомы частично соответствуют I и II постулатам Евклида,
частично - аксиоме, добавленной древним комментатором Евклида в качестве
девятой аксиомы.
А3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по
крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
А4. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует
плоскость, проходящая через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости
лежит по крайней мере одна точка.
А5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не
более одной плоскости, проходящей через каждую из этих трех точек.
А6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости (, то всякая точка
этой прямой а лежит в (.
А7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще по крайней
мере одну общую точку.
А8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной
плоскости.
Последние пять аксиом обеспечивают геометрии выход в пространство и
ограничивают размерность пространства - оно трехмерное.
Следующая группа аксиом - аксиомы порядка, описывают отношение
«между».
А9. Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то точки А, В и С -
различные точки одной прямой и точка В лежит также между точкой С и точкой
А.
А10. Для любых двух точек А и В на прямой АВ существует по крайней
мере одна точка С такая, что В лежит между А и С.
А11. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки,
лежащей между двумя другими.
А12. (Аксиома Паша). Пусть А, В, С -точки, не лежащие на одной прямой
и а - прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из этих точек.
Тогда, если прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то она
проходит через внутреннюю точку отрезка АС или внутреннюю точку отрезка ВС.
Третья группа содержит 5 аксиом отношения «конгруэнтность» (Гильберт
обозначает его «(»).
А13. Если даны отрезок АВ и луч ОХ, то на луче ОХ существует точка В(
такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку ОВ(.
А14. Если отрезок А(В( конгруэнтен отрезку АВ и отрезок А((В((
конгруэнтен отрезку АВ, то отрезок А(В( конгруэнтен отрезку А((В((.
А15. Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой, не имеющей общих
внутренних точек, а А(В( и В(С( - два отрезка на той же или другой прямой,
тоже не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен
отрезку А(В( и отрезок ВС конгруэнтен отрезку В(С(, то отрезок АС
конгруэнтен отрезку А(С(.
А16. Пусть даны угол (АОВ, луч О(А( и полуплоскость П(, ограниченная
прямой О(А(. Тогда в полуплоскости П( существует один, и только один, луч
О(В( такой, что угол (АОВ конгруэнтен углу (А(О(В(. Кроме того, каждый угол
конгруэнтен самому себе.
А17. Если для треугольников АВС и А(В(С( имеют место отношения
АВ(А(В(, АС(А(С( и (ВАС((В(А(С(, то (АВС((А(В(С(.
Из последней аксиомы следует первый признак конгруэнтности
треугольников, соответствующий принятому в школьном курсе первому признаку
равенства треугольников.
В IV группу входят 2 аксиомы непрерывности.
А18. (Архимеда) Пусть АВ и СD - два каких-нибудь отрезка. Тогда на
прямой АВ существует конечное множество точек А1,А2,.,Аn-1,Аn таких , что
точка А1 лежит между А1 и А2, А2 - A1 и А3, и т.д., причем отрезки АА1,
А1А2, .,Аn-1Аn конгруэнтны отрезку СD и точка В лежит между точками Аn-1 и
Аn.
А19. (Кантора) Пусть на прямой а дана бесконечная последовательность
отрезков А1В1, А2В2, ., удовлетворяющая двум условиям:
а) каждой последующий отрезок есть часть предыдущего;
б) для любого наперед (заранее) заданного отрезка СD найдется такое
натуральное n, что АnВn<СD.
Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из
отрезков последовательности.
V группа состоит из 1 аксиомы - аксиомы параллельности. Формулируется
она следующим образом:
А20. Пусть даны прямая а и точка А вне прямой а. Тогда в плоскости,
определяемой этой прямой а и этой точкой А, существует не более одной
прямой проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.
Аксиомы изложены в порядке, принятом в современной геометрии. Он
несколько отличается от порядка, предложенного Гильбертом: единственное его
отличие состоит в том, что у Гильберта IV группу аксиом составляла аксиома
параллельности, а аксиомы непрерывности были помещены в V группу.
Система аксиом Гильберта обладает свойством непротиворечивости, если
непротиворечива арифметика действительных чисел. Кроме того, она обладает
свойствами полноты и независимости.
Если в системе аксиом, удовлетворяющей вышеперечисленным требованиям,
заменить одну или несколько аксиом так, чтобы новая система аксиом также
удовлетворяла этим требованиям, то на основе полученной системы аксиом
можно построить логически выводимую содержательную теорию. Заменив аксиому
параллельности Евклида своей, Лобачевский создал новую геометрию. Подробнее
об этом в следующем разделе.

