Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://sed.sao.ru/~vo/disser/ch5.html
Дата изменения: Thu May 4 19:37:06 2006 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:35:25 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: earth orbit |
gzipped PostScript версия здесь, 2005 г.
Начало | Введение | Глава 2 | Глава 3 | Глава 4 | Глава 5 | Глава 6 | Библиография | Приложения |
Верходанов О.В.
Специальная Астрофизическая обсерватория
Отметим основные шаги обработки данных реликтового излучения (РИ или CMB - Cosmic Microwave Background) на небесной сфере:
Открытие доступа к данным первого года наблюдений на спутнике WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) из точки Лагранжа L2 позволило исследовать с высокой точностью флуктуации РИ, применив новые методы на различных этапах обработки. Согласно современным представлениям, первичные флуктуации плотности в ранней Вселенной, образовавшие крупномасштабную структуру, впечатаны в микроволновое фоновое излучение как температурные флуктуации. Поэтому анализ статистических свойств данных поможет прояснить характер первичных флуктуаций и в дальнейшем исследовать топологические свойства Вселенной.
В данной Главе описываются новый подход в пикселизации карт на небесной сфере, дающий быстрый и точный алгоритм разложения сигнала на сферические гармоники. Фазовый анализ гармоник позволил также проверить гипотезу о случайном Гауссовом поле (СГП), обнаружить не-Гауссовость в распределении сигнала и на основании гипотезы о некоррелированности фаз искомого сигнала РИ и фоновых компонент провести разделение компонент наблюдаемого излучения.
Ниже излагаются новые методы и результаты, полученные в данной работе. В начале каждого параграфа проводится анализ описанных в литературе подходов для решения этих задач.
![]() |
Рис.5.1. Икосаэдр. Схемы пикселизации на базе куба и икосаэдра. Рис. воспроизведен из работы (Tegmark, 1996). |
Тегмарк (Tegmark, 1996) поднимает 2 важных вопроса, связанных с оптимальным расположением центров N пикселов на небе и выбором наилучшего пути вычисления свертки карты суммированием с использованием центров пикселов. Все, что обсуждалось ранее в связи с пикселизацией, было посвящено решению первой проблемы, и ответ на второй вопрос дается только после выбора схемы пикселизации.
Мы предлагаем (Doroshkevich et al., 2003, 2005;
Верходанов и др., 2003a, 2004, 2005b,
Verkhodanov et al., 2003)
изменить подход к проблеме
обработки данных на сфере, который определяет схему пикселизации.
Напомним, что пикселизация данных РИ на сфере - только часть основной
проблемы, состоящей в определении коэффициентов в разложении на сферические
гармоники сигнала РИ. Эти коэффициенты, обозначаемые
,
определяют
анизотропию и поляризацию спектра мощности
и чрезвычайно важны
для разделения исходного сигнала РИ от других сигналов и шума.
Для того, чтобы ввести новую схему пикселизации, напомним некоторые элементы анализа сигнала на сфере.
Такую сетку пикселизации, когда центры пикселов совпадают с узлами в квадратуре Гаусса-Лежандра, а пикселы имеют квазиравные площади, мы называем пикселизацией неба по методу Гаусса-Лежандра (Gauss-Legendre Sky Pixelization - GLESP). Заметим, что вычисление интеграла (5.3) может быть проведено различными способами, однако, построение схемы пикселизации, проводится по фиксированным узлам, в которых проводится осреднение временных рядов.
![]() |
Рис.5.5. Весовые коэффициенты Гаусса-Лежандра, используемые в GLESP. Рисунок опубликован в работе (Верходанов и др., 2005b). |
![]() |
Рис.5.6. 2 типа пикселизации неба по оси cos(θ) HEALPix (черная сплошная линия) и GLESP (красная пунктирная линия). Рисунок опубликован в работе (Верходанов и др., 2005b). |
В действительности все данные РИ имеют некоторый предел разрешения
и верхний предел суммирования по
в уравнении (2.31),
,
где
-
максимальный мультиполь, принятый при обработке данных РИ.
Это означает, что, для того, чтобы построить сетку нулей в точках
xj и весов
wj (j=1,2..N), мы можем использовать
N=Nmax,
где Nmax связана с
.
