Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=54 Дата изменения: Fri May 5 15:25:56 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:30:08 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

МОУ гимназия ?17 города Перми



Направление науки: Математика

Название работы
Тетраэдр, вписанный в додекаэдр
[pic]

Автор работы
Прокопенко Ксения

Место выполнения работы
Гимназия ?17, 11 «б» класс, Пермь

Научный руководитель
Шеремет Г.Г.

2002 г.

Введение

При изучении геометрии очень большую роль играют многогранники.
Многогранник будет правильным, если все его грани - равные между собой
правильные многоугольники и углы при вершинах равны. Правильных
многогранников известно 5 : тетраэдр ( в каждой вершине сходятся 3
треугольные грани), октаэдр (в каждой вершине сходятся 4 треугольные
грани), икосаэдр (в каждой вершине сходятся 5 треугольные грани), куб
((гексаэдр) (в каждой вершине сходятся 3 квадратные грани)) и додекаэдр (в
вершине сходятся 3 правильных пятиугольника). С древних времен правильные
многогранники наделялись различными магическими свойствами. Так у Платона
для додекаэдра отводилась роль всеобъемлющей Вселенной. С именем Кеплера
связана традиция рассматривать многогранники, вписанные друг в друга.
|[pic] |


Наша работа посвящена тетраэдру, вписанному в додекаэдр.
Оригами - искусство складывания фигур из листа бумаги, - позволяет
представить красивое решение о вписывании тетраэдра в додекаэдр. При этом
возникают две достаточно сложные задачи: вычислить соотношение элементов
вписанной и описанной фигур и построить чертёж. Когда соотношение элементов
тетраэдра и описанного около него додекаэдра вычислено, модульное оригами
позволяет создать очень наглядную рёберную модель этих фигур. Причём данная
задача имеет пять решений, если все тетраэдры имеют одинаковую ориентацию в
пространстве, и десять решений без учёта ориентации тетраэдров.
Продолжение данной работы связано с появлением звёздчатых форм
многогранников. Одна из звёздчатых форм икосаэдра представляет собой как
раз объединение пяти тетраэдров, вписанных в додекаэдр. С помощью рёберных
моделей многогранников, построенных в технике оригами, можно построить
модель пяти переплетённых тетраэдров. Введение прямоугольной системы
координат для изучения додекаэдра предлагается провести следующим образом:
с единичным кубом связывается прямоугольная система координат, в куб
вписывается икосаэдр, в икосаэдр вписывается додекаэдр. Дальнейшие расчеты
позволяют найти координаты всех вершин икосаэдра и вписанного в него
додекаэдра, найти уравнения граней всех пяти тетраэдров, вписанных в
додекаэдр, вычислить уравнения линий пересечения соответствующих граней и
найти координаты точек пересечения граней одного тетраэдра с рёбрами
другого. В результате проведённых вычислений можно построить модель пяти
тетраэдров из цветного картона.

1. Модуль Томаса Халла для построения рёберной модели тетраэдра.

Принцип построения данного модуля взят нами из журнала «Оригами».

|[pic] |
|[pic] |


2. Модуль для построения додекаэдра, разработанный Манзуровой Еленой.

Рассмотрим, как мы провели приближение к tg (((. Последовательно
умножая tg 60( на натуральные числа, мы оценивали дробную часть
получившегося результата. Нас интересует случай, когда она близка к нулю
или к единице. В данном примере мы выбрали третью строку. Поэтому tg 60( мы
приближенно получаем равным 5/3 и, при построении модуля, треугольник
отгибаем так, как показано на чертеже.




3. Соотношение рёбер додекаэдра и вписанного в него тетраэдра

Вычислим косинус 720 с помощью правильного десятиугольника.
|[pic] |Х/(R - X) = R/X; |
| |X = (-R+R*(5)/2; |
| |X2 + R*X - R2 = 0; |
| |cos 72( = (- OB2 + AO2 + AB2)/2*AO*AB|
| |= |
| |= ((-R2 + R2 + ((-R +R*(5)/2) )2) / (|
| |2*R* (-R +R*(5)/2))= |
| |=( -1 + (5)2 / (4*(-1+(5)) = (-1 + |
| |(5)/4 |
| |cos 72( = ((5-1) / 4 |
|[pic] |Пусть ребро додекаэдра равно a. |
| |Тогда [pic]; [pic] |
| |Итак, ребро куба равно [pic] |
|[pic] |Ребро тетраэдра, вписанного в куб с |
| |ребром х, равно [pic]. Поэтому ребро |
| |тетраэдра, вписанного в додекаэдр с |
| |ребром а, равно [pic]. |
|После проведённых расчётов можно |[pic] |
|построить модель тетраэдра, | |
|вписанного в додекаэдр. | |


А также рёберную модель пяти тетраэдров, вписанных в додекаэдр, и просто
модель пяти переплетённых тетраэдров.
|[pic] |[pic] |


4. Пересечение и объединение пяти тетраэдров.
Для того, чтобы определить, какие фигуры получаются в результате
объединения и пересечения построенных нами пяти тетраэдров, воспользуемся
координатным методом. Как известно, додекаэдр можно вписать в икосаэдр. При
этом по принципу двойственности вершины додекаэдра будут центрами граней
икосаэдра. Икосаэдр же можно вписать в куб. Так как у икосаэдра 12 вершин,
у куба - 6 граней, то очевидно, что на каждой грани будут находиться по две
вершины куба. Из соображений симметрии эти вершины будут располагаться на
средних линиях граней куба, попарно не пересекающихся.
|[pic] |Если ребро куба равно 1, а ребро |
| |икосаэдра равно а, то из прямоугольного |
| |треугольника АСВ и равностороннего |
| |треугольника AKL находим, что [pic]. Это |
| |делает возможным построение икосаэдра, |
| |вписанного в куб, и нахождение координат |
| |его вершин. |
|[pic] |[pic] |[pic] |
| | |На данном рисунке икосаэдр вписан в куб с|
| | |ребром единичной длины. Прямоугольная |
| | |система координат выбрана следующим |
| | |образом: одна из вершин куба является |
| | |началом координат, координатные оси |
| | |направлены по рёбрам куба. |


Для того, чтобы найти координаты додекаэдра, вписанного в икосаэдр,
воспользуемся следующей теоремой.
Если известны координаты вершин треугольника, то координаты точки
пересечения координат находятся как треть суммы соответствующих координат
всех трёх вершин треугольника.
|[pic] |[pic] |


И так далее. Зная координаты всех вершин додекаэдра, находим уравнения
интересующих нас граней и рёбер пяти тетраэдров, координаты точек
пересечения рёбер и плоскостей, а также уравнения линий пересечения
плоскостей тетраэдров. Это позволяет нам, во-первых, утверждать, что
пересечением данных тетраэдров является икосаэдр. Во-вторых, для
объединения пяти тетраэдров (которое будет одной из звёздчатых форм
икосаэдра) построить развёртки и собрать готовую модель.
Асимметричное и скошенное положение граней этого многогранника
придает ему необычайно привлекательный вид. Для изготовлении модели вам
потребуется двадцать копий заготовок; каждые четыре из них должны иметь
свой цвет. Сначала соединить их по три, таким образом, чтобы всякий раз
получался трехгранный угол с нижними зазубренными краями. Затем склеить
между собой пять таких трехгранников. При этом, проследить, чтобы ребра
разных трехгранников склеивались между собой. Получим кольцо из пяти
трехгранников, в центре которого образуется впадина. После этого построения
легко определить расположение всех остальных трехгранников. При выборе
цвета следует исходить из того, что каждый входящий в соединение тетраэдр
должен быть окрашен в один цвет. Центральные точки каждой впадины совпадают
с вершинами внутреннего икосаэдра, который мы не строим.
Таким способом получим очень жесткую модель.
|[pic] |