V постулат - ключ к созданию геометрии Лобачевского

V постулат Евклида не был столь очевиден, как остальные аксиомы,
поэтому в течение двух тысячелетий многие математики пытались доказать его
как теорему, исходя из остальных аксиом. Надежды на успех подогревались
доказательством IV постулата, однако V постулат остался неприступен: все
попытки окончились провалом, т.к. каждый из математиков вводил некоторое
предположение, равносильное V постулату. Было доказано, что V постулат
равносилен аксиоме параллельности (A20 системы Гильберта) и следующим
утверждениям:
а) Сумма углов в треугольнике равна (;
б) Существует хотя бы один треугольник, сумма углов в котором равна (;
в) Существуют хотя бы два подобных, но не равных треугольника;
Безуспешные попытки доказать пятый постулат предпринимали известные
математики: Посидоний (I в. до н.э.), Прокл (5 в. н.э.), ал-Джаухари (IX в.
н.э.) , Сабит Ибн Корра (836-901 г.г.), Ибн Аль-Хайсам (965-1039 г.г.),
Омар Хайям (ок. 1048-после 1122 г.г.).
Мы подробно остановимся лишь на 3 попытках, т.к. они имели громадное
значение для создания новой системы геометрии.
Джон Валлис (1616-1703 г.г.) допустил существование подобных, но не
равных друг другу треугольников и, опираясь на пропорциональность их
сторон, доказал, что перпендикуляр и наклонная, проведенные к одной
прямой, пересекутся. Тем самым он доказал пятый постулат Евклида. Но
существование подобных, но не равных друг другу треугольников является
новой аксиомой, равносильной пятому постулату.
Итальянский математик Саккери, рассматривал четырехугольник с тремя
прямыми углами (рис. 1). Четвертый угол ( мог оказаться прямым, тупым или
острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о
том, что угол ( всегда равен 900, позволяет доказать V постулат. Гипотезу
тупого угла Саккери отверг при помощи строгого рассуждения, однако
доказать, что и гипотеза острого угла неверна, он не смог.











Рис. 1

Французский математик Адриен Лежандр (1762-1833 г.г.) совершил
несколько попыток доказать пятый постулат. Однако при публикации нового
доказательства V постулата он признавал, что в предыдущем издании
использовал некоторое утверждение, не сформулированное им явно, в
действительности эквивалентное пятому постулату. Приведем краткое описание
одной из его попыток.
Пусть а и b - две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей
прямой и пересекающие ее в точках А и В, соответственно (рис. 2). Допустим,
что постулат Евклида неверен и через точку А можно провести еще одну прямую
а( параллельную b. Симметричная ей относительно АВ прямая а(( также не
пересекает прямую b.













Рис. 2
Рассматривая два получающихся острых угла (( и ((( (симметричных друг
другу), Лежандр строго доказывает, что прямая а, как при продолжении ее
вправо, так и при продолжении ее влево все более удаляется от прямой b. Но
прямые а и b не могут вести себя так: если они не пересекаются, то должны
находиться на ограниченном расстоянии друг от друга на всем своем
протяжении. Однако это утверждение является новой аксиомой, равносильной
пятому постулату.
В начале XIX века предпринял попытку доказать пятый постулат русский
математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. В
своих исследованиях он углубился в следствия, вытекающие из гипотезы о том,
что сумма углов треугольника меньше (, т.е. гипотезы острого угла Саккери.
Вскоре он пришел к мысли о замене аксиомы параллельности ее отрицанием.
Если бы в полученной при этом геометрии оказались противоречия, значит
аксиома параллельности и равносильный ей пятый постулат Евклида зависят от
остальных аксиом и могут быть доказаны исходя из них. Если же новая
система аксиом была бы непротиворечивой, то отсюда вытекала бы
недоказуемость пятого постулата.
Заменив аксиому параллельности следующей аксиомой: «Через точку, не
лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой
точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую»,
Лобачевскому удалось построить систему новой геометрии, непротиворечивость
которой была строго доказана в 1868 году уже после смерти гениального
ученого.
Отметим, что все аксиомы и теоремы, не зависящие от проблемы
параллелей, одинаковы в обеих геометриях и составляют, по современной
терминологии, абсолютную геометрию.
Подход Лобачевского к проблеме параллелей (замена аксиомы ее
отрицанием) в дальнейшем лег в основу метода доказательства независимости
системы аксиом.