![]() ![]() |
Рис.5.7. 2 типа пикселизации на сфере: HEALPix (слева) и GLESP (справа). Рисунок опубликован в работе (Верходанов и др., 2005b). |
Ниже мы обсудим детали построения схемы GLESP (Рис. 5.7) для пикселизации карты реликтового излучения по всему небу, которая базируется на нулях полиномов Лежандра.
![]() |
Рис.5.8. Отношение площади пиксела на заданном слое к площади пиксела на экваторе для GLESP. Рис. из работы (Верходанов и др., 2005b). |
![]() |
Рис.5.9.
Размер пиксела вдоль полярного угла при
![]() |
Отметим еще один интересный момент. Для карт с хорошим разрешением
(например, при
>500),
при достаточном удалении от полюсов
в случае пикселизации GLESP мы получаем практически равноудаленные слои
(Рис.5.9).
Как уже говорилось ранее, одним из критических тестов при исследовании реликтового излучение является тест на Гауссовость/не-Гауссовость данных. Стандартная инфляционная модель предсказывает температурные флуктуации, соответствующие Гауссовым однородным и изотропным случайным полям, в то время как нестандартная инфляция (Linde, Mukhanov, 1997; Peebles, 1997; Bernardeau, Uzan, 2002) и модели с топологическими дефектами (Turok, Spergel, 1990; Durer, 1999) обычно предсказывают не-Гауссовы случайные поля. Кроме того, не-Гауссовость может проявляться и как систематический эффект, связанный с методами наблюдений и обработки.
После появления архива WMAP появилась возможность
проводить статистические тесты на реальных данных до сравнительно
высоких мультиполей
(≤600).
Так, команда WMAP (Komatsu et al., 2003) объявила, что сигнал
Гауссовый на уровне достоверности 95%, правда,
предоставив карту ILC (internal linear combination),
не предназначенную по словам авторов для исследования CMB из-за
``сложных свойств шума''
(
http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/m_products.html).
Другая группа под руководством
М. Тегмарка (Tegmark, de Oliveira-Costa & Hamilton, 2003 - далее TOH)
сделала независимую чистку от фоновых компонент
и предоставила 2 карты FCM
(foreground-cleaned map - с вычищенными фоновыми компонентами) и WFM
(Wiener-filtered map - обработанная фильтром Винера), также объявив,
что полученные данные Гауссовы.
Рассмотрим карты Тегмарка и др. (TOH, 2003). Авторы определяют FCM как карту с фоновыми компонентами, чей вклад минимален. Так как удаляемые фоновые компоненты не-Гауссовы, остающиеся после удаления невязки могут проявить себя в фазах. Для проверки свойств карт мы использовали метод цветовых фазовых диаграмм, позволяющий проверить количественно Гауссовость карт, основанную на гипотезе случайных фаз для однородных и изотропых случайных Гауссовых полей (ГСП).
Температурные флуктуации излучения РИ на сфере описываются как сумма
сферических гармоник (урав. 5.1), где коэффициенты при гармониках
.
Однородные и изотропые ГСП, как результат простейшей
инфляции, генерируют
-моды,
у которых вещественная и мнимая части
независимо и случайно распределены,
т.е. фазы
-моды,
распределены равномерно
в интервале [0,2π].
Статистические свойства такого Гауссова поля полностью
определяются угловым спектром мощности
:
На Рис.5.10 показана цветовая фазовая диаграмма (в тональном
бело-сером представлении), отображающая градиент
,
для FCM и
WFM. По вертикальной оси отложен мультиполь
до
=600,
а по горизонтальной - m, где
m≤
.
Воспользовавшись соотношением
,
мы можем рассматривать только неотрицательные моды
m. Хотя фазовый градиент (от соседних мод)
является наиболее примитивным
методом выявления фазовых корреляций, присутствие видимых полос на
диаграмме для карты FCM (верхняя часть диаграммы на Рис. 5.10)
показывает строгое сцепление между
модами соседних
для одних m.
