Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=193 Дата изменения: Fri May 5 15:26:24 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:34:26 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 101

Бежанова В.В.


Об определении знакопеременной группы.


1. Формулировка результата и обзор стандартных
определений знакопеременной группы

Хорошо известно, что знакопеременные группы [pic] играют важную роль в
теории сим-метрических групп [pic] и многочисленных применениях этой
теории. При определении [pic] обычно исходят из инверсий подстановок
[1,стр.29] или из разложения подстановок в произведение транспозиций
[2,стр.89], [3,стр.45]. В классической книге Б.Л. ван дер Вар-дена
[4,стр.36] знакопеременную группу определяют как группу перестановок
элементов [pic], которая не меняет значений четносимметричного многочлена

[pic] .
Группа [pic] может быть введена и как ядро соответственного
гомоморфизма [pic] в двуэлементную группу [pic]([pic] [5, стр.87].

Теорема. Для любого натурального [pic] существует только одно
отображение [pic] группы [pic] на группу [pic] такое, что
1) для любых ( и ( из [pic]
[pic],
2) для любой транспозиции ( из [pic]
[pic] .

Если называть гомоморфизм [pic] отображением, которое задает
«ориентацию», то знако-переменная группа [pic] как раз состоит из
подстановок «положительной ориентации», которые переходят при отображении
[pic] в +1.
Интересно попробовать определить группу [pic], не используя
специальные понятия теории симметрических групп, такие как транспозиция,
инверсия и другие.
Поставленная задача решается с помощью следующей теоремы.

Теорема 1. Для любого натурального [pic] существует только одно
отображение [pic] группы [pic] на группу [pic] такое, что
[pic]
(1)
для любых ( и ( из [pic]. Группа [pic] совпадает с подгруппой, которая
переходит при этом отображении в +1.

Далее приводится доказательство теоремы 1.

2. Доказательство теоремы и некоторые сведения
о подстановках.

Напомним некоторые определения и факты из теории групп подстановок
(см., например, [6]).
Группа подстановок n-элементного множества А называется симметрической
группой [pic]. Подстановка - это взаимно однозначное отображение множества
А в себя. Элементами множества А можно считать натуральные числа 1,2,.,n.
Групповая операция в [pic] - это просто суперпозиция отображений.
Пример произ-ведения подстановок в [pic]:
[pic] [pic] [pic]([pic] [pic] [pic]=[pic] [pic] [pic] .
Тождественное отображение является единицей группы [pic], а элемент,
обратный к x дает, очевидно, обратное отображение.
Подстановка называется транспозицией, если она меняет местами ровно
два элемента множества А.
Примеры транспозиций в [pic] дают такие подстановки:
[pic] [pic] [pic] [pic], [pic] [pic] [pic] [pic].
Нетрудно увидеть, что любая подстановка [pic] [pic] [pic] [pic], где
[pic] - перестановка первых n натуральных чисел, представляется в виде
произведения конеч-ного числа транспозиций.
Подстановка называется четной, если она получена как произведение
четного числа транспозиций. Четные подстановки образуют группу, которую
называют знакопере-менной и обозначают [pic].
Если G - конечное множество, то через [pic] будем обозначать
количество элементов множества G. В случае, если G - группа, то [pic]
называется порядком группы G. В частности,
[pic] , [pic] ,
(2)
где [pic] - произведение первых n натуральных чисел.
Если Н - подгруппа группы G и 2[pic]=[pic], то говорят, что Н -
подгруппа индекса 2 в группе G. Равенство (2) показывает, что [pic] -
подгруппа индекса 2 в [pic].

Перейдем к доказательству теоремы 1.

Лемма 1. Если Н - подгруппа индекса 2 в группе G и [pic]- множество
элементов группы G, которые не принадлежат Н, то
1) для любых [pic] и [pic] из Н
[pic],
2) для любых [pic] и [pic]
[pic] и [pic],
3) для любых [pic] и [pic] из [pic]
[pic],
4) для любого [pic] из G
[pic].

Доказательство. Утверждение 1) следует из определения подгруппы.
Докажем утверждение 2). Пусть [pic] - произвольный элемент из Н.
Рассмотрим отображение
[pic], [pic].
Функция [pic] взаимно однозначно отображает G на G и Н на Н, при этом
и множество [pic] взаимно однозначно отображается на [pic].
[pic] , [pic].
Аналогично, [pic] , откуда следует 2).
Для доказательства утверждения 3) рассмотрим функцию
[pic], [pic] при [pic].
В силу пункта 2), [pic] и, следовательно,
[pic].
В силу взаимной однозначности [pic] имеем [pic]. Поскольку Н - подгруппа
индекса 2, то [pic].
Следовательно, [pic] и [pic]. Таким образом, [pic] взаимно однозначно
отображает G на G и [pic] на [pic], что возможно только при [pic].
Утверждение 3) леммы доказано.
Утверждение 4) следует из 1) и 3).

