Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=63 Дата изменения: Fri May 5 15:26:03 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:30:24 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: hst

секция: Математика



Группа дробно-линейных функций.




Ефременко Наталия Витальевна





Научный руководитель: Гузаиров Гафур Мустафович.
Школьный учитель: Махмутова Расима Рашитовна.


г. Оренбург, 2002 г.





секция: Математика


Тезисы к докладу

«Группа дробно-линейных функций»


Ефременко Наталья

гимназия ?1, 11 «В» класс


Дробно-линейная функция относится к числу элементарных функций и может
быть исследована стандартными методами. Однако множество дробно-линейных
функций как целое в качестве
Объекта исследования оказывается гораздо интереснее. Дело в том, что это
множество обладает замечательным свойством замкнутости относительно
обращения и композиции, т.е. функция, обратная к дробно-линейной функции,
является дробно-линейной, и композиция дробно-линейных функций является
также дробно-линейной (таким образом, на множестве невырожденных дробно-
линейных функций обнаруживается структура некоммутативной группы
относительно композиции функций как групповой операции). Это исследование и
содержится в работе.
В работе приводятся основные понятия теории групп, описываются дробно-
линейные функции на расширенном множестве действительных чисел
[pic]доказывается групповая структура множества невырожденных дробно-
линейных функций, описываются некоторые подгруппы (более подробно -
конечные циклические подгруппы до пятого порядка), показывается одно
частное применение группы - решение функциональных уравнений одного
специального вида с помощью конечных циклических подгрупп данной группы.
Тема исследования выходит за рамки школьного курса математики, однако
методы исследования являются вполне элементарными и при условии знакомства
с понятием группы доступны ученикам старших классов. Изложение является
замкнутым в том смысле, что не требует обращение к специальной литературе,
поэтому работа может быть использована в качестве пособия для первого
знакомства с некоммутативными группами.
Исследование может иметь предложение в части описания самой группы и в
части применения группы к различным задачам математики.






ВВЕДЕНИЕ.
Работа посвящена исследованию дробно-линейных функций и множества
невырожденных дробно-линейных функций (на расширенной числовой прямой) как
целого - некоммутативной группы относительно композиции функции. Понятие
группы относятся к высшей алгебре, и в этой части исследование выходит за
рамки школьного курса математики. Однако использованные в работе методы
являются элементарными и при знакомстве с основными понятиями теории групп
доступны для понимания учащихся старших классов.
В §1 формулируются общие понятия теории групп и приводятся примеры
числовых групп. Эта часть работы носит реферативный характер.
В $2 описываются дробно-линейные функция действительного аргумента.
Исследование дробно-линейных функций произведено элементарными методами.
В §3 описывается расширенное множество действительных чисел, и
определяются дробно-линейные функции на этом множестве.
В §4 показывается, что множество дробно-линейных функций на расширенном
множестве действительных чисел является некоммутативной группой.
В §5 определяются понятия матрицы дробно-линейной функции и
произведения матриц и исследуются некоторые свойства умножения матриц.
В §6 описываются некоторые конечные циклические подгруппы в группе
дробно-линейных функций, для этого решаются соответствующие матричные
уравнения.
В §7 приводится одно частное приложение группы дробно-линейных функций
- решение некоторых функциональных уравнений с помощью конечных циклических
подгрупп.
Тема работы и круг рассматриваемых в ней вопросов были определены
научным руководителем. Для решения поставленных задач использовалась
литература, указанная на стр. 18, лекции и консультации научного
руководителя, а также некоторые доклады, представленные на муниципальных
научных конференциях учащихся, проходившие в г. Оренбурге в прежние годы.





















1. Основные понятия теории групп.


Определение 1.1. Множество G с элементами произвольной природы называется
коммутативной группой, если любой упорядоченной паре х, у ее элементов
ставится в соответствие ее же элемент, называемый композицией элементов х и
у и обозначаемый х о у, так, что выполняются следующие условия - аксиомы
группы:
I[1]) В G существует единственный элемент, называемый нейтральным и
обозначаемый е, такой, что х о е = х = е о х при всяком
2[2]) Для всякого элемента в G найдется единственный элемент,
называемый сопряженным элементу х и обозначаемый х*, такой, что х о х* = е
= х* о х.
3) (х о у) о z = х о (у о z) - аксиома ассоциативности.
4) х о у = у о х - аксиома коммутативности.
Если же в G выполняются условия 1-3, но не выполняется условие 4, то G
называется некоммутативной группой.

В этом определения для краткости изложения приведена избыточная система
аксиом; так, например, условия единственности (но не существования!)
нейтрального и сопряженного элементов можно было опустить в аксиомах и
доказать в качестве теорем (как это сделано в [3]), но это не входит в
число поставленных перед нами задач.
Приведем простейшие примеры коммутативных групп.
1. Аддитивная группа действительных чисел (от "addition" - "сложение"):
G=R, х о у=x+y.
1) е = 0, т.к. x + 0 ? х ? 0 + х; понятно, что тождество х + е ? x =
е + x: справедливо только при е = 0.
2) х* = -x, т.к. х + (-х) = 0 = (-х) + x; условие единственности
элемента, сопряженного элементу х, сводится к единственности
противоположного числа.
3) Условие ассоциативности принимает вид сочетательного закона для
сложения: (x+y)+z ? x+(y+z)
4) Условие коммутативности имеет вид переместительного закона для
сложения: x+y ? y+x.
2. Мультипликативная группа действительных чисел (or "multiplication'' -
"умножение"): G = R\{0}, х о у = х . у.
1) е = 1, т.к. х*1 ? х ? 1 х; понятно, что тождество х.е ? х ? е.х
справедливо только при е = 1.
2) , т.к. ; условие единственности элемента,


сопряженного элементу х, сводится к единственности обратного числа.
3) Условие ассоциативности принимает вид сочетательного закона
умножения: (х . у) . z ? х . (у . z).
4) Условие коммутативности имеет вид переместительного закона
умножения: x . у ? у . x.
Пример некоммутативной нечисловой группы будет рассмотрен в параграфе 3.


Определение 1.2. Непустое подмножество H группы G называется подгруппой,
если:
1) u ? H => u* ? H, т.е. подгруппа вместе с любым своим элементом
содержит и сопряженный ему элемент;
2) u,v ? H => u о v ? H, т.е. подгруппа вместе с любой парой своих
элементов содержит и их композицию.

Условия 1 и 2 в определении являются условиями замкнутости подгруппы
относительно сопряжения и композиции. Смысл термина «подгруппа» состоит
в том, что подгруппа сама является группой (относительно прежней
композиции, унаследованной из G).
Приведем примеры подгруппы.
0. Тривиальные подгруппы. Всякая группа G, имеющая более одного
элемента, имеет хотя бы две подгруппы: H1= {e}, H2= G. Для группы,
состоящей из одного элемента (который, очевидно, является
нейтральным), эти две подгруппы совпадают.
1. Аддитивная группа рациональных чисел. H = Q, x о y = x + y
(x, y ? Q). Эта группа является подгруппой аддитивной группы
действительных чисел, т.к. ? R и :
1) Если q ? Q (т.е. q - рационально, т.е. q=m/n, где m ? Z, n ? N),
то и -q ? Q (т.к. -q=(-m)/n и -m ? Z, n ? N);
2) Если q1 , q2 ? Q (т.е. q1 = m1/ n1, q2 = m2/ n2, где
m1, m2 ? Z, n1, n2 ? N), то q1 + q2 ? Q
(т.к. и m1 n2, m2 n1 ? Z, n1, n2 ? N).
2. Мультипликативная группа рациональных чисел. H = Q\{0}, x о y = xy
(x, y ? Q, y ? 0). Эта группа является подгруппой мультипликативной
группы действительных чисел, т.к. Q\{0} R\{0} и :
1) Если q ? Q и q ? 0 (т.е. q = m/n, где m ? Z и m ? 0, n ?
N), то q-1 ? Q\{0} (т.к. q-1 ' n/m = (-n)/(-m) и ±n ? Z и
|m| ? N);
2) Если q1 , q2 ? Q и q1 , q2 ? 0 (т.е. q1 = m1/ n1, q2 = m2/
n2, где m1, m2 ? Z и m1, m2 ? 0, n1, n2 ? N), то q1q2 ?
Q\{0}
(т.к. и m1m2 ? Z , m1,m2 ? 0, n1, n2 ? N).