Для проверки Гауссовости карт FCM и WFM
мы использовали технику цветового отображения фаз
(Chiang et al., 2002a),
чтобы проверить степень `случайности' (Гауссовости) в распределении фаз.
Возвращаемая карта фаз представляет из себя диаграмму, в которой все пары
фаз с фиксированной разностью мод
отображаются как точки
(см. Рис.5.11).
Например, одна карта для таких фазовых пар с разделением
=(0,1)
содержит точки (x,y)
соответствующие
,
т.е. все пары фаз
разделены по
=1.
После отображения пар фаз на карту можно применить статистику
среднего значения χ2, которая определяется как
где M - число пикселов, а
=1.
среднее значение соответствующих пикселов на возвращаемой карте.
Чианг и др. (Chiang et al., 2002b)
показали, что для однородного и изотропного ГСП
фазовое картирование дает ансамбль возвращаемых карт с Пуассоновским
распределением каждая.
Ожидаемое значение
от ансамблей таких карт
где R - масштаб сглаживания Гауссианой при двумерной свертке
для выделения пространственной структуры.
.
будет иметь статистическое распределение
вокруг
с дисперсией ΣP,
где
от ансамблей таких карт
На Рис.5.12 показаны гистограммы
статистики
по ансамблю возвращаемых карт для FCM и
WFM для четырех полос мультиполей. Одно из преимуществ техники
фазового картирования состоит в возможности
проверки Гауссовости для различных диапазонов мультиполей, и в частности
тех, которые соответствуют вкладам фоновых компонент и шуму.
Здесь представлена статистика
в четырех диапазонах
с центрами в
~150, 290, 400
и 500:
41<
<250
(в районе первого пика Сахаровских осцилляций),
224<
<350,
350<
<450 и
463<
<550.
Сплошная темная и пунктирная серая кривые соответствуют
картам WFM и
FCM. На каждом рисунке вертикальная линия отмечает
ожидаемую величину
Кривые
для карты FCM очевидно смещены и следовательно показывают фазовые
корреляции, т.е. не-Гауссовость.
Факт не-Гауссовости виден и для карты WFM для диапазонов
в районе
=
~400 и 500.
На двух нижних рисунках Рис.5.12
появляются точки в хвостах распределений
выше уровня 6ΣP. Моделирование 2000 реализаций
ГСП
показывает, что при картировании фаз никогда не достигается
уровень
выше 6ΣP,
дающий вероятность
ниже 0.05% для случайного Гауссового поля.
Фазовое картирование при разделении
=(0,2) дает значение
на уровне 7.3
ΣP
для диапазона мультиполей с центром на
~400,
для
=(1,2)
на уровне 6.5ΣP.
Для полосы
~500 7.6ΣP получается для
=(2,2).
Такие фазовые сцепления показывают нарушение
гипотезы о случайности фаз, тем самым демонстрируя не-Гауссовость.
На Рис.5.14 приведены распределения температуры РИ
на сфере для двух мультиполей
=350 и 352
(для всех m) для всех карт FCM и WFM.
Эти мультиполи выбраны с
=2
из исследованных диапазонов, чтобы продемонстрировать
не-Гауссовость карту сигнала.
Структура в районе φ~0 и π для FCM может представлять
собой остаточный сигнал после удаления фоновых компонент, исчезающий
после чистке фильтром Винера.
Заметим, что открытие не-Гауссовости в данных сигнала РИ было позднее подтверждено независимо другими группами и другими методами: в частности, при анализе с помощью вейвлетов (Vieleva et al., 2004) и функционалов Минковского (Colley & Gott, 2003; Eriksen et al., 2004).
Флуктуации РИ с мешающими компонентами на сфере могут быть представлены
в виде суммы сферических гармоник
где
- коэффициенты разложения,
<T>=2.73K и <ΔT>=0.
Напомним, что статистические свойства РИ полностью
определяются угловым спектром мощности
и случайными фазами
которые равномерно распределены в диапазоне [0, 2π] для случайного
Гауссова поля.
Для мешающих фоновых компонент сигнал очевидно
является не-Гауссовым. Таким образом, комбинируя сигналы РИ и компонент
мы определяем
где
- модуль, а
- фаза
каждой
,
m-гармоники.
