Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://sed.sao.ru/~vo/disser/ch5.html
Дата изменения: Thu May 4 19:37:06 2006
Дата индексирования: Mon Oct 1 20:35:25 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: stars
Methods and results of radio cosmology. Chapter 5. Выход на текущий сервер sed.sao.ru            

Методы и результаты наблюдательной радиокосмологии

Диссертация на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук

Глава 5. Исследование реликтового излучения

gzipped PostScript версия здесь, 2005 г.
Начало Введение Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 Библиография Приложения

Верходанов О.В.

Специальная Астрофизическая обсерватория

Оглавление

Основные результаты этой главы изложены в статьях рецензируемых изданий Верходанов и др., 2005b; Naselsky et al., 2003b, 2004a; Chiang et al., 2003.

5.1. Введение

Данные радиоастрономических обзоров могут быть разделены на 2 категории. Первая - дискретные радиоисточники, с которыми связаны проблемы выделения и оценки параметров точечных объектов, вторая - фоновые компоненты, которые требуют независимого анализа, отличного от проблемы исследования дискретных источников. Исследование фоновых составляющих сигнала, к которым относится и реликтовое излучение, связано прежде всего с анализом распределения мощности излучения в зависимости от углового масштаба, с одной стороны, а также с анализом фаз сферических гармоник, с другой стороны. Обе задачи на небесной сфере решаются с применением техники разложения протяженного сигнала на сферические гармоники, точность определения которых определяется, в частности, методами пикселизации карт. Высокая точность вычисления коэффициентов гармоник определяет ортогональность разложения при обращении карт на сфере.

Отметим основные шаги обработки данных реликтового излучения (РИ или CMB - Cosmic Microwave Background) на небесной сфере:

  1. регистрация данных в формате временных рядов,
  2. пикселизация,
  3. обращение: карты - сферические гармоники,
  4. разделение компонент наблюдаемого сигнала и выделение сигнала РИ,
  5. анализ статистики флуктуаций,
  6. вычисление спектра мощности сигнала cl в зависимости от номера гармоники ell (мультиполя) и
  7. оценка космологических параметров.

Открытие доступа к данным первого года наблюдений на спутнике WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) из точки Лагранжа L2 позволило исследовать с высокой точностью флуктуации РИ, применив новые методы на различных этапах обработки. Согласно современным представлениям, первичные флуктуации плотности в ранней Вселенной, образовавшие крупномасштабную структуру, впечатаны в микроволновое фоновое излучение как температурные флуктуации. Поэтому анализ статистических свойств данных поможет прояснить характер первичных флуктуаций и в дальнейшем исследовать топологические свойства Вселенной.

В данной Главе описываются новый подход в пикселизации карт на небесной сфере, дающий быстрый и точный алгоритм разложения сигнала на сферические гармоники. Фазовый анализ гармоник позволил также проверить гипотезу о случайном Гауссовом поле (СГП), обнаружить не-Гауссовость в распределении сигнала и на основании гипотезы о некоррелированности фаз искомого сигнала РИ и фоновых компонент провести разделение компонент наблюдаемого излучения.

Ниже излагаются новые методы и результаты, полученные в данной работе. В начале каждого параграфа проводится анализ описанных в литературе подходов для решения этих задач.

