Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=85 Дата изменения: Fri May 5 15:26:17 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:25:30 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п

Министерство образования и науки Украины
ФТЛ при ХГТУ и ДНУ


Научно-исследоваельская робота
по математике



"Некоторые примеры применения барицентрических методов в геометрии, и
вычислительной математике."













Виполнил: ученик 11-А класу
Тропин Кирилл Константинович

Руководитель: Николаенко Ю. И.



Херсон 2002 г.

Введение

В данной работе рассмотрено, как введенное в физике понятие центра
масс (барицентр) может быть использовано в некоторых разделах математики.
Родоначальником метода был древнегреческий мыслитель Архимед, который этим
методом доказал свойства медиан треугольника. В работе предложен ряд задач
из геометрии, которые эффективно решаются с помощью барицентрического
метода.
В 1827 году немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус ввёл понятие
барицентрических координат, с помощью которых он сумел изложить проективную
геометрию. В данной работе барицентрические координаты используются для
решения задачи линейной интерполяции функции двух переменных.
В последние десятилетия барицентрические методы стали использоваться
и в вычислительной математике, традициональные сеточные методы решения
краевых задач математической физике часто требуют неоправданно большого
количества вычислений, ибо этими методами вычисления должны быть выполнены
во всех узлах сетки. Поэтому важно указать метод приближённого вычисления
искомой функции в отдельно взятой точке области определения. Для решения
этой проблемы можно использовать барицентрический метод. Появились работы,
в которых барицентрическое усреднение производится по трем точкам, взятым
на границе области (трех маршрутная схема). В данной работе предлагается
применение чет?рех маршрутной и восьми маршрутной схемы. Ожидается, что ?то
приведёт к повышению точности вычислений при незначительном увеличении
объёма вычислений.




Математическое определение и свойства центра тяжести материальных точек.


Основные теоремы.

Договоримся символом mA обозначать то, что в точке А сосредоточена масса
m.
Введем понятие центра масс системы материальных точек

Определение 1

Центр масс ( или барицентр ) системы материальных точек
m1A1, m2A2, m3A3., mnAn
(1)
это точка Z, для которой справедливо равенство :

[pic]


Теорема 1


А) Если точка Z есть центр масс системы материальных точек (1) то
при любом выборе в пространстве точки 0 имеем равенство:
[pic] (2)


Б) Если хотя - бы при одном выборе в пространстве точки 0
справедливо равенство (2) то точка Z - центр масс сbсемы.

Доказательство :
А) Из определения 1 имеем


Или
[pic]

или преобразуя эти выражения, получаем
[pic]

Откуда при ненулевой массе системы получаем формулу (2)

Б) Доказательство проводится в порядке, обратном доказательству
утверждения А


Следствие 1

Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек (1)
имеет однозначно определенный центр масс

Теорема 2
Центр масс двух материальных расположен на отрезке, соединяющем эти
точки, его положение определяется правилом рычага :


Доказательство

Из определения 1: m2A2
[pic] (m1+m2)Z
откуда
[pic] m1A1
ЧТД

Теорема 3

Пусть в системе материальных точек (1) С - центр масс подсистемы m1A1,
m2A2, m3A3., mKAK. Если массу подсистемы сосредоточить в С , то от этого
положение центра масс не изменится, т.е. система

(m1+m2+.+mN)С , m1A1, m2A2, m3A3., mnAn

имеет тот же центр масс.

Доказательство

По теореме 1 для центра масс системы (1) Z , и системы
материальных точек m1A1, m2A2, m3A3., mnAn и их центра масс имеем

[pic] (3)

По определению 1 центр масс системы
(m1+m2+.+mN)С, m1A1, m2A2, m3A3., mnAn удовлетворяет

[pic] (4)

Подставляя выражение (3) в выражение (4) получаем, что Z1 совладает с Z,
т.е. центр масс полученной при замене подсистемы на ее центр масс
совпадает с барицентром начальной системы материальных точек (1).
ЧТД.



Отрицательные массы

Определение центра масс системы материальных точек можно
распространить и на тот случай, когда некоторые массы материальных точек
могут быть отрицательными.
При этом нужно только потребовать, что бы сумма масс материальных
точек системы была отлична от нуля.
При этом формулировки теорем 1 и 3 не изменяются, а теорема 2
переформулируется в следующем виде:
Теорема 2ґ
Центр масс двух материальных точек расположен на прямой, проходящей
через обе эти точки, причём, если m1 и m2 одного знака то центр масс
принадлежит отрезку соединяющему эти две точки. В противном случае
барицентр лежит за пределами отрезка на прямой, содержащей этот отрезок.
Причём правило рычага остаётся справедливым.



Барицентрические координаты и их свойства

Выберем произвольную точку M и A1, A2, A3 (рис. 1). Можно найти
такие массы m1, m2, m3, при нагружении ими соответственно точек A1, A2, A3
этими
A2 массами центр масс системы
m2A2, m3 A3, будет
находится в
точке M. Понятно, что числа
m1, m2, m3,
неоднозначны,
ћM поскольку числа km1, km2,
km3, тоже будут
удовлетворять
A3 этому условию. Поэтому
условились их
выбирать так,
чтобы их сумма была равна
A1
единице.

?1 + ?2 + ?3 = 1 (5)

где ?1 = km1, ?2 = km2, ?3 = km3, k = 1/(m1 + m2 + m3).
То есть для любой точки M существуют такие числа ?1 , ?2 , ?3
причём они удовлетворяют условию (5), и центр масс системы ?1A1, ?2A2, ?3A3
- данная точка M.
Числа ?1 , ?2 , ?3 называют барицентрическими координатами точки M
относительно базисного треугольника ? A1A2A3.
Тогда записанные выше теоремы приобретают иной вид:

M = ?1A1 + ?2A2 + ?3A3 (6)

[pic]

Очень важными являются следующие две теоремы, показывающие
однозначность определения чисел ?1 , ?2 , ?3, а так же расчётные
возможности.
Теорема 4
Существуют однозначно определённые числа ?1 , ?2 , ?3, причём они
удовлетворяются условиям (5) и (6).
Доказательство
Так как M - центр тяжести, то для любого O выполняется равенство (2).
Положим, что точка O совпадает с точкой A3, тогда из равенства (2)
получаем:
> > >
MA3 = ?1A3A1 + ?2A3A2, где ?1 и ?2 - однозначные координаты разложения
вектора по 2 не коллинеарным векторам.


A2


M


A3

A1


Теорема 5
Пусть ?1 , ?2 , ?3 - барицентрические координаты точки P. Тогда ?1 = S1/S,
?2 = S2/S, ?3 = S3/S.

A2








S3 S1


P

S2
A1
A3


.................................



Применение барицентрических методов в геометрии

Решим несколько задач по геометрии с применением барицентрических
методов.


Задача 1

Дан треугольник ABC, на его сторонах AB и BC выбраны соответственно
точки M и N, так, что AM:MB=3:1 и BN:NC =2:3.Найти в каком отношении
делятся точкой пересечения отрезки CM и AN.



B

M
N
О


A C


Нагрузим точки A,B,C, массами таким образом, чтобы центр масс точек A и B
находился в точке M, а точек B и C в точке N.Если в точку A поместить массу
1, то по правилу рычага в точку B следует поместить массу 3. Ну а теперь,
для того, чтобы центр масс точек B и C находился в точке N, согласно
правилу рычага в точку C нужно поместить массу 2.
Учитывая, что центр масс всей системы можно находить последовательно,
то есть центр масс системы (AB)C совпадает с центром масс системы (BC)A,
получаем: центр масс системы MC ( (AB)C ) лежит на отрезке MC и делит
его в отношении 2:1 (так как масса в точке М равна 1+3=4). А центр масс
системы NA лежит на отрезке NA и делит его в отношении 5:1(так как масса в
точке N равна 2+3=5).
Значит MO:OC=1:2, а AO:ON=5:1.




