Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=71 Дата изменения: Fri May 5 15:26:08 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:30:55 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: р р ререс р р р р рер

Введение

Всеобщая компьютеризация всех областей знания, появление
быстродействующих программно-управляемых машин, совершенствование искусства
программирования, изучение космического пространства - все это потребовало
глубокого и целенаправленного изучения особенностей различных позиционных
систем счисления. Перед математиками, программистами и конструкторами
вычислительных машин в середине двадцатого века встала задача, отыскания
таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям программирования и
удовлетворяли бы запросам, идущим от разработчиков новых вычислительных
устройств. Результаты исследований в этом направлении имеют важное значение
и на сегодняшний день.
В настоящее время для хранения и обработки данных в ЭВМ используется
двоичная система счисления, так как она требует наименьшего количества
аппаратуры по сравнению с другими системами, и считается, что в ней очень
просто выполняются арифметические и логические операции над числами. Тем не
менее, имеются упоминания (Касаткин В.Н.), позволяющие выполнять названные
операции еще проще. Речь идет о нега-позиционных системах счисления, а,
прежде всего, о нега-двоичной системе счисления. Преимуществом
рассматриваемой нега-двоичной системы счисления является отсутствие в ней
«отрицательных» чисел в своей записи, что позволяет значительно упростить
вычисления, а, значит, машинную арифметику.
С другой стороны, общепринятая арифметика, реализуемая в ЭВМ, чаще
всего использует действительное число, реже - расширение его - комплексное
число, вытекающее из-за неудобства его форм записи. Как известно,
комплексное число А представляют в двух формах: двучленной - А=a+bi, либо
тригонометрической - A=r*(cos(+i*sin(). Действия над комплексными числами
выполняются по алгоритмам, значительно отличающихся от алгоритмов
арифметических операций над действительными числами. При сложении и
вычитании, например, операция расчленяется и выполняется поразрядно над
коэффициентами мнимой и действительной части. Правила умножения и деления
еще более сложны. Возникает задача отыскания нетрадиционных систем
счисления, позволяющих упрощать алгоритмы для арифметических действий над
комплексными числами.
Таким образом, имеет место проблема арифметики нетрадиционных систем
счисления, позволяющих с одной стороны - упростить, и с другой - расширить
возможности машинной арифметики.
Проблема определяет цель исследования: создание арифметики и правил
перевода чисел из десятичной системы счисления в нетрадиционные и обратно,
на примере нега-двоичной и мнимо-четверичной систем счисления.
Проблема и цель исследования обусловили достижение следующих
задач: изучение и анализ соответствующей научной литературы, способствующей
раскрытию темы исследования; описать правила выполнения арифметических
операций; установить связи с другими системами счисления; создать примеры,
позволяющие наглядно демонстрировать арифметику нега-двоичной и мнимо-
четверичной систем счисления; создать программ для перевода чисел из
десятичной системы счисления в нетрадиционные; определить перспективные
направления дальнейшего исследования.
Данная работа состоит из введения, двух параграфов, заключения,
списка литературы и приложений. Во введении обоснована актуальность цели
исследования. В первом параграфе подчеркнуты преимущества нега-двоичной
системы счисления, описаны правила перевода, арифметические операции в
данной системе счисления. Во втором параграфе рассмотрена мнимо-четверичная
система счисления, связь между мнимо-четверичной и нега-четверичной
системами счисления, правила перевода в десятичную систему счисления и
обратно, описана зависимость между знаком числа и его видом, арифметические
действия, приведена задача об изменении знака числа. В заключении
сформулированы основные выводы и результаты. В приложениях представлены
программы для перевода чисел из десятичной системы счисления в
нетрадиционные на языке программирования Borland Pascal.


1. Нега-двоичная система счисления


1.1. Правила перевода


Для начала рассмотрим перевод из десятичной системы счисления в
двоичную в ЭВМ. Перевод положительных чисел не составляет большого труда, в
его основании лежит деление чисел с остатком на 2.

