Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.test.physchem.msu.ru/doc/pkdifur.doc Дата изменения: Mon Jun 6 14:36:34 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 22:49:31 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: фундаментальные постоянные

Экзаменационные билеты по курсу дифференциальных уравнений ФХФ МГУ им.
М.В. Ломоносова

Весна 2011 г., лектор Н.Н. Шамаров

1. Определения понятия обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и
его решения. Метод изоклин графического построения грубо приближённых
решений одномерных ОДУ; пример. Метод нахождения дифференциальных
уравнений семейств кривых; пример. Метод Ньютона нахождения решений
линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Пример y'(x)=ay(x) (a ?
R, y: R > R).



2. ОДУ первого порядка (I): с разделяющимися переменными, однородных
нелинейных, однородных линейных; методы их решения, примеры.



3. Методы решения ОДУ первого порядка (II): «вариации произвольных
постоянных» для линейных неоднородных ОДУ, сведе'ния к линейным для
уравнений типа Бернулли и для уравнений типа Риккати с подбирающимся
частным решением; примеры.



4. Определение и методы решения ОДУ ``в полных первых дифференциалах'':
введение под знак дифференциала и криволинейное интегрирование II рода;
примеры. Определение ОДУ в первых дифференциалах. Метод интегрирующего
множителя; пример.



5. Теоремы о существовании и о единственности решения нормальной системы
ОДУ первого порядка [pic] ([pic]: (a,b) > [pic]) (1) без
доказательства; пример неединственности. Определения первых интегралов
автономных [pic] (1а) и неавтономных (1) нормальных систем и для ОДУ
в полных дифференциалах; вывод уравнений для первых интегралов
автономных и неавтономных нормальных систем. Определение независимости
системы первых интегралов.



6. Определение независимости системы первых интегралов. Метод получения
решений системы (1) из системы n независимых первых интегралов.
Определение линейных и квазилинейных уравнений в частных производных.
Уравнения характеристик для линейных и для квазилинейных уравнений.

Метод получения решений линейных и квазилинейных уравнений.



7. ``Метод введения параметра'' для уравнений первого порядка, не
разрешённых относительно производной. Понятие и метод поиска особых
решений; пример. Методы понижения порядка: введение новой искомой
функции, введение параметра; примеры.



8. Теорема существования и единственности решений начальных задач для
линейных систем [pic] (л) произвольного натурального порядка n.
Линейность множества решений однородных линейных систем [pic] (л0),
его размерность, линейность разрешающего отображения, фундаментальная
система решений (ФСР). Описание множеств решений неоднородных линейных
систем (л) через множества решений однородных систем (л0).









9. Вывод уравнения для определителя Вронского упорядоченной системы n
решений уравнения (л0).



10. Метод нахождения общего решения линейного однородного, произвольного
натурального порядка, ОДУ [pic] с постоянными коэффициентами. Метод
нахождения частных решений линейных ОДУ [pic] с неоднородностью [pic]
вида квазиполинома.



11. Теорема существования и единственности для линейных уравнений вида

[pic] (у)

Линейность множества решений однородных уравнений вида

[pic], (у0)

его размерность, ФСР. Описание множеств решений неоднородных
линейных уравнений вида (у) через множества решений однородных
уравнений (у0). Вывод уравнения для определителя Вронского
упорядоченной системы n решений уравнения (у0), формула .



12. Метод нахождения второго решения ФСР уравнения (у0) при n=2, если
задано одно из них. Постановка и метод построения функции Грина для
краевой задачи с таким уравнением. Вид общего решения краевой задачи для
(у) при n=2 с произвольной правой частью - с помощью функции Грина.



13. Фазовые портреты решений системы [pic] (2) с постоянной
вещественных матрицей [pic] (I). Случаи с различными собственными
числами.



14. Фазовые портреты решений системы [pic] (2) с постоянной
вещественных матрицей [pic] (II). Случаи с совпавшими собственными
числами (жордановы клетки размера 1 и 2).



15. Свойства простой и экспоненциальной устойчивости линейной системы [pic]
(2) ; примеры. Метод построения фазовых портретов автономных систем
[pic] (1а) в окрестностях их особых точек; пример.



16. Непрерывность и дифференцирование решения начальных задач для
нормальной системы вида [pic] , [pic] (1п) по параметру и по
начальным условиям; примеры.