Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=90 Дата изменения: Fri May 5 15:26:21 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:26:03 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п

Работа на интернет - конференцию «Юниор-старт в науку».
Автор Астафьев Антон Сергеевич,
10-В, многопрофильный лицей ?99, г. Запорожье,
Украина.
Руководитель Ястребова Татьяна Геннадьевна, завуч по научной работе
многопрофильный лицей ?99, г. Запорожье, Украина
Тема Соотношения отрезков в треугольнике

Краткое описание

Рассмотрены различные обобщения, возникающие из одной частной задачи об
отношениях, в которых делятся стороны двух пересекающихся углов.
Выведены общие формулы, позволяющие найти все отношения, в которых
делятся стороны и отрезки в треугольнике, зная только два из них.
Получен достаточно неожиданный (по крайней мере для автора) результат:
если два отрезка в треугольнике в точке пересечения делятся в равном
отношении, то их точка пересечения лежит на медиане к третьей стороне, а
сами эти отрезки делят стороны, к которым они проведены также в равных
отношениях, считая от их общей вершины.
Тема: пересечение отрезков в треугольнике.

Посмотрите, Балаганов, что можно сделать из
обычной швейной машинки Зингера. Небольшое
приспособление и получилась прелестная
колхозная сноповязалка!
И. Ильф, Е. Петров "Золотой теленок"

Введение

В 2001 году для девятого класса ЗФТШ предлагалась следующая задача:
Даны два угла с пересекающимися сторонами и отношение, в котором точка
пересечения делит их внешние стороны. Найти отношение, в котором точки
пересечения делят две другие стороны.
Решение этой задачи не вызывает особых трудностей, однако обобщение и
анализ полученных решений приводят к некоторым интересным и неожиданным
результатам о свойствах отрезков в треугольнике.
Замечание: здесь и далее под словами «отрезок в треугольнике»
подразумевается отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной
стороной.

Часть I. Основная задача
Дано:
Два угла A1AC и B1BC, стороны BB1 и AA1 которых пересекаются в точке O.
Отношение, в котором точки пересечения делят внешние стороны углов, равны
соответственно АВ1:В1С=а:b и ВА1:А1С=с:d.

Найти ВО:ВО1 и АО:АО1


Решение

Проведём А1А2||ВВ1 и В1В2||АА1. По теореме Фалеса:

СВ1:В1А=СВ2:В2А1=b:a (1)

ВО:ОВ1=ВА1:А1В2 (2)

AC:AB1=CА1:А1В2 (3)

из (3) получаем А1В2=[pic]
следовательно (с учетом (1) и (2) и сокращая на коэффициенты
пропорциональности)
ВО:ОВ1=[pic]=[pic] (4).
С помощью аналогичных рассуждений получаем соотношение
АО:АО1=[pic]. (5)
Точно также решается задача и в случае, если заданы отношения для
внутренних сторон угла, а найти необходимо отношения для внешних сторон.
Приведенная задача достаточно красива, но какая-то незаконченная.
Попробуем провести отрезок AB и, соответственно, отрезок, соединяющий
вершину C с AB. Это и есть то небольшое приспособление, о котором идет речь
в эпиграфе.
Теперь перед нами давно знакомая картина: треугольник, а в нем три
отрезка, соединяющие вершины с противоположными сторонами.

Часть II. Отрезки в треугольнике.

Используем полученный нами результат для анализа некоторых конкретных
случаев.

Случай ?1.
Дано:
Через точку O взятую внутри треугольника ABC проведены отрезки AA1, BB1,
CC1, так, что
АВ1:В1С=а:b и ВА1:А1С=с:d.


Найти

СО:ОС1 и С1В:АС1


Решение

АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О, что даёт нам право применить
теорему Чевы: [pic]. Так как АВ1:В1С=а:b и ВА1:А1С=c:d, то: [pic]=1 (
[pic]=[pic]. (6)
Аналогично формуле (4):
[pic]=[pic]=[pic] (7)

Теперь проверим, только ли медианы делятся в отношении 2:1 считая от
вершины.
Случай ?2.
Дано:
Через точку О, взятую в треугольнике АВС, проведены отрезки АА1, ВВ1 и
СС1 так, что АО:ОА1=2:1=ВО:ОВ1, АВ1:В1С=а:b и ВА1:А1С=с:d.
Найти:
Являются ли АА1 и ВВ1 медианами.
Решение:
Введём некоторую переменную р такую, что p=[pic].
Воспользовавшись формулами (4) и (5):
[pic] (8).
Отсюда следует:
ac+bc-2ad=ac+ad-2bc=0 (умножив первое на ad, а второе на bc и перенеся
всё в левую часть), после приведения подобных, получим:
ad=bc([pic]р.
С учётом (8) получим:
[pic] ( АВ1=В1С и ВА1=А1С.
Значит АА1 и ВВ1 - медианы.
Вывод:
> Такое соотношение выполняется только для медиан, т.е. если отрезки в
треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то это
медианы.

В первом случае мы находили отношение, в котором делятся отрезки в
треугольнике, зная отношение, в котором делятся стороны точками А!!, В!! и
С!!. Теперь решим обратную задачу.
Случай ?3.
Дано:
АО:ОА1=m:n и ВО:ОВ1=k:l.

Найти:
АВ1:В1С, ВА1:А1С и АС!!:С!!В.


Решение:

Пусть АВ1:В1С=a:b=у и ВА1:А1С=c:d=х, тогда с учетом (4) и (5) получаем:
[pic]([pic]
выражая из первого уравнения [pic] и подставляя его во второе, получим:
[pic], откуда находим:
[pic], [pic].
Таким образом:
АВ!!:В!!С=[pic] (9)
ВА!!:А!!С=[pic] (10)
Для нахождения АС!!:С!!В, сначала, с учетом (7), найдем:
СО:ОС!!=[pic]= [pic] (11)
Откуда, проведя аналогичные выкладки, получим для стороны АВ:
АС!!:С!!В=[pic] (12)
Таким образом, зная отношения, в которых делятся два отрезка в
треугольнике по формулам (9), (10), (11) и (12), можно найти все остальные
отношения сторон и отрезков в треугольнике.

Наиболее интересные результаты, полученные в результате анализа решений
общих случаев, рассматриваются ниже.

Случай ?4.
Дано:
АО:ОА1=ВО:ОВ1

Найти:
АС!!:С!!В


Решение:

Обозначим АО:ОА1=ВО:ОВ1=t

Пусть х = АВ1:В1С=a:b, у = ВА1:А1С=c:d, тогда c учетом (4) и (5)
получим t=[pic][pic] и t=[pic][pic]
Выражая из первого уравнения [pic] и подставляя во второе, получим:
[pic], откуда
[pic]([pic]
Т.к. х>0 (отношение длин двух отрезков), то t>1. А это означает, что
АО>ОА!! и ВО>ОВ!!.
Подставляя значение х в [pic], получим
[pic]=[pic]=t-1=x
т.е. стороны делятся в одинаковом отношении,
отсюда, с учетом (6) получим:
[pic]
т.е. CC1 - медиана.
Выводы:
если два отрезка в треугольнике точкой пересечения делятся в одинаковом
отношении, то:
> точка пересечения лежит на медиане к третьей стороне
> части делящихся отрезков, прилежащие к соответствующим вершинам,
больше оставшихся частей
> стороны, к которым проведены отрезки, также делятся этими отрезками
в одинаковом отношении, считая от их общей вершины.