Следствие. Пусть Н - подгруппа индекса 2 в G. Положим
[pic] [pic] [pic]
Тогда для любых [pic] и [pic] из G
[pic].

Доказательство. Достаточно рассмотреть все возможные варианты [pic] и
[pic] и воспользоваться пунктами 1) - 3) леммы 1.

Поскольку [pic] - подгруппа индекса 2 в [pic], то из приведенного
вывода следует существование отображения [pic], которое удовлетворяет
условию (1). Для завершения доказательства теоремы 1 необходимо установить
единственность отображения [pic]. А это равносильно тому, что [pic] -
единственная подгруппа индекса 2 в [pic].


Лемма 2. Пусть G - подгруппа конечного порядка, [pic] - отображение G
на [pic] такое, что [pic] для любых [pic] и [pic] из G. Положим
[pic].
Тогда Н - подгруппа индекса 2 в G.

Доказательство. Пусть [pic], [pic]- элемент, обратный [pic], а [pic]-
единица группы G. Поскольку [pic], то [pic]. Аналогично, [pic].
Таким образом, Н - подгруппа. Пусть [pic] (такой элемент существует,
так как [pic] - отображение G на [pic]).
Рассмотрим отображение
[pic], [pic].
Так как [pic], то
[pic] и [pic].
Учитывая, что [pic], получаем равенства
[pic] и [pic].
Отсюда и из взаимной однозначности F [pic], что и требовалось
доказать.

Лемма 3. Пусть Н - подгруппа индекса 2 группы G, А - произвольная
подгруппа G, [pic]. Тогда
либо [pic],
(3)
либо [pic]. (4)

Доказательство. Пусть найдется [pic] (если такого [pic] нет, то,
очевидно, выполняется (3)). Определим отображение [pic] формулой [pic]. Как
и ранее, [pic] - взаимно однозначное отображение А на А. В силу пункта 2)
леммы 1 ,
[pic].
Следовательно,
[pic].
Аналогично, в силу пункта 3) леммы 1,
[pic].
Таким образом, [pic], что и доказывает (4).

Следствие. Пусть А и Н - подгруппы индекса 2 в G. Тогда
либо [pic], (5)
либо [pic]. (4)

Доказательство. Пусть [pic] (3), тогда [pic], но по условию [pic].
Следовательно, строгое неравенство [pic] невозможно и А = Н.
Если же [pic] (3)- неверно, то выполняется (4), тогда
[pic].

Допустим, что теорема 1 не верна. Тогда по лемме 2 в [pic] найдется
подгруппа [pic] индекса 2, отличная от [pic]. Рассмотрим подгруппу [pic]. В
силу следствия из леммы 3, [pic] - подгруппа индекса 2 в [pic].

Осталось доказать следующее

Утверждение 1. При любом [pic] знакопеременная группа [pic] не имеет
подгрупп индекса 2.

Для доказательства утверждения 1 понадобится понятие цикла.
Цикл - это подстановка, при которой часть символов циклически
перемещается, а остальные - остаются на месте.
Пусть F - подстановка [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]. Если
ее изобразить графически, показывая стрелками переход элементов, то циклами
являются замкнутые пути на соответствующем графе.
[pic]
Нетрудно увидеть, что транспозиция - это просто цикл длины 2.
Подстановку [pic] будем записывать в виде [pic].




Лемма 4. При [pic] любая четная подстановка представляется в виде
произведения циклов длины 3.

Доказательство. Достаточно убедиться в том, что лемма верна для
произведения двух транспозиций. Это легко проверить прямым вычислением
[pic], (7)
[pic].

Доказательство утверждения 1. При [pic] группа [pic] состоит из одного
элемента и доказывать нечего.
Пусть [pic]. Допустим, что Н - подгруппа индекса 2 группы [pic]. В
силу (7) любой цикл длины 3 - четная подстановка из [pic]. Для любых трех
символов [pic]
[pic]
в силу пункта 4) леммы 1 [pic]. Но тогда, по лемме 4, и вся группа [pic],
что противоречит принятому допущению.
Доказательство теоремы 1 завершено.



Литература.

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975.
2. Общая алгебра. Т.1/ О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А.
Романьков и др. // Под общ.ред. Л.А. Скорнякова- М.: Наука, 1990.
3. Александров П.С. Введение в теорию групп.- М.:Наука, 1980.
4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.- М.:Наука, 1979.
5. Шварц Л. Анализ.- Т.2.-М.:Мир, 1972.
6. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки.- М.:
Наука, 1979.