Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=187 Дата изменения: Fri May 5 15:26:20 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:34:18 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: ngc 4676

Фундаментальная и прикладная математика


Математическое моделирование





Фракталы








Снопок Алексей Борисович








10-А класс, Киевский Естественно-


Научный Лицей ?145, Киев


Учитель математики: Кушнир


Юрий Анатольевич








Киев 2003 г.



"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин
лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев.
Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не
окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."


Б. Мандельброт


"The Fractal Geometry of Nature"





Краткое содержание работы.


В обзорной части данной работы рассмотрено: понятие фрактала, история
его возникновения, классификация фракталов, способы их построения, понятие
фрактальной размерности и примеры фракталов в разных науках. В практической
части: написана и обсуждена программа по построению одного из самых
известных фракталов Ђ триадной кривой Коха, а также проведены расчёты
фрактальных размерностей границ Украины, Киевской области и Киева.
Показано, что фрактальные размерности границ административных территорий
хорошо соответствуют фрактальной размерности модельной фрактальной
структуры - триадной кривой Коха. Это позволяет не только корректно
моделировать границы отдельных городов, государств и т.п., но и
прогнозировать их развитие, опираясь на математические основы фрактальной
геометрии. Необходимо отметить, что в отличие от природных объектов
(классические задачи о длине береговой линии, контурах облаков и т.п.),
границы больших территориальных образований, являющиеся результатом
деятельности человека, также являются фрактальными объектами.



Содержание


|Глава |Страница |
|1. Введение |4 |
|2. Немного истории |5 |
|3. Классификация фракталов |7 |
|4. Системы итерируемых функций |12 |
|5. Фрактальная размерность |12 |
|6. Фракталы в разных науках |14 |
|7. Программа |15 |
|8. Определение фрактальных |17 |
|размерностей границ Украины, | |
|Киевской области и Киева | |
|9. Список использованной литературы |19 |








Глава 1: Введение
"Фракталы. Странные объекты, взглянув на которые, трудно отвести
взгляд. Магическая и в чём-то таинственная красота, основанная на
однообразии и бесконечном самоподобии".
Фрактал происходит от латинского прилагательного "fractus" и в
переводе означает состоящий из фрагментов, а соответствующий латинский
глагол "frangere" означает разбивать, то есть создавать неправильные
фрагменты. Научное определение: фрактал - особая самоподобная структура с
однотипными деталями бесконечно уменьшающегося или увеличивающегося
масштаба. Метрические характеристики, такие как длина и площадь, не имеют
для фракталов смысла, потому что они бесконечны.
Фракталы Ђ объекты, обладающие бесконечной сложностью, позволяющие
рассмотреть столько же своих деталей вблизи, как и издалека. Любые их
фрагменты, как бесконечно малые, так и бесконечно большие, по строению
ничем не отличаются друг от друга. Фракталы возможны не только на
плоскости, но и в пространстве. Фрактальные структуры встречаются и в
природе.
Примерами фракталов могут служить крона дерева, силуэт горной гряды,
пограничные и береговые линии, поры в хлебе, дырки в некоторых сортах сыра,
частицы в порошках. Поверхность Луны, оказывается, вблизи выглядит так же,
как и издалека, только размеры кратеров другие. Земля - классический пример
фрактального объекта. Из космоса она выглядит как шар. Если приближаться к
ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Будем
рассматривать горы ближе Ђ станут видны еще более мелкие детали: кусочек
земли на поверхности горы в своем масштабе столь же сложный и неровный, как
сама гора. И даже еще более сильное увеличение покажет крошечные частички
грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом. Фрактальную
структуру имеет также Вселенная.
Ниже приведено несколько примеров известных фракталов, демонстрирующих
завораживающую красоту этой области человеческих интересов, которая
удивительным образом соединяет природу, математику, компьютер и искусство.
|[pic] |Множество Жюлиа |
| |Цвет каждой точки зависит от того, |
| |сколько итераций комплексной функции|
| | |
| |f(z)=a(z2+b) |
| |может быть сделано, пока точка z не |
| |выйдет за пределы круга радиуса |
| |r (|z|>r). Здесь z=x + iy - |
| |комплексное число, соответствующее |
| |точке (x, y). |
|[pic] |Множество Мандельброта |
| |Картинка получается с помощью той же|
| |процедуры, что и выше. Различие |
| |состоит в том, что начальное |
| |значение для точки z берётся всегда |
| |равным нулю, а точке с координатами |
| |(x, y) на картинке соответствует |
| |комплексный параметр b = x + yi. |