Свойства прямых в геометрии Лобачевского


В геометрии Лобачевского нередко применяется аксиома Дедекинда,
которая формулируется следующим образом:
«Если точки отрезка разбиты на 2 класса, лежащих раздельно (т.е. так,
что точки одного класса лежат по одну сторону от каждой точки другого), то
существует точка, делящая этот отрезок на два отрезка, на одном из которых
лежат точки одного класса, а на другом - только точки другого класса». Эта
аксиома является сильной аксиомой: из нее вытекают аксиомы Архимеда и
Кантора (А18 и А19 системы Гильберта).
При помощи этой аксиомы можно получить теорему, аналогичную этой
аксиоме, например, об угле, формулировка которой получается из аксиомы
Дедекинда заменой термина «отрезок» - углом, а термина «точка» - лучом
угла.
Необходимо отметить, что сам Лобачевский, уделяя много внимания
вопросам анализа простейших понятий и обоснования геометрии, обычно
ограничивался ссылками на те простейшие теоремы и аксиомы, которые он
использовал, но нигде не выделял явно системы аксиом. Лишь в сочинении
«Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» он дает
систематическое доказательство теорем, не зависящих от пятого постулата. К
числу теорем и свойств абсолютной геометрии относят теорему о внешнем угле
треугольника, соотношение больше или меньше между сторонами и углами
треугольника, свойства равнобедренного треугольника, единственность
перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой и т.п.
Из постулата (также называемого аксиомой) Лобачевского следует, что
через данную точку вне прямой проходит бесконечное множество прямых, не
пересекающих данную прямую. Применяя теорему об угле на основе аксиомы
Дедекинда, получаем, что существует граничная прямая A(A и симметричная ей
относительно перпендикуляра PQ, опущенного из этой точки Р на прямую В(В в
точку Q, прямая DD(, разделяющие класс пересекающих прямых, лежащих в углах
(A(PD и (APD(, от класса непересекающих, проходящих внутри углов (A(PD( и
(DPA (рис 3).













Рис. 3.
Граничные прямые не пересекают В(В. Докажем это для прямой А(А. Пусть
А(А пересекает В(В в точке S (рис. 4). На прямой В(В возьмем точку Т,
лежащую правее точки S, и проведем прямую РТ. Эта прямая проходит внутри
углов (A(PD( и (DPA, поэтому она не пересекает В(В, таким образом, получили
противоречие. Итак, через одну точку проходят прямые трех типов
относительно данной прямой:
1) Прямые, пересекающие прямую В(В и проходящие внутри углов (A(PD( и
(DPA.
2) Прямые, А(А и D(D. Они называются параллельными прямой В(В, причем
А(А параллельна В(В в направлении В(В, а D(D параллельна В(В в
направлении ВВ(.
3) Прямые, проходящие внутри углов (A(PD( и (DPA. Лобачевский назвал
их разводными, но в современной геометрии их принято называть
расходящимися с прямой В(В. Это название будет пояснено ниже
Острый угол (QPA называется углом параллельности для отрезка PQ (рис
3). Если допустить, что угол параллельности прямой, то две параллели
сливаются в одну прямую С(С, единственную параллель к прямой В(В, но в двух
направлениях, то есть имеет место аксиома параллельности Евклида. Таким
образом, геометрия Евклида может быть получена как предельный случай
геометрии Лобачевского.














