Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=175 Дата изменения: Fri May 5 15:26:10 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:40:30 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: cygnus

Движение связанных тел на орбите Земли.
Тмур Антон Борисович, 11ФМ класс, Донецкий областной лицей «Эрудит» для
одарённых детей, город Донецк, tonic32@mail.ru.
Научный руководитель: Олендарь М. Ф.





















Начальные данные.
Сначала следует определиться с данными. Пусть у нас есть два тела
небольших, по сравнению с Землёй размерами(такие, чтобы их можно было
считать материальными точками), но с достаточно большими массами. Канат,
связывающий эти тела - нерастяжим, достаточно длинный и, по сравнению с
массами тел - достаточно легкий(иными словами невесомый). Тела движутся с
одной угловой скоростью так, что прямая проходящая через канат проходит и
через центр Земли(см. рис. 1).


В один из моментов канат перерезают и тела движутся под действием инерции.
Следует отметить, что мы берём такие условия, в которых взаимодействие
между телами пренебрежимо мало по отношению к взаимодействию любого из тел
с Землёй.

Математический расчёт.

До того, как канат разрезали тела движутся по окружности, а следовательно
несложно будет записать второй закон Ньютона для каждого из тел в проекции
на ось m1 и m2:




где m1 и m2 - массы тел, R1 и R2 - расстояния от центра Земли до тела, w -
угловая скорость, с которой движутся оба тела (она равна для обоих тел), M
- масса Земли, N - сила натяжения каната. Её можно найти, выразив квадрат
угловой скорости и приравняв полученные выражения:
[pic]
Теперь, Возьмём тело массой m1. При новых условиях(после разрыва каната)
оно, естественно, т.к. Исчезла отрицательная составляющая в выражении для
ускорения, а именно «-N», то оно, соответственно, будет стремиться
сократить свой радиус и увеличить свою линейную скорость(исходя из
выражения a=v2/R).
Пусть тело так изменит свои линейную скорость и радиус орбиты, чтобы
круговая скорость оставалась постоянной. Это ещё одно условие, упрощающее
наши подсчёты.
Перейдём в систему отсчёта, движущуюся по в той же плоскости, что и оба
тела. Пусть наша новая система отсчёта движется так, чтобы одна из
координат тела в этой системе всегда оставалась одной и той же. Таким
образом, в этой системе отсчета тело массой m1 будет двигаться
равноускоренно вдоль прямой. А ускорение, с которым оно будет двигаться
можно определить, как частность силы натяжения каната на массу тела.. Ведь
именно благодаря «потере» этой силы тело начало так двигаться. Т. е.
линейное ускорение в этой системе отсчета направленное вдоль оси в сторону
центра Земли будет равно:
[pic]
А расстояние от центра Земли до тела, в таком случае можно записать, как
зависимость от времени:
В каждый момент времени линейная скорость тела зависит от расстояния до
центра Земли.
Другими словами из второго закона Ньютона и закона Всемирного тяготения
можно получить:
Также можно выразить угол поворота в каждый момент времени:
Как видно из следующего рисунка, в каждый момент времени, зная угол можно
найти координаты:
x = R cos?; y = R sin?.
Я нарочно не получаю общую формулу, т.к. при построении модели нам
необходимы будут именно этапы вычисления.
Построение модели.
Далее идёт описание построения модели, рассчитанное на людей, знакомых с
Matlab' ом
Прежде всего в модель следует ввести ряд констант, которые не будут
изменяться при расчете и часы. Затем, над введёнными константами следует
провести ряд вычислений. В итоге вычислений мы выражение, которое в нашем
математическом расчёте звучало, как at2/2. Взяв это выражение с
отрицательным знаком и прибавив к нему R1 получим постоянно меняющийся
сигнал радиуса. Из него мы в последствии получаем угол и координаты.
Построив такую схему и выполнив расчёт на небольшое время мы в итоге
получаем график, изображённый на рисунке:

А если немного продлить время расчёта, то получим следующую картину:
В конце траектории можно видеть прямые линии, в отличии от начала, где
траектория изменяется плавно. Это говорит о том, что чем больше времени
проходит, тем скорость тела становится выше и за одно и то же время тело
проходит всё большие и большие расстояния. Как мы и предполагали чем меньше
будет расстояние до Земли, т.е. чем больше времени пройдёт, тем выше будет
линейная скорость тела. Наши предположения оправдались.

Литература:
«Элементарный учебник физики» под ред. Ландсберга Г. С., в 3 томах, том I.
Издательство «Наука», 1964.
Блудов М. И. «Беседы по физике», Ч 1, М: Просвещение, 1984.
И. В. Черных. «Simulink: Инструмент моделирования динамических
систем»,http://www.matlab.ru.
-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]