Глава 2: Немного истории

История появления понятий "фрактал" и "фрактальная геометрия". Понятия
"фрактал" и "фрактальная геометрия", появившиеся в конце 70-х, с середины
80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Фрактальное
множество Ђ самоподобная структура, один из "горячих" объектов современной
науки. Фракталы играют важную роль в современной нелинейной науке. Подобные
объекты были известны довольно давно, но настоящий интерес к ним появился
после активной популяризаторской деятельности Бенуа Мандельброта,
работающего в корпорации IBM. Именно он, исследуя геометрические свойства
морских побережий, обнаружил, что они не подчиняются привычным правилам
подобия, и ввел понятие "фрактал", связанное с дробной размерностью
подобного необычного объекта, а также указал на чрезвычайно широкое
распространение этих объектов в нашем мире. Определение фрактала, данное
Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из
частей, которые в каком-то смысле подобны целому". В определенном смысле
одним из эталонных фрактальных объектов стало множество именно
Мандельброта, которое последний называл "своей подписью". Это связано с
простотой описывающей это множество функции, что, в свою очередь, приводит
к его универсальности Ђ многие процессы могут быть описаны при помощи этого
фрактала. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977
году книги Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature". В его работах
использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-
1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). В
книге, которая произвела настоящий фурор, Мандельброт выдвинул тезис, что
традиционная геометрия с прямыми линиями и гладкими поверхностями не
походит для очертаний деревьев, облаков и гор. И математики получили новый
мир геометрических объектов. Мир фрактальной геометрии.
После выхода работы Мандельброта С. Кранц в "Математическом
информаторе" указал, что математики Р. Брукс и Дж. Мателски обнаружили это
множество и опубликовали соответствующую работу в 1978 году. До тех пор
Брукс и Мателски не придавали особого значения своему открытию, но после
публикации статьи Кранца и последовавшего не вполне корректного ответа
Мандельброта заявили, что их нужно, по меньшей мере, считать соавторами
открытия. Еще один исследователь, Дж. Хаббард, также заявил, что множество
Мандельброта наблюдал на дисплее своего компьютера в 1976 году, а его
аспирант, Ф. Кочмен, ознакомил Мандельброта с этими исследованиями двумя
годами позже. Кроме того, Хаббард, Мателски и Брукс предложили считать
истинным открывателем множества французского математика Пьера Фату,
описавшего его в 1906 году. Оказалось также, что и венгерский математик Ф.
Рисс опубликовал работу с близкими к обсуждаемым результатами еще в 1952
году. Возражение Мандельброта: "сами по себе определения или даже
построения ничего не значат, если вы не смогли сказать, почему это важно, и
убедить в этой важности остальных". Поэтому его претензии на название
множества вполне обоснованы.
История появления IFS и PIFS. В 1981 году вышла книга Джона Хатчинсона
"Фракталы и самоподобие", и в математике стало одной теорией больше:
появилась теория итерируемых функций, а в 1985г. Майкл Барнсли, ведущий
исследователь фирмы "Georgia Tech", опубликовал свою работу, в которой ввёл
в математику понятие системы итерируемых функций (IFS), доказав, что с её
помощью можно представить любое изображение. В 1990г. Барнсли получил
патент на технологию IFS, а в 1991г. запатентовал и усовершенствованную
версию Ђ PIFS. Хотя Барнсли доказал теоретически возможность компрессии
изображений в сотни раз и даже опубликовал несколько искусственно созданных
картин со сжатием 10000:1, он не мог автоматизировать процесс компрессии и
всю работу приходилось делать вручную студентам университета, где Барнсли
преподавал. И вот в 1992 году один из его студентов, которому, судя по
всему, это надоело, ЂАрнод Жакуин Ђ предложил первый практический метод
автоматизированной компрессии изображений. Алгоритм Жакуина лёг в основу
коммерческого компрессора/декомпрессора компании Iterated Systems
Incorporated и используется до сих пор.

Глава 3: Классификация фракталов
Для того чтобы представить все многообразие фракталов, удобно
прибегнуть к их общепринятой классификации.

Геометрические фракталы. Фракталы этого класса самые наглядные. В
двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности
в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в
соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой
процедуры получается геометрический фрактал.