Основная идея метода фазовой чистки (Phase cleaning method PCM) состоит в обобщении схемы минимизации Тегмарка и др. (Tegmark & Efstathiou, 1996; Tegmark et al., 2003: TOH) с включением минимизации корреляции между получаемым сигналом CMB и компонент фоновых излучений (Naselsky et al. 2003a, 2004a). Предлагаемый метод не требует предварительного удаления областей излучения Галактики. Следуя работе Насельского и др. (Naselsky et al., 2003a), мы используем комбинации карт WMAP: Ka-Q, Ka-V and Q-V, для которых корреляции между фазами компонент наибольшие (Рис.5.15).
![]() ![]() ![]() ![]() |
Рис.5.15. Кросс-корреляции фаз из каналов WMAP. Слева направо верхний ряд: KA-Q, KA-V, нижний ряд: Q-V, Q-W. Фазы каналов Ka-Q, Ka-V и Q-V показывают высокую корреляцию, каналы Q-W - невысокую. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Verkhodanov et al., 2003a). |
Для всего набора коэффициентов гармоник
a(j)
найдем фазы
(см. (5.11)-(5.12)).
Каждый набор
a(j)-коэффициентов
определяется комбинацией коэффициентов
и сигнала
acmb
где индекс
k обозначает синхротронное, свободно-свободное излучение и излучение
пыли. Для каждой комбинации карт искомый сигнал РИ
определяется как
где
и
Ξ(j)
- фаза в j-канале.
Фазы восстановленного РИ соотносятся с амплитудами и фазами
компонент следующим образом
(Naselsky et al. 2003):
где ξ - истинная фаза CMB и
Ψ(j)
- фазы компонентов сигнала.
Фазы восстановленного сигнала CMB
ΨM
могут иметь корреляции с фазами компонент.
Основная цель метода PCM состоит в минимизации
таких корреляций с помощью минимизации взвешивающего отклонения
используя соотношения (5.16) и взвешивающие коэффициенты
w(j)
в форме
Заметим, что минимизация взвешивающего отклонения в формуле (5.17)
эквивалентна минимизации ошибок восстановления РИ
где
- коэффициент гармоники реального сигнала
CMB (Naselsky et al. 2003, 2004a).
![]() |
Рис.5.16.
Спектр мощности
![]() |
Восстановленные карты CMB в каждой паре K-W каналов слегка отличаются
из-за невязок в компонентах.
Чтобы минимизировать невязки, на последнем шаге
мы использовали фильтр MIN-MAX для пикселов карты.
Этот фильтр сравнивает сигналы
ΔTp,
в каждом пикселе с номером p из набора карт.
Далее мы выбираем минимальную амплитуду
ΔTp в пикселе как сигнал РИ,
т.е.
.
где
.
Чтобы оценить вклад невязок от точечных источников,
мы находим максимальную амплитуду сигнала в каждом пикселе
,
где
,
для всех предварительных карт CMB, полученных методом (5.17).
Для истинного РИ различие
равно 0 и мы рассматриваем
как меру отклонения от карты CMB.
Сигнал в каждом пикселе является суперпозицией сигнала РИ
и маленькой добавки, связанной с
фоновыми компонентами. Если корреляция сигнала РИ и мешающих компонент
минимальна, тогда можно ожидать, что все отклонения
в пикселах обусловлены невязками.
В нашем случае использовались два приближения карты CMB, восстановленной
по данным каналов Ka-V и Q-V,
а
распределение ΔTmin было взято как карта РИ.
Результат применение метода PCM к данным WMAP
в диапазоне мультиполей
≤100
показан на Рис.5.16.
Карта флуктуаций РИ, полученная методом фазовой чистки,
с разрешением
≤100
приведена на Рис.5.17.
На Рис.5.18 показаны разности
между картами ILC и PCM,
TOH FCM и PCM (слева),
TOH Wiener и PCM (справа).
Основная разность между картами проявляется в галактической плоскости
и в гармонике
a51, которая вероятно обусловлена
излучением Галактики.