Задача 2

Дан треугольник ABC, на его сторонах AB, BC и AC выбраны
соответственно точки M, N и K так, что AM:MB=5:1, BN:NC =5:1 и
AK:KC=3:1.Найти в каком отношении делятся точкой пересечения отрезки MN и
BK.


B

M
O

N

A K C


Нагрузим точки A,B,C, массами таким образом, чтобы центр масс точек A
и B находился в точке M, точек B и C в точке N, а точек A и C в точке K.
Если в точку A поместить массу 1, то по правилу рычага в точку B следует
поместить массу 3, а в точку C следует поместить массу 3. Со стороны
системы BC в точке B должна находится масса 0,6. Так как массы, находящиеся
в одной точке, можно складывать и разделять - то обозначим массу 5 - B1,а
массу 0,6 - B2.
Учитывая, что центр масс всей системы можно находить последовательно,
то есть центр масс системы (AB1)(B2C) совпадает с центром масс системы
(B1B2)(AC), получаем: центр масс системы MN ( (AB1)(B2C )) лежит на отрезке
MN и делит его в отношении 5:3 (так как масса в точке М равна 1+5=6, а в
точке N равна 3+0,6=3,6). А центр масс системы BK лежит на отрезке NA и
делит его в отношении 5:1(так как масса в точке K равна 1+3=4, а в точке B
равна 5+0,6=5,6).
Значит MO:ON=5:3, а BO:OK=5:7.




Задача 3

Дан треугольник ABC, на его сторонах AB, BC и AC выбраны
соответственно точки M, N и K так, что BA:BM=3:4, BN:NC =2:1 и
AK:KC=1:1.Найти в каком отношении делятся точкой пересечения отрезки MN и
BK.



B

M

N
O

A C

M

Нагрузим точки A,B,C, массами таким образом, чтобы центр масс точек A
и B находился в точке M, точек B и C в точке N, а точек A и C в точке K.
Если в точку A поместить массу 1, то по правилу рычага в точку B следует
поместить массу -ј, а в точку C следует поместить массу 1. Со стороны
системы BC в точке B должна находится масса Ѕ. Так как массы, находящиеся в
одной точке, можно складывать и разделять - то обозначим массу -ј - B1,а
массу Ѕ- B2.

Учитывая, что центр масс всей системы можно находить последовательно,
то есть центр масс системы (AB1)(B2C) совпадает с центром масс системы
(B1B2)(AC), получаем: центр масс системы MN ( (AB1)(B2C )) лежит на отрезке
MN и делит его в отношении 2:1 (так как масса в точке М равна 1-ј =ѕ, а в
точке N равна 1+Ѕ=1,5). А центр масс системы BK лежит на отрезке NA и
делит его в отношении 8:1(так как масса в точке K равна 1+1=2, а в точке B
равна -ј + Ѕ = ј ) .
Значит MO:ON=2:1, а BO:OK=8:1.






Постановка задачи Дирихле. Метод сеток. Процесс Либмана

При исследовании стационарных процессов различной физической природы
часто приходится решать задачу Дирихле для уравнения Лапласа
?ќU/?xќ+?ќU/?yќ=0 или ?U=0. Задача ставится так:
y


Г
G
ћ P

x
Рис.1

На контуре Г, ограничивающем область G, задана непрерывная функция [pic].
Требуется найти функцию U(P)=U(x,y), удовлетворяющую внутри G уравнению
Лапласа и принимающую на границе заданные значения ?(P), то есть должны
быть выполнены условия:
?ќU/?xќ+?ќU/?yќ=0 при P ? G;
(7)
[pic]при P ? Г.

y h


Gh




Рис.2 x
Для численного решения задачи Дирихле на ЭВМ область G заменяют
сеточной областью Gh, состоящей из одинаковых ячеек, а уравнение Лапласа
заменяют конечно-разностным. Для этого выбирается шаг h >0 и производные
?ќU/?xќ, ?ќU/?yќ заменяют конечными разностями по формулам