Рис. 4.
Рассмотрим основные свойства параллельности прямых на плоскости
Лобачевского.
10. Аксиома параллельности Лобачевского утверждает, что на плоскости
через данную точку Р проходит единственная прямая А(А, параллельная данной
прямой В(В в заданном на ней направлении В(В. Если Р не лежит на прямой
В(В, то угол параллельности острый.
20. Прямая сохраняет свойство параллельности во всех своих точках.
Чтобы доказать, например, что прямая АА( в точке М параллельна прямой
ВВ( в направлении В(В, необходимо:
1) Установить факт не пересечения этих прямых.
2) Показать, что АА( в точке М является граничной прямой.
Последнее обычно доказывается следующим образом («критерий угла»).
Проводят MQ, пересекающую ВВ(, и рассматривают угол (AMQ, который своим
отверстием обращен в сторону параллельности. Если каждый луч с началом в
точке М, проходящий внутри этого угла, пересекает луч QB, то прямая АА(
параллельна прямой В(В в токе М в направлении В(В.
Исходя из приведенного метода, докажем свойство 20. Пусть прямая А(А в
точке Р параллельна прямой В(В (см. рис 5). Рассмотрим сначала случай,
когда точка М лежит на полупрямой РА. Выберем произвольную точку Q на
прямой В(В и соединим М с Q. МА лежит на прямой А(А и поэтому не пересекает
В(В. Построим прямую MS, входящую в угол (QMA и выберем на полупрямой MS
точку С. Так как РА параллельна В(В в точке Р, то РА - граничная прямая и
РС пересекает В(В в некоторой точке D. Прямая MS пересекает сторону PD
треугольника (PQD, PQ она пересечь не может, т.к. входит в (QMA. Значит, по
аксиоме Паша (А12 системы аксиом Гильберта), MS пересекает сторону QD в
некоторой точке К, т.е. любая прямая, проходящая через точку M и входящая в
угол (QMA, пересекает А(А в точке К, что и требовалось доказать. Аналогично
доказывается случай, когда М лежит на полупрямой РА(.
Учитывая доказанное, в дальнейшем будем просто говорить о
параллельности двух прямых, не указывая точку, в которой имеет место факт
параллельности, а направление параллельности будем указывать в названии
прямой.
30. Свойство взаимности параллелей. Если прямая l параллельна прямой m
в определенном направлении, то и m параллельна l в соответственном
направлении.
40. Свойство транзитивности параллелей. Если l и m параллельны n в
одном направлении, то они параллельны друг другу в соответственных
направлениях.

















Рис. 5.
Рассмотрим угол параллельности. Изучим, как он изменяется при
приближении точки Р к прямой В(В.
Пусть Р1 лежит между Р и Q (см. рис 6). Проведем Р1R1(PQ и QR((Р1R1.
Так как РА((В(В, то QB((PA (по свойствам 20 и 30), и, значит, QR будет уже
секущей прямой и пересечет РА в некоторой точке S. P1R1 пересекает сторону
PQ треугольника (PQS, но не может пересечь QS по построению, поэтому по
аксиоме Паша пересекает PS. Пусть через точку Р проходит прямая РТ((Р1R1.
Тогда, поскольку РА пересекает Р1R1, то луч РА лежит внутри угла
параллельности для отрезка РР1. Учитывая, что углы параллельности для
отрезков РР1 и PQ имеют общую сторону PQ, получаем, что угол (QPA лежит
внутри угла (QPT. Таким образом, при уменьшении отрезка угол параллельности
увеличивается. Лобачевский для угла параллельности для отрезка х вводит
функцию П(х). В его геометрии получаем, что функция (=П(х) - монотонно -
убывающая функция длины отрезка, причем при х=0 она имеет значение (/2.