Алгоритм перевода отрицательных чисел:
1. Модуль данного отрицательного числа (числа со знаком) переведем в
двоичную систему счисления.
2. Дополним полученное число слева нулями до нужной размерности - байта,
слова и т.д.
3. Получим двоичное дополнение. Для этого нужно инвертировать все разряды
двоичного числа.
4. Прибавим единицу. Получим результат.
Приведем пример. Рассмотрим десятичное число -185(10). Модуль данного
числа в двоичном представлении равен 10111001(2). Дополним его нулями слева
в нашем случае до слова (т.к. диапазон представления знаковых чисел в байте
составляет -128...127).Теперь инвертируем все разряды:
0000000010111001(2)(1111111101000110(2)
Прибавим единицу:
1111111101000110(2)+0000000000000001(2)= 1111111101000111(2)
Результат преобразования равен 1111111101000111(2) . Именно так и
представляется число -185(10) в компьютере.
Теперь рассмотрим перевод из десятичной системы счисления в нега-
двоичную и сразу заметим преимущество нега-двоичной системы счисления.

Система счисления с основанием g=-2 называется нега-двоичной. Формула
целого числа m в этой системе счисления имеет вид:
m=an*(-2)n+an-1*(-2)n-1+.+a1*(-2)+a0
(*) где ai=0(1 - цифры данной
системы.

Правило 1: Чтобы перевести нега-двоичное число в десятичную систему
счисления, необходимо представить это число в систематической форме (*) и
выполнить указанные в этой форме действия в десятичной системе счисления.
Полученное число будет являться десятичной записью данного числа.

Правило 2: Цифрами a0, a1,., an числа m в нега-двоичной системе
счисления являются остатки, полученные при последовательном делении числа
m(10) на (-2)(10) .

Нега-двоичное число, записанное четным количеством цифр, является
отрицательным числом в десятичной системе счисления, а нега-двоичное число,
записанное нечетным количеством цифр, является положительным числом в
десятичной системе счисления.
Легко также различать четные и нечетные числа, записанные в нега-
двоичной системе счисления. Так если на месте последней цифры стоит
единица, то число нечетное, а если нуль, то число четное.
Переводя некоторые нега-двоичные числа в десятичную систему счисления
и обратно, мы заметили интересный факт:
|-2(10)=10(-2|-4(10)=1100(|-6(10)=1110(|.|-20(10)=1111-20|
|) |-2) |-2) | |(10)=111100(-2)|
|1(10)=1(-2) |2(10)=110(-2|3(10)=111(-2|.|10(10)=11110(-2|
| |) |) | |) |


То есть четные отрицательные числа в своей нега-двоичной записи отличаются
от соответствующих им натуральных чисел на один нуль. Исходя из этого,
можно сформулировать правила перевода отрицательных десятичных чисел в нега-
двоичную систему счисления.

Правило 1': Если отрицательное число в десятичной системе счисления
четное, то его запись в нега-двоичной системе счисления представляет собой
уменьшенного вдвое модуля этого числа с приписанным справа нулем.
Доказательство правила 1':

|B(10)|-bkbk-1.b1b0 |-четное отрицательное число в десятичной |
|= |(10) |системе |


счисления. Переведем его в нега-двоичную систему по правилу 2:
|B(-2)|-anan-1.a1a0 |
|= |(-2) |


Убрав справа нуль у числа B(-2), мы тем самым разделим его на 10(-2). А мы
знаем, что 10(-2)=-2(10). Значит B(10) мы должны разделить на (-2).
Следовательно, запись числа B(10) совпадает с записью числа B(10)/(-2) с
приписанным справа нулем.
Пример 1:
Перевести число -36(10) в нега-двоичную систему счисления.
Решение: |-36(10)|/2=18(10) . Найдем по таблице (см. приложение 1) перевод
числа 18(10) : 18(10)=10110(-2)
-36(10)=101100(-2)

Правило 2': Если отрицательное число нечетное в десятичной системе
счисления, то его представляют в виде суммы отрицательного числа (четного)
и единицы. Затем переводят четное отрицательное число по правилу 1' после
чего заменяют последнюю цифру числа на единицу.
Доказательство правила 2' мы приводить не будем, т.к. оно аналогично
доказательству правила 1'.
Пример 2: Перевести число -35(10) в нега-двоичную систему счисления.
Решение: -35(10)=-36(10)+1
-36(10)=101100(-2) (см. пример 1)
-35(10)= 1011001(-2)
Правила 1' и 2' показывает правила перевода десятичных чисел меньших
нуля в нега-двоичную систему счисления, сводя этот перевод к переводу
положительных чисел из десятичной системы счисления, который в свою очередь
тоже можно упростить.
Пример 3:
Переведите число 137(10) в нега-двоичную систему счисления.
Решение: Можно перевести это число по правилу 2, то есть делить число
137(10) на (-2) с остатком до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Но
этот способ перевода очень громоздкий.
Мы знаем, что 16(10)=10000(-2).
Представим число 137(10) в виде: 137(10)=16*18+9
Из таблицы 8(10)=11000(-2) и 9(10)=11001(-2)
137(10)=1100(-2)* 10000(-2)+11001(-2)=110011001(-2)
Из данного примера можно сделать вывод о том, что для перевода любого
(!) целого числа из десятичной системы счисления в нега-двоичную можно
использовать таблицу перевода чисел от 1(10) до 16(10), а также правила
сложения и умножения чисел в нега-двоичной системе счисления.


1.2. Арифметические операции над нега-двоичными числами


Сложение в нега-двоичной системе счисления операция чрезвычайно
простая. Для того чтобы сложить два однозначных числа, необходимо знать:

|+ |0 |1 |
|0 |0 |1 |
|1 |1 |110|

Сложение многозначных чисел сводится к сложению одноцифровых чисел по
разрядам.
Пример1
Найти сумму чисел 111(-2) и 11111(-2) в нега-двоичной системе счисления.
Решение:
|0 |0 |0 |
|1 |0 |1 |


Пример 2:
Найти произведение чисел 10101(-2) и 11011(-2) в нега-двоичной системе
счисления.
Решение:



Возможны два варианта:

1. вычитаемое записано четным количеством цифр (n=2k+1).
| |bkbk-1.b1b0 | |bkbk-1.b1b0 (-2)| |
| |(-2) |( + | | |
| |anan-1.a1a0 | |anan-1.a1a0 (-2)| |
|--|(-2) | | | |
| | | |anan-1.a1a0 (-2)|(1) |
| | | |Если a0=0, то | |
| | | |0(-2), | |
| | | |Если a0=1, то | |
| | | |11(-2) | |


Данные выражения равносильны.

2. вычитаемое записано нечетным количеством цифр (n=2k)


| |bkbk-1.b1b0 | |bkbk-1.b1b0 | |
| |(-2) |( |(-2) | |
| | |+ | | |
| |anan-1.a1a0 | |anan-1.a00 |(2) |
|-- |(-2) | |(-2) | |
| | | | an.a1a0 | |
| | | |(-2) | |


Вычитание можно также проводить «столбиком», но этот способ более
усложнен из-за подсчета единиц переноса.

Пример 3:
Найти разность чисел 11001011(-2) и 1110111(-2) в нега-двоичной системе
счисления.
Решение: Уменьшаемое записано четным количеством цифр (что в принципе не
важно), а вычитаемое - нечетным. Значит, применяем формулу 2.
|11001011(-2) |
|+ |
|11101110(-2) |
|1110111(-2) |
|10000100(-2) |


Переводя слагаемые и сумму в десятичную систему счисления, получим:
-73(10)-51(10)=-124(10).
Пример 4:
Найти разность чисел 1110111(-2) и 11110011(-2) в нега-двоичной системе
счисления.
Решение: Так как вычитаемое записано четным количеством цифр, применяем
формулу (1)
|1110111(-2) |
|1111001(-2) |
|+ |
|1111001(-2) |
|11(-2) |
|110000100(-2|
|) |


Таким образом, мы рассмотрели операции умножения, сложения и
вычитания. Остается вопрос о том, как выполняется операция деления.
Попробуем некоторые нега-двоичные числа поделить друг на друга.

|-11100(|110(-2|
|-2) |) |
| 110 |1011(-|
| |2) |
|- 100| |
| 110| |
| | |
|-110 | |
| | |
|110 | |
| | |
|0 | |


А теперь проверим полученный результат: 11100(-2)=12(10);
110(-2)=2(10); 1011(-2)=-9(10). Из этого примера видно, что привычное
деление «уголком» в нега-двоичной системе недопустимо. Попробуем предложить
несколько необычный способ деления, который позволяет, если это возможно,
разделить нацело одно нега-двоичное число на другое.
Пусть нам даны некоторые числа

|A(-2)|anan-1.a1a0 | и |B(-2)|bmbm-1.b1b0 |
|= |(-2) | |= |(-2) |


Произведем деление уголком начиная с последних разрядов числа A(-2), и
если оно делится на число B(-2) в десятичной системе счисления, то оно
будет делиться без остатка и в нега-двоичной системе счисления.
Пример 5:
Разделить число 10110(-2) на число 111(-2) в нега-двоичной системе
счисления.
Решение:


|-10110 |111 |
|000 |11010|
| - | |
|111 | |
| 000| |
|- 111 | |
| | |
|111 | |
|010110 | |



Так как a0=0, а b0=1, то c0=0

|B(-2)|bmbm-1.b1b0 |- частное |
|= |(-2) | |


Так как a1=1, b0=0, то c1=1. Так рассуждаем, пока не получим все
частное.

В качестве примера мы рассмотрели частный случай, когда каждая цифра
частного выражается однозначно, причем видно, что если последняя цифра
частного определяется однозначно, то все последующие цифры частного будут
тоже выражены однозначно.

Вообще говоря, последняя цифра частного зависит только от последних
чисел делимого и делителя. Возможны четыре варианта комбинаций последних
цифр делимого и делителя.

| |a0|b0|c0 | |
|1)|1 |1 |1 |(последняя цифра частного выражена однозначно |
|2)|1 |0 |- |(деление без остатка невозможно (четность |
| | | | |нарушается) |
|3)|0 |1 |0 |(последняя цифра частного выражена однозначно |
|4)|0 |0 |1 или0|(получена неоднозначность |



Таким образом, с 1), 2), 3)-им случаями все ясно. В 4)-ом случае нам
необходимо каким-то образом избавиться от неоднозначности. Для этого просто
необходимо зачеркивать у делимого и делителя справа нули, пока не получим
1), 2) или 3)-ий случай. Действительно, зачеркнув справа нуль, мы тем самым
делим делитель и делимое на 10(-2), тем самым не изменяется частного, т.к.
если мы переведем делимое и делитель до деления на 10(-2) и после, то мы
получим в десятичной системе пары чисел, отличающиеся друг от друга в (-
2)(10) раза. В десятичной системе счисления частные первой и второй пары
чисел будут равны и в нега-двоичной системе счисления.

Таким образом, в нега-двоичной системе счисления мы получили все
арифметические операции, причем вычитание и деление нега-двоичных чисел в
нега-двоичной системе счисления выражаются через операции сложения и
умножения.

















































2. Мнимо-четверичная система счисления


2.1. Связь между мнимо-четверичной и нега-четверичной системами счисления


Система счисления с основанием g=2i называется мнимо-четверичной
системой счисления. Формула числа m в этой системе счисления имеет вид:
m=an*(2i)n+an-1*(2i)n-1+.+a2*(2i)2+a1*(2i)+a0
(**)
где aj({1,2,3,4}; j,n(N.
Любопытно, что переход от обще принятой двучленной формы записи
десятичных комплексных чисел (числа вида A+Bi) к равным им мнимо-
четверичным числам осуществляется с использованием в качестве промежуточной
системы нега-четверичной системы счисления с основанием g=-4. Оказывается,
что между формами записи чисел в мнимо четверичной системе счисления и нега-
четверичной существует глубокая внутренняя связь, выражаемая неравенством,
указанным в следующей теореме.
Теорема: [pic] [1]
Доказательство: рассмотрим произвольное мнимо-четверичное число
[pic][pic]
В последнем равенстве был произведен переход от систематической записи
числа к соответствующему числу нега-позиционной системы счисления по
формуле (**).
Теорема доказана.
Пример:
1) 331201(2i)=321(-4)+2i*310(-4)
2) 3756(2i)=76(-4)+2i*35(-4)
3) 7060102(2i)=7612(-4)+2i*0(-4)=7612(-4)


2.2. Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в мнимо-
четверичную систему счисления


Из формулы [1] следует идея алгоритма замены десятичных комплексных
чисел на соответствующие им мнимо-четверичные числа: действительную часть и
коэффициент мнимой части заменить равными числами нега-четверичной системы,
а затем воспользоваться формулой [1] и получить искомое мнимо-четверичное
число. Замена десятичного числа равным ему нега-четверичным числом
осуществляется делением данного числа на g=-4 с «остатком».
Прежде, чем сформулировать алгоритм в целом, рассмотрим представление
в мнимо-четверичной системе числа i и числа вида (2k+1)*i, где k(N:
[pic][pic]

Как видно из примеров, приписывание в первом дробном разряде цифры 2
обеспечивает уменьшение коэффициента мнимой части на единицу. Как ранее
было указано, действительная часть комплексного числа в мнимо- четверичной
системе счисления записывается в четных разрядах, а мнимая часть
комплексного числа - в нечетных разрядах. В случае же, если коэффициент при
мнимой части нечетен, то его можно увеличить на единицу, приведя тем самым
к четному виду, но при этом, не забыв в результате в первый дробный разряд
a-1 дописать 2.
Тогда алгоритм перевода из комплексного числа вида А+Вi в мнимо-
четверичную систему счисления будет выглядеть следующим образом:

Алгоритм:

1. Заменить действительную часть комплексного числа А -
соответствующим числом в нега - четверичной системе счисления,
получив число А(-4).
2. Если коэффициент при мнимой части - нечетен, то увеличить его на 1,
получив B0.
3. Заменить коэффициент при мнимой части комплексного числа - В0/2
соответствующим числом в нега - четверичной системе счисления,
получим
В(-4).
4. Цифры числа А(-4) записать в четные разряды искомого числа.
5. Цифры числа B(-4) записать в нечетные разряды искомого числа.
6. Если коэффициент В был нечетен, то в первый дробный разряд вписать
цифру 2.
Пример:
1) число 37+28i записать в мнимо-четверичной системе счисления.
Т.к. число В=28 есть число четное, то числа 37 и 14=28*1/2 заменяем в
соответствии с алгоритмом нега-четверичными числами. Для этого каждое число
делим на g=-4 с «остатком».
|1 |3 |1 |3 |2 |1 |


37+28i=131321(2i).
2). Число 7i записать в мнимо-четверичной системе счисления.
Т.к. число В=7 нечетно, то заменяем его на 8, а в конечный результат разряд
а-1 дописываем 2. Число 4=8*1/2 заменяем нега-четверичным числом.
|4 |-4 | | |
|4 |-1 |-4 | |
|0 |-4 |1 |-4 |
| |3 |0 |0 |
| | |1 | |
| | | |4(10)=130(|
| | | |-4) |


Записываем цифры числа 130(-4) в нечетные разряды, а в разряд а-1
записываем цифру 2.

|а5 |а4 |а3 |а2 |а1 |а0 |а-1|
|1 |0 |3 |0 |0 |0 |2 |


7i=10300,2(2i)



2.3. Правила перевода в десятичную систему счисления


Рассмотрим примеры представления мнимо-четверичных чисел в
систематической форме (**).
Пример: 12312(2i)=1*(2i)4+2* (2i)3+3* (2i)2+1* (2i)1+2* (2i)0=16-16i-
12+2i+2=6-14i.
20310(2i)=2* (2i)4+3* (2i)2+1* (2i)1=32-12+2i=20+2i.
Из примеров легко увидеть правило перевода чисел из мнимо-четверичной
системы счисления в десятичную систему счисления вида a+bi: Чтобы перевести
мнимо-четверичное число в десятичное число вида a+bi, нужно представить
его в систематической форме (**) и выполнить указанные в этой форме
действия в десятичной
системе счисления.
Учитывая, что всякая четная степень числа 2i всегда есть
действительное число, а нечетная - мнимое, то любое число, записанное в
мнимо-четверичной системе счисления, можно разбить на две части (сумму двух
чисел): мнимую и действительную, т.е.
|a2na2n-1.a3a2a1a|=|a2n0a2n-20.a20a|+|a2n-10a2n-30.0a30a|=A+Bi,|(1) |
|0 (2i) | |0 (2i) | |10 (2i) | | |


где aj({1,2,3,4}.
Доказательство формулы (1) легко следует из систематической записи
числа. Значит, действительна часть числа, записанного в мнимо-четверичной
системе счисления, содержится в цифрах этого числа, стоящих на четных
позициях (в четных разрядах); мнимая часть - в цифрах, стоящих на четных
позициях.


2.4. Зависимость между знаком числа и его видом


Оказывается, что по мнимо-четверичной записи числа можно определить,
является ли это число положительным или отрицательным в десятичной системе
счисления. Рассмотрим теоремы.
Теорема 1: Число, записанное в мнимо-четверичной системе счисления,
представляет собой комплексное число с положительной действительной частью
тогда и только тогда, когда самая левая цифра этого числа, отличная от
нуля, стоящая на четном месте (считая справа налево, начиная с нуля)
находится в 4n-ом разряде, где n(N.
Доказательство: возьмем произвольное мнино-четверичное число, у
которого цифра 2n-ого разряда отлична от нуля, т.е. а4n(0 и не существует
цифры 2m-го разряда отличной от нуля такой, что эта цифра а2m будет
находиться в более старшем разряде, чем а4n. Для простоты доказательства
рассмотрим только разряды действительной части, обнулив разряды комплексной
части, не ограничивая области действия теоремы.
[pic]
равенство нулю соблюдается лишь в том случае, когда все а4j=0. Для
доказательства теоремы достаточно показать, что в неравенстве [***] правая
часть больше нуля, т.е.
[pic]
Рассмотрим правую часть неравенства [**]. Она принимает максимальное
значение, когда все коэффициенты а4k-2=3, где k(n, k(N, т.к. 3 - это
максимальная цифра мнимо-четверичной системы счисления. Тогда имеем:
[pic]
Из неравенства [*] следует, что
[pic]
где все а4n({1,2,3} (по условию а4n?0). Тогда a4n*42n больше любого числа,
записанного в правой части неравенства.
Теорема доказана.

Аналогично могут быть доказаны следующие теоремы.

Теорема 2: Число, записанное в мнимо-четверичной системе счисления,
представляет собой комплексное число с отрицательной действительной частью
тогда и только тогда, когда самая лева цифра этого числа, отличная от нуля
и стоящая на четном месте, находится в (4n-2) разряде.

Теорема 3: Число, записанное в мнимо-четверичной системе счисления,
представляет собой комплексное число с положительной мнимо частью тогда и
только тогда, когда самая левая цифра этого числа, отличная от нуля и
стоящая на четном месте, находится в (4n-3) разряде.

Теорема 4: Число, записанное в мнимо-четверичной системе счисления,
представляет собой комплексное число с отрицательной мнимой частью тогда,
когда самая левая цифра, отличная от нуля и стоящая на нечетном месте,
находится в (4n-1) разряде.

Следствие из теоремы 1 и теоремы 2: Если все цифры числа, записанного
в мнимо-четверичной системе счисления, стоящие на четных местах равны нулю,
то действительная часть этого комплексного числа равна нулю.
Доказательство: доказательство легко следует из систематической
записи числа и того, что любая нечетная степень числа 2 представляет
собой мнимое число без действительной части (действительная часть
комплексного числа равна нулю).

Следствие из теоремы и теоремы 4: если все цифры числа, записанного в
мнимо-четверичной системе счисления, стоящие на нечетных местах равны нулю,
то мнимая часть этого комплексного числа равна нулю.
Доказательство: доказательство следует из систематической записи
числа и того, что любая четная степень числа 2 представляет собой
действительное число без мнимой части (мнимая часть комплексного числа
равна нулю).

Пример:
1) 10233(2i): 1 - на четном месте, значит, действительная часть числа
положительна.
2)3030(2i): 3 - на нечетном 3-м месте, значит, комплексная часть
числа отрицательна; все цифры из четных разрядов равны нулю, значит,
действительная часть числа равна нулю.
3)20201301(2i): 2 - на нечетном месте, значит, комплексная часть
числа отрицательна; 3 - на четном 2-ом, месте, значит, действительная часть
числа отрицательна.


2.5. Арифметические операции над мнимо-четверичными числами





2.5.1. Операции сложения и вычитания


Рассмотрим таблицу сложения в мнимо-четверичной системе счисления, в
которой приведем сумму двух чисел, меньших 4(10), т.е. одноцифровых чисел.

|+ |0 |1 |2 |3 |
|0 |0 |1 |2 |3 |
|1 |1 |2 |3 |10300|
|2 |2 |3 |10300|10301|
|3 |3 |10300|10301|10302|

Сложение многозначных чисел сводится к сложению чисел одноцифровых по
разрядам. При этом всякий раз, когда при сложении цифр данного n-ого
разряда получим сумму, большую или равную 4(10), нужно сделать перенос в
разряды (n+2) и (n+4), учитывая, что 4(10)=10300(2i).
Пример: Пользуясь таблицей сложения найти сумму чисел 103112(2i) и
223303(2i)

|0 |0 |1 |2 |3 |
|1 |1 |2 |3 |[pi|
| | | | |c]0|
| | | | |0 |
|2 |2 |3 |[pi|[pi|
| | | |c]0|c]0|
| | | |0 |1 |
|3 |3 |[pi|[pi|[pi|
| | |c]0|c]0|c]0|
| | |0 |1 |2 |

Тогда разобранный пример можно решить так:
103112(2i)+223303(2i)= [pic]112(2i)+223303(2i)=222311(2i).
Пример:
Найти сумму чисел 23(2i) и 32(2i) в мнимо-позиционной системе счисления:

| | |
| |[pic] |
| |[pic] |
|+ |23(2i) |
| |32(2i) |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |11(2i) |


Сумма записана «не по правилам», т.к. в ее записи использован значок
«[pic]», который не входит во множество цифр системы с основанием g=2i.
Полученную запись можно преобразовать так, чтобы она была числом мнимо-
позиционной системы счисления. Исходя из ранее сказанного: значок «[pic]»,
стоящий на n-ом разряде, заменяется на цифру 3, а к цифре (n+2) разряда
прибавляется цифра 1.
Тогда в нашем примере, [pic][pic]11(2i)=113311(2i).

Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем,
если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого n-ого разряда, то из (n+2)-
го разряда нужно «занимать» единицу. Для удобства можно пользоваться
таблицей сложения. Причем, необходимо помнить, что 103(2i)=-1(10). Это
значит, что можно не писать единицы переноса, а достаточно к разряду (n+2),
от которого мы «занимаем», прибавить единицу.
Пример:
Найти разность чисел 231102(2i) и 123213(2i) в мнимо-четверичной системе
счисления:
|-231102(2|
|i) |
|123213(2i|
|) |
|213033(2i|
|) |




2.5.2. Операция умножения


Для выполнения действия умножения в мнимо-четверичной системе
счисления составим таблицу умножения, учитывая алгоритм перевода из
десятичной системы счисления в мнимо-четверичную. Рассмотрим число
102(2i)=1*(2i)2+2=-4+2=-2. Обозначим число -2=[pic] и получим таблицу
умножения.

|+ |0 |1 |2 |3 |
|0 |0 |0 |0 |0 |
|1 |0 |1 |2 |3 |
|2 |0 |2 |[pi|[pic|
| | | |c]0|]01 |
| | | |0 | |
|3 |0 |3 |[pi|[pic|
| | | |c]0|]01 |
| | | |1 | |



Умножение двух произвольных мнимо-четверичных чисел производится так
же, как в де