?ќU/?xќ—(U(x + h, y) - 2U(x, y) + U(x - h, y))/hќ
?ќU/?yќ—(U(x, y + h) - 2U(x, y) + U(x, y - h))/hќ

При этом уравнение (7) приводится к виду


U(x, y)=ј[ U(x+h, y) + U(x-h, y) + U(x, y+h) + U(x, y-h)]


Значение искомой функции U = U( x, y ) в узлах сеточной области (xi, yi)
обозначил через Uij = U(xi, yi). Тогда уравнение (7), для каждой внутренней
точки (xi, yi)области Gh принимает вид


U(xi, yj)=ј( Ui+1, j + Ui-1, j + Ui, j+1 + Ui, j-1 )
(8)


Значение функции Uij в граничных узлах считаем известными.
Система (8) есть неоднородная система линейных уравнений, причем число
неизвестных (то есть, число внутренних узлов сетки ) равно числу уравнений.
Система (8) всегда совместна и имеет единственное решение. Но если число
узлов сетки Gh велико, то непосредственное решение системы (8) весьма
затруднительно. Альтернативой решения системы линейных уравнений (8)
является итерационный процесс усреднения Либмана. Он заключается в
следующем: выбрав начальное приближение U0 ij, последовательные приближения
Uij для внутренних узлов (xi ,yi) сетки Gh опредиляем по формуле:

U(К) i,j=ј( U(K-1) i+1, j + U(K-1) i-1, j + U(K-1) i, j+1 + U(K-1) i, j-1 )

Процесс счёта обычно производится по строкам или по столбцам. После
нескольких итераций процесс сходится к приближённому значению. Скорость
сходимости этого процесса невелика, но его алгоритмическая реализация
значительно проще, чем при решении системы линейных уравнений (7).
Оба рассмотренных метода приближённого решения задачи Дирихле требуют
вычисления значений функции U(x,y) во всех узловых точках. Во многих же
практических расчётах бывает достаточно найти решение задачи Дирихле только
в одной, конкретной, точке. Тогда все затраты машинного времени на
вычисление значений функции в других узлах является непроизводительным.
Поэтому актуальным является поиск алгоритмов, позволяющих находить решение
задачи Дирихле в отдельных точках области и не требующие избыточного объёма
вычислений.



Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло
Рассмотрим частицу, которая совершает равномерное случайное блуждание
по узлам сетки Gh.
Обозначим через P( i, j; p, q ) вероятность того, что траектория частици,
вышедшей из узла (i, j) закончится в граничной точке (p, q).
При этом очевидно:

[pic]
(9)


Составим сумму



[pic] (10)


где [pic] - значения искомой функции в граничных узлах.
Сумму (8) можно интерполировать как математическое ожидание функции [pic]
для траекторий, начинающихся в точке ( i, j ).
Поскольку частица с вероятностью ј может перейти в соседний узел, то
по формуле полной вероятности имеем:

P( i, j ) = јP( i+1, j; p, q) + јP( i-1, j; p, q ) + јP( i, j+1; p, q )
+ јP( i, j-1; p, q ) (9)

Отсюда, умножая обе части равенства (3) на граничные значения [pic] и
суммируя по всем возможным значениям p и q, учитывая формулу (2) , получим

v i,j=ј( v i+1, j + v i-1, j + v i, j+1 + v i, j-1 ) (12)

Кроме того, [pic] .
Сравнивая формулы (10) и (8), видим, что искомое неизвестное v? в
задаче Дирихле можно рассматривать как математические ожидания v?.
Величины v? допускают экспериментальное определение, но это требует
больших затрат машинного времени.





Вероятностная интерпретация барицентрического метода

Рассмотрим точку, которая совершает равномерное случайное блуждание
по отрезку, начиная с точки O, и заканчивает блуждание на одном из концов
отрезка. Найдём вероятность попадания точки в концы этого отрезка.




a O
b




При a = b из соображений симметрии имеем Pa = Pb = Ѕ

O

Что совпадает с положением центра масс двух одинаковых тел.