Определение 1.3. Циклической подгруппой группы G, порожденной элементом a,
называется подгруппа Ha = { an : n ? Z } , элементы an которой определяются
по индукции: a1 = a, an+1 = an о a и an-1 = an о a* .
Так, например, всевозможные целочисленные кратные действительного числа
a образуют циклическую подгруппу в аддитивной группе действительных чисел,
а всевозможные целые степени числа a ? 0 образуют циклическую подгруппу в
мультипликативной группе действительных чисел.
В заключение этого параграфа укажем, что в общей теории абстрактных
групп вместо терминов "нейтральный элемент", "сопряженный элемент", "
композиция" иногда используются аддитивные термины - "нулевой элемент",
"противоположный элемент", "сумма" или мультипликативные термины -
"единичный элемент", "обратный элемент", "произведение".


2. Дробно-линейные функции на R.



Дробно - линейной функцией называют функции вида
[pic]

(1)
Конкретная дробно-линейная функция задается значениями параметров a, b, с,
d.
При ad = bc дробно-линейная функция вырождается в постоянную: g(x)=c/d,
ecли d ? 0 и g(x)=a/b ecли b ? 0 (одновременно b и d в ноль обращаться не
могут, иначе g(x) не имеет смысла ни при каком х). В этом случае g(х) будет
необратимой3. Условие ad = bс описывает все случаи необратимости дробно-
линейной функции, т,е, при ad ? bc дробно-линейная функция обратима, и
обратная функция4 также является дробно-линейной (что будет показано ниже).
При b = 0, d = 1, а ? 0 (при а = 0 возвращаемся к случаю ad = bc) имеем
линейную функцию g(x) = ах + с с угловым коэффициентом а и свободным
членом с. Как известно, линейная функция определена и непрерывна на всей
числовой прямой; она монотонна и вид монотонности определяется угловым
коэффициентом а (возрастает при положительном а, убывает при отрицательном
а). Графиком функции g(x) = ax + с является наклонная прямая у = ax + с
(см. рис.1), образующая с осью ОХ ориентированный угол, величина которого ?
= arctg a радиан: ? ? 0 при a ? 0.

При а = 0, d = 0, b,c ? 0 (при с = 0 возвращаемся к случаю аd = bc)
имеем

обратную пропорциональность с коэффициентом .

Обратная пропорциональность имеет точку разрыва x = 0, но непрерывна и
монотонна на каждом из промежутков (-?, 0) н (0, +?). Вид монотонности на
промежутках непрерывности определяется знаком коэффициента обратная
пропорциональности: отрицательному коэффициенту соответствует возрастание,
положительному - убывание. Графиком обратной пропорциональности g(x) = k/x
является гипербола xy = k (см. рис.2), ветви которой лежат в первой и
третьей координатных четвертях при k > 0 и во второй и четвертой - при k <
0. Гипербола xy = k имеет две асимптоты: вертикальную x = 0 и
горизонтальную у = 0. Она же имеет две оси симметрии: у = x и у = -x. В
самом деле, уравнение xy = k при одновременной замене z на у и у на x
переходит в равносильное уравнение ух = k, а т.к. точки (u, v) и (v, u)
симметричны относительно прямом у = x, то это и доказывает симметрию
гиперболы ху = k относительно оси у = х. Симметрия относительно оси у = -х
доказывается аналогично: уравнение xу = k при одновременной замене x на -у
и у на -х переходят в равносильное уравнение: (-у)(-x) = k <=> ху = k, а
т.к. точки (u, v) н (-v, -u) симметричны относительно прямой у= -x, то это
и доказывает симметрию гиперболы ху = k относительно оси у = -х. Если k >
О, то симметрия относительно оси у = х переводит каждую ветвь гиперболы ху
= k в себя, а симметрия относительно оси у = -х переводит одну ветвь в
другую; при k < 0 - наоборот.
В более общем случае ad ? bc, b ? 0 дробно-линейная функция также имеет
единственную точку разрыва -d/b; на промежутках (-?, -d/b) и (-d/b, +?),
образующих область определения, функция является непрерывной. Чтобы лучше
представить общую дробно-линейную функцию, разложим ее в композицию трех
более простых функций: двух линейных и обратной пропорциональности. Для
этого обозначим


Тогда[pic]
[pic]
в самом деле: [pic]
Из этого разложения понятно, что графиком функции является гипербола,

которая может быть пожучена из гиперболы с помощью следующих

преобразовании: сдвигом на -d/b в горизонтальном направлении и сдвигом на
a/b в вертикальном направлении: эти два сдвига можно заменить одним
параллельным переносом на вектор [pic] Ясно, что при этом параллельном
переносе гипербола сдвигается вместе со своими асимптотами и осями
симметрии. Поэтому прямые х = -d/b и у = a/b являются

асимптотами гиперболы ,

а прямые и


(т.е. и ) являются ее осями симметрии (см. рис.3).

[pic]
3. Дробно-линейные функции на .
В этом параграфе области определения дробно-линейных функций будут
расширены до множества
[pic]

(2)
которое будем называть расширенным множеством действительных чисел, а
элемент ? (не являющийся числом) - бесконечно удаленной точкой числовой
прямой. Смысл этого доопределения будет пояснен позже (см. Замечание в
параграфе 4.).
Заметим, что элемент ? не следует путать с -? и +?, которые
фигурировали в обозначениях промежутков монотонности дробно-линейных
функций: ? - это, так сказать, «беззначная» бесконечность. Поясним символ ?
с помощью рисунка 4. Поместим числовую прямую R в плоскость и проведем в
этой плоскости окружность с центром в нуле прямой и единичным радиусом.
Концы диаметра, перпендикулярного прямой, обозначим N и S. Всякая секущая
окружности, проходящая через N, пересекает прямую R в некоторой точке х и
окружность в точке X, отличной от N. Поставим указанной точке х прямой в
соответствие [pic] указанную точку X окружности. При этом точкам х прямой
R, лежащим внутри окружности (|х| < 1), будут соответствовать точки нижней
полуокружности (в том числе, нулю прямой - точка S); точкам х прямой R,
лежащим вне окружности (\х\ > 1), будут соответствовать точки верхней
полуокружности; точки -1 и +1 прямой будут соответствовать сами себе, т.к.
они лежат н на окружности. Таким образом, всякой точке прямой соответствует
ровно одна точка окружности, отличная от N наоборот, всякая точка
окружности, отличная от N, соответствует ровно одной точке прямой: N
оказалась единственной точкой окружности, не соответствующей никакой точке
прямой R (т.е. никакому действительному числу). При неограниченном удаления
точки х от нуля по прямой R (неважно, влево или вправо), соответствующая
точка X окружности будет неограниченно приближаться к точке N. Примем N в
качестве образа элемента ?. Таким образом, окружность является моделью
расширенное множество действительных чисел, согласно которой оно
оказывается замкнутым на бесконечности5.
На нем можно доопределить некоторые операции с ?:
[pic] (3) при снятии же указанных в скобках
ограничений мы получаем неопределенности ? ± ?, ?: ?, 0 . ?, 0: 0, которым
нельзя прядать какого-нибудь значения из расширенного множества
действительных чисел, не приводящего к противоречиям.
Определение 3.1. Дробно-линейной функцией на[pic]будем

называть функцию, осуществляющую взаимно однозначное отображение R с ce6я6
no закону:
[pic] (4)
Из условия взаимной однозначности, включенного в определение, вытекает
[pic] (4/)
а согласно сказанному в предыдущем параграфе об условии обратимости дробно-
линейных функции на R, это обеспечивается условием
[pic]
(4//)
и наше доопределение g(х) в точках -d/b и ? не нарушает взаимной
однозначности отображения и обратимости g(х).
В самом деле, при b ? 0 точки -d/b и ? не входили в область
определения дробно-линейной функция на R, а точке a/b и ? не входили в
область ее значений.
В случае же b = 0 дробно-линейная функция оказывается линейной и
требует доопределения только в точке ?, что возможно только в виде g( ?) =
?, т.к. все действительные значения функции уже "заняты" действительными же
значениями аргумента. Но при b = 0, с учетом ad ? bc, имеем d ? 0, a ? 0 и
тогда -d/b = -d/0 = ?, a/b = a/0 = ? - см. (4). Таким образом, при b = 0
условия g (-d/b) = ?, g(?) = a/b означают одно и то же - g(?) = ?, и не
приводят к нарушению обратимости g(x).
Заметим, что при неограниченном приближении х к -d/b (х >-d/b) g(х)
неограниченно приближается к ?, а при неограниченном приближении x к ?
(х>?) g(х) неограниченно приближается к a/b (при b = 0 эти два случая
совпадают); запишем это с помощью пределов g(х) в соответствующих точках:



Но по определению g(х) на R:
[pic] (5)
Равенство же предела функции в точке и ее значения в этой точке является
условием непрерывности функции (в этой точке); таким образом, наше
доопределение дробно-линейных функций является доопределением по
непрерывности.
График у = g(х) с D(g) = можно построить на расширении плоскости XY
единственной бесконечно удаленной точкой, модель которой в виде единичной
сферы с центром в начале координат О = (0,0,0) координатного пространства
XYZ и полюсом N = (0,0,1) строится аналогично описанной модели .
4. Группа G дробно-линейных функции на R.

Обозначим через G множество всех дробно-линейных функций на , определенных
в предыдущем параграфе:
[pic]

(6)
где [pic]
Под равенством двух дробно-линейных функций будем понимать их
тождество:
[pic] (7)
Выясним, какие условия равенство функций налагает на их коэффициенты:
[pic]
[pic]
Из второго равенства системы, ввиду a1d1 - b1c1 ? 0, следует, что n = m =
k; подставляя это условие в первое и третье равенства, получим следующее
правило: дробно-линейные функции равны тогда и только тогда, когда их
коэффициенты пропорциональны, т.е.
[pic] (8)
Этот случай равенства описывается основным свойством дробей
[pic]
при k ? 0, ?, и других случаев равенства дробно-линейных функций не
существует.

Теорема 4.1. G явллетсл некоммутативной группой относительно композиции
[pic]
(9)
как групповой операции.
Доказательство.[pic]Сначала покажем, что композиция[pic] двух дробно-
линейных функций на R снова является дробно-линейной функцией на R:
[pic] (10)
Обратимость композиции обратимых же дробно-линейных функций g1(x) и g2(х)

и непрерывность композиция в точках сразу вытекают из

следующего общего факта: если g2(x) осуществляет непрерывное и взаимно-
однозначное отображение множества X = D(g2) в множество У = E(g2), а g2(x)
осуществляет непрерывное и взаимно-однозначное отображение множества Y =
E(g2 ) = D(g1) в множество Z = E(g1), то их композиция g1 (g2 (x))
осуществляет непрерывное н взаимно-однозначное отображение X = D(g2) в Z =
E(g1).
Итак, множество G замкнуто относительно композиции g1 o g2(x)=g1(g2(x)).
Замечание. Замкнутость множества G относительно композиции и было целью
доопределения дробно-линейных функций до D(g) = , т.к. множество дробно-
линейных функция на R не является замкнутым. В самом деле, всякая дробно-
линейная функция на R имеет на этом множестве не более одной точки разрыва
(это точка -d/b, при ad- be ? 0 и b ? 0); однако композиция g1(g2(x)) может
иметь на R до двух точек разрыва, получающихся из условий b2x + d2 = 0 и
b1 g(x) + d2 = 0. Поэтому композиция дробно-линейных функций на R не
является дробно-линейной.
Далее проверим аксиомы группы.
1) Решим функциональное уравнение е(g(х)) = g(x) (т.е. e o g(x)
=g(x)) относительно неизвестной дробно-линейной функции е(х) на и с
произвольной дробно-линейной функцией g(x). Для этого обозначим
коэффициенты е(х) через a1, b1, c1, d1. Воспользовавшись выражением (10)
для композиции и условием (8) для равенства, получим систему уравнений для
коэффициентов a1, b1, c1, d1:
[pic]
то же дает и условие[pic]Поэтому нейтральный элемент в G имеет вид:
[pic] (11)
2) Аналогично, решая уравнение[pic](которое в силу е(х) ? х сразу
дает[pic]относительно неизвестной дробно-линейной функция g*(х), получим
систему уравнений для ее коэффициентов а*, b*, с*, d*:
[pic]
Итак, функция g*(х), сопряженная g(x) я совпадающая с обратной к ней, имеет
вид:
[pic] (12)
Выполнение условия 3) и невыполнение условия 4) - общие факты композиции
функций. [pic]




5. Матрица дробно-линейной функции.