Используя оценку спектра мощности
можно сравнить его для карт ILC, FCM, PCM и TOH
Wiener. Как видно из Рис.5.16
карта PCM воспроизводит спектр TOH WFM.
![]() ![]() |
Рис.5.18. Разность карт S-ILC-фоновые компоненты для полос WMAP V (слева) и W (справа). Единицы в мК. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a). |
Для сравнения методов мы использовали рассчитывали корреляционные коэффициенты наборов фаз используя статистику Фишера (Fisher, 1993) для угловой меры. Исходные данные для всех 5 частотных каналов WMAP были взяты с сайта (http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/m_products.html).
Для расчета круговой кросс-корреляции использовались следующие
соотношения (Fisher, 1993):
где Msp и
Mfp - p-ые тригонометрические моменты выборок,
<φ> и <ψ> a
соответствующие средние направления,
- коэффициенты
круговой кросс-корреляции
в каждой моде
,
rsf -
средний коэффициент кросс-корреляции для всех фаз.
Для m=0 и для всех
,
фаз
здесь мы ими пренебрегаем.
Таблица 5.1. Коэффициенты круговой кросс-корреляции <Rsf> между фазами сигнала в ILC карте и фоновыми компонентами, а также фазами сигналов PCM и FCM и фоновых компонент.
K | KA | Q | V | W | |
ILC(o) | -0.026 | -0.031 | -0.030 | -0.033 | -0.033 |
ILC(d) | -0.017 | 0.018 | 0.022 | 0.112 | 0.262 |
FCM | 0.031 | 0.051 | 0.071 | 0.157 | 0.320 |
PCM | -0.019 | 0.007 | 0.032 | 0.136 | 0.288 |
Коэффициенты круговой корреляции
в зависимости от
углового масштаба отображены
на Рис.5.19 для ILC сигнала и для PCM сигнала.
Для первых трех каналов коэффициенты распределены умеренно и не
превышают случайный разброс (1σ), полученный из 200
200 случайных реализаций. Заметим, что
форма
функций
одинаковая для этих каналов, что отражает
сильную корреляцию фаз всех компонент
(Naselsky et al. 2004a). Как можно видеть из Рис.5.20-5.22 для
V и W каналов кросс-корреляция фаз PCM и ILC с фазами компонент
является довольно значительной.
Аналогичная тенденция наблюдается для оценок средних коэффициентов
<Rsf>,
приведенных
для
2≤≤50
в Таблице 5.1
для почищенных сигналов РИ и компонент.
Для первых трех наблюдательных полос коэффициенты небольшие,
но они возрастают для каналов V и W.
Корреляции фаз различных фоновых компонент с ILC, FCM и PCM сигналами CMB построены на Рис.5-7. Для свободно-свободного излучения корреляции очень умеренные и превышают случайный разброс только для гармоник 35 - 36. Однако, для синхротронной и пылевой компонент видны значительные (95%) корреляции для гармоник 21 - 23 и для всех почищенных карт. Для всех почищенных карт этот диапазон соответствует минимуму в спектре мощности. (Рис.16).
Проверена Гауссовость двух карт: с вычищенными фоновыми компонентами (FCM: foreground-cleaned map) и обработанной фильтром Винера (WFM: Wiener-filtered map), полученными Тегмарком и др. (2003) из данных WMAP. На основании гипотезы о случайных фазах определена значимая негауссовость сигнала для обеих карт. Фазовый метод позволил разделить и исследовать статистику различных диапазонов мультиполей.
Предложена новая методика исследования статистических свойств сигнала для полос K-W эксперимента WMAP. Используя корреляционные свойства фаз гармоник в различных каналах и факт, что реликтовое излучение во всех каналах одинаковое, можно выделить этот сигнал, используя минимизацию невязок фаз. Предлагаемый метод не требует предварительного удаления областей излучения Галактики. Показано наличие значимых корреляций между фазами выделенного сигнала и фоновых компонент, особенно для канала W. Такие корреляции могут быть индикатором возможной негауссовости, обусловленной методикой разделения компонент.
Начало | Введение | Глава 2 | Глава 3 | Глава 4 | Глава 5 | Глава 6 | Библиография | Приложения |
Назад | Дальше... |