Если a : b = 3 : 1

A C O B




Так как OC = OB то, как отмечалось раньше вероятность попасть точке из O в
C и в B равна Ѕ. Вероятность из точки C попасть в точку A, и вероятность
попасть точку B равна Ѕ*Ѕ = ј; следовательно, суммарная вероятность попасть
в точку B равна ѕ, а в точку A равна ј, то есть Pa : Pb = 1 : 3. А это
соответствует положению центра масс системы из двух тел массы которых
относятся как 1 : 3.
Предположим, что вероятность попасть из точки O в точку A
определяется по формуле:

PA = b/AB , соответственно

PB = a/AB.

Доказательство проведём методом математической индукции по количеству узлов
деления отрезка AB, причём на каждом этапе новый узел выбираем посредине
между узлами предидущего шага.
Мы уже показали, что для одного и трёх узлов формула справедлива.
Предположим, что она справедлива для 2n-1 узла, то есть при расстоянии
между узлами AB/2n. Покажем, что формула справедлива для 4n-1 узлов.

A A1 A2 B1
B



a1 h b1

h=AB/2n.

По предположению индукции

PA(B1) = b1/AB , PA(A1) = (b1)/AB .

Рассмотрим случайное блуждание точки из точки A2. По теоремам сложения и
умножения вероятностей получаем:
P(A2) = ЅP(A1) + ЅP(B1) = ( b1+h/2 )/AB, что соответствует индуктивному
предположению. То есть, наше предположение верно для любых n. Увеличивая n,
мы можем фиксировать начальную точку с любой степенью точности, и для неё
будет справедливы тождества:
PA = b/AB, PB = a/AB.
Итак мы показали, что при случайном блуждании точки на отрезке AB её
вероятности попадания в концы отрезка соответствует правилу рычага, у
которого точка опоры находится в начальной точке блуждания.



Приближённое решение задачи Дирихле методом барицентрического усреднения

Решение задачи Дирихле, как методом сеток, так и методом Монте-Карло,
показывает, что значение искомой функции в каждом узле есть среднее
арифметическое значений функции в четырёх ближайших узлах, которое можно
рассматривать как локальное барицентрическое среднее. Это дает основание
предположить, что приближенное решение задачи Дирихле в некоторой
внутренней точке области можно получить в виде барицентрического среднего
граничных значений.
U4

x4

U1 x1 U
x2 U2




U3 x3

Рис. 1

В случае прямоугольной области усреднение естественно производить вдоль
направлений, параллельных границе. При этом можно предложить несколько
схем усреднения.
Вдоль каждого из двух перпендикулярных направлений усреднение выполняем по
правилу рычага. А вот вклад каждого направления можно рассчитывать с
определенным весом. Мы рассмотрим две схемы усреднения:
вертикальное и горизонтальное направление учитывается с одинаковым весом;
вклад точек по обоим направлениям рассчитывается по правилу рычага в
совокупности. Это дает следующие расчетные формулы:

[pic] (13)

или

[pic] (13)

[pic], где [pic] (14)


Заметим, что в отличие от метода сеток и процедуры Либмана, вычисление
значения функции в данной точке не требует вычисления значения функции в
соседних узлах, но используется только известные значения функции на
границе.
Для повышения точности барицентрического усреднения можно сначала вычислить
барицентрические средние в четырех ближайших узлах, а потом уже к ним
применить схему барицентрического усреднения, что соответствует на втором
этапе (применению процедуры Либмана) выполнению итерации по Либману.


ћU3

ћU1 ћU ћU2

ћU4

Рис. 2

Если нам необходимо выполнить расчет с высокой точностью, то
барицентрические средние можно использовать в качестве исходных значений в
процедуре Либмана.




Вычисление стационарного распределения температуры в квадратной пластине

В качестве контрольного примера рассмотрим задачу, приведенную в книге <*>.

Требуется найти стационарное распределение температуры в квадратной
пластине, для которой заданы следующие граничные условия:
T( 0, y ) = 0, T( 1, y ) = 100, T( x, 0 ) = 100x, T( x, 1 ) = 100xќ.

y


1
T=0
6.25 25.0
56.25 T=100



T=0 7 8
9 T=100



T=0 4 5
6 T=100



T=0 1 2
3 T=100


25 50
75 T=100
T=0 1 x
Рис. 1

Распределение температуры внутри области есть решение задачи Дирихле для
уравнения Лапласа:

?ќT/?xќ+?ќT/?yќ=0

Вводим на пластине двумерную сетку с расстоянием между узлами h =
0.25. Сетка состоит из 25 узлов, в 16 из которых значение температуры
известно. Требуется определить температуру в 9 внутренних узлах. В книге
Т. ШУП. "Решение инженерных задач на ЭВМ". Москва 1982 г.

> приведено точное решение задачи с помощью процедуры Либмана.
В данной работе температура в 9-ти внутренних точках с помощью
барицентрического усреднения по формулам (13) и (14).
Последующее уточнение результатов вычислений выполняется с помощью
барицентрического усреднения по четырём ближайшим узлам. Подученные
результаты приведены в таблице:



|Точное решение |1-е приближение |2-е приближение | |
| | |Ср. по |Ср. с |Ср. по |Ср. с |
| | |совокупнос|равным |совокуп|равным |
| | |ти |весом по |ности |весом по|
| | | |осям | |осям |
|T1 |23,493 |22,656 |22,656 |23,103 |23,047 |
|T2 |47,879 |46,429 |46,875 |47,266 |47.266 |
|T3 |73,493 |72,656 |72,656 |73,103 |73,047 |
|T4 |21,094 |20,982 |20,313 |21,094 |21.094 |
|T5 |44,531 |43,75 |43,75 |44,42 |44.532 |
|T6 |71,094 |70,982 |70,313 |71,094 |71.094 |
|T7 |16,35 |17.969 |17.969 |16,629 |16,797 |
|T8 |38,058 |39,286 |40,625 |38,672 |38,672 |
|T9 |66,35 |67,969 |67,969 |66,629 |66,797 |
|ср. |0 |2,86% |2,50% |0,83% |0,98% |
|погрешност| | | | | |
|ь | | | | | |
|макс. |0 |9,90% |9,90% |1,71% |1,9% |
|Погрешност| | | | | |
|ь | | | | | |


Табл. 1

Из таблицы видно, что уже на первом этапе барицентрического усреднения
погрешность результатов вычислений не превышает 10%. Следует также
отметить, что в 3-х из 4-х случаев результаты вычислений по формуле (**)
оказались точнее, остальные значения температуры совпали. При повторном
барицентрическом усреднении использование формулы привело к тому, что
результаты оказались точнее в 4-х из 5-ти случаев. Это дает основание
утверждать, что барицентрическое усреднение по совокупности дает, в целом,
более точные результаты. Поэтому в последующих расчетах мы будем
использовать именно этот тип барицентрического усреднения.
Достаточно высокая точность результатов при барицентрическом
усреднении по всего лишь четырем граничным значениям, скорее всего,
связано с тем, что температура на границе применялась достаточно плавно.
Кроме того, направление осей барицентрического усреднения соответствовало
симметрии (форме) границы области.






Список использованной литературы

Н. Б. Балк, В.Г. Болтянский. "Геометрия масс". Москва, 1987 г.

.
Б.П. Демидович, И. А. Марон, Э.З. Шувалова. "Численные методы анализа".
Москва 1967.

.
Т. ШУП. "Решение инженерных задач на ЭВМ". Москва 1982 г.

.
Г. Н. Воробьёва, А. Н. Данилова. "Практикум по вычислительной математике".
Москва 1990.

-----------------------
[pic]