Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=163 Дата изменения: Fri May 5 15:26:03 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:40:06 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: релятивистское движение

Научная работа


«Мощность, поглощаемая атмосферой».






































Работу выполнили:


Халимов Айрат, Павел Стасюк,
Ринат Габбасов.






Ульяновск, 2002-2003

Мощность, поглощаемая атмосферой



Вступление

При изучении законов термодинамики на уроках физики в школе, мы не
рассматриваем время теплового взаимодействия между телами. Поэтому мы не
можем вычислить время, за которое остынет, к примеру, чашка чая или кружка
кофе. А некоторые не любят горячий чай. Это натолкнуло нас на идею
нахождения зависимости мощности теплообмена между телом и атмосферой от их
параметров.

Формула мгновенной мощности

Под мощностью атмосферы мы подразумеваем количество энергии, переданной
или полученной телом от окружающей среды за единицу времени:
[pic] .
При выведении формулы мощности атмосферы была использована следующая
теоретическая модель:
. Атмосфера - двухатомный идеальный газ с молярной массой М=0,029
кг/моль.
. Температура и давление атмосферы в рассматриваемом промежутке
времени постоянны.
Опираясь на данную модель газа и используя молекулярно-кинетическую
теорию, выведем формулу мощности атмосферы. Рассмотрим рисунок 1.1:
[pic]
На нем изображена часть поверхности тела площадью S. Молекула
атмосферы, ударяясь об эту площадку, приобретает дополнительную
кинетическую энергию [pic] (либо отдаёт):
[pic] (1), где:
[pic]- кинетическая энергия молекулы до взаимодействия,
[pic] - после взаимодействия.
Формула (1) применима для единичной молекулы. Для множества молекул из
некоторого объёма V справедлива следующая формула:
[pic] (2), где:
N - количество молекул в объёме V,
[pic]- количество молекул, двигающихся от поверхности площадью S (на
рисунке 1.2 показаны 6 возможных направлений движения молекулы атмосферы).
[pic]

Найдем количество молекул N в объёме V:
[pic] (3), где
[pic] - молярный объём.
Найдём V(рис.1.1):
[pic] (4), где
[pic]- средняя скорость молекулы:
[pic], где
[pic]- скорость молекулы атмосферы при температуре тела TT,
[pic]- скорость молекулы атмосферы при температуре TА.
([pic];[pic];[pic])
Подставим среднее значение скорости в формулу (4):
[pic] (5).
Теперь для нахождения количества молекул N в объёме V (3) необходимо
[pic]:
[pic] (6), где:
[pic]- некоторое количество вещества в объёме V,
VT - объём, занимаемый количеством вещества [pic] при температуре тела TT
,
VA - объём, занимаемый количеством вещества [pic] при
температуре атмосферы TA .
По закону Менделеева - Клапейрона:
[pic]; [pic].
Подставим получившиеся значения объёмов в формулу (6):
[pic] .
Теперь мы можем найти количество молекул в объёме V(3):
[pic] (7).
Вернёмся к формуле (2). Так как мы теперь знаем N, то формула (2)
принимает вид:
[pic] .
Так как:
[pic]; [pic] .
Следовательно:
[pic] (9).
Осталось связать мощность атмосферы с изменением энергии [pic]:
[pic].
А отсюда элементарно следует, что мощность равна:
[pic] (10).
Эта формула выведена теоретическим методом. Далее мы попытаемся
обосновать её практически.

Проведенные опыты

На рисунке 1.3 изображена установка, при помощи которой мы ставили
опыты.
[pic]
рис 1.3
Сущность эксперимента состоит в том, что в какой-то момент времени,
когда температура системы тел станет постоянной, количество теплоты,
полученное атмосферой, станет равным количеству теплоты, отданному
нагревателем:
[pic]
Из этого равенства следует, что мощность атмосферы равна мощности
нагревателя, которая вычисляется по формуле:
[pic], где
[pic]

В ходе проведенных опытов были получены следующие данные:
Таблица 1.1
|? |Напряжени|Сопротивл|Площадь |Температу|Температу|Теоретиче|Реальная |
| |е (B) |ение |поверхнос|ра |ра тела |ская |мощность |
| | |нагревате|ти тела |атмосферы|(K) |мощность |(P=UI |
| | |ля (Ом) |(м2) |(K) | |атмосферы|[Bт]) |
| | | | | | |(Вт) | |
|1 |15 |60 |.0347146 |7 |18 |35641 |3.75 |
|2 |15 |60 |.0347146 |8.5 |19 |33948 |3.75 |
|3 |15 |60 |.0347146 |13 |25 |38446 |3.75 |
|4 |15 |60 |.0347146 |19 |33 |44325 |3.75 |
|5 |15 |60 |.0347146 |21 |35 |44178 | 3.75 |
|6 |12 |60 |.0347146 |20 |28 |25414 |2.4 |
|7 |9 |60 |.0347146 |5 |9 |13088 |1.35 |
|8 |9 |60 |.0347146 |9 |13 |12995 |1.35 |
|9 |9 |60 |.0347146 |21 |26 |15898 |1.35 |
|10|9 |60 |.0157213 |5 |13 |11812 |1.35 |
|11|9 |60 |.0157213 |11 |20 |13138 |1.35 |
|12|9 |60 |.0157213 |20 |30 |14363 |1.35 |

Из таблицы видно, что теоретическая мощность отличается от реальной
более, чем в 10000 раз. Поэтому мы введем поправочный коэффициент, который
равен:
[pic] (11).

Ниже в таблице 1.2 приведены значения поправочного коэффициента k.
Таблица
1.2
| |Экран |Без |Экран |Без |Экран |Без |
| | |экрана | |экрана | |экрана |
|Начальная |100 |100 |51.5 |51.5 |38.5 |38.5 |
|температура | | | | | | |
|(оС) | | | | | | |
|Конечная |51.5 |51.5 |38.5 |38.5 |32 |32 |
|температура | | | | | | |
|(оС) | | | | | | |
|Время остывания|92 |61 |67 |54 |58 |48 |
|(мин) | | | | | | |
|Средняя |19.040 |27.828 |7.008 |8.426 |4.048 |4.740 |
|мощность | | | | | | |
|практическая | | | | | | |
|(Вт) | | | | | | |

Как видно из данной таблицы, скорость остывания экранированного тела
значительно меньше неэкранированного. Итак, это доказывает существенность
теплового излучения, как вида теплообмена, особенно при высоких
температурах. Используя данные этой таблицы, попытаемся вычислить
коэффициент излучения серого тела, т.е. [pic]. Для этого предположим
очевидное: разность средних практических мощностей в опытах с экраном и без
него есть средняя мощность теплового излучения (при одинаковых начальных и
конечных температурах):
[pic], где (17)
P2 - мощность атмосферы в опыте с экраном;
P1 - мощность атмосферы в опыте без экрана.
Средняя мощность излучения находится по двум формулам: (14) (15). Мы не
будем приводить эти формулы в данном частном применении, а приведем лишь
конечные результаты для [pic]:
Таблица 1.6
|? опыта |Интервал температур |Коэффициент [pic] для серого |
| | |тела |
| |Начальная |Конечная |[pic] |[pic] |
|1 |100 |51.5 |0.261 |0.268 |
|2 |51.5 |38.5 |0.066 |0.066 |
|3 |38.5 |32 |0.038 |0.038 |

Немного поясним обозначения в таблице:
[pic]- среднее значение коэффициента излучения для серого тела на
указанном промежутке температур по формуле (15);
[pic]- среднее значение коэффициента излучения для серого тела по
формуле (14).
(Напомним: формулы (14) и (15) позволяют найти среднее значение любой
функции, если известна сама функция, т.е. её мгновенное значение от каких-
либо параметров).
Легко видеть, что коэффициент [pic] не постоянен. Это наводит на мысль
о зависимости [pic] от температуры тела. Для нахождения этой зависимости
построим дискретный график для коэффициента [pic], который, может быть,
поможет:
[pic]
Однако эта зависимость не поддалась пониманию нашего сознания, о чем мы
горько сожалеем. Либо найденная теоретическим методом формула (16) не
находит практического подтверждения.

Задача

Решим задачу, ради которой начиналась наша работа. («А некоторые не
любят горячий чай.») Оценим время остывания чашки крепко заваренного чая в
прозрачном стакане, закрытого крышкой из стекла. Для этого необходимо знать
теплоемкость чая, которую не найти ни в одном распространенном справочнике.
Тогда вычислим теплоемкость однажды и будем использовать её во всех
дальнейших расчетах и оценках: проведем опыт с крепко заваренным чаем,
помещенным для большей точности в экранированную чашку (обернутую фольгой)
- так мы "избавимся" от теплового излучения. Среднюю мощность (даже две) на
опытном промежутке температур мы вычислим по формулам (14) и (15). С другой
стороны:
[pic], где
[pic]- время остывания чая от начальной температуры [pic] до
конечной [pic];
c- искомая теплоемкость;
m- масса чая.
Приравнивая теоретические и практическую мощности, выразим теплоемкость
чая c по формуле (14):
[pic] (18).
Или по формуле (15):
[pic] (19).
Теперь, проведя опыты и подставив опытные значения в формулу (19),
можно найти теплоемкость вещества. В этом заключается косвенный метод
нахождения теплоемкости.
Ниже приведена таблица с опытными данными:
Таблица 1.7
|? |Начальная |Конечная |Время остывания |Теплоемкость чая|
|опыта |температура T2 |температура T1 |[pic](мин.) |c |
| | | | |(Дж/(кг0C)) |
|1 |100 |49 |111 |4000 |
|2 |49 |41 |43 |4700 |
|3 |41 |36 |41 |5350 |
|4 |100 |36 |195 |4244 |

