Методы и результаты наблюдательной радиокосмологии

Рис.5.8. Отношение площади пиксела на заданном слое к площади пиксела на экваторе для GLESP. Рис. из работы (Верходанов и др., 2005b).

Рис.5.9. Размер пиксела вдоль полярного угла при =250. Рис. из работы (Верходанов и др., 2005b).

Отметим еще один интересный момент. Для карт с хорошим разрешением (например, при >500), при достаточном удалении от полюсов в случае пикселизации GLESP мы получаем практически равноудаленные слои (Рис.5.9).

5.3. Не-Гауссовость

Как уже говорилось ранее, одним из критических тестов при исследовании реликтового излучение является тест на Гауссовость/не-Гауссовость данных. Стандартная инфляционная модель предсказывает температурные флуктуации, соответствующие Гауссовым однородным и изотропным случайным полям, в то время как нестандартная инфляция (Linde, Mukhanov, 1997; Peebles, 1997; Bernardeau, Uzan, 2002) и модели с топологическими дефектами (Turok, Spergel, 1990; Durer, 1999) обычно предсказывают не-Гауссовы случайные поля. Кроме того, не-Гауссовость может проявляться и как систематический эффект, связанный с методами наблюдений и обработки.

Рис.5.10. Цветовая диаграмма градиента фазы для карт FCM (верхний левый угол) и WFM (нижний правый). По вертикали отложены ≤600, по горизонтали соответствующие m. Симметрия делает достаточным использование лишь m≥0. Наблюдаемые полосы на диаграмме FCM показывают сильную фазовую корреляцию соседних мод для заданных m. Рис. из работы (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).

Рис.5.11. Пример возвращаемой карты для =(0,4) для фаз карты FCM, где 41<<250. для этой карты 0.0332. Дискретизация проведена для 1282 пикселов со сглаживающим масштабом R=2. Рисунок опубликован в работе (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).

После появления архива WMAP появилась возможность проводить статистические тесты на реальных данных до сравнительно высоких мультиполей (≤600). Так, команда WMAP (Komatsu et al., 2003) объявила, что сигнал Гауссовый на уровне достоверности 95%, правда, предоставив карту ILC (internal linear combination), не предназначенную по словам авторов для исследования CMB из-за ``сложных свойств шума'' ( http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/m_products.html). Другая группа под руководством М. Тегмарка (Tegmark, de Oliveira-Costa & Hamilton, 2003 - далее TOH) сделала независимую чистку от фоновых компонент и предоставила 2 карты FCM (foreground-cleaned map - с вычищенными фоновыми компонентами) и WFM (Wiener-filtered map - обработанная фильтром Винера), также объявив, что полученные данные Гауссовы.

Рассмотрим карты Тегмарка и др. (TOH, 2003). Авторы определяют FCM как карту с фоновыми компонентами, чей вклад минимален. Так как удаляемые фоновые компоненты не-Гауссовы, остающиеся после удаления невязки могут проявить себя в фазах. Для проверки свойств карт мы использовали метод цветовых фазовых диаграмм, позволяющий проверить количественно Гауссовость карт, основанную на гипотезе случайных фаз для однородных и изотропых случайных Гауссовых полей (ГСП).

Температурные флуктуации излучения РИ на сфере описываются как сумма сферических гармоник (урав. 5.1), где коэффициенты при гармониках . Однородные и изотропые ГСП, как результат простейшей инфляции, генерируют -моды, у которых вещественная и мнимая части независимо и случайно распределены, т.е. фазы -моды, распределены равномерно в интервале [0,2π]. Статистические свойства такого Гауссова поля полностью определяются угловым спектром мощности :

На Рис.5.10 показана цветовая фазовая диаграмма (в тональном бело-сером представлении), отображающая градиент , для FCM и WFM. По вертикальной оси отложен мультиполь до =600, а по горизонтальной - m, где m≤. Воспользовавшись соотношением , мы можем рассматривать только неотрицательные моды m. Хотя фазовый градиент (от соседних мод) является наиболее примитивным методом выявления фазовых корреляций, присутствие видимых полос на диаграмме для карты FCM (верхняя часть диаграммы на Рис. 5.10) показывает строгое сцепление между модами соседних для одних m.

Для проверки Гауссовости карт FCM и WFM мы использовали технику цветового отображения фаз (Chiang et al., 2002a), чтобы проверить степень `случайности' (Гауссовости) в распределении фаз. Возвращаемая карта фаз представляет из себя диаграмму, в которой все пары фаз с фиксированной разностью мод отображаются как точки (см. Рис.5.11). Например, одна карта для таких фазовых пар с разделением =(0,1) содержит точки (x,y) соответствующие , т.е. все пары фаз разделены по =1. После отображения пар фаз на карту можно применить статистику среднего значения χ², которая определяется как

где M - число пикселов, а =1. среднее значение соответствующих пикселов на возвращаемой карте. Чианг и др. (Chiang et al., 2002b) показали, что для однородного и изотропного ГСП фазовое картирование дает ансамбль возвращаемых карт с Пуассоновским распределением каждая. Ожидаемое значение от ансамблей таких карт