[pic]


Рис 1. Построение триадной кривой Кох.
Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох.
Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) Ђэто 0-
е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении Ђ один
отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1.
В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом
поколении Ђ это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по
1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия Ђ каждое
звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения
каждого последующего поколения все звенья предыдущего поколения необходимо
заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом
конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений
кривой Кох. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится
фрактальным объектом.
[pic]

Рис 2. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила
построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка,
соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок
на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что
при такой замене происходит смещение середины звена. При построении
следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено
заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево
от направления движения, а при замене следующих звеньев направления
смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены
несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по
вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к
бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя.
В компьютерной графике использование геометрических фракталов
необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии.
Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных
текстур (рисунка на поверхности объекта).

Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получают
их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее
изучены двухмерные процессы.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими
устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая
система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального
состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает
некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно
попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое
пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если
фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения
различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы
(итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить
сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.
Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных
алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
[pic]

Рис 3. Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. рис.3 и
рис.4). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом
итеративном выражении:
Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,
где Z[i] и C Ђ комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой
стартовой точки C прямоугольной или квадратной области Ђ подмножестве
комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока
Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке
(0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в
бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-
500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от
количества итераций, в течение которых Z[i] оставалась внутри окружности,
можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в
течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс
прекращается, и эта точка растра окрашивается в черный цвет).
[pic]


Рис 4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 раз.
Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству
Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки, имеющие
черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает
сложные структуры), уходят в бесконечность за конечное число итераций, а
точки, лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через
несколько итераций (белый фон).

Стохастические фракталы. Еще одним известным классом фракталов
являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в
итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры.
При этом получаются объекты, очень похожие на природные Ђ несимметричные
деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические
фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности
моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление
фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и
недетерминированные (стохастические).

Глава 4: Системы итерируемых функций
Два профессора математики из Технологического института штата Джорджия
в середине 80-х годов разработали широко используемый метод, известный как
Системы Итерируемых Функций ("Iterated Functions System" Ђ IFS). С помощью
этого метода создаются реалистичные изображения природных объектов, таких,
например, как листья папоротника, деревья, при этом неоднократно
применяются преобразования, которые двигают, изменяют в размере и вращают
части изображения. В IFS используется самоподобие, которое есть у творений
природы, и объект моделируется как композиция множества мельчайших копий
самого себя.
Рассмотрим механизм IFS. Упрощённо схему её действия можно представить
так:
[pic]
У этой системы IFS Ђ три составляющих преобразования, каждая сжимает
оригинал (основное свойство фрактальных схем Ђ генерирование новых образов)
и переносит результат к новому местоположению. Кроме изменения масштаба
могут произвольно меняться яркость и другие характеристики образа. Второе
правило фрактальных схем: каждое последующее преобразование уменьшает
оригинал. Вот почему такое изображение можно назвать фрактальным Ђ образ по
заданной схеме уменьшается до бесконечности, а изображение достигает любого
разрешения (в соответствии с третьим правилом: все преобразования
циклически связаны).
Принципиальное отличие PIFS от IFS Ђ это то, что она оперирует не
целой картиной, двигаясь от целого к частям, а разбивает изображение на
отдельные области или доменные блоки и работает уже с ними, генерируя
меньшие, диапазонные блоки. Это даёт результат, так как изображение очень
часто неоднородно по составу (например, между облаками обычно находится
небо). Каждый пиксель образа при этом обязательно будет принадлежать как
минимум одному диапазонному блоку.

Глава 5: Фрактальная размерность

В общем случае фрактальная размерность является экспонентой скейлинга
(степенной зависимости) некоторого свойства объекта от его линейных
размеров (масштаба измерения) и определяется следующим выражением:
I ~ LDf,
где:
Df Ђ фрактальная размерность,
? Ђ интенсивность определенного измеряемого свойства объекта,
L Ђ масштаб длины (L=S1/2 для двумерного случая, где S Ђ это площадь
поверхности участка объекта, которая соответствует определенной
интенсивности свойства ?).
Если размерность Df отличается от размерности пространства (2 для
плоских, 3 для объёмных объектов), то такой объект называют фракталом.
Одной из наиболее простых и наглядных характеристик является
размерность Хаусдорфа-Безиковича (геометрическая размерность) df, которая
показывает, как изменяется масса объекта при изменении масштаба длины:
М ~ Ldf.

[pic]

Рис.5. Зависимость массы фрактального объекта при изменении масштаба
длины.

Размерность df соответствует угловому коэффициенту прямолинейной
зависимости log(M) от log(L).

Фрактальную размерность линии D вычисляют, используя зависимость
L/a =(R/a)D,
где:
L Ђ линейный размер объекта,
а Ђ длина звена ломаной линии, которая аппроксимирует линию границы
отдельных кластеров,
R Ђ суммарная длина этой ломаной линии для всех кластеров в объекте.


Глава 6: Фракталы в разных науках

Фракталы Ђ не только предмет математического любопытства, они имеют
полезные приложения. Фрактальные пейзажи, например, использовались как
декорации в некоторых научно-фантастических фильмах. СИФ-фракталы
используются для сжатия изображений, и фрактальный метод часто дает лучшие
результаты при многократном сжатии, чем JPEG и другие методы сжатия, с
малыми потерями качества изображения. Достоинства алгоритмов фрактального
сжатия изображений Ђ очень маленький размер упакованного файла и малое
время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно
масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает
продолжительное время и иногда длится часами. В основе алгоритма лежит
поиск больших кусков изображения, подобных некоторым маленьким кусочкам.
Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется
некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из
3DStudio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и
целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не
распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении. Фракталы
позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой
точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том
же объеме хранимых данных).
Фрактальные структуры широко представлены в организме человека. Форму
фрактала имеют легкие человека, мозг, почки, кровеносная система и т.д. На
сегодняшний день исследования в области фракталов получили широкое
применение в таком важном разделе медицины как кардиология.
Пример фракталов из области ботаники связан с понятием псевдоцикла, то
есть возникновения очень сходных, но не гомологичных явлений различных
масштабов в серии сопоставимых друг с другом растений (например, соцветие
может приобрести большое сходство с отдельным цветком). Интересно отметить
предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной
высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда
следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала.
Глава 7: Программа
Ниже приведена написанная мной программа на языке QuickBasic,
позволяющая строить триадную кривую Коха поколениями от 0 до 6. Принцип её
работы состоит в следующем: имеющееся в данный момент поколение кривой
уменьшается в 3 раза и из полученного элемента строится следующее
поколение. Пример триадной кривой Коха был приведен на рис.1.
Осуществляется это таким образом: в самом начале программы в некий
массив вводятся 10 координат для 5 точек Ђ координат концов отрезков,
составляющих образующий элемент кривой, по такому принципу: на нечётных
позициях стоят координаты концов отрезков образующего элемента кривой в
стандартной системе координат по оси Х, а на чётных Ђ по оси Y (то есть
если взять два соседних элемента массива, первый из которых стоит на
нечётной позиции, то они будут координатами конца одного из отрезков,
составляющих образующий элемент кривой); в дальнейшем ставится цикл, в
котором рисуется текущее поколение кривой, количество элементов массива
увеличивается в 4 раза (поскольку при построении из данного поколения
следующего количество точек, а соответственно и их координат, увеличивается
в 4 раза), и находятся новые координаты (то есть координаты уже следующего
поколения кривой).


SCREEN 12

w = 1.047197551 '600 в радианах
l = 213 'начальная длина элемента кривой
k = 10 'начальное количество элементов массива

CLS

1 : INPUT "Input number of iterations", it
IF it > 6 OR it < 0 THEN
CLS ввод
количества итераций
GOTO 1

END IF

LINE (0, 400)-(640, 400) рисование 0-го поколения кривой
SLEEP 1

DIM A(11000)
A(1) = 0
A(2) = 0
A(3) = 213
A(4) = 0
A(5) = 320
A(6) = 184
A(7) = 427
A(8) = 0
A(9) = 640
A(10) = 0
FOR g = 0 TO it - 1
CLS
h = 1

WHILE h < k - 1
LINE (A(h), 400 - A(h + 1))-(A(h + 2), 400 - A(h + 3)) рисование
текущего поколения кривой
h = h + 2

WEND

SLEEP 1

FOR f = 1 TO k A(f) = A(f) / 3
NEXT уменьшение имеющегося поколения кривой в 3 раза

IF g = 5 THEN END 'проверка на наличие максимально доступного
количества итераций

k = k * 4 'увеличение количества элементов
массива


FOR t = k / 4 + 1 TO k / 2 - 1 STEP 2
A(t) = 213 + A(t - k / 4) * COS(w) - A(t - k / 4 + 1) * SIN(w)
NEXT

FOR t = k / 4 + 2 TO k / 2 STEP 2
A(t) = A(t - k / 4 - 1) * SIN(w) + A(t - k / 4) * COS(w)
NEXT

FOR t = k / 2 + 1 TO 3 * k / 4 - 1 STEP 2
A(t) = 320 + A(t - k / 2) * COS(5 * w) - A(t - k / 2 + 1) * SIN(5 * w)
NEXT



расчёт новых
координат
FOR t = k / 2 + 2 TO 3 * k / 4 STEP 2
A(t) = l * SQR(3) / 2 + A(t - k / 2 - 1) * SIN(5 * w) + A(t - k / 2) *
COS(5 * w)
NEXT

FOR t = 3 * k / 4 + 1 TO k - 1 STEP 2
A(t) = 427 + A(t - 3 * k / 4)
NEXT

FOR t = 3 * k / 4 + 2 TO k STEP 2
A(t) = A(t - 3 * k / 4)
NEXT

NEXT

К сожалению, в QuickBasic максимальное количество элементов массива
составляет чуть больше 16000, поэтому максимально доступное количество
итераций в моей программе равно 6. Для того чтобы программа не пыталась
записать координаты в элемент массива, которого не существует, я поставил
проверку на наличие максимально доступного количества итераций перед
увеличением количества элементов массива и расчётом новых координат.
Необходимо отметить, что данная программа является иллюстрацией
применения использованного алгоритма, с использованием аналогичных
алгоритмов можно строить и другие фрактальные структуры.

Глава 8: Определение фрактальных размерностей границ Украины, Киевской
области и Киева
Мною были проведены вычисления фрактальных размерностей границ
Украины, Киевской области и Киева путём нахождения их длины по картам при
разных значениях отрезков, которые принимались за единицу измерения, и
построения графика зависимости log(R/a) от log(1/a), где R Ђ полученная
длина границы, а a Ђ отрезок, который принимался за единицу измерения
(зависимость эта получена из формулы L/a =(R/a)D , где L Ђ реальная длина
границы, которая является константой и потому не присутствует в
зависимости, а D Ђ фрактальная размерность границы). В дальнейшем путём
проведения наилучшей прямой через полученные точки находилась фрактальная
размерность данной границы (она равна тангенсу угла наклона этой прямой к
оси ОХ). На рис.6 приведены полученные графики и значения фрактальных
размерностей.
[pic][pic]
[pic]
Рис.6. Экспериментальные зависимости протяженности границ от величины шага
измерения.

После выполненной работы я решил проверить: а не совпадает ли
фрактальная размерность какой-нибудь из границ с фрактальной размерностью
какого-нибудь известного геометрического фрактала, например триадной кривой
Коха? Сделав аналогичные описанным выше расчёты, я убедился, что её
фрактальная размерность равна 1.19:
[pic]
Рис.7. Зависимость длины триадной кривой Коха от величины шага измерения.

Итак, значение фрактальной размерности триадной кривой Коха (1,19)
вплотную приближается к значениям фрактальных размерностей границ Украины и
Киева (1,17) и находится недалеко от значения фрактальной размерности
границы Киевской области (1,13). Соответственно, триадную кривую Кох и,
возможно, некоторые другие геометрические фракталы можно использовать для
моделирования границ государств, областей, городов.


9. Список использованной литературы
1. Арянский С. "Фрактальное сжатие изображений".
2. Федер Е. "Фракталы".
3. Витолин Д. "Применение фракталов в машинной графике".
4. Бондаренко В., Дольников В. "Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-
Слоану".
5. Забарянский С. "Фрактальное сжатие изображений".
6. Мандельброт Б. "Самоаффинные фрактальные множества".
7. Пайтген Х., Рихтер П. "Красота фракталов".
8. Карта Украины ("Картограф?я", 1997 г., масштаб 1:1500000).
9. Карта Киевской области ("Картография", 1985 г., масштаб 1:400000).
10. Карта Киева ("Картограф?я", 1994 г., масштаб 1:100000).
-----------------------
определение массива А и заполнение его первых 10 элементов





определение массива А и заполнение его первых 10 элементов


Украина
фрактальная размерность = 1,17

Киевская область
фрактальная размерность = 1,13

Киев
фрактальная размерность = 1,17

Триадная кривая Коха
фрактальная размерность = 1,19