Опредеденне 5.1. Матрицей функции называется таблица
[pic] (13)
Числа а, 6, с, d называются элементами матрицы; а число
[pic]
(14)
называется определителем ("determinant" - "определитель") этой матрицы.
Поскольку всякая дробно-линейная функция вполне определяется своими
коэффициентами (которые в матрице этой функции выступают как элементы), то
ясно, что все свойства этой функция можно получить из свойств ее матрицы (в
этом и состоит смысл введенного только что понятия матрицы дробно-линейной
функции). Так, например, число det g уже встречался ранее в условии
обратимости дробно-линейных функций: ad-bc ? 0, которое, как оказалось (см.
предыдущий параграф), равносильно условию существования сопряженного
элемента в группе G. Знак этого числа определяет вид монотонности дробно-
линейной функции на промежутках (-?, -d/b) и (-d/b, +?), что может быть
показано, например, с помощью производной:
[pic]
Заметим, что всякая матрица однозначно задает соответствующую дробно-
линейную функцию, но одной и той же дробно-линейной функции соответствует
бесконечно много различных матриц с пропорциональными элементами. Последнее
неудобство связано с несогласованностью определения равенства матриц и
определения равенства дробно-линейных функций: две матрицы считаются
равными, если равны их соответствующие элементы, т.е.
[pic] (15)
в то время как условием равенства дробно-линейных функций (определенного
как тождество) является лишь пропорциональность соответствующих
коэффициентов. Определим операцию умножения матриц следующим образом:
[pic] (1в)
Здесь в качестве произведения g1 o g2 матриц выбрана матрица композиции
g1(g2(x)) по формуле (10) предыдущего параграфа; таким образом,
произведению матриц соответствует композиция порожденных ими дробно-
линейных функций.

Можно также показать, что множество Г всех невырожденных матриц (13), т.е.
удовлетворяющих условию det g ? 0, образует некоммутативную группу
относительно умножения матриц. При этом нейтральным элементом в этой группе
будет так называемая единичная матрица:
[pic]
(17)
матрица, сопряженная матрице g, называемая обратной к g и обозначаемая g
-1, имеет вид:
[pic]
(18)
Таким образом, для матричной группы принята мультипликативная терминология.

Теорема 5.1. Определитель произведения матриц равен произведению
определителей:

(19)
Доказательство. *[pic]
[pic]
Из теоремы следует, что множество матриц с единичным модулем определителя:
[pic] (20)
образуют подгруппу в группе всех невырожденных матриц (13). Чтобы показать
это, следует проверить условия 1) и 2) из определения подгруппы (см. с.4):
1) Если g ? S, то g -1 ? S. В самом деле, g ? S означает, что |det g|
= 1. Но det g g -1 = det e = 1. 1- 0 . 0 = 1 и det g g -1 = det g det g -1,
откуда det g -1 = det -1 g, значит, | det g -1| = 1 и g -1 ? S.
2) Если g1 ? S и g2 ? S, то g1 g2 ? S. В самом деле, по условию, | det
g1| = 1 и | det g2| = 1. Тогда |det g1 g2| = |det g1det g2| = |det g1| |det
g2| = 1 . 1 = 1, а это значит, что g1 g2 ? S.










Заметим, что всякой дробно-линейной функции из соответствуют уже ровно
две матрицы из S: это так называемые противоположные матрицы-т.е. матрицы с
противоположными соответствующими элементами:
[pic]







6. Циклические подгруппы в G.