Рис. 6.
Докажем, что, если угол параллельности постоянный, то имеет место
геометрия Евклида.
Если для отрезков РР1 и PQ в точке Р углы параллельности равны, то РТ
совпадает с РА и P1R1((РА. Тогда РА((Р1R1 и QR((P1R1 ( PA((QR. Итак,
получаем, что QR((РА и QB((PA, т.е. QR и QB совпадают. В этом случае
Р1R1((QB (т.к. P1R1((QR), угол параллельности для отрезка Р1Q равен (((
(т.к. Р1R1(РQ по построению). Прямая Р1K((QB( составляет с Р1Q такой же
угол, что и Р1R1 (равный углу параллельности для отрезка P1Q1), то есть
P1K(P1Q. Через данную точку проходит только один перпендикуляр к данной
прямой (это теорема абсолютной геометрии), поэтому прямые P1K и Р1R1
совпадают. Таким образом, получили, что прямая Р1R1 параллельна прямой В(В,
то есть в этом случае имеет место геометрия Евклида.
Для дальнейшего рассмотрения свойств прямых в геометрии Лобачевского
необходимо доказать ряд дополнительных теорем.
Введем понятия дефектов треугольника и многоугольника. В геометрии
Лобачевского сумма углов треугольника меньше (, поэтому дефект треугольника
(АВС DABC=(-SАВС, где SАВС - сумма углов (АВС. Аналогично вводится дефект
n-угольника DA1A2A3.An=((n-2)-SA1A2A3.An. Если многоугольник разбит
ломаными на несколько многоугольников, то дефект полного многоугольника
равен сумме дефектов его частей.
Докажем теперь теорему: «Для каждого острого угла существует прямая,
перпендикулярная к одной его стороне и параллельная другой».
Рассмотрим перпендикуляры, восстановленные к стороне OQ острого угла
(POQ (см. рис 7). Среди них существуют такие, которые пресекают сторону ОР
(достаточно опустить перпендикуляр из какой-нибудь точки луча ОР на ОQ).

















Рис. 7
Предположим, что все перпендикуляры к ОQ пересекают ОР. Рассмотрим на
луче ОQ ряд точек А, А1, А2,., Аn, такой что АА1=ОА, А1А2=ОА1, А2А3=ОА2,
.,Аn-1An=OAn-1. Перпендикуляры, восстановленные в точках А, А1, А2,., Аn к
стороне ОQ пересекут луч ОР в точках В, В1, В2,., Вn, соответственно.
Обозначая дефект треугольника (ОАВ через D, имеем:
DOA1B1=DOBA1+DBA1B1=2DOAB+DBA1B1>2D,
DOA2B2=DOB1A2+DB1A2B2=2DOA1B1+DB1A2B2>22D,
...................
DOAnBn=DOBn-1An+DBn-1AnBn=2DOAn-1Bn-1+DBn-1AnBn>2nD.
Увеличивая n, получим треугольник (ОАnBn, у которого дефект превышает
любое число, а это невозможно, т.к. дефект любого треугольника меньше ( по
поределению. Итак, предположение неверно и среди перпендикуляров к стороне
OQ существуют не пересекающие сторону ОР.
Рассмотрим один из них - MN (см. рис. 8). Если он параллелен ОР,
теорема доказана.
В противном случае разбиваем точки отрезка ОМ на два класса. К первому
отнесем те точки, в которых перпендикуляры пересекают ОР, ко второму - те,
в которых перпендикуляры не пересекают ОР. Ясно, что левее каждой точки
первого класса лежат только точки первого же класса, т.е. классы лежат
раздельно: второй класс лежит правее первого. Таким образом, это классы
Дедекинда. Применяя аксиому Дедекинда, получаем точку D, разделяющую эти
классы.
















Рис. 8.
Покажем, что перпендикуляр DE к ОQ параллелен ОР. Он не может пересечь
ОР, так как, если бы DE пересекал ОР в точке F, то, опуская из точки G,
лежащей на ОР правее F, перпендикуляр GJ на OQ, получим точку J первого
класса, лежащую правее D. Остается показать, что любой луч DK, проходящий
внутри угла (ODE, пересекает ОР. Опуская из какой-нибудь точки DK этого
луча ОК перпендикуляр KL на OQ, получаем точку L первого класса, т.е. KL
пересекает ОР в некоторой точке R. Прямая DK, пересекающая сторону LR
треугольника (ORL, по аксиоме Паша должна пересечь отрезок OR. Таким
образом, перпендикуляр DE действительно па