где R - масштаб сглаживания Гауссианой при двумерной свертке для выделения пространственной структуры. . будет иметь статистическое распределение вокруг с дисперсией Σ_P, где от ансамблей таких карт

Рис.5.12. Гистограммы, показывающие статистику для FCM (пунктирные серые кривые) и WFM (сплошные темные кривые) в различных диапазонах . Одно из преимуществ техники фазового картирования состоит в том, что оно дает возможность проверить не-Гауссовость для различных диапазонов мультиполей. Верхняя горизонтальная ось показывает теоретическую дисперсию ΣP для случайного Гауссового поля с оригинальным набором ожидаемых величин (вертикальная линия на каждом рисунке). Сглаживающий масштаб для дискретизации M=1282 составляет R=2. Рис. из работы (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).

На Рис.5.12 показаны гистограммы статистики по ансамблю возвращаемых карт для FCM и WFM для четырех полос мультиполей. Одно из преимуществ техники фазового картирования состоит в возможности проверки Гауссовости для различных диапазонов мультиполей, и в частности тех, которые соответствуют вкладам фоновых компонент и шуму. Здесь представлена статистика в четырех диапазонах с центрами в ~150, 290, 400 и 500: 41<<250 (в районе первого пика Сахаровских осцилляций), 224<<350, 350<<450 и 463<<550. Сплошная темная и пунктирная серая кривые соответствуют картам WFM и FCM. На каждом рисунке вертикальная линия отмечает ожидаемую величину Кривые для карты FCM очевидно смещены и следовательно показывают фазовые корреляции, т.е. не-Гауссовость.

Рис.5.13. Статистика среднего хи-квадрат для карт FCM (вверху) и WFM (внизу) в сравнении с 2000 реализациями случайного Гауссового поля. Контуры показывают области 68% (сплошная линия) и 95% (пунктирная кривая) уровней достоверности для 2000 реализаций случайного Гауссового поля. Хотя 68% и 95% отмечают отклонение 1 и 2-σ для Гауссовой статистики, распределение является скорее хи-квадрат, а не Гауссовым. Символы крестика (x), треугольника , квадрата и звездочки (*) обозначают данные для диапазонов мультиполей с центрами ~150, 290, 400 и 500 соответственно. Область, обозначенная контуром на нижнем рисунке, соответствует маленькой области на верхнем рисунке. Рисунок опубликован в работе (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).

Рис.5.14. Вариации температуры РИ для двух мультиполей =350 и 352 для картой FCM (верхний рисунок) и WFM (нижний рисунок). Выбор мультиполей обусловлен обнаружением сцепления фаз для гармоник с =2. Структура для φ~0 и π, видимая на FCM, исчезает после Винеровской фильтрации, делая карту практически Гауссовой на этих мультиполях. Рисунок опубликован в работе (Chiang, Naselsky, Verkhodanov, Way, 2003).

На Рис.5.13 показано поведение распределений арифметического среднего и дисперсии Σ для статистики среднего хи-квадрат: на верхнем рисунке - для карты FCM, на нижнем - для WFM. Контуры показывают области 68% (сплошная линия) и 95% (пунктирная линия) уровней достоверности, оцененные по 2000 реализациям ГСП. Значки на рисунке соответствуют четырем диапазонам мультиполей с центрами ~150, 290, 400 и 500. Фазы четырех полос мультиполей для карты FCM сильно коррелированы, и вынесены далеко за уровень достоверности 95% . Диаграмма для WFM показывает, что фазы для гармоник до первого пика на спектре мощности являются случайными, а три других диапазона находятся вне контура уровня 68%.

Факт не-Гауссовости виден и для карты WFM для диапазонов в районе = ~400 и 500. На двух нижних рисунках Рис.5.12 появляются точки в хвостах распределений выше уровня 6Σ_P. Моделирование 2000 реализаций ГСП показывает, что при картировании фаз никогда не достигается уровень выше 6Σ_P, дающий вероятность ниже 0.05% для случайного Гауссового поля. Фазовое картирование при разделении =(0,2) дает значение на уровне 7.3 Σ_P для диапазона мультиполей с центром на ~400, для =(1,2) на уровне 6.5Σ_P. Для полосы ~500 7.6Σ_P получается для =(2,2). Такие фазовые сцепления показывают нарушение гипотезы о случайности фаз, тем самым демонстрируя не-Гауссовость.

На Рис.5.14 приведены распределения температуры РИ на сфере для двух мультиполей =350 и 352 (для всех m) для всех карт FCM и WFM. Эти мультиполи выбраны с =2 из исследованных диапазонов, чтобы продемонстрировать не-Гауссовость карту сигнала. Структура в районе φ~0 и π для FCM может представлять собой остаточный сигнал после удаления фоновых компонент, исчезающий после чистке фильтром Винера.

Заметим, что открытие не-Гауссовости в данных сигнала РИ было позднее подтверждено независимо другими группами и другими методами: в частности, при анализе с помощью вейвлетов (Vieleva et al., 2004) и функционалов Минковского (Colley & Gott, 2003; