Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=107 Дата изменения: Fri May 5 15:25:19 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:31:51 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: с с р р с р р п п р

Международная научно-техническая Интернет-конференция для школьников «Юниор-
Старт в науку»











Секция: ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

Тема: "Парадоксальные качели"




Исполнитель: Антикуз Анастасия Григорьевна,


учащаяся IV курса политехнического

лицея (11 класс)

учебно-воспитательного комплекса

г.Курахово




Научный руководитель: Антикуз Е.В., заместитель
директора по

научной
работе УВК г.Курахово, учитель
физики








Курахово
Донецкая область
Украина

Содержание

1. Содержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 2
2. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 3
3. Раздел I. Теоретическая часть Динамика колебаний маятника . . . . . . .
. . . стр. 5
4. Раздел II. Решение задачи
II.1. Постановка эксперимента . . . . . . . . . . . . .. .
. . . . . . . . . . . . стр.10
II.2 Теоретическое обоснование движения тележки . . . . . . .
. .стр.11
II.3. Вывод формулы скоростей тележки и маятника
в зависимости от угла отклонения маятника . . . . . .
. . стр 14
II.4. Результаты экспериментальных исследований . . . . . . .
.стр 16
II.5. Анализ полученных результатов . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .стр. 18
5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . .стр.21

Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . стр. 22
Фотография "парадоксальных качелей"
ксерокопия обложки журнала "Наука и жизнь" ? 9 1998
Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .стр.23
График изменения скорости тележки в зависимости от угла отклонения
маятника от положения равновесия (построенные на основании выведенной
формулы)
Приложение 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .стр.24
Графики движения тележки при различных амплитудах колебаний маятника
Приложение 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .стр.25
Таблица 1. Изменение координат тележки от времени ее движения
Приложение 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .стр.27
Таблица 2. Расчет скорости движения тележки по экспериментальным данным
Приложение 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .стр.29
Графики изменения скорости, полученные по экспериментальным данным
Приложение 7А,7Б,7В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .стр.30
Графики изменения координат маятника и тележки при движении качелей без
упора
Графики скорости движения маятника и тележки (без упора)
Зависимость скорости, ускорения, координаты, пути от времени (графики
полученные в результате работы компьютерной программы при применении
численного счисления)
Приложение 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .стр.31
График изменения координат тележки и маятника при движении тележки от
упора
(данные получены в результате работы компьютерной программы)



Список используемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .стр. 32



Введение

В 1998 году на обложке журнала "Наука и жизнь" (?9) была опубликована
фотография с Всемирного интеллектуального фестиваля, где были изображены
качели. Внимание автора фотографии привлек необычный вид этой детской
забавы. Опорой качелей были колеса. И в содержании журнала - сноска -
указание на то, что на 1 странице обложки - "Экологически чистый" экипаж,
привезенный на первый Всемирный интеллектуальный фестиваль Политехническим
музеем Москвы. Раскачиваясь, пассажир заставляет экипаж рывками, но
довольно быстро ехать либо вперед, либо назад. За внешней простотой этого
устройства скрывается глубокое знание физики его создателей. Фото
С.Транковского". (Ксерокопия обложки журнала приводится в приложении ? 1).
Данная информация вызвала интерес и таким образом было определено
направление исследования.
При работе с первоисточниками, была найдена статья И.Кулаги
(Российский научный центр "Курчатовский институт") "Парадоксальные качели",
в которой автор рассматривает качели, как маятник на подвижном основании, и
ссылается на то, что в качестве физического прибора - это хорошее пособие
при изучении основ механики: законов превращения энергии и сохранения
импульса. Автор статьи дает объяснение факту движения тележки хоть и с
переменным ускорением, но в одном направлении, объясняя поведение экипажа
действием сторонних сил, изменивших импульс. При первом взмахе качелей
система приобретает потенциальную энергию, пропорциональную высоте их
подъема. Именно эта энергия, полученная седоком, заставляет экипаж
двигаться вперед.
В учебниках физики не было найдено теоретического объяснения данной
проблемы.
Таким образом, была определена тема исследования - "Парадоксальные
качели". В данной работе были поставлены следующие задачи:
1. Исследовать движение тележки, на которой укреплен маятник при
различных начальных условиях.
2. Вывести формулу зависимости скорости движения этой тележки от
начальных условий и скорости движения маятника
3. Построить графики зависимости различных физических величин,
характеризующих движение тележки (скорость, ускорение, координата,
пройденного пути), исходя из выведенной формулы, а также используя
метод математического моделирования, и сравнить с графиками,
полученными на основании экспериментальных данных.
4. Дать объяснение движению тележки, на которой укреплен маятник при
различных начальных условиях.
Раздел I

Теоретическая часть


Динамика колебаний маятника

Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр
тяжести, находится ниже точки подвеса. Молоток, висящий на гвозде, весы,
груз на веревке - все это колебательные системы, подобные маятнику стенных
часов.
У всякой системы, способной совершать свободные колебания, имеется
устойчивое положение равновесия. У маятника - это то положение равновесия
при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса. Если
мы выведем маятник из этого положения или толкнем его, то он начнет
колебаться, отклоняясь то в одну, то в другую сторону от положения
равновесия. Наибольшее отклонение от положения равновесия, до которого
доходит маятник, называется амплитудой колебаний. Величина амплитуды
определяется тем первоначальным отклонением или толчком, которым маятник
был приведен в движение. Это свойство - зависимость амплитуды от условий в
начале движения - характерно не только для свободных колебаний, но и очень
многих колебательных систем.
Если к маятнику прикрепить кусочек тонкой проволоки или конский волос
и равномерно перемещать под этим кусочком (или волоском) закопченную
стеклянную пластинку, как показано на рисунке, то волосок прочертит на
пластинке волнистую линию (рис.1.1.), которую называют осциллограммой
колебаний маятника. Амплитуда колебаний изображается на этой осциллограмме
отрезком АВ, дающим наибольшее отклонение волнистой кривой от прямой линии
ab, которую волосок прочертил бы на пластинке при неподвижном маятнике
(покоящемся в положении равновесия). Период изображается отрезком CD,
равным расстоянию, на которое передвигается пластинка за период качания
маятника. Так как закопченную пластинку перемещали равномерно, то всякое ее
перемещение пропорционально времени, в течение которого оно совершалось. Мы
можем сказать поэтому, что вдоль прямой ab в определенном масштабе
(зависящем от скорости движения пластинки) отложено время. С другой
стороны, в направлении, перпендикулярном к ab, волосок отмечает на
пластинке расстояния конца маятника от его положения равновесия, т.е. путь,
пройденный концом маятника от этого положения. Таким образом, осциллограмма
есть не что иное, как график движения - график зависимости пути от времени.
Как мы знаем, наклон линии на таком графике изображает скорость движения.
Через положения равновесия маятник проходит с наибольшей скоростью.
Соответственно этому и наклон волнистой линии на рис.1.2 наибольший в тех
точках, где она пересекает прямую ab. Наоборот, в моменты наибольших
отклонений скорость маятника равна нулю. Соответственно этому и волнистая
линия на рис.1.2 в тех точках, где она наиболее удалена от ab, имеет
касательную, параллельную ab, т.е. наклон, равный нулю.
Рассмотрим динамику колебаний подробнее на простейшем примере
математического маятника, который представляет собой грузик малого размера,
подвешенный на длинной тонкой нити.
В математическом маятнике мы можем пренебречь массой нити и
деформацией грузика, т.е. будем считать, что масса маятника сосредоточена в
грузике, а упругие силы сосредоточены в нити, которую считают нерастяжимой.
Рассмотрим, под действием каких сил происходит колебание маятника, если он
каким-либо способом (толчком, отклонением) выведен из положения равновесия.
Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести,
действующая на его грузик и направленная вертикальной вниз,
уравновешивается силой натяжения нити. В отклоненном положении сила тяжести
Р действует под углом к силе натяжения T, направленной вдоль нити. Разложим
силу тяжести на две составляющие: вдоль по направлению нити Р2 и
перпендикулярно к нему Р1. При колебаниях маятника натяжение нити Т
несколько превышает составляющую Р2 на величину центростремительной силы,
которая заставляет груз двигаться по дуге. Составляющая же Р1 всегда
направлена в сторону положения равновесия: она как бы стремится
восстановить это положение. Поэтому ее часто называют восстанавливающей
силой. По величине Р1 тем больше, чем больше отклоняется маятник.
Итак, как только маятник при своих колебаниях начинает отклоняться от
положения равновесия, скажем, вправо, появляется сила Р1, замедляющая его
движение тем сильнее, чем дальше он отклонен. В конечном счете, эта сила
его остановит и повлечет обратно к положению равновесия. Однако по мере
приближения к этому положению сила Р1 будет становиться все меньше и в
самом положении равновесия обратится в нуль. Таким образом, через положение
равновесия маятник проходит по инерции. Как только он начнет отклоняться
влево, опять появится растущая с увеличением отклонения сила Р1, но теперь
уже направленная вправо. Движение влево будет замедляться, затем маятник на
мгновение остановится, после чего начнется ускоренное движение вправо и
т.д.
Что происходит с энергией маятника при его колебаниях?
Два раза в течение периода - при наибольших отклонениях влево и
вправо - маятник останавливается, т.е. в эти моменты скорость равна нулю, а
значит, равна нулю и кинетическая энергия. Зато именно в эти моменты центр
тяжести маятника поднят на наибольшую высоту и, следовательно,
потенциальная энергия является наибольшей. Наоборот, в моменты прохождения
через положение равновесия потенциальная энергия наименьшая, а скорость и
кинетическая энергия достигают наибольшей величины.
Мы предположим, что силами трения маятника о воздух и трением в точке
подвеса можно пренебречь. Тогда по закону сохранения энергии эта
наибольшая кинетическая энергия как раз равна избытку потенциальной
энергии в положении наибольшего отклонения над потенциальной энергией в
положении равновесия.
Итак, при колебаниях маятника происходит переход кинетической энергии
в потенциальную и обратно, причем период этого процесса вдвое короче
периода колебаний самого маятника. Однако полная энергия маятника (сумма
потенциальной и кинетической энергий) все время постоянна. Она равна той
энергии, которая была сообщена маятнику при пуске, безразлично - в виде ли
потенциальной энергии (начальное отклонение) или в виде кинетической
(начальный толчок).
Так обстоит дело при всяких колебаниях в отсутствие трения или каких-
либо иных процессов, отнимающих энергию у колеблющейся системы или
сообщающих ей энергию. Именно поэтому амплитуда сохраняется неизменной и
определяется величиной начального отклонения или толчка.
Так обстоит дело при всяких колебаниях в отсутствие трения или каких-
либо иных процессов, отнимающих энергию у колеблющейся системы или
сообщающих ей энергию. Именно поэтому амплитуда сохраняется неизменной и
определяется величиной начального отклонения или толчка.
Рассматривая свободные колебания маятника, мы не учитывали до сих пор
явления, которое неизбежно имеет место в каждом из описанных выше опытов, и
вследствие которого колебания не являются строго периодическими, а именно:
амплитуда колебаний с каждым размахом делается все меньше и меньше, так что
рано или поздно колебания прекращаются. Это явление называется затуханием
колебаний.
Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной
системе, кроме восстанавливающей силы, всегда действуют разного рода силы
трения, сопротивление воздуха и т.п., которые тормозят движение. При каждом
размахе часть полной колебательной энергии (потенциальной и кинетической)
расходуется на работу против сил трения. В конечном счете, на эту работу
уходит запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально.
Незатухающие свободные колебания, которые происходили бы в колебательной
системе в отсутствие трения, называются собственными колебаниями системы.
Не учитывая сил трения, мы рассматривали идеальные, строго
периодические собственные колебания. Такое упрощение является, однако
возможным и пригодным только потому, что у многих колебательных систем
трение и вызываемое им затухание действительно малы: система успевает
совершить очень большое число колебаний, прежде чем их амплитуда уменьшится
заметным образом. При изучении таких систем с достаточно малым затуханием
можно для очень многих вопросов совсем не учитывать этого затухания и
считать свободные колебания системы строго периодическими.
Колебание, которое в отсутствие затухания было бы гармоническим
(собственное колебание), при наличии затухания, конечно, перестает быть
гармоническим; более того, благодаря затуханию движение уже не будет и
периодическим. Его осциллограмма представляет собой не повторяющуюся линию,
а линию, размахи которой делаются все меньше и меньше.

Раздел II

Решение задачи

II.1. Постановка эксперимента

Для решения поставленных задач необходимо было изготовить маятник на
подвижном основании. Для этого из трубок диаметром 1,3 мм и длиной 1, 1 м
был изготовлен каркас для "качелей", к которому впоследствии были
прикреплены колеса от детской коляски. Масса тележки - каркаса вместе с
колесами - составила 2 кг. На стальной проволоке к тележке прикреплялся
груз массой 2 кг .
Для измерения пройденного пути на каркас тележки была прикреплена
стрелка-указатель, а также была изготовлена "линейка"-шкала на рулонной
бумаге длиной 3 м, цена деления которой равнялась 1 см. При проведении
опытов эта линейка прикреплялась к стене, тележка располагалась не далеко
от стены. Все опыты были записаны на видеокамеру, а затем все показания
были зафиксированы при покадровом воспроизведении видеозаписи.
Вначале было исследовано движение тележки при колебаниях маятника,
если тележка не упиралась одной парой колес в препятствие. Как и следовало
ожидать, исходя из закона сохранения импульса, движение самой тележки было
направлено противоположно движению маятника. Т.е. тележка совершала
колебательное движение в противофазе с маятником, повешенным на ее каркас.
Это понятно, и хорошо описывается законами механики: в замкнутой системе
центр масс должен оставаться на месте, а тележка - будет совершать
колебания вперед-назад возле точки равновесия. В кинофрагменте, снятом при
помощи видеокамеры, такое движение есть, но его исследование не актуально,
поэтому измерения всех характеристик такого движения нас не интересовало.
Наиболее интересным оказалось движение тележки, если первоначально
маятник отклоняют в сторону упора, сообщая ему потенциальную энергию.
Как и указывалось в статье И.Кулаги1 тележка рывками двигалась вперед,
причем движение ее было достаточно интересно: в зависимости от положения
маятника тележка либо перемещалась вперед на значительное расстояние, либо
на мгновение останавливалась, или немного откатывалась назад, затем
движение вперед повторялось. Опыты были проведены при различных амплитудах
колебаний маятника (результаты приведены ниже)

II.2 Теоретическое обоснование движения тележки
Рассмотрим особенности движения тележки с маятником (качелей)
подробнее. Описание свободных колебаний такой системы - задача довольно
сложная, которая требует решения системы дифференциальных уравнений,
заданных в неявном виде. Попробуем описать принцип действия такой системы
из простого графического анализа последовательных фаз такого движения.
Будем считать, что математический маятник массой М1 и длиной L
смонтирован на тележке массой М2, причем М1= М2. Тележка может перемещаться
в горизонтальной плоскости без трения. В положении равновесия центры масс
маятника и тележки расположены на одной вертикали. На систему действует
сила тяжести, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости и поэтому не
влияет на импульс тележки. Если отклонить маятник до горизонтального
положения и отпустить его, груз маятника и тележка начнут колебаться в
противофазе относительно центра масс, который в соответствии с законом
сохранения импульса, будет оставаться на месте.
Изменим первоначальные условия: систему заставим двигаться по-другому,
а именно - тележка, установленная на горизонтальной плоскости, упирается
одной парой колес в препятствие. Маятник отклоним от положения равновесия в
сторону упора, таким образом, сообщив ему потенциальную энергию Wп1, и
отпустим (рис.2.1). Пока маятник опускается тележка остается неподвижной,
так как через реакцию нити F1 вес маятника прижимает колеса к упору. В
момент, когда маятник проходит положение равновесия (рис.2.2),
потенциальная энергия груза перейдет в кинетическую энергию груза. Wк1 =
Wп1, и в этом положении сумма всех сил равна нулю, маятник положения
равновесия проходит по инерции, тележка неподвижна. После прохождения
положения равновесия, сила реакции нити F1 начинает ускорять тележку, и
тележка начнет свое движение. Когда груз маятника займет наивысшее, крайне
правое, положение его относительная скорость (относительно тележки) упадет
до нуля (рис.2.3), но кинетическая энергия маятника не станет равной нулю,
потому что маятник движется вместе с тележкой и его абсолютная скорость
(относительно Земли) в этой точке равна:
Va = Vo + Vт = 0 + Vт = Vт,
поэтому кинетические энергии маятника и тележки в этом положении будут
равны (массы маятника и тележки одинаковы). Однако маятник в этом положении
(рис.2.3) имеет и запас потенциальной энергии, так как поднят на некоторую
высоту. Поэтому можно записать закон сохранения энергии в следующем виде:
Wп1 = Wк1 (положение 1 и 2
см.рис.2.1 и 2.2.)
2Wк2 + Wп2 = Wп1 (положение 3 и1
см.рис.2.3 и 2.1.)

После прохождения крайне правого положения, маятник изменяет направление
движения и движется опять в сторону равновесия. Сила реакции нити
продолжает ускорять тележку, так проекция этой силы направлена в сторону
движения тележки. Потенциальная энергия маятника продолжает переходить в
кинетическую энергию тележки. Когда маятник опустится до точки равновесия,
его абсолютная скорость обратится в нуль, а тележка приобретет скорость,
равную скорости движения маятника в момент начала движения системы - Vао.
Именно в этот момент кинетическая энергия станет равной потенциальной
энергии первоначально поднятого маятника.
На этом процесс энергии не закончится: маятник начнет подниматься,
отклоняясь влево, и реакция натяжения нити F1 начнет тормозить тележку. При
максимальном отклонении влево относительная скорость маятника опять равна
нулю, а абсолютная равна скорости движения тележки. Опускаясь из крайнего
левого положения, маятник продолжает тормозить тележку и, придя в положение











Рис.2.1.
Рис.2.2.









Рис.2.3.

равновесия с Vао, ее остановит. Далее весь цикл, начиная со второй фазы,
повторяется.
Рассуждая таким образом (без учета силы трения), мы должны прийти к
следующим результатам:
1. Наибольшая скорость движения тележки должна быть в момент прохождения
маятником положения равновесия после возврата из крайне правого
положения.
2. Скорость тележки в момент прохождения маятником крайнего правого
положения, должна быть в два раза меньше максимальной скорости
тележки.
3. При прохождении маятником положения равновесия при его движении из
крайнего левого положения, тележка должна остановиться, после чего ее
движение опять продолжится в прежнем направлении.



II.3. Вывод формулы скоростей тележки и маятника в зависимости от угла
отклонения маятника
Wп1max = Wк1max (положение 1 и 2
см.рис.2.1 и 2.2.) (1)
Wк2 + Wп2 = Wп1 = Wк1 (положение
3 и1 см.рис.2.3 и 2.1.) (2)

( Wп1 = MgH = Mg (L-Lcos() = MgL(1-
cos() (3)
L Wк1max= Vao2M/2
(4)
H Wк2 = (Vм2/2 + Vт2/2)М
(5)
Vм M + Vт M = M Vao
(6)

Где Wп1 - потенциальная энергия маятника в крайнем левом положении

(вначале опыта), может быть определена по формуле
(3)
Wк1 - кинетическая энергия маятника в момент прохождения
им
положения равновесия (тележка еще находится в
состоянии
покоя)
Vao - максимальная скорость маятника в момент прохождения

положения равновесия после крайнего левого
положения
(тележка находится в состоянии покоя), а также
тележки (в момент
прохождения маятником прохождения равновесия
после
возвращения из крайнего правого положения)
Wк2 - суммарная кинетическая энергия маятника и тележки в
момент,
когда маятник находится в крайнем правом
положении
Vм ; Vт - скорости движения маятника (абсолютная) и
тележки в
момент прохождения маятником крайнего правого
положения
M - масса маятника, равная массе тележки
L - длина маятника
Н - высота поднятия маятника
Уравнение 6 - закон сохранения импульса. Запишем уравнение (6) в
скалярном виде c учетом того, что Vм = Vт + Vo cos(, где Vo - скорость
маятника относительно тележки в любой произвольный момент времени, Vт -
скорость тележки
(Vт + Vo cos ( ) + Vт = Vao
(6А)
2Vт = Vao - Vо cos (
Vт = (Vao - Vо cos ()/2
(7)

С учетом этой формулы (7) уравнение (2) можно привести к виду:
1. Для вывода формулы скорости движения маятника
Wк2 = (Vм2/2 + Vт2/2)*М


Wп2 = MgL(1-cos()
Wк1 = Vao2M/2
Vт = (Vao - Vо cos ()/2
Тогда, уравнение 2 Wк2 + Wп2 = Wп1 = Wк1 , будет
преобразовано к виду
М(Vм2 + Vт2)/2 + MgL(1- cos() = M Vao2/2 , сократим М и домножим
на 2


(Vм2 + Vт2) + 2gL(1- cos() = Vao2
(Vт + Vo cos ( )2 + Vт2 = Vao2 -2gL(1- cos()
(Vao - Vо cos ( +2 Vo cos ()2 + (Vao - Vо cos ()2 =
Vao2 -2gL(1- cos()
4
4
(Vao + Vo cos ()2 + (Vao - Vо cos ()2 = Vao2 -2gL(1-
cos()
4 4
Vao2 +2 Vao Vo cos ( + (Vo cos ()2 + Vao2 -2 Vao Vo cos ( +(Vo cos ()2=
4Vao2 -8gL(1- cos()
2Vao2 + 2Vo2 cos 2 (= 4Vao2 -8gL(1- cos()
Vao2 + Vo2 cos 2 ( = 2Vao2 -4gL(1- cos()
Vo2 cos 2 ( = Vao2 -4gL(1- cos()
Vo2 = Vao2 -4gL(1- cos() Vт =
(Vao - Vо cos ()
cos 2 (
2

Где Vo - скорость движения тележки относительно маятника,
Vao - максимальная скорость маятника, определяемая из начальных
условий,
Vт - скорость движения тележки.

Таким образом, зависимость скорости движения тележки и маятника от
угла отклонения маятника мы получили.
Значение Vao можно получить исходя из формул 1,3, 4 при первоначальном
максимальном угле отклонения.
Используя данные формулы, получим графики скорости тележки и маятника,
в зависимости от угла отклонения нити. Все данные (значения Vao, длины
маятника, изменение угла () занесем в таблицу редактора EXCEL, в
соответствующие ячейки внесем формулы, необходимые для расчета и получим
значения скорости маятника относительно тележки и тележки от угла
отклонения маятника, затем по этим данным построим график.
В приложении 2 приведены графики изменения скорости тележки в
зависимости от угла отклонения маятника от положения равновесия, а также -
график изменения скорости движения маятника относительно тележки в
зависимости от угла отклонения нити (приложение 2). По этим графикам
можно проследить, как изменяется скорость движения тележки в зависимости от
скорости движения маятника, а также от его фазы колебания. Т.е. наглядно
видно, что скорость тележки увеличивается, пока маятник из положения
равновесия движется в правое крайнее положение и из крайнего правого
положения к положению равновесия.

II.4. Результаты экспериментальных исследований
Постановка эксперимента описана в п.II.1.
Съемки движущейся тележки проводились при различных начальных
условиях, а именно: маятник из положения равновесия отклонялся на различные
углы, начиная от 300 и до 600 (тележка одной парой колес упиралась в
препятствие). Как и следовало ожидать, путь, проходимый тележкой, был
больше при более высоком первоначальном положении маятника, что
соответствовало большему углу отклонения нити маятника от положения
равновесия. В приложении 3 приведены графики движения тележки (пройденного
пути в зависимости от времени) при различных амплитудах колебаний (при
различных углах отклонения нити от вертикали). Данные для этих графиков
были получены следующим образом: при покадровом воспроизведении
видеофрагмента каждого опыта фиксировались значения координаты стрелки,
укрепленной на каркасе тележки. Путь, проходимый тележкой за единицу
времени (время между двумя последовательными кадрами), вычислялся как
разница координат (фиксирующихся на двух последовательных кадрах).
Данные, полученные в результате опытов, приведены в таблице 1
приложения 4.
По этим данным в опытах 1 и 2 была рассчитана скорость движения
тележки на каждом из участков, при этом считалось, что движение на каждом
участке равноускоренное (но на каждом участке - ускорения разные). Зная
время движения тележки и путь, проходимый тележкой за это время, можно
рассчитать ускорение на каждом из участков: a= 2*(S-V0t)/t2, V0 -
первоначальная скорость движения на данном участке, ускорение и время,
легко можно рассчитать конечную скорость движения на данном участке.
Скорость движения на любом участке рассчитывалась как средняя между
начальной и конечной скоростями. Все расчеты проводились при помощи
редактора EXCEL. Таблица, в которой отражены все промежуточные значения
(путь, ускорение, скорость на каждом участке) приведена в приложении 5, а
графики, построенные для опытов 1 и 2, демонстрирующие зависимость скорости
движения тележки от времени приведены в приложении 6.
В результате сравнения графиков, полученных при обработке данных по
выведенным формулам (приложение2) и графиков (приложение 6), полученных при
обработке данных, полученных экспериментально, можно сделать следующие
выводы:
1. Скорость движения тележки возрастает в течении полупериода качания
маятника (маятник проходит через точку равновесия, доходит в крайнее правое
положение и возвращается обратно в эту точку), после этого - скорость
движения тележки - уменьшается, что соответствует объяснению движения
тележки, приведенному выше.
2. В результате проведения эксперимента, было замечено, что максимальная
скорость движения тележки была на тот момент, когда маятник проходил через
точку равновесия, а немного позже, минимальная скорость тележки
фиксировалась также не в тот момент, когда маятник возвращался в положения
равновесия, а немного позже, т.е. наблюдался сдвиг фаз между колебаниями
маятника и тележки, что можно объяснить наличием сил трения в системе.
3. На графике скорости движения тележки (экспериментально этот факт также
зафиксирован), что тележка при своем движении не только останавливается, но
и немного откатывается назад. На графиках, полученных с помощью
теоретических расчетов, можно увидеть, что движения назад тележка назад не
совершает. Это несоответствие между графиками, полученными на основании
теоретических расчетов и экспериментальных данных можно объяснить наличием
сил трения, которые не были учтены в теоретических расчетах.

II.5. Анализ полученных результатов
II.5. 1. Расчет скорости движения тележки и скорости движения маятника
при условии, что тележка в момент начала движения находится без упора
Для проверки правильности выведенной формулы и доказательства того,
что объяснение движения тележки верны, составим компьютерную программу для
расчета скорости движения тележки и маятника, их координат в зависимости от
времени, применив метод математического моделирования.
Для этого рассмотрим силы, действующие на маятник, если маятник
выведен из положения равновесия. Движение такого маятника происходит под
действием силы тяжести и реакции связи. Из рисунка видно, что x = l sin (.
Координата х









Итак, колебания маятника не являются гармоническими, однако если угол
( мал, то оказывается, что закон движения маятника приблизительно
описывается гармонической функцией времени. На рис. II.5.1. представлены
силы, действующие на точку массой m. При малом угле ( результирующая сила F
, направленная по касательной к траектории (окружности), приблизительно
совпадает со своей проекцией на ось: |F| ( |Fx|. Поскольку при малом
значении ( tg ( ( (,
то Fx= -mg(, где знак минус указывает на то, что сила Fx направлена в
сторону, противоположную увеличению значения (. Положение маятника
однозначно определяется координатой х, причем x = l sin (., при малых
значениях ( x ( l (, для определения координаты запишем уравнение
mx = Fx, m l ( = - m g (. Уравнение ( + g/l (.=0 является уравнением
движения для гармонического колебания, частота которого ( =[pic].
Следовательно,
( =Аsin([pic] t + (), где амплитуда А и начальная фаза ( определяются из
начальных условий.
Рассчитаем амплитуду колебаний маятника по формуле:
х= l ( = l Аsin([pic] t + (),
Если маятник укреплен на подвижной тележке и тележка не упирается
колесами в препятствие, а также массы маятника и тележки равны, то
колебания тележки происходят в противофазе с колебаниями маятника. Учитывая
это, можно построить графики изменения координат тележки и маятника.
Данные, полученные в результате работы этой программы, были
скопированы в редактор EXCEL, с помощью которого и были построены графики
движения:
маятника, изменения его координаты с течением времени (см.приложение 7 А);
маятника и тележки, изменения координат тележки и маятника с течением
времени (см.приложение 7 Б);
изменения скорости движения тележки, ее ускорения, а также график пути,
пройденного тележкой в зависимости от времени (приложение 7В).
График пройденного тележкой пути за время колебаний системы тележка-
маятник (без упора) напоминает график пути, пройденной тележкой, если
первоначально тележка упиралась парой колес в упор.
Если учесть ассиметричность в системе тележка-маятник, когда тележка
первоначально упиралась парой колес в препятствие, то можно предположить,
что график изменения координат тележки и маятника примет вид (приложение
8А). Форма графика пройденного тележкой пути, полностью совпадает с
графиками пройденного пути, полученного при теоретических расчетах. График
пути, полученный на основании экспериментальных данных, несколько
отличается от зависимости, рассчитанной теоретически, что можно связать с
наличием в реальной системе сил трения, значения которых в теоретических
расчетах мы не учитывали.







Выводы
Целью данной работы ставилось исследование движения тележки, на
которой укреплен маятник, при различных начальных условиях. Решение
поставленной задачи было осуществлено вначале теоретически. Применяя
законы сохранения энергии и импульса, рассматривая эти законы для
различных положений маятника относительно тележки, была выведена формула
скорости маятника и формула скорости тележки относительно Земли. Используя
эти формулы, с учетом первоначальных условий были построены графики
скорости движения маятника, тележки, в зависимости от угла отклонения
маятника от вертикали. При сопоставлении этих графиков отчетливо было
видно изменение скорости движения тележки относительно положений маятника.
Для проверки теоретических рассуждений была изготовлена модель
качелей - тележки с маятником и проведен ряд экспериментов. Данные,
полученные в результате эксперимента, и обработки результатов, позволили
построить графики движения тележки (пройденного пути, изменения
скорости).
Сопоставление и анализ подобных графиков, полученных на основании
экспериментальных данных и теоретических рассуждений, показали, что
объяснение движения парадоксальных качелей верно.
Также, эти результаты были проверены с помощью метода численного
счисления.
При исследовании движения «парадоксальных качелей» - маятника на подвижном
основании - было выдвинуто ряд новых задач, решение которых может быть
осуществлено в следующих работах (как будет осуществляться движение, если
колебания маятника будут вынужденными, когда маятник начнет принимать
участие в крутильных колебаниях и т.д.) Сейчас работа над этой темой
продолжается: проводится исследование движения тележки с маятником
переменной массы.
Приложение 1
Приложение 2













Приложение 3

|(тележка парой колес упирается в упор |


|Опыт 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Координата (см) |38 |39 |40
|41 |43 |46 |51 |56 |62 |69 |74 |81 |85 |90 |92 |94 |93 |92 |91 | |Время |0
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 |16 |17 |18 | |Путь (см)
|0 |1 |1 |2 |3 |5 |5 |6 |7 |5 |7 |4 |5 |2 |2 |-1 |-1 |-1 |-1 | |Ускорение
(м/с2) |0 |-6.2 |6.2 |-6.2 |6.2 |-6.2 |6.2 |-6.2 |6.2 |-6.2 |6.3 |-6.3 |6.4
|-6.4 |6.4 |-6.5 |6.5 |-6.5 |6.48 | |Скорость (м\с2) |3.13 |-3.11 |3.13 |-
3.09 |3.15 |-3.05 |3.15 |-3.03 |3.17 |-3.07 |3.21 |-3.13 |3.23 |-3.19 |3.23
|-3.25 |3.23 |-3.25 |3.23 | |Координата (см) |90 |89 |88 |87 |88 |89 |90
|93 |95 |99 |102 |105 |109 |110 |111 |112 |111 |110 |109 | |Время |19 |20
|21 |22 |23 |24 |25 |26 |27 |28 |29 |30 |31 |32 |33 |34 |35 |36 |37 | |Путь
(см) |-1 |-1 |-1 |1 |1 |1 |3 |2 |4 |3 |3 |4 |1 |1 |1 |-1 |-1 |-1 |-1 |
|Ускорение (м/с2) |-6.5 |6.5 |-6.5 |6.5 |-6.5 |6.5 |-6.5 |6.5 |-6.4 |6.4 |-
6.4 |6.4 |-6.5 |6.5 |-6.5 |6.4 |-6.4 |6.4 |-6.4 | |Скорость (м\с2) |-3.25
|3.23 |-3.25 |3.27 |-3.25 |3.27 |-3.21 |3.25 |-3.17 |3.23 |-3.17 |3.25 |-
3.23 |3.25 |-3.23 |3.21 |-3.23 |3.21 |-3.23 | |Координата (см) |108 |106
|105 |104 |105 |106 |107 |110 |111 |112 |114 |115 | | | | | | | |
|Время |38 |39 |40 |41 |42 |43 |44 |45 |46 |47 |48 |49 | | | | | | |
| |Путь (см) |-2 |-1 |-1 |1 |1 |1 |3 |1 |1 |2 |1 | | | | | | | | |
|Ускорение (м/с2) |6.4 |-6.4 |6.4 |-6.4 |6.4 |-6.4 |6.4 |-6.4 |6.4 |-6.4
|6.4 | | | | | | | | | |Скорость (м\с2) |3.19 |-3.21 |3.19 |-3.17
|3.19 |-3.17 |3.23 |-3.21 |3.23 |-3.19 |3.21 | | | | | | | | | |
|Опыт 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Координата (см) |32 |33 |34
|35 |39 |42 |49 |56 |64 |72 |84 |93 |103 |111 |119 |121 |124 |130 |129 |
|Время |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 |16 |17 |18 |
|Путь (см) |0 |1 |1 |4 |3 |7 |7 |8 |8 |12 |9 |10 |8 |8 |2 |3 |6 |-1 |-2 |
|Ускорение (м/с2) |0 |-4.8 |4.8 |-4.8 |4.7 |-4.7 |4.7 |-4.6 |4.6 |-4.6 |4.5
|-4.5 |4.4 |-4.4 |4.3 |-4.3 |4.4 |-4.5 |4.48 | |Скорость (м\с2) |2.42 |-
2.40 |2.42 |-2.34 |2.40 |-2.26 |2.40 |-2.24 |2.40 |-2.16 |2.34 |-2.14 |2.30
|-2.14 |2.18 |-2.12 |2.24 |-2.26 |2.22 | |Координата (см) |127 |125 |120
|121 |122 |123 |125 |129 |132 |138 |142 |150 |157 |162 |168 |170 |172 |173
|171 | |Время |19 |20 |21 |22 |23 |24 |25 |26 |27 |28 |29 |30 |31 |32 |33
|34 |35 |36 |37 | |Путь (см) |-2 |-5 |1 |1 |1 |2 |4 |3 |6 |4 |8 |7 |5 |6 |2
|2 |0.5 |-1.5 |-1 | |Ускорение (м/с2) |-4.5 |4.4 |-4.3 |4.3 |-4.3 |4.3 |-
4.3 |4.3 |-4.2 |4.2 |-4.1 |4.1 |-4.1 |4.1 |-4.2 |4.2 |-4.2 |4.2 |-4.2 |
|Скорость (м\с2) |-2.26 |2.16 |-2.14 |2.16 |-2.14 |2.18 |-2.10 |2.16 |-2.04
|2.12 |-1.96 |2.10 |-2.00 |2.12 |-2.08 |2.12 |-2.11 |2.08 |-2.10 |
|Координата (см) |170 |169 |165 |161 |159 |158 |157 |158 |160 |162 |168
|173 |176 |180 |182 |185 |186 |185 |184 | |Время |38 |39 |40 |41 |42 |43
|44 |45 |46 |47 |48 |49 |50 |51 |52 |53 |54 |55 |56 | |Путь (см) |-1 |-4 |-
4 |-2 |-1 |-1 |1 |2 |2 |6 |5 |3 |4 |2 |3 |1 |-1 |-1 |-184 | |Ускорение
(м/с2) |4.2 |-4.2 |4.2 |-4.2 |4.2 |-4.2 |4.3 |-4.2 |4.2 |-4.2 |4.1 |-4.2
|4.2 |-4.2 |4.3 |-4.3 |4.3 |-4.3 |0.6 | |Скорость (м\с2) |2.08 |-2.16 |2.08
|-2.12 |2.10 |-2.12 |2.14 |-2.10 |2.14 |-2.02 |2.12 |-2.06 |2.14 |-2.10
|2.16 |-2.14 |2.12 |-2.14 |-1.54 | |Координата (см) |182 |181 |179 |165
|161 |160 |159 |158 |159 | | | | | | | | | | | |Время |57 |58 |59
|60 |61 |62 |63 |64 |65 | | | | | | | | | | | |Путь (см) |-1 |-2
|-14 |-4 |-1 |-1 |-1 |1 |-159 | | | | | | | | | | | |Ускорение
(м/с2) |3.1 |-3.1 |2.8 |-2.6 |2.7 |-2.7 |2.7 |-2.7 |-0.5 | | | | | |
| | | | | |Скорость (м\с2) |1.52 |-1.56 |1.28 |-1.36 |1.34 |-1.36 |1.34
|-1.32 |-1.86 | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Координата (см) |?1 |?2 | | | | |
| | | | | | | | | | |Время |0 |t=t0+1 | | | | | | | | | | | | | | | |Путь
(см) |0 |Х2-Х1 | | | | | | | | | | | | | | | |Ускорение (м/с2) |0
|a=2*(S*0.01-V0*t)/t*t | | | | | | | | | | | | | | | |Скорость (м\с2) |2.42
|V=V0+at | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | |
Приложение 6
Приложения 7А, 7Б, 7В


ПРИЛОЖЕНИЕ 8А, 8Б


















Список используемой литературы

1. С.А.Хорошавин "Физико-техническое моделирование. Учеб.пособие для
учащихся по факультативному курсу 8-10 кл.-М.:Просвещение, 1983.-207 с.,
ил.

1. "Наука и жизнь", 1998, ? 9 стр.1, 2

2. Статья "Парадоксальные качели" И.Кулага, Российский научный центр
"Курчатовский институт", журнал "Наука и жизнь", ? 3, 1999, стр.39


3. Элементарный учебник физики под редакцией академика Г.С.Ландсберга,
т.III, изд-во "Наука", Главная редакция физю-мат.лит-ры, М., 1975























-----------------------
от угла ( зависит гармонически, а от времени - негармонически. В самом
деле, для того чтобы x = а sin (t, необходимо, чтобы угол ( был
пропорционален t, т.е.
d(/dt = const. В действительности этого нет: положение равновесия точка
проходит быстро, вблизи наибольшего отклонения движется медленно,
останавливается и возвращается (здесь ( изменяет знак)



Изменение координат маятника и тележки, полученные экспериментально