5.2. Проблемы пикселизации карты неба

Hexagon Рис.5.1. Икосаэдр. Схемы пикселизации на базе куба и икосаэдра. Рис. воспроизведен из работы (Tegmark, 1996).
Hexagon Рис.5.2. Икосаэдр. Регулярная треугольная сетка (слева) и выбранная таким образом (справа), чтобы получать пикселы одинаковой площади. Пикселы имеют форму шестиугольника. Грань треугольного икосаэдра может быть симметрично разложена на 6 одинаковых правильных треугольников (на рис. один из них затушеван), а площадь выравнена для симметрии. Рис. воспроизведен из работы (Tegmark, 1996).
HEALPix Рис.5.3. HEALPix. Сфера иерархически мозаично разбита на криволинейные четырехугольники. Самое низкое разрешение соответствует 12 базовым пикселам. Разрешение мозаики возрастает при делении каждого пиксела на 4 новых. Рисунок демонстрирует (по часовой стрелке от положения сверху-слева к положению снизу-слева) увеличение разрешения за три шага от базового уровня, т.е. сфера разбивается соответственно на 12, 48, 192, и 768 пикселов. Площади всех пикселов с данным разрешением одинаковые. Пикселы расположены на линиях постоянной широты, что используется для гармонического анализа с вычислением сферических гармоник. Рис. воспроизведен из работы (Gorski et al., 1999).
Igloo cap Igloo pix
Рис.5.4. Иглу. Левый рисунок демонстрирует полярную шапку при случае разбиения типа Иглу, которое является иерархическим и дает маленькое искажения пиксела. Это демонстрируется на правом рисунке с пикселизацией типа 3:6:3, где каждый из 12-ти базовых пикселов разбит на 64 пиксела равной площади. Рис. воспроизведен из работы (Crittenden и Turok, 1998).
Алгоритм пикселизации карт неба, а именно метод разбиения неба на участки, в которых по определенным правилам осредняются наблюдательные данные, является одним из наиболее важных моментов в теории обработки РИ. Вопрос пикселизации поднимался еще в эксперименте COBE (Smoot et al., 1992; Bennet et al., 1992). Ранее были предложены 3 метода пикселизации: разбиение по икосаэдру (Tegmark, 1996) (Рис. 5.1, 5.2), алгоритм HEALPix (Gorski et al., 1999) (Рис. 5.3) и разбиение Иглу (Crittenden и Turok, 1998) (Рис. 5.4).

Тегмарк (Tegmark, 1996) поднимает 2 важных вопроса, связанных с оптимальным расположением центров N пикселов на небе и выбором наилучшего пути вычисления свертки карты суммированием с использованием центров пикселов. Все, что обсуждалось ранее в связи с пикселизацией, было посвящено решению первой проблемы, и ответ на второй вопрос дается только после выбора схемы пикселизации.

Мы предлагаем (Doroshkevich et al., 2003, 2005; Верходанов и др., 2003a, 2004, 2005b, Verkhodanov et al., 2003) изменить подход к проблеме обработки данных на сфере, который определяет схему пикселизации. Напомним, что пикселизация данных РИ на сфере - только часть основной проблемы, состоящей в определении коэффициентов в разложении на сферические гармоники сигнала РИ. Эти коэффициенты, обозначаемые alm, определяют анизотропию и поляризацию спектра мощности cl и чрезвычайно важны для разделения исходного сигнала РИ от других сигналов и шума.

Для того, чтобы ввести новую схему пикселизации, напомним некоторые элементы анализа сигнала на сфере.

5.2.1. Базовые соотношения

Стандартное разложение вариаций измеренной температуры на небе ΔT(θ,φ) на сферические гармоники записывается как
dT
где сферические гармоники определяются как
Ylm_eq
Plm - присоединенные полиномы Лежандра. Для непрерывной функции ΔT(θ,φ) коэффициенты разложения alm задаются как
alm_eq
где обозначение Ylms показывает комплексное сопряжение. При взятии интеграла в уравнении (5.3) мы предлагаем использовать Гауссову квадратуру, а именно, метод вычисления интеграла, предложенный Гауссом еще в 1814г. и развитый Кристоффелем в 1877г. Основная идея вычисления интеграла по x в формуле (5.3) состоит в том, чтобы использовать присоединенные полиномы Лежандра Plm с весовой функцией w(x) для достижения точного равенства (Press et al. 1992)
Integral dx
Здесь весовая функция wj=w(xj), а dt_ylms должна браться в корнях сетки PN(xj)=0, N - максимальный ранг полинома Лежандра. Хорошо известно, что уравнение PN(xj)=0 имеет точно N нулей в интервале -1≤x≤1. Для метода Гаусса-Лежандра (уравнение 5.4) весовые коэффициенты даются формулой (Press et al. 1992):
w_j
и могут быть вычислены совместно с набором xj (Рис.5.5 и 5.6), например, с помощью процедуры ``gauleg'' (Press et al. 1992, Sec. 4.5).

Такую сетку пикселизации, когда центры пикселов совпадают с узлами в квадратуре Гаусса-Лежандра, а пикселы имеют квазиравные площади, мы называем пикселизацией неба по методу Гаусса-Лежандра (Gauss-Legendre Sky Pixelization - GLESP). Заметим, что вычисление интеграла (5.3) может быть проведено различными способами, однако, построение схемы пикселизации, проводится по фиксированным узлам, в которых проводится осреднение временных рядов.
Weigh coeff-s Рис.5.5. Весовые коэффициенты Гаусса-Лежандра, используемые в GLESP. Рисунок опубликован в работе (Верходанов и др., 2005b).
pixels by x Рис.5.6. 2 типа пикселизации неба по оси cos(θ) HEALPix (черная сплошная линия) и GLESP (красная пунктирная линия). Рисунок опубликован в работе (Верходанов и др., 2005b).

В действительности все данные РИ имеют некоторый предел разрешения и верхний предел суммирования по ell в уравнении (2.31), l less lmax, где lmax - максимальный мультиполь, принятый при обработке данных РИ. Это означает, что, для того, чтобы построить сетку нулей в точках xj и весов wj (j=1,2..N), мы можем использовать N=Nmax, где Nmax связана с lmax.
HEALPix GLESP
Рис.5.7. 2 типа пикселизации на сфере: HEALPix (слева) и GLESP (справа). Рисунок опубликован в работе (Верходанов и др., 2005b).

Ниже мы обсудим детали построения схемы GLESP (Рис. 5.7) для пикселизации карты реликтового излучения по всему небу, которая базируется на нулях полиномов Лежандра.

5.2.2. Свойства пикселизации GLESP

В рамках предыдущего определения схемы пикселизации неба GLESP мы определяем следующие правила разбиения неба: Таким образом, в схеме GLESP мы пренебрегаем условием одинакового распределения пикселов по широтам, как реализовано в пакете HEALPix (Gorski et al. 1998), и для каждого слоя с координатой по полярному углу cosθ=xj=const в центре мы имеем азимутальную пикселизацию. Заметим, что внутри слоев форма пикселов близка к форме пикселов для пикселизации типа Иглу (Crittenden, Turok, 1998). Но для случая всего неба у нас не точно азимутальная пикселизация. Для случая сферической геометрии в GLESP получаем, что Таким образом, мы определяем соответствующее разрешение карты, связанное с площадью пиксела, и не зависящее от пикселизационных схем, ограниченных 2n-подходом.
pix/pix_eq ratio Рис.5.8. Отношение площади пиксела на заданном слое к площади пиксела на экваторе для GLESP. Рис. из работы (Верходанов и др., 2005b).
pix size Рис.5.9. Размер пиксела вдоль полярного угла при lmax=250. Рис. из работы (Верходанов и др., 2005b).
Согласно этой схеме, мы имеем пикселы, равные внутри каждого слоя, и почти равные для различных слоев с максимальным отклонением (~2%) от заданного среднего размера на полюсах (Рис.5.8).

Отметим еще один интересный момент. Для карт с хорошим разрешением (например, при lmax>500), при достаточном удалении от полюсов в случае пикселизации GLESP мы получаем практически равноудаленные слои (Рис.5.9).

5.3. Не-Гауссовость

Разработанное программное обеспечение (пакет GLESP) позволило провести моделирование обзоров на полной сфере и исследование реальных данных. Так, фазовый анализ коэффициентов при сферических гармониках в разложении (5.1) позволил обнаружить не-Гауссовость имеющихся карт РИ, а также провести разделение компонент наблюдаемого сигнала.

Как уже говорилось ранее, одним из критических тестов при исследовании реликтового излучение является тест на Гауссовость/не-Гауссовость данных. Стандартная инфляционная модель предсказывает температурные флуктуации, соответствующие Гауссовым однородным и изотропным случайным полям, в то время как нестандартная инфляция (Linde, Mukhanov, 1997; Peebles, 1997; Bernardeau, Uzan, 2002) и модели с топологическими дефектами (Turok, Spergel, 1990; Durer, 1999) обычно предсказывают не-Гауссовы случайные поля. Кроме того, не-Гауссовость может проявляться и как систематический эффект, связанный с методами наблюдений и обработки.
Color phase diagram Рис.5.10. Цветовая диаграмма градиента фазы Phase Dl для карт FCM (верхний левый угол) и WFM (нижний правый). По вертикали отложены lmax≤600, по горизонтали соответствующие m. Симметрия alm symmetry делает достаточным использование лишь m≥0. Наблюдаемые полосы на диаграмме FCM показывают сильную фазовую корреляцию соседних мод ell для заданных m. Рис. из работы (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).
returned map Рис.5.11. Пример возвращаемой карты для (dm, dl)=(0,4) для фаз phi_lm карты FCM, где 41<ell<250. xi^2 для этой карты 0.0332. Дискретизация проведена для 1282 пикселов со сглаживающим масштабом R=2. Рисунок опубликован в работе (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).

После появления архива WMAP появилась возможность проводить статистические тесты на реальных данных до сравнительно высоких мультиполей (lmax≤600). Так, команда WMAP (Komatsu et al., 2003) объявила, что сигнал Гауссовый на уровне достоверности 95%, правда, предоставив карту ILC (internal linear combination), не предназначенную по словам авторов для исследования CMB из-за ``сложных свойств шума'' ( http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/m_products.html). Другая группа под руководством М. Тегмарка (Tegmark, de Oliveira-Costa & Hamilton, 2003 - далее TOH) сделала независимую чистку от фоновых компонент и предоставила 2 карты FCM (foreground-cleaned map - с вычищенными фоновыми компонентами) и WFM (Wiener-filtered map - обработанная фильтром Винера), также объявив, что полученные данные Гауссовы.

Рассмотрим карты Тегмарка и др. (TOH, 2003). Авторы определяют FCM как карту с фоновыми компонентами, чей вклад минимален. Так как удаляемые фоновые компоненты не-Гауссовы, остающиеся после удаления невязки могут проявить себя в фазах. Для проверки свойств карт мы использовали метод цветовых фазовых диаграмм, позволяющий проверить количественно Гауссовость карт, основанную на гипотезе случайных фаз для однородных и изотропых случайных Гауссовых полей (ГСП).

Температурные флуктуации излучения РИ на сфере описываются как сумма сферических гармоник (урав. 5.1), где коэффициенты при гармониках alm(phi). Однородные и изотропые ГСП, как результат простейшей инфляции, генерируют alm-моды, у которых вещественная и мнимая части независимо и случайно распределены, т.е. фазы philm-моды, распределены равномерно в интервале [0,2π]. Статистические свойства такого Гауссова поля полностью определяются угловым спектром мощности cl:
alm_alms_eq, formula 5.6

На Рис.5.10 показана цветовая фазовая диаграмма (в тональном бело-сером представлении), отображающая градиент dl gradient, для FCM и WFM. По вертикальной оси отложен мультиполь ell до ell=600, а по горизонтальной - m, где m≤ell. Воспользовавшись соотношением alm symmetry, мы можем рассматривать только неотрицательные моды m. Хотя фазовый градиент (от соседних мод) является наиболее примитивным методом выявления фазовых корреляций, присутствие видимых полос на диаграмме для карты FCM (верхняя часть диаграммы на Рис. 5.10) показывает строгое сцепление между модами соседних ell для одних m.

Для проверки Гауссовости карт FCM и WFM мы использовали технику цветового отображения фаз (Chiang et al., 2002a), чтобы проверить степень `случайности' (Гауссовости) в распределении фаз. Возвращаемая карта фаз представляет из себя диаграмму, в которой все пары фаз с фиксированной разностью мод (dm, dl) отображаются как точки (см. Рис.5.11). Например, одна карта для таких фазовых пар с разделением (dm, dl)=(0,1) содержит точки (x,y) соответствующие (phi_lm, phi_l+1,m), т.е. все пары фаз разделены по dL=1. После отображения пар фаз на карту можно применить статистику среднего значения χ2, которая определяется как
xi2_eq (formula 5.7)
где M - число пикселов, а p=1. среднее значение соответствующих пикселов на возвращаемой карте. Чианг и др. (Chiang et al., 2002b) показали, что для однородного и изотропного ГСП фазовое картирование дает ансамбль возвращаемых карт с Пуассоновским распределением каждая. Ожидаемое значение xi2s от ансамблей таких карт
xi2p, (formula 5.8)
где R - масштаб сглаживания Гауссианой при двумерной свертке для выделения пространственной структуры. xi2sp. будет иметь статистическое распределение вокруг xi2spa с дисперсией ΣP, где от ансамблей таких карт
Sigma_P, (formula 5.9)
chi2 stat Рис.5.12. Гистограммы, показывающие статистику xi2s для FCM (пунктирные серые кривые) и WFM (сплошные темные кривые) в различных диапазонах ell. Одно из преимуществ техники фазового картирования состоит в том, что оно дает возможность проверить не-Гауссовость для различных диапазонов мультиполей. Верхняя горизонтальная ось показывает теоретическую дисперсию ΣP для случайного Гауссового поля с оригинальным набором ожидаемых величин xi2spa_eq (вертикальная линия на каждом рисунке). Сглаживающий масштаб для дискретизации M=1282 составляет R=2. Рис. из работы (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).

На Рис.5.12 показаны гистограммы статистики xi2s по ансамблю возвращаемых карт для FCM и WFM для четырех полос мультиполей. Одно из преимуществ техники фазового картирования состоит в возможности проверки Гауссовости для различных диапазонов мультиполей, и в частности тех, которые соответствуют вкладам фоновых компонент и шуму. Здесь представлена статистика xi2s в четырех диапазонах с центрами в ell ~150, 290, 400 и 500: 41<ell<250 (в районе первого пика Сахаровских осцилляций), 224<ell<350, 350<ell<450 и 463<ell<550. Сплошная темная и пунктирная серая кривые соответствуют картам WFM и FCM. На каждом рисунке вертикальная линия отмечает ожидаемую величину xi2spa_eq Кривые для карты FCM очевидно смещены и следовательно показывают фазовые корреляции, т.е. не-Гауссовость.
chi^2 statistics Рис.5.13. Статистика среднего хи-квадрат для карт FCM (вверху) и WFM (внизу) в сравнении с 2000 реализациями случайного Гауссового поля. Контуры показывают области 68% (сплошная линия) и 95% (пунктирная кривая) уровней достоверности для 2000 реализаций случайного Гауссового поля. Хотя 68% и 95% отмечают отклонение 1 и 2-σ для Гауссовой статистики, распределение является скорее хи-квадрат, а не Гауссовым. Символы крестика (x), треугольника triangular, квадрата square и звездочки (*) обозначают xi2s данные для диапазонов мультиполей с центрами ell~150, 290, 400 и 500 соответственно. Область, обозначенная контуром на нижнем рисунке, соответствует маленькой области на верхнем рисунке. Рисунок опубликован в работе (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).
L=350.352 maps Рис.5.14. Вариации температуры РИ для двух мультиполей ell=350 и 352 для картой FCM (верхний рисунок) и WFM (нижний рисунок). Выбор мультиполей обусловлен обнаружением сцепления фаз для гармоник с dl=2. Структура для φ~0 и π, видимая на FCM, исчезает после Винеровской фильтрации, делая карту практически Гауссовой на этих мультиполях. Рисунок опубликован в работе (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).
На Рис.5.13 показано поведение распределений арифметического среднего xi2sp и дисперсии Σ для статистики среднего хи-квадрат: на верхнем рисунке - для карты FCM, на нижнем - для WFM. Контуры показывают области 68% (сплошная линия) и 95% (пунктирная линия) уровней достоверности, оцененные по 2000 реализациям ГСП. Значки на рисунке соответствуют четырем диапазонам мультиполей с центрами ell ~150, 290, 400 и 500. Фазы четырех полос мультиполей для карты FCM сильно коррелированы, и вынесены далеко за уровень достоверности 95% . Диаграмма для WFM показывает, что фазы для гармоник до первого пика на спектре мощности являются случайными, а три других диапазона находятся вне контура уровня 68%.

Факт не-Гауссовости виден и для карты WFM для диапазонов в районе ell= ~400 и 500. На двух нижних рисунках Рис.5.12 появляются точки в хвостах распределений выше уровня 6ΣP. Моделирование 2000 реализаций ГСП показывает, что при картировании фаз никогда не достигается уровень xi2s выше 6ΣP, дающий вероятность ниже 0.05% для случайного Гауссового поля. Фазовое картирование при разделении (dm,dl)=(0,2) дает значение xi2s на уровне 7.3 ΣP для диапазона мультиполей с центром на ell ~400, для (dm,dl)=(1,2) на уровне 6.5ΣP. Для полосы ell ~500 7.6ΣP получается для (dm,dl)=(2,2). Такие фазовые сцепления показывают нарушение гипотезы о случайности фаз, тем самым демонстрируя не-Гауссовость.

На Рис.5.14 приведены распределения температуры РИ на сфере для двух мультиполей ell=350 и 352 (для всех m) для всех карт FCM и WFM. Эти мультиполи выбраны с dl=2 из исследованных диапазонов, чтобы продемонстрировать не-Гауссовость карту сигнала. Структура в районе φ~0 и π для FCM может представлять собой остаточный сигнал после удаления фоновых компонент, исчезающий после чистке фильтром Винера.

Заметим, что открытие не-Гауссовости в данных сигнала РИ было позднее подтверждено независимо другими группами и другими методами: в частности, при анализе с помощью вейвлетов (Vieleva et al., 2004) и функционалов Минковского (Colley & Gott, 2003; Eriksen et al., 2004).

5.4. Фазовый метод чистки и выделение реликтового излучения

Рассмотрим возможность применения фазового метода в задачах разделения компонент и выделения сигнала РИ. Среди используемых методов разделения компонент в задачах исследования CMB в настоящее время широко используются фильтр Винера (Bouchet et al., 1996; Tegmark & Efstathiou, 1996; TOH), метод максимальной энтропии (Hobson et al., 1998, Stolyarov et al., 2002, 2004), методы с использованием вейвлетов (Vielva et al., 2001, 2003). Эти методы предполагают наличие дополнительной информации о фоновых компонентах, их угловых и спектральных свойствах. С другой стороны, используя корреляционные свойства фаз гармоник в различных каналах и факт, что РИ во всех каналах одинаковое, можно выделить этот сигнал, используя фазовую чистку (Naselsky et al., 2003a,b, 2004a).

Флуктуации РИ с мешающими компонентами на сфере могут быть представлены в виде суммы сферических гармоник
dT, (formula 5.10)
где alm - коэффициенты разложения, <T>=2.73K и <ΔT>=0. Напомним, что статистические свойства РИ полностью определяются угловым спектром мощности
alm_cm (formula 5.11)
и случайными фазами
Psi_lm (formula 5.12)
которые равномерно распределены в диапазоне [0, 2π] для случайного Гауссова поля. Для мешающих фоновых компонент сигнал очевидно является не-Гауссовым. Таким образом, комбинируя сигналы РИ и компонент мы определяем
alm (formula 5.13)
где |alm| - модуль, а psi_lm - фаза каждой ell, m-гармоники.

Основная идея метода фазовой чистки (Phase cleaning method PCM) состоит в обобщении схемы минимизации Тегмарка и др. (Tegmark & Efstathiou, 1996; Tegmark et al., 2003: TOH) с включением минимизации корреляции между получаемым сигналом CMB и компонент фоновых излучений (Naselsky et al. 2003a, 2004a). Предлагаемый метод не требует предварительного удаления областей излучения Галактики. Следуя работе Насельского и др. (Naselsky et al., 2003a), мы используем комбинации карт WMAP: Ka-Q, Ka-V and Q-V, для которых корреляции между фазами компонент наибольшие (Рис.5.15).
KA-Q phases KA-V phases
Q-V phases Q-W phases 		Рис.5.15. Кросс-корреляции фаз из каналов WMAP. Слева направо верхний ряд: KA-Q, KA-V, нижний ряд: Q-V, Q-W. Фазы каналов Ka-Q, Ka-V и Q-V показывают высокую корреляцию, каналы Q-W - невысокую. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Verkhodanov et al., 2003a).
Для каждой пары карт мы вводим взвешивающие коэффициенты w(j), аналогичные методу Тегмарка и др. (TOH), и минимизируем отклонение получаемой карты для каждой моды ell. Пренебрегая инструментальным шумом для ell≤100, рассмотрим сигнал как суперпозицию РИ и компонент.

Для всего набора коэффициентов гармоник a(j) найдем фазы psi_lm (см. (5.11)-(5.12)). Каждый набор a(j)-коэффициентов определяется комбинацией коэффициентов psi_lm и сигнала acmb где индекс k обозначает синхротронное, свободно-свободное излучение и излучение пыли. Для каждой комбинации карт искомый сигнал РИ определяется как
a^M (formula 5.14)
где
w(1),w(2) (formula 5.15)
и Ξ(j) - фаза в j-канале. Фазы восстановленного РИ соотносятся с амплитудами и фазами компонент следующим образом (Naselsky et al. 2003):
phase^M (formula 5.16)
где ξ - истинная фаза CMB и Ψ(j) - фазы компонентов сигнала. Фазы восстановленного сигнала CMB ΨM могут иметь корреляции с фазами компонент. Основная цель метода PCM состоит в минимизации таких корреляций с помощью минимизации взвешивающего отклонения
V (formula 5.17)
используя соотношения (5.16) и взвешивающие коэффициенты w(j) в форме
w(1),w(2) (formula 5.16)
Заметим, что минимизация взвешивающего отклонения в формуле (5.17) эквивалентна минимизации ошибок восстановления РИ sum(alm-alm) где alm_cmb - коэффициент гармоники реального сигнала CMB (Naselsky et al. 2003, 2004a).
PSM C(l) Рис.5.16. Спектр мощности cl в мК2 для метода PCM восстановленного CMB (толстая сплошная линия), ILC (штриховая линия), TOH FCM (штрих-пунктирная линия) и карта TOH, обработанная фильтром Винера (тонкая сплошная линия). Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).
PCM map Рис.5.17. Карта флуктуаций восстановленного реликтового излучения методом фазовой чистки с разрешением ell≤50. Единицы измерения - мК. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

Восстановленные карты CMB в каждой паре K-W каналов слегка отличаются из-за невязок в компонентах. Чтобы минимизировать невязки, на последнем шаге мы использовали фильтр MIN-MAX для пикселов карты. Этот фильтр сравнивает сигналы ΔTp, в каждом пикселе с номером p из набора карт. Далее мы выбираем минимальную амплитуду ΔTp в пикселе как сигнал РИ, т.е. Lmin -> dTmin. где dt_min. Чтобы оценить вклад невязок от точечных источников, мы находим максимальную амплитуду сигнала в каждом пикселе Lmax -> dTmax, где dt_max, для всех предварительных карт CMB, полученных методом (5.17). Для истинного РИ различие dt_max-dt_min равно 0 и мы рассматриваем dt_max-dt_min как меру отклонения от карты CMB.

Сигнал в каждом пикселе является суперпозицией сигнала РИ и маленькой добавки, связанной с фоновыми компонентами. Если корреляция сигнала РИ и мешающих компонент минимальна, тогда можно ожидать, что все отклонения dt_p в пикселах обусловлены невязками. В нашем случае использовались два приближения карты CMB, восстановленной по данным каналов Ka-V и Q-V, а распределение ΔTmin было взято как карта РИ.

Результат применение метода PCM к данным WMAP в диапазоне мультиполей ell≤100 показан на Рис.5.16. Карта флуктуаций РИ, полученная методом фазовой чистки, с разрешением ell≤100 приведена на Рис.5.17. На Рис.5.18 показаны разности между картами ILC и PCM, TOH FCM и PCM (слева), TOH Wiener и PCM (справа). Основная разность между картами проявляется в галактической плоскости и в гармонике a51, которая вероятно обусловлена излучением Галактики.

Используя оценку спектра мощности cl_eq можно сравнить его для карт ILC, FCM, PCM и TOH Wiener. Как видно из Рис.5.16 карта PCM воспроизводит спектр TOH WFM.
Map difference Map difference Рис.5.18. Разность карт S-ILC-фоновые компоненты для полос WMAP V (слева) и W (справа). Единицы в мК. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).
Circular correlation Рис.5.19. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (штриховые линии) выделенными сигналами РИ и фоновыми компонентами для каналов K-W, полученными как разности между данными каналов и сигналом РИ. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

5.5. Корреляции выделенных сигналов и компонент для карт ILC, FCM и PCM

Анализ качества карт можно провести с помощью корреляций фаз гармоник. Все три почищенные карты (ILC, FCM и PCM), полученные различными методами разделения компонент, исследовались на поиск остаточных корреляций между выделенным искомым сигналом φs и фоновыми компонентами &psif, характеризующих степень чистки.

Для сравнения методов мы использовали рассчитывали корреляционные коэффициенты наборов фаз используя статистику Фишера (Fisher, 1993) для угловой меры. Исходные данные для всех 5 частотных каналов WMAP были взяты с сайта (http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/m_products.html).
Circular correlation Рис.5.20. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (пунктирные линии) почищенных сигналов и свободно-свободным излучением (по данным сайта WMAP) для каналов K-W. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

Для расчета круговой кросс-корреляции использовались следующие соотношения (Fisher, 1993):
M (formulae 5.19)

R_sf (formulae 5.20)
где Msp и Mfp - p-ые тригонометрические моменты выборок, <φ> и <ψ> a соответствующие средние направления, rsf_l - коэффициенты круговой кросс-корреляции в каждой моде ell, rsf - средний коэффициент кросс-корреляции для всех фаз. Для m=0 и для всех ell, фаз phi(l,0)=psi(l,0)=0 здесь мы ими пренебрегаем.
Circular correlation Рис.5.21. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (пунктирные линии) почищенных сигналов и синхротронным излучением (по данным сайта WMAP) для каналов K-W. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).
Circular Рис.5.22. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (пунктирные линии) почищенных сигналов и излучением пыли (по данным сайта WMAP) для каналов K-W. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ.

Таблица 5.1. Коэффициенты круговой кросс-корреляции <Rsf> между фазами сигнала в ILC карте и фоновыми компонентами, а также фазами сигналов PCM и FCM и фоновых компонент.
K KA Q V W
ILC(o)-0.026-0.031-0.030 -0.033-0.033
ILC(d)-0.017 0.018 0.022 0.112 0.262
FCM 0.031 0.051 0.071 0.157 0.320
PCM -0.019 0.007 0.032 0.136 0.288

Коэффициенты круговой корреляции rsf_l в зависимости от углового масштаба отображены на Рис.5.19 для ILC сигнала и для PCM сигнала. Для первых трех каналов коэффициенты распределены умеренно и не превышают случайный разброс (1σ), полученный из 200 200 случайных реализаций. Заметим, что форма функций rsf_l одинаковая для этих каналов, что отражает сильную корреляцию фаз всех компонент (Naselsky et al. 2004a). Как можно видеть из Рис.5.20-5.22 для V и W каналов кросс-корреляция фаз PCM и ILC с фазами компонент является довольно значительной.

Аналогичная тенденция наблюдается для оценок средних коэффициентов <Rsf>, приведенных для 2≤ell≤50 в Таблице 5.1 для почищенных сигналов РИ и компонент. Для первых трех наблюдательных полос коэффициенты небольшие, но они возрастают для каналов V и W.

Корреляции фаз различных фоновых компонент с ILC, FCM и PCM сигналами CMB построены на Рис.5-7. Для свободно-свободного излучения корреляции очень умеренные и превышают случайный разброс только для гармоник 35 - 36. Однако, для синхротронной и пылевой компонент видны значительные (95%) корреляции для гармоник 21 - 23 и для всех почищенных карт. Для всех почищенных карт этот диапазон соответствует минимуму в спектре мощности. (Рис.16).

5.6. Выводы

Рассмотрены проблемы пикселизации карт неба для исследования распределения излучения на небесной сфере. Предлагается использовать новый подход в пикселизации неба, ориентированный прежде всего на точность вычисления сферических гармоник при интегрировании по полярному углу θ с использованием квадратуры Гаусса. Для этого предложено использовать в качестве центров пикселов в направлении полярного угла нули полиномов Лежандра. На основании предложенной сетки вводится новая пикселизация неба - GLESP. Для данной пикселизации неба разработано новое программное обеспечение в рамках системы обработки данных FADPS. Пикселизация GLESP и соответствующее программное обеспечение активно используются при анализе данных реликтового излучения, в задачах разделения компонент и поиска не-Гауссовости сигнала (Naselsky et al., 2003a,b, 2004a,b, Chiang et al., 2003). Пакет GLESP является мощным средством для моделирования обзоров на полной сфере и, в частности, позволил провести анализ фоновых компонент в эксперименте исследования распределения галактического излучения (Parijskij et al., 2004).

Проверена Гауссовость двух карт: с вычищенными фоновыми компонентами (FCM: foreground-cleaned map) и обработанной фильтром Винера (WFM: Wiener-filtered map), полученными Тегмарком и др. (2003) из данных WMAP. На основании гипотезы о случайных фазах определена значимая негауссовость сигнала для обеих карт. Фазовый метод позволил разделить и исследовать статистику различных диапазонов мультиполей.

Предложена новая методика исследования статистических свойств сигнала для полос K-W эксперимента WMAP. Используя корреляционные свойства фаз гармоник в различных каналах и факт, что реликтовое излучение во всех каналах одинаковое, можно выделить этот сигнал, используя минимизацию невязок фаз. Предлагаемый метод не требует предварительного удаления областей излучения Галактики. Показано наличие значимых корреляций между фазами выделенного сигнала и фоновых компонент, особенно для канала W. Такие корреляции могут быть индикатором возможной негауссовости, обусловленной методикой разделения компонент.

Начало Введение Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 Библиография Приложения
Назад Дальше...