Как видно из таблицы, теплоемкость крепко заваренного чая равна
примерно 4244 Дж/(кг0С). Следует понимать, что опыт с наибольшей разностью
температур наиболее точен, потому что относительная погрешность измерений
уменьшается. Отсюда можно сделать вывод, что теплоемкость чая мало
отличается от теплоемкости воды (4200 Дж/(кг0С)). Поэтому в следующей
задаче мы будем использовать теплоемкость чая с = 4200 Дж/(кг0С).
Теперь мы можем оценить время остывания чая. Будем опираться на
следующие данные:
. температура атмосферы Ta=200C;
. атмосферное давление Pa=105 Па;
. активная площадь поверхности чашки с крепко заваренным чаем
S=0.044 м2;
. начальная температура T2=1000C;
. конечная температура T1=600С;
. масса чая m=0.5 кг.
. теплоемкость чая с = 4200 Дж/(кг0С).
Опять используем известные формулы (18) и (19), но уже для нахождения
времени остывания чая (теплоемкость уже известна):
[pic] (20).
Или:
[pic] (21).
Итак, подставляя известные величины в обе формулы и проинтегрировав в
MathCAD, получим: [pic]минут (по обеим формулам).
Теперь мы знаем, сколько времени необходимо для остывания 0.5- литровой
чашки чая. 80 минут шокируют воображение. Но это связано, во-первых, с
тепловым излучением, которым мы пренебрегли, а во-вторых, с испарением чая,
которое мы устранили, закрыв чашку крышкой. В реальной жизни ввиду
перечисленных выше причин чай остывает значительно быстрее.

Заключение

Подведем итоги работы. Итак, в нашей работе мы:
. вывели формулу мгновенной мощности теплопроводности
атмосферы;
. вывели формулу средней мощности теплопроводности атмосферы;
. показали значимость теплового излучения как вида теплообмена;
. нашли новый косвенный метод нахождения теплоемкости вещества;
. убедились в сложной температурной зависимости коэффициента
излучения серого тела;
. практически доказали достоверность выведенных формул.
Мощность атмосферы имеет глобальное значение в обыденной жизни.
Строительство домов, теплотрасс, машин, различного оборудования - все это
немыслимо без явления теплообмена. Именно благодаря явлению теплообмена и
теплопередачи мы зимой замерзаем, а летом нам становится нестерпимо жарко.
У костра мы согреваем руки благодаря конвекции и излучению - частичкам
единого целого - теплообмена. В нашей работе мы попытались максимально
приблизить практические опыты и теоретическое подтверждение. Все
расхождения мы вместе с вами разъясняли. Безусловно, было рассказано не про
все. Не все мы учитывали в опытах. Но мы надеемся, что работа, которую мы
проделали, не окажется ненужной и многим читателям разъяснит явление
теплообмена.
В ходе работы мы еще раз убедились в том, что не все явления природы
можно «загнать» в математические формулы, известные 11-тикласснику.

Примечания

Необходимо поблагодарить создателей программы MathCAD, которая помогла
нам сэкономить много времени по вычислению интегралов. Приведем результаты
интегрирования.
Неопределенный интеграл от функции мгновенной мощности от температуры
принимает вид (для вычисления значения средней мощности по формуле (15)).
[pic]

Неопределенный интеграл от функции мгновенной мощности от температуры
принимает вид (для вычисления значения средней мощности по формуле (14)).
[pic]
[pic]; k - температура атмосферы.
Определенный интеграл - разность неопределенных интегралов (т.е.
первообразных) со значениями верхнего и нижнего предела интегрирования.
На этих вычислениях были построены все расчеты.

[pic][pic]

Список используемой литературы

1. А.Н. Ремизов, А.Я. Потапенко "Курс физики" (Москва 2002, «Дрофа»).
2. Г.А. Зисман, О.М. Тодес "Курс общей физики" том III (Москва 1972,
«Наука»).
3. А.А. Пинский "Физика .11 класс" (Москва 2000, «Просвещение»).
4. А.А. Пинский "Физика .10 класс" (Москва 2000, «Просвещение»).