1. На результатах измерений сказывается отклонение от сферичности формы Солнца, составляющая /37/ 5,21 х 10^-3 %, из-за которой результаты наблюдений отклонений звезд оказываются зависимыми от углового положения радиуса - вектора звезды на небесной сфере и могут различаться в пределах 9,2 x 10^-5 ".

2. Влияние колебаний расстояния от Земли до Солнца при ее орбитальном вращении вокруг Солнца, т.е. влияние отклонения от круглости ее орбиты, составляющего 1,67 %, оценивается дополнительным отклонением звезд, достигающим 2,88 x 10^-2 ".

6. В модели Эйнштейна Земля и Солнце (а также закрывающая Солнце Луна) считались точечными объектами. Обладание ими ненулевыми размерами приводит к тому, что наблюдатель в общем случае располагается на некотором удалении от центральной линии. Подобное смещение вызывает погрешность отклонения звезд, достигающую /4; 42/ 2 x 10^-4 ".

7. Необходимо также учитывать, что во время затмения на отклонение луча влияют поля тяготения Луны и Земли, обусловливающие добавку к релятивистскому отклонению луча в 5,8 x 10^-4 ".

8. Добавка, зависящая от длины волны светового луча, оценивается значением 2,5 x 10^-4 ".

48. Митенок В.В. // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.-М.: Атомиздат, 1977.-Вып. 8.-С. 156.

Для количественной оценки угла dj по Зольднеру воспользуемся прямоугольной декартовой системой координат, в начале которой располагается тяготеющая масса - Солнце S (рис.1.2).

Пусть световой луч удален от начала S координат на некоторое произвольное расстояние R, которое определяется лежащей на луче точкой А. Проведем координатную ось х¹ в направлении, перпендикулярном вектору SA, таким образом, чтобы перемещение световой корпускулы вдоль луча сопровождалось возрастанием координаты х¹. Координатная ось х² направлена при этом в сторону SA.

Будем также считать бесконечно удаленного наблюдателя N неподвижным относительно назначенной таким образом системы координат.

Искомый угол d j , согласно данному выше определению, равен разности углов

(1.1)

наклона к оси х¹ прямых, касательных к лучу в бесконечно удаленных от начала координат точках х¹ = + Г оси х¹, каковыми согласно рис.1.1 являются асимптоты а₁ и а₁'. Вследствие малости угла dj можно приравнять функцию тангенс ее аргументу:

(1.2)

. (1.3)

Разность dj следует брать со знаком "минус" при отклонении лучей в сторону центра Солнца. В противном случае величина dj должна была бы быть положительной.

, (1.4)

где ds - вектор элементарного перемещения световой корпускулы; m_д - ее масса движения. В условиях неопределенности понятия массы применительно к фотону заметим, что для дальнейшего анализа следует лишь иметь в виду обладание фотоном ненулевой массой движения (m_{д N} 0).

Введем временную координату х⁰ = сt. Пусть начальному моменту времени t = x⁰ = 0 соответствует положение световой корпускулы в точке А. Как будет показано ниже, значения угла dj достаточно малы для того, чтобы с хорошим приближением считать световой луч прямой x²=чSAз , параллельной оси х¹.

. (1.5)

Скорость света с является постоянной по значению величиной. Следовательно, вектор ускорения световой корпускулы d²s/dt², как и вектор силы F (1.4), не содержат составляющей, направленной вдоль траектории движения корпускулы, т.е. направлены перпендикулярно световому лучу. Поэтому будем считать, что вектор силы F (1.4) направлен перпендикулярно оси х¹, т.е. вдоль х². Кроме того, вместо производной d²s/dt² в (1.4) следует использовать производную d² (x²)/dt²:

. (1.6)

С другой стороны, в соответствии с законом всемирного тяготения модуль силы F составляет:

, (1.7)

где G - гравитационная постоянная; M_с - масса Солнца; r² - квадрат текущего расстояния между световой корпускулой и Солнцем, с учетом (1.5) равный:

. (1.8)

Приравнивая (1.6) и (1.7) с учетом (1.8) и деля обе части получившегося равенства на m_д N 0, имеем:

. (1.9)

Интегрируя (1.9) в пределах от х¹ = - Г до х¹ = + Г , как того требует (1.3), получаем:

. (1.10)

; (1.11)

. (1.12)

где R_c - солнечный радиус, и, следовательно, k - есть расстояние наибольшего сближения луча с Солнцем. Тогда, с учетом (1.11) - (1.12), выражение (1.10) преобразуется к виду:

. (1.13)

Подставляя в правую часть равенства (1.10) числовые значения входящих в него физических величин G=6,67г10^-11 НЧ м^2Ч кг^-2 ; M_с=1,99г10³⁰ кг; с=3г10⁸ мЧ с^-1; R_с=6,96г10⁸ м, получаем значение постоянной А, равное 4,24 г 10^-6. При k = 1, что согласно (1.12) соответствует касанию Солнца лучом, в выражении (1.10) угол d j равен "минус" A, и, таким образом, величина A есть абсолютное значение угла d j отклонения луча в случае касания им Солнца, причем его значение исчислено в радианах. Переводя значение А в угловые секунды, вслед за Зольднером имеем: А = 0,87 ".

В геометрической оптике лучом считается линия, касательные к которой в каждой точке совпадают с направлением распространения волны электромагнитного излучения. Если f есть некоторая величина, описывающая поле волны и характеризующаяся амплитудой а, частотой w и начальной фазой a , то для плоской монохроматической волны можно записать:

. (1.14)

 где величина k называется волновым 4-вектором:

; (1.15)

j - мнимая единица; индекс i, а также индексы, использованные ниже и обозначенные буквами j; k; l; и s латинского алфавита, могут принимать значения 0; 1; 2; 3. Здесь и далее по повторяющимся индексам производится суммирование в соответствии с правилами тензорной алгебры.

Величина y носит название эйконала. Эйконал, согласно (1.14) описывает поведение волнового процесса в пространстве и во времени. В окрестностях Солнца, в пределах расстояний, соизмеримых с солнечным радиусом, т.е. значительно превосходящих длины волн излучения звезд и существенно меньших межзвездных расстояний, излучение звезд можно считать плоскими волнами. Поэтому для определения отклонения лучей необходимо исследовать поведение эйконала в гравитационном поле Солнца с учетом релятивистских эффектов.

. (1.16)

где n_с - единичный вектор в направлении распространения волны. Кроме того:

. (1.17)

. (1.18)

. (1.19)

. (1.20)

где g^ik - компоненты метрического тензора, соответствующего, согласно выводам теории относительности, метрике Шварцшильда, которая в сферических пространственных координатами r; J ; j имеет вид:

. (1.21)

Поле тяготения, соответствующее метрике (1.21) является центрально - симметричным, поэтому световые лучи представляют собой плоские кривые. Если движение происходит в плоскости J=p/2, то dJ=0 и sinJ=0, а следовательно:

; (1.22)

; (1.23)

. (1.24)

. (1.25)

. (1.26)

соответствующего движению частицы массой m, где S - действие, лишь на вычитаемое m²c². Поэтому, решение (1.20) находится по общим правилам решения уравнения Гамильтона - Якоби в виде:

, (1.27)

с той лишь разницей, что вместо действия S определяется эйконал y, и следовательно, радиальной части действия S_r(r) в искомом решении соответствует радиальная часть эйконала y_r(r), а постоянным коэффициентам - энергии E₀=-#S/#t и моменту импульса I=#S/#j частицы соответствуют частота w₀=-#y/#t электромагнитного излучения и константа #y/#j :

. (1.28)

(1.29)

имеет размерность расстояния. Подстановкой (1.28) в (1.25) с введением обозначения (1.29) можно определить радиальную часть y_r(r) эйконала:

. (1.30)

, (1.31)

пренебрегая в сравнении с r' членом G² Ч M/c⁴:

(1.32)

а далее - членом 2Ч r'Ч GЧ M_c / с²:

(1.33)

. (1.34)

Форма светового луча согласно (1.28) определяется производной j=d[y_r(r)]/d[#y/#j], или, с учетом (1.29), j=#[y_r(r)]/#[RЧw₀/c]=(c/w₀)Ч{#[y_r(r)]/#R}:

. (1.35)

Первое слагаемое в (1.35) определяет прямую линию r'=R/cosj , проходящую на расстоянии R от начала координат и соответствующую прямолинейному световому лучу, каким его можно считать ввиду малости анализируемого явления. Второе слагаемое представляет собой поправку к положению луча, которая согласно (1.1) - (1.3) позволяет вычислить искомое отклонение dj луча, как взятую с отрицательным знаком разность ее пределов при изменении r' в пределах от -Г до +Г . Это отклонение составляет:

. (1.35a)

Выделяя в (1.35a) величину k (1.12) и сравнивая получающееся выражение с (1.13), убеждаемся, что абсолютное значение A отклонения луча, касающегося края Солнца, вычисляется по формуле

(1.36)

, (1.39)

где xⁱ - система координат, пространственные компоненты которой соответствуют рассмотренному выше (см. рис.1.2) зольднеровскому анализу отклонения; Г - символы Кристоффеля:

, (1.40)

а g^is - компоненты метрического тензора.

. (1.41)

, (1.42)

. (1.43)

При этом, компоненты метрического тензора составляют:

; (1.44)

; (1.45)

, (1.46)

где индекс a пробегает значения 1; 2; 3.

, (1.47)

. (1.48)

Искомое отклонение dj (1.3) определяется как разность производных j (1.2), благодаря чему можно записать:

, (1.49)

после чего искать j и d j подстановкой (1.48) в (1.49) при i = 2:

. (1.50)

. (1.51)

Так как величина А (1.11) существенно меньше единицы, а входящее в (1.51) вычитаемое из заключенной в круглые скобки разности меньше А в R_c/r раз, где riR_c, то подобным вычитаемым можно пренебречь в сравнении с уменьшаемым - единицей. Кроме того, дифференцируя (1.8) с учетом x²=R:

(1.52)

. (1.53)

Так как отклонение луча от горизонтали является пренебрежимо малым: х²=чSAз = R = const, и, кроме того, x³ = 0, то в (1.50) имеем:

. (1.54)

Подставляя в (1.50) символы Кристоффеля (1.53) и учитывая равенство дифференциалов (1.47), получаем выражение для расчета j :

, (1.55)

интегрирование которого согласно (1.3) в пределах x¹ от - Г до + Г позволяет определить искомое отклонение лучей d j :

. (1.56)

Выделяя в (1.56) величину k (1.12) и сравнивая получающееся выражение с (1.37), убеждаемся, что абсолютное значение A отклонения луча, касающегося края Солнца и рассматриваемого как траекторию частиц - фотонов, вычисляется по формуле:

. (1.57)

, (1.58)

связывающего энергию Е и импульс p частицы. При этом распространение плоской волны с частотой w и волновым вектором k (1.16) аналогично движению в направлении k со скоростью c света потока частиц, обладающих энергией Е и импульсом р (1.58), а также нулевой массой m, о чем свидетельствует аналогия между уравнением (1.20) эйконала в гравитационном поле и уравнением (1.26) Гамильтона - Якоби.

Более строго геометрия пространства - времени вращающегося гравитирующего объекта описывается метрикой Керра, которую принято записывать в пространственных сферических координатах r; J ; j и в масштабе скоростей с единицей, равной скорости с света.

, (4.54)

. (4.55)

, (4.56)

однако, в анализируемом случае для более удобного разделения переменных в его решение по сравнению с формой (1.27) добавляется член SJ (J ):

, (4.57)

где I_z - компонента орбитального момента импульса частицы, направленная вдоль оси симметрии гравитационного поля.

Уравнения Гамильтона - Якоби сводятся к двум дифференциальным уравнениям, позволяющим вычислить S_r(r) и SJ (J ):

; (4.58)

, (4.59)

. (4.60)

Подставляя (4.57) в (4.60) с учетом вычисленных на основании (4.58) - (4.59) величин S_r(r) и SJ (J ), получаем:

; (4.61)

; (4.62)

; (4.63)

. (4.64)

Уравнения (4.61) - (4.64) представляют собой первые интегралы уравнений движения частицы. Для световых лучей в правых частях этих уравнений по аналогии с процедурой перехода от (1.27) к (1.28) следует положить m = 0, а вместо E₀ следует писать частоту w ₀. Соответственно, в левых частях уравнений вместо производных mЧ (d / ds) необходимо использовать производные d / dl по меняющемуся вдоль лучей параметру l . Этот параметр связан с четырехмерным волновым вектором k (1.16) - (1.17) выражением:

, (4.65)

, (4.66)

В отличие от рассмотренной выше модели с метрикой Шварцшильда, уравнения (4.61) - (4.64) допускают движение в одной плоскости лишь в том случае, если эта плоскость является экваториальной, т.е. при J =p /2. Данное свойство соответствует результатам описанного в предыдущем разделе анализа экспериментальных данных. Приравнивая в (4.64) dJ /ds=0 и выражая К через E₀ и I_z:

, (4.67)

. (4.70)

Процедура решения системы (4.68) - (4.70) относительно отклонения d j луча, распространяющегося в экваториальной плоскости и являющегося чисто радиальным, достаточно сложна, поэтому подробно на ней останавливаться не будем. Укажем лишь окончательный результат, приведенный к обычному масштабу скоростей (c = 3 г 10⁸ мЧ с^-1 ):

, (4.71)

. (4.72)

где i - единичный вектор в направлении орбитального момента импульса фотонов светового луча; i' - единичный вектор в направлении вектора момента I' импульса Солнца.

Момент импульса I' Солнца рассчитывается по формуле:

, (4.72а)

где Т - средний, относительно земного наблюдателя, период вращения Солнца вокруг собственной оси. Солнце является медленно вращающимся телом, т.к. величина Т составляет около 27,3 суток, или 2,36 г 10^-6 секунд. При этом 2Ч p Ч R_c/T< < c, что количественно отражает медленность вращения Солнца. Момент j инерции Солнца, как шара, вращающегося вокруг геометрического центра, составляет:

. (4.72б)

Выделяя в (4.72) величины k (1.12) и А (1.57), а также учитывая (4.72) - (4.72б) получаем, что величина d j составляет:

. (4.73)

. (4.74)

Анализируемая керровская модель отклонения лучей предполагает асимметрию лучей по отношению к центральной линии, вносимую скалярным произведением (i; i').

При совпадении направлений векторов орбитального момента импульса фотона и момента мпульса Солнца скалярное произведение (i; i'), входящее в (4.72) - (4.74), положительно, что уменьшает по абсолютному значению суммарное абсолютное значение отклонения d j луча. Луч приобретает дополнительное смещение в сторону, противоположную центру Солнца, а звезда - в сторону центра Солнца.

При противоположности направлений векторов орбитального момента импульса фотона и момента импульса Солнца скалярное произведение (i; i') отрицательно. Следовательно, зависящий от вращения Солнца член увеличивает по абсолютному значению суммарное радиальное отклонение d j луча, который получает дополнительное смещение в сторону центра Солнца при смещении звезды в сторону, противоположную центру Солнца.

(4.75)

, (4.76)

Исчезающая малость входящей в (4.74) - (4.76) керровской добавки по сравнению с эйнштейновым значением отклонения A=-1,75 " не позволяет при достигнутом уровне средств измерения осуществить экспериментальную проверку данной модели.

С одной стороны, результаты измерений отклонения световых и радиолучей содержат целый "букет" трудно поддающихся учету погрешностей. Поэтому существующие экспериментальные оценки отклонения не могут быть истолкованы однозначно даже в тех случаях, когда сами авторы наделяют свои оценки субпроцентным соответствием теории относительности и такими же малыми доверительными интервалами полученных результатов. С другой стороны, существующие модели луча содержат достаточно ограниченный набор параметров, характеризующих Солнце, околосолнечное космическое пространство, фотоны светового луча, а также свойства самого пространства-времени, на "фоне" которого и происходит искривление лучей звезд, распространяющихся вблизи Солнца.

Сказанное оставляет достаточно широкий простор для творчества, причем не только в плане разработки новых моделей отклонения лучей и методик экспериментов по его измерению, но и в плане построения общефизических концепций. В последнем случае уже накопленный по рассматриваемой проблеме опыт следует использовать для тестирования разрабатываемых концепций. Подобное тестирование может осуществляться путем сравнения качества соответствия имеющихся экспериментальных данных тестируемой концепции и какой-либо базовой теории, например, теории относительности.

Так, если предположить, что физическое пространство-время отличается по своим свойствам от пространства Минковского, то угол отклонения луча, касающегося края Солнца, будет отличаться от (1.57) в той мере, в какой метрика и геодезическая линия пространства-времени отличаются соответственно от метрики Шварцшильда (1.43) (либо Керра (4.54)) и римановой геодезической линии (1.48). Например, если пространство-время наделено геометрией абсолютного параллелизма (анализу которой Эйнштейн посвятил 13 своих работ), то, рассчитывая отклонение лучей, с метрикой Керра (4.54) следует проинтегрировать геодезическую линию пространства абсолютного параллелизма, имеющую согласно Г.И.Шипову вид:

, (7.1)

и отличающуюся от римановой геодезической (1.48) третьим слагаемым, в котором четырехмерные коэффициенты вращения Риччи T обусловлены кручением пространства-времени.

Содержание - Назад - E-mail