Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://theorphys.phys.msu.ru/education/zad_khd.pdf Дата изменения: Sat Feb 17 10:51:26 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:50:56 2012 Кодировка: IBM-866 Поисковые слова: с р р с с п п р п п с с с р р р р р п п р р р р п р п п

.. естереко
nesterav@theor.jinr.ru

д чи к ф культ тивому курсу лекций для студетов 5 курс к федры теоретической физики изического ф культет им. .. омоосов


екция 1.

л ссическ я теория поля. гр жев и г мильтоов форм лизмы. имметрии и их следствия.

д ч 1.1. ок з ть, что из условия миимум действия системы A = 0 следуют ур в-

еия йлер { гр ж

= 0, (1.1) )] где A = L (x) d4 x { действие, L = L [ua (x), І ua (x)] { л гр жи , {ua (x)} { бор фукций поля.
д ч 1.2. ок з ть, что в спиорой электроди мике

L L - І ua (x) [І ua (x

1 = - FІ F І + iD - m 4 ур веия движеия (1.1) приим ют вид
L
QED

(1.2)

І F

І

= ej



iD - m

=0

,

(1.3)

где FІ = І A - AІ , D = DІ І , DІ = І - ieAІ и j = .
д ч 1.3. ывести ди мические ив ри ты для свободого поля ир к . ч стости,

пок з ть, что тезор эергии{импульс TІ и вектор ток jІ имеют следующий вид:
TІ jІ

І - І , 2 = І . =
gauge

i

(1.4) (1.5)

д ч 1.4. ок з ть, что ур веие движеия свободого электром гитого поля при

ложеии ков ри той к либровки L
І F
І

= (І AІ )2 /(2 ) имеет вид

1 + І AІ = 0,


(1.6)

где { к либровочый п р метр (произволь я действитель я постоя я). ок з ть, что в ков ри той к либровке проп г тор электром гитого поля определяется формулой kІ k i (1.7) DІ (k ) = 2 -gІ + (1 - ) 2 .
k k

д ч 1.5. ок з ть, что ур веие движеия свободого электром гитого поля при

ложеии кси льой к либровки Lgauge = (nІ AІ )2 /(2 ) имеет вид 1 І F І - n nІ AІ = 0,


(1.8)

где nІ { екоторый постояый 4-вектор р змерости м ссы (n2 > 0) и { к либровочый п р метр. ок з ть, что в кси льой к либровке проп г тор электром гитого поля приим ет вид kІ k 2 kІ n + k nІ i n+ DІ (k ) = 2 -gІ + (1 - ) . (1.9) k (kn)2 kn 2


д ч 1.6. ывести ур веия движеия в хромоди мике
LQCD

1 = - Ga GaІ + 4 І

i f i І (DІ
f

j )ij - mf ij f ,

(1.10)

где i, j = 1, 2, 3, a = 1, . . . , 8, f обоз ч ет ром т кв рк ,
Ga І

(DІ )ij
t
a

= І Aa - Aa - gfabc Ab Ac , І І g aa = ij І + i A, 2 a ij І

(1.11) (1.12)

= a /2 { геер торы к либровочой группы S U (3), [ta , tb ] = ifabc tc . олучить выр жеия для глюоого проп г тор в ков ри той и кси льой к либровк х.

екция 2.

в тов я теория поля. редст влеие вз имодействия. и гр ммы ейм .

д ч 2.1. ок з ть, что м триц р ссеяия может быть предст вле в виде
S

= T exp i Lint (x) d4 x ,

(2.1)

где Lint (x) содержит только члеы вз имодействия.
д ч 2.2. предположеии м лости кост ты связи пок з ть, что м триц р ссея-

ия (2.1) может быть предст вле в виде ряд теории возмущеий
S

1+

n1

1 n!

Sn (x1 , ..., xn ) dx1 ...dxn ,

(2.2) (2.3)

где

Sn (x1 , ..., x

n

) = in T Lint (x1 )...Lint (xn ) .

д ч 2.3. ля теории ск лярого поля с Lint (x) = h3 (x) выпис ть первые три чле р з-

ложеия (n = 1, 2, 3) S м трицы (2.3) и сопост вить к ждому из их соответствующие ди гр ммы ейм . (n = 1, 2, 3) S м трицы (2.3) и сопост вить к ждому из их соответствующие ди гр ммы ейм .

д ч 2.4. ля спиорой электроди мики (1.2) выпис ть первые три чле р зложеия

д ч 2.5. ля хромоди мики (1.10) с учетом полей духов L

= І a (ab І - gfabc Ac )b І выпис ть первые три чле р зложеия (n = 1, 2, 3) S м трицы (2.3) и сопост вить к ждому из их соответствующие ди гр ммы ейм .
ghost

3


екция 3.

сходимости в кв товой теории поля и методы их устр еия.

д ч 3.1. ля теории ск лярого поля с Lint (x) = h4 (x) пок з ть, что м тричые эле-

меты процесс р ссеяия 2 2 в первом (M1 , ис. 1 A) и втором (M2 , ис. 1 B) порядк х теории возмущеий имеют вид: ih (4) (p1 + p2 - k1 - k2 ) h M1 = , M2 = -M1 I (k + k ), (3.1) 2 0 p0 k 0 k 0 (2) (4)2 1 2 4 p1 2 1 2
m2

где p0 =

+ p2 и
I (k

)=

i 2

десь и д лее в проп г тор х ск лярого поля подр зумев ется, что м сс имеет бескоечо м лую мимую доб вку -i.
©
­ ­

d4 p . [m2 - p2 ][m2 - (p - k)2 ]

(3.2)

©

­

ў­ ў¬

­

A

©

¬

¬

B

©

¬

¬

исуок 1: роцесс р ссеяия 2 2 в первом (A) и втором (B) порядк х теории возмущеий в ск лярой теории с Lint (x) = h4 (x).
д ч 3.2. ок з ть, что в р змерой регуляриз ции итегр л I (k) (3.2) приим ет вид

reg I (k) =

i2 І 2 -



d4-2 p [m2 - p2 ][m2 - (p - k)2
1

] + O(),
0+ ,

1


+ E - ln(4) +
0

ln

m2 - x(1 - x)k 2 dx І2

(3.3)

где І { точк ормировки (произвольый положительый п р метр р змерости м ссы), E 0.577 { постоя я йлер . к з ие: для вычислеия импульсого итегр л использов ть {предст влеие.
д ч 3.3. ок з ть, что в регуляриз ции ули{илл рс итегр л I (k) (3.2) приим ет

вид

reg I (k) =

i 2 -

ln

где І { точк ормировки.

1 1 1 1 4 2 - p2 - M 2 - p2 m2 - (p - k )2 - M 2 - (p - k )2 d p m 1 M2 m2 - x(1 - x)k 2 1 + ln dx + O , M 2 , 2 2 І І M2 0 4

(3.4)


д ч 3.4. ок з ть, что в фейм овской регуляриз ции (\пл вое обрез ие") итегр л
I (k

) (3.2) приим ет вид reg I (k) =
i 2 -

d4 p 2 - p2 [m2 - p2 ][m2 - (p - k )2
2 1

2

] +1+O 1
2

ln

І2

+
0

ln

m2 - x(1 - x)k 2 dx І2

,

2 ,

(3.5)

где І { точк ормировки.
i 2

д ч 3.5. ычислить итегр л I (k) (3.2) в литической регуляриз ции

reg I (k) =

d4 p , [m2 - p2 ]1+ [m2 - (p - k)2 ]1+

0+ .

(3.6)

екция 4.

етод реормгруппы в кв товой хромоди мике.

д ч 4.1. ок з ть, что в глюоди мике (т.е., в отсутствие кв рковых полей)

1 = - І A - AІ - g[AІ , A ] 2 (4.1) 4 вычислеие одопетлевых попр вок к глюоому проп г тору и верши м трехглюоого и четырехглюоого вз имодействия приводит к следующим котрчле м в Lgl : 1 (1) Lgl = - (z2 - 1)(І A - AІ )2 - 2g (z1 - 1)(І A - AІ )[AІ , A ] 4 2- (4.2) + (z1 z2 1 - 1)g2 [AІ , A ]2 ,
Lgl

где

M2 5g2 ln 2 . 242 І к з ие: использов ть регуляриз цию ули{илл рс . z1

=1+

g2 122

ln

M2 І2

,

z2

=1+

(4.3)

д ч 4.2. ок з ть, что общее решеие системы диффереци льых ур веий реорм-

группы

- 2 (g ) D( x, g ) = 0, ~ ln g - (g ) - 3 (g ) 3 ( x1 , x2 , x3 , g ~~~ ln g - (g ) g ( , g ) = 0 ln g - (g



)

(4.4) ) = 0, (4.5) (4.6)

может быть предст влео в виде
n

( xi , g ) = ~

n

(xi , g) exp ~ 5


1



d n g ( , g ) ,

(4.7)


где
n (g

)=



n

(t, g)
t

t

=1

,

(g

)=

g (t, g t

)
t

=1

.

(4.8)

д ч 4.3. ыпис ть м тричый элемет, соответствующий ди гр мме, предст влеой

ис. 2 A, и пок з ть, что
(1) (k 2 І

)=i

g 22 n g k 2 - kІ k 4 3 f І

1


-

ln

k2 І2

+ const ,

(4.9)

где nf { число ктивых кв рков. к з ие: использов ть фейм овскую п р метриз цию, р змерую регуляриз цию и счит ть все кв рки безм ссовыми.
д ч 4.4. ыпис ть м тричый элемет, соответствующий ди гр мме, предст влеой

ис. 2 B, и пок з ть, что
(2) (k 2 І

)=i

g 2 Nc -19gІ k 2 4 12

+ 22kІ k

1


-

ln

k2 І2

+ const ,

(4.10)

где Nc = 3 { число цветов. к з ие: использов ть выр жеие для глюоого проп г тор в ков ри той к либровке.
д ч 4.5. ыпис ть м тричый элемет, соответствующий ди гр мме, предст влеой

ис. 2 C, и пок з ть, что
(3) (k 2 І

)=i

g 2 Nc -gІ k 2 - 2kІ k 4 12

1


-

ln
(4)
І

k2 І2

+ const .

(4.11)

д ч 4.6. ыпис ть м тричый элемет, соответствующий ди гр мме, предст влеой

ис. 2 D, и пок з ть, что в ков ри той к либровке

(k2 ) = 0.

д ч 4.7. ыпис ть м тричые элеметы, соответствующие ди гр мм м, предст вле-

ым ис. 2 E и ис. 2 F, и пок з ть, что в приближеии безм ссовых кв рков их совокупый вкл д в вершиую фукцию имеет вид k2 g2 41 2 Nc - - ln + const . (4.12) І (k ) = g І i 2 4 3 І2 к з ие: выбр ть импульсы, ук з ые рисуке. ис. 2 G, и пок з ть, что в приближеии безм ссовых кв рков 2 2 ^ g 4 1 - ln k + const . (k2 ) = ik 4 3 І2

д ч 4.8. ыпис ть м тричый элемет, соответствующий ди гр мме, предст влеой

(4.13)

д ч 4.9. р мк х теории возмущеий пок з ть, что переормиров я кост т

связи силього вз имодействия в одопетлевом приближеии имеет вид
g

=g 1+

g 2 0 4 2

ln

k2 І2

,

(4.14)

где 0 = 11Nc /3 - 2nf /3. ок з ть, что соответствующ я фукция (4.8) приим ет вид g2 (g ) = -g . (4.15) 4 0 6


§

§
ў

ў

ў

A

ў

B



§

ў

C

ў

D

§
E

ў ў

ў

ў

§
ў

ў

®
F

®

§

ў

G

ў

исуок 2: допетлевые попр вки к глюоому проп г тору (A{D), вершие кв рк{ глюоого вз имодействия (E, F), и кв рковому проп г тору (G).

екция 5.

в ри тый з ряд и симптотическ я свобод в .

д ч 5.1. ок з ть, что пертурб тивое решеие ур веия реормгруппы (4.6) для и-

в ри того з ряд s (Q2 ) = g2 (Q2 )/(4)
d
( ln s ) (І2 ) =- d ln І2
-

1


j

j

=0

() s (І2 4

)

j

+1

(5.1)

7


в одопетлевом приближеии ( = 1) имеет вид 4 1 Q2 (1) s (Q2 ) = , z = 2. (5.2) 0 ln z йти з висимость м сшт бого п р метр от точки ормировки Q2 и от з че0 (1) 2 ия s (Q0 ). к з ие: р зделить перемеые в ур веии (5.1) и проитегриров ть результ т в коечых предел х.
д ч 5.2. ок з ть, что решеие ур веия реормгруппы для ив ри того з ряд

(5.1) в двухпетлевом приближеии ( = 2) имеет вид j 4 1 1 (2) , Bj = j +1 , (5.3) s (Q2 ) = - -1 0 B1 1 + W-1 - exp - 1 + B1 ln z 0 где W-1 (x) обоз ч ет соответствующую ветвь W {фукции мберт , котор я определяется ур веием Wk (x) exp[Wk (x)] = x. йти з висимость м сшт бого п р метр (2) от точки ормировки Q2 и от з чеия s (Q2 ). ок з ть, что в пределе Q2 бе0 0 гущ я кост т связи (5.3) может быть предст вле в виде 4 1 ln(ln z ) (2) s (Q2 ) . (5.4) - B1 0 ln z ln2 z группы для ив ри того з ряд (5.1) в трехпетлевом приближеии ( = 3) имеет вид ln(ln z ) 1 4 1 2 2 (3) - B1 (5.5) s (Q2 ) 2 z + ln3 z B1 ln (ln z ) - ln(ln z ) - 1 + B2 . 0 ln z ln

д ч 5.3. ок з ть, что в пределе Q2 итер тивое решеие ур веия реорм-

екция 6.

рто я модель.

д ч 6.1. ыпис ть м тричый элемет, соответствующий процессу упругого р ссеяия

электро точечоподобом протое (ис. 3 A), и пок з ть, что о может быть предст вле в виде e4 |Mif |2 = 4 LІ (k , k , m)LІ (P, P , M ), (6.1)
Q

где = = подоб я обл сть) и

Q2

-q 2

-(k - k )2 > LІ (k , k , m

0 { кв др т перед ого импульс (простр ствео{ ) = 2 kІ k + k kІ - gІ (kk - m2 ) . (6.2)

д ч 6.2. ок з ть, что диффереци льое сечеие упругого лепто{протоого р ссе-

яия (ис. 3 A) имеет вид 22 M 2y d = 4 1 + (1 - y)2 - 2
dQ Q kP

4
Q4

2

при y 0,

(6.3)

где = e2 /(4) и y = (qP )/(kP ). 8


®

®

ў «
A

ў
«
®

«
B

исуок 3: роцессы упругого (A) и глубокоеупругого (B) лепто{уклоого р ссеяия.
д ч 6.3. сходя из условий лорец{ив ри тости, эрмитовости, четости и к либ-

ровочой ив ри тости тезор WІ , описыв ющего протоую вершиу процесс глубокоеупругого р ссеяия (ис. 3 B), пок з ть, что тезор WІ может быть предст вле в виде
W
І

(P, q) = -W1 (P, q ) gІ -

qІ q q2



+

W2 (P, q 2 Mp

)

Pq PІ - 2 q q

І

Pq P - 2 q q



,

(6.4)

где W1 (P, q) и W2 (P, q ) { екоторые ре льые ск лярые фукции, описыв ющие вутреюю структуру прото .
д ч 6.4. ок з ть, что в р мк х п ртоой модели кв др т м тричого элемет глу-

бокоеупругого лепто{уклоого р ссеяия (ис. 3 B) имеет вид
|Mif |
2

=

e4 Q4

4(kP )
y

xy 2 W1 (P, q

)+

W2 (P, q ) Mp

1

2 Mp 2 2 -y- 2x y Q

,

(6.5)

где x = Q2 /(2P q) { ч сть импульс укло , которую есет вз имодействующий с фотоом п рто и = P q/Mp .
д ч 6.5. р мк х п ртоой модели вывести формулу для диффереци лього сечеия

процесс глубокоеупругого лепто{уклоого р ссеяия (ис. 3 B)
d dx dQ2

=

4

2

Q4 42 F2 (x, Q2 Q4 x

y 2 F1 (x, Q2

)+

F2 (x, Q2 x

)

1-y-

2 Mp xy s

)

при s ,

(6.6)

где s = (k + P )2 { кв др т полой эергии лепто и укло в системе цетр м сс, F1 = W1 и F2 = W2 /Mp { структурые фукции прото . 9


екция 7.

лектро{позитро я игиляция в дроы.

д ч 7.1. йти сечеие процесс электро{позитроой игиляции в І+ І- (ис. 4 A). д ч 7.2. ок з ть, что сечеие процесс электро{позитроой игиляции в дроы

(ис. 4 B) имеет вид



= 4

где s = q2 = (p1 + p2 )2 > 0 { кв др т полой эергии электро и позитро в системе цетр м сс (времеи{подоб я обл сть). ур веии (7.1) LІ { лептоый тезор: 1 LІ = qІ q - gІ q 2 - (p1 - p2 )І (p1 - p2 ) , (7.2) 2 І { дроый тезор:
І

2 2 2 LІ s3

І

,

(7.1)

= (2)4

(p1

+ p2 - p ) 0|JІ (-q)|

|J (q )|0 ,

(7.3)

{ коечое дроое состояие, JІ { электром гитый ток кв рков:
n

J

І

=
f

f

Q
=1

f

: q І q :

(7.4)

и Qf обоз ч ет з ряд кв рк ром т f в едииц х з ряд электро . к з ие: счит ть электро безм ссовым.

©­ ў

­





©­

ў

A

§

©¬

®

¬

§

B

§

©¬

®

исуок 4: роцессы электро{позитроой игиляции по электросл бому (A) и сильому (B) к л м.
д ч 7.3. ок з ть, что дроый тезор
І

2 Im

І

, где

(7.3) может быть предст вле в виде

І

=

І

(q2 ) = i e

iq x

0 |T {JІ (x) J (0)}| 0 d4 x = (qІ q - gІ q2 ) (q2 ).

(7.5)

д ч 7.4. ывести дисперсиоое соотошеие для дроой фукции поляриз ции в -

куум (q2 ) (7.5)



(q2

)= (

s ) - q2 - s
4m2

R(s) ds, (s - q2 )(s - s )

(7.6)

10


где m = (134.9766 ‘ 0.0006) э { м сс 0 мезо (легч йшего дроого состояия). подитегр льом выр жеии (7.6) фукция R(s) обоз ч ет R{отошеие электро{ позитроой игиляции в дроы
R(s

)=

1 (e+ e- дроы; s) lim [ (s - i) - (s + i)] = . 2i 0+ (e+ e- І+ І- ; s)

(7.7)

к з ие: использов ть итегр льую формулу оши с вычит ием.
д ч 7.5. ля D{фукции длер
D(Q2 d

)=

вывести дисперсиоое соотошеие


(-Q2 ) d ln Q2
R(s) ds. (s + Q2 )2

(7.8)

D(Q2

)=Q

2 4m2

(7.9)

ок з ть, что обр тое к (7.9) итегр льое соотошеие между величи ми D(Q2 ) и R(s) имеет вид s-i 1 d R(s) = D(- ) , lim (7.10) 0+ 2i где котур итегриров ия в комплексой -плоскости лежит в обл сти литичости подитегр лього выр жеия (7.10).
д ч 7.6. р мк х теории возмущеий пок з ть, что D{фукция длер (7.8) в одоs+i

петлевом приближеии имеет вид
(1) Dpert (Q2

n

)=N

f

c
f

=1

Q2 f

1 (1) 1 + s (Q2 ) ,


(7.11)

(1) где бегущ я кост т связи s (Q2 ) определе в (5.2). помощью итегр лього со(1) отошеия (7.10) пок з ть, что фукция R(s), соответствующ я Dpert (Q2 ) (7.11), имеет вид nf 1 (1) (1) Q2 1 + s (s) , Rpert (s) = Nc (7.12) f

где

f

=1



ln w 4 1 1 s - arctg (7.13) , w = 2. 0 2 ок з ть, что в ультр фиолетовом пределе s ур веие (7.12) приим ет вид
(1) s (s

)=

(1) Rpert (s)

nf

Nc
f

=1

Q2 f

1+


(1) s (|s|) - 3

1

0 4

2

(1) s (|s|

(1) ) 3 + O s (|s|)

5

.

(7.14)

д ч 7.7. сходя из эксперимет льых д ых колл бор ции CLEO R(s0 ) = 3.56 ‘

0.01 (stat.) ‘ 0.07 (syst.), s0 = 10.52 э (nf = 4) оцеить з чеие м сшт бого п р метр в одопетлевом приближеии. 11


екция 8.

клюзивый р сп д лепто .
к измеряемому эксперимете отоше ,V

д ч 8.1. йти шириу р сп д лепто по электросл бому к лу (ис. 5 A). д ч 8.2. ок з ть, что силь я попр вк

ию двух шири р сп д лепто ( - дроы) R = =R ( - e- e ) = Nc |Vud |2 + |Vus |2 SEW может быть предст вле в виде
2 M QCD

QCD

+R

,A

+ R

,S

QCD

+ EW

(8.1)

=2
0

1-

s 2 M

2

1+2

s ds R0 (s) 2 , 2 M M
1

(8.2)

где M = 1.777 э { м сс лепто ,
n

R0 (s)

= R(s) N

f

-

c
f

=1

Q2 f

,

(8.3)

R(s) определео в (7.7). ур веии (8.1) |Vud | = 0.97377 ‘ 0.00027 и |Vus | = 0.2257 ‘ 0.0021 { элеметы м трицы биббо{об яши{ ск в , SEW = 1.0194 ‘ 0.0050 и EW = 0.0010 { электросл бые попр вки.





№



№




A

B

‹Џ

исуок 5: роцессы р сп д лепто по электросл бому (A) и сильому (B) к л м.
д ч 8.3. р мк х теории возмущеий пок з ть, что в одопетлевом приближеии вели-

чи R ,V (8.1), соответствующ я р сп ду лепто по векторому к лу с уч стием только легких (u, d) кв рков, может быть предст вле в виде 1 (1) 2 Nc |Vud |2 SEW 1 + s (M ) + EW . (8.4) R ,V = 2 12


д ч 8.4. сходя из эксперимет льых д ых колл бор ции ALEPH R

0.011 ‘ 0.007 (nf = 2) оцеить з чеие м сшт бого п р метр ближеии.

= 1.787 ‘ в одопетлевом при ,V

екция 9.

кл д сильых вз имодействий в электросл бые процессы.

д ч 9.1. ок з ть, что в лидирующем порядке теории возмущеий вкл д сильых вз 2 32


имодействий в ом льый м гитый момет мюо aІ = (g - 2)І /2 (ис. 6) имеет вид
aІ
HLO

=

K (s)R(s
4m2

),

ds s

(9.1)

где R(s) определео в (7.7),
1

K (s)

=
0

x2

(1 - x) dx, + (1 - x)s/m2 І

x2

(9.2)

mІ = 105.658 э { м сс мюо .





Ґ



исуок 6: кл д сильых вз имодействий в ом льый м гитый момет мюо .
д ч 9.2. ок з ть, что вкл д сильых вз имодействий в сдвиг постояой токой струк-

туры

1 м сшт бе м ссы Z {бозо определяется формулой:
2 had (MZ (5)

(q 2

)=

0 , - (q 2 )

(q 2
-

)=

0 2 0 (q 3

)

(9.3)

)=

0 2 - MZ 3

4m2

R(s) ds , 2 s - MZ s

(9.4)

где 0 = 1/137.036, MZ = (91.1876 ‘ 0.0021) э, итегриров ие в (9.4) поим ется в смысле гл вого з чеия. к з ие: использов ть дисперсиоое соотошеие для дроой фукции поляриз ции в куум (q2 ) (7.6) с вычит ием в точке s = 0. 13


екция 10.

оф ймет: потеци льые модели.

д ч 10.1. ок з ть, что в лидирующем порядке теории возмущеий мплитуд процесс

р ссеяия кв рк тикв рке в ерелятивистском пределе имеет вид
M
if

(k) =

4 g2 , (2)6 3 k2 1

(10.1)

где k { перед ый импульс.
д ч 10.2. ок з ть, что потеци л кв рк{ тикв ркового вз имодействия в мезое, со-

ответствующий мплитуде (10.1)
V (x

) = -(2)3

Mif (k

) exp(-ikx) d3 k ,

(10.2)

в сферически{симметричом случ е имеет вид 4 , V (r) = - 3r где = g2 /(4).
V (r

(10.3)

д ч 10.3. ок з ть, что потеци л межкв ркового вз имодействия в б риое имеет вид

2 . (10.4) 3r ок з ть, что вз имодействие трех кв рков через трехглюоую вершиу е д ет вкл д в мплитуду трехч стичого р ссеяия. )=-
д ч 10.4. ок з ть, что в сферически{симметричом случ е потеци л кв рк{

тикв ркового вз имодействия

8 V (r) = - 3



(Q2
0

)

sin(Qr)
Qr

dQ,

(10.5)

вычислеый с использов ием эффективой одопетлевой бегущей кост ты связи 4 1 (1) , (10.6) R (Q2 ) = 0 ln(1 + Q2 / 2 ) является лиейо р стущим при r .

екция 11.

оф ймет: модель мешков.

д ч 11.1. ок з ть, что поверхости ст тического кв ркового мешк , котор я опре-

деляется орм льым к ей едиичым вектором n, для собствеых векторов q+ и q- опер тор (n ) (n )q‘ = ‘iq‘ (11.1) 14


выполяется условие отсутствия цветового ток через поверхость мешк
q‘ (n )q
‘

bag

= 0.

(11.2)

д ч 11.2. ок з ть, что кв ты, описыв емые собствеым вектором q- (x) опер тор

(n ) (11.1), являются тич стиц ми по отошеию к кв т м, описыв емым собствеым вектором q+ (x). к з ие: использов ть соотошеие между воловыми фукциями ч стицы q и соответствующей тич стицы q: ~
q (x ~

) = C P T q(x),

CP T q

= 0 i2 i1 3 (q) .

(11.3)

д ч 11.3. ок з ть, что в сферически{симметричом случ е (n = er ) условие коф й-

мет цвет (11.2) и условие р веств д влеия кв рков вутреюю поверхость мешк р диус R д влеию физического в куум B = (146 э)4 вешюю поверхость мешк (модель \MIT bag") з д ются системой ур веий
- i (er ) q (x

) = q(x) )

1 (n ) 2

|x|=R

,

q (x)q (x
q

|x|=R

=B.

(11.4)

екция 12.

опологическ я структур в куум в .

д ч 12.1. ок з ть, что в 4{мером евклидовом простр стве{времеи ур веия дви-

жеия для системы с действием (чист я глюоди мик )
A

=-
І

1 2g

2

Tr GІ GІ d4 x
І

(12.1) (12.2) (12.3)

имеют вид где

DІ G GІ

= І GІ + AІ , G

= 0,

= І A - AІ + AІ , A .

д ч 12.2. ок з ть, что для к либровочой группы S U (2) решеие ур веия с моду-

льости

1 = І G 2 в евклидовом простр стве{времеи имеет вид
GІ

= GІ ,

G

І



(12.4) (12.5)

AІ (x

) = -2i

(x - a) , |x - a|2 + 2
І

15


где 4{вектор aІ з д ет положеие цетр ист то , { х р ктерый р змер ист то , І = iІ i /2, І = iІ i /2, i = 1, 2, 3, iІ обоз ч ет символ 'т офт :


iІ

=

iІ , , iІ - , i

І,

= 1, 2, 3 , =4 І=4



iІ

=

iІ , - , iІ , i

І,

= 1, 2, 3 . =4 І=4

(12.6)

к з ие: решеие ур веия (12.4) следует иск ть в виде
AІ (x

)=i

І





ln (x)

(12.7)

и использов ть сигулярое к либровочое S U (2) преобр зов ие AІ U (AІ + І )U -1 , где 1 U (x) = (x4 1 + ixi i ). (12.8)
|x |

десь i { м трицы ули, 1 { едиич я м триц (2 Ѕ 2).
д ч 12.3. ок з ть, что решеие (12.5) приводит к тезору пряжеости поля
GІ 2

= 4i

І

|x - a |2

+

. 22

(12.9)

ок з ть, что при x решеие (12.5) переходит в \чистую к либровку"
AІ (x) U (x)І U -1 (x) , x .

(12.10)

ок з ть, что плотость действия (12.1) для решеий (12.5) лок лизов вблизи цетр ист то 1924 2 GІ = (12.11) 4, |x - a|2 + 2 и что действие (12.1) решеии (12.5) приим ет коечое з чеие A = 82 /g2 .
д ч 12.4. ок з ть, что решеие ур веия тис моду льости
G
І

= -GІ (x - a) . |x - a|2 + 2
І

(12.12)

в евклидовом простр стве{времеи имеет вид
AІ (x

) = -2i

(12.13)

йти тезор пряжеости глюоого поля, плотость действия, и вычислить действие решеии (12.13).

16