Опишем сначала циклические подгруппы в матричной группе Г (см, параграф 5).
Всякая невырожденная матрица g порождает циклическую подгруппу Гg в группе
Г. образованную всевозможными целыми степенями матрицы g:
[pic] (21)
Заметим, что степени матриц удовлетворяют следующим свойствам:
[pic] (22)
которые легко могут быть доказаны непосредственно. Заметим, что первое из
свойств показывает, что циклические подгруппы всегда коммутативны.
Циклические подгруппы в Г могут быть бесконечными (с бесконечным числом
различных матриц) или конечными (с конечным числом различных матриц - это
число будем называть порядком подгруппы). В первом случае
[pic]
Второй случай возможен, если некоторым различным степеням g (с различными
показателями) соответствуют одинаковые матрицы, тогда
[pic]
Таким образом, для отыскания конечных циклических подгрупп в Г следует
решать матричные уравнения[pic]
относительно матрицы g. Однако, из того, что det gk = detk g, a det e = 1,
следует detk g = l и |det d| = 1, таким образом, конечную циклическую
подгруппу в Г могут образовывать только матрицы из S. В циклическую
подгруппу первого порядка входит только единичная матрица (поскольку
единичная матрица входит в любую подгруппу, и в циклической подгруппе
первого порядка это единственный элемент). Решим уравнение g2 = е. Это
уравнение приводит к системе уравнений второго порядка для элементов a, b,
с, d матрицы g:
[pic]
Вычитая из первого равенства системы последнее, получим: (a+d)(a-d) = 0,
откуда вытекают два случае:
1. a - d = 0 или d = а; подставляя это условие во второе и третье
равенства, получим:
1а. b = с = 0, а2 = d2 = 1,
1b. a = d = 0, c=1/b.
2. a + d = 0 или d = -a ; подставляя это условие в первое равенство,
получим: [pic] или[pic](случай 1b получается из этого при a = 0).
Выпишем все решения уравнения g2 = с:
[pic] (23)
[pic]
Теперь выпишем некоторые циклические подгруппы второго порядка в S:
[pic] (24)
здесь в качестве верхнего (числового) индекса использован порядок
циклической подгруппы (число его различных элементов), а в качестве нижнего
(буквенного) индекса- порождающая подгруппу матрица (т.е. матрица, целые
степени которой описывают все матрицы подгруппы). Выписанным подгруппам в S
соответствуют подгруппы второго порядка в G:
[pic] (25)
невыписанные же подгруппы не порождают новых подгрупп в G. Понятно, что
объединяя S2x и S2-x, можно получить подгруппы в S четвертого порядка,
которые не приводят к новым подгруппам в G (и, кстати говоря, не являются
циклическими). Аналогично, уравнение g3 = e приводит к системе
[pic] (28)
Вычитая из первого равенства последнее, получим откуда вытекают два
случая:[pic]
1. a2+d2+ad+bc ? 0, тогда a = d = 1, b = с = 0;
2. a2+d2+ad+bc = 0, тогда, учитывая, что ad - bc = 1, получим, d = -l -
a и

или и


Таким образом, уравнению g3 = e удовлетворяет единичная матрица и матрицы
[pic]
(27)
Порожденные матрицами ? циклические подгруппы третьего порядка в S - это S3
? = {е, ?, ? -1}. Соответственно
[pic]
(28)
Уравнение четвертого порядка[pic]удобнее переписать в виде[pic]
Пользуясьтем, что det g2 = 1, получим с помощью формулы (18) уравнение:
[pic]
Отсюда получается система:
[pic]
Решая эту систему, мы получим все матрицы, которые фигурировали в качестве
решении уравнения g2 = е, а также матрицы
[pic]
(29)
Т.к.[pic]то матрицы ? действительно порождают в S циклические подгруппы
четвертого порядка:
[pic]
но соответствующая подгруппа в G будет циклической подгруппой второго
порядка (противоположным матрицам соответствует одна дробно-линейная
функция):
[pic] (30)
Уравнение пятого порядка g5 = е также перепишем в виде g3 = g-2:
[pic]
Из этой системы вытекает равенство (а - с[)(а3 + 2ас(+сР + а + rf- 1) = 0.
Тогда
1. Если[pic]т.е. в этом случае решением будем единичная матрица.
2. Если[pic](сумма первого и последнего равенств не противоречит
этому). Еще раз учитывая условие ad - bc = 1, получим:
[pic] В этом случае получаем решение уравнения в виде матриц
[pic] (31)
Соответственно[pic] 7.


7.Приложение группы G к функциональным уравнениям.

Здесь мы рассмотрим одно частное применение группы дробно-линейных функций,
а именно, к решению функциональных уравнений вида:
[pic] (32)
где р(х), q(x), r(x) - известные функции, a f(x) - неизвестная, которую
следует найти. Мы приведем общий алгоритм решения для случая, когда
g(х) = (ax+c)/(bx+d) принадлежит конечной циклической подгруппе
в G.
Рассмотрим для примера частный случай уравнения (32):
[pic]
Обозначим:
[pic]
Для этой последовательности аргументов составим последовательность
соответствующих значений функции у = f(x):
[pic]
Перепишем исходное функциональное уравнение в виде системы уравнений для
уk:
[pic]
Из последнего равенства найдем y0:
[pic]
Здесь последовательность значений аргумента (xn) оказалась циклической,
т.к. дробно-линейная функция g(х) = -1 - 1/x является элементом конечной
циклической подгруппы (третьего порядка) G3 ? в группе G дробно-линейных
функций, а именно g(х) = ? (-1, 1) в обозначениях предыдущего пункта. Это
привело к тому, что и последовательность соответствующих значений искомой
функции уn = f(хn) оказалась циклической с циклом 3; yn+3 = уn. В
результате этого была получена конечная система из трех уравнений с тремя
неизвестными у0, y1, у2, что и позволило получить явное выражение для у0 =
f(х0) =f(x).
Аналогично решается задача и в более общем случае.
1) Составляется следующая последовательность значений аргументов:
[pic] (33)
2) Составляется последовательность соответствующих значений функции
f(x):
[pic] (34)
3) Из функционального уравнения (32) составляются соотношения для xk и
уk:
[pic] (35) где[pic]
Если g(х) - элемент некоторой циклической подгруппы Gn n-ного порядка:
[pic]
(36)
ТО
[pic] (37)
В этом случае может быть составлена конечная система уравнений из п
уравнений для неизвестных у0, y1, ..., уn-1:
[pic]
(38)
Решая эту систему, мы и получим явное выражение для уо, а значит и для
неизвестной функции f(x) = f(x0) = у0.
В случае же, когда дробно-линейная функция g(х) не является элементом
конечной циклической подгруппы в группе дробно-линейных функций, следует
искать другие пути решения уравнения (32). Однако эту задачу мы опускаем.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Мы рассмотрели группу невырожденных дробно-линейных функций на
расширенном множестве действительных чисел и привели один пример применения
этой группы.
Следует заметить, что наше исследование может быть продолжено,
например, в части описания других (нециклических) подгрупп (подгруппы
линейных функций, некоторых других некоммутативных и коммутативных
подгрупп) и в части применений группы к тем или иным задачам математики.

-----------------------
[1] Условие существования и единственности нейтрального элемента.
[2] Условие существования и единственности сопряженного элемента.
3 Напомним, что функция f называется обратимой, если разным значениям её
аргумента всегда соответствуют разные значения функции (поэтому равные
значения функции могут соответствовать только равным значениям аргумента,
поэтому для обратимой функции условия f(u)=f(v) u u = v равносильны:
f(u)=f(v) <=> u = v) .В противном случае (если равенство f(u)=f(v)
выполняется хотя бы для одной пары не равных между собой значений
аргумента: u ? v) функция называется необратимой.
4 Напомним, что обратная к f функция обозначается f--1 и определяется
условием: y = f (x) <=> x = f--1 (y), т.е. является решением относительно
x уравнения y = f (x). При обратимости f это уравнение разрешается
однозначно при всяком y ? E(f); при необратимости f уравнение разрешается
неодначно, т.е. соответствие x = f--1 (y) не является функцией, т.е. f(x)
не имеет обратной функции, что и объясняет термин "необратимотси функция".
5 Можно построить и другую модель расширения R с двумя бесконечно
удаленными точками: -? и +?, например, в виде дуги окружности.
6 Это определение, таким образом, сразу исключает из общего числа дробно-
линейных функций на расширенном множестве действительных чисел постоянные
функции, но не исключает линейные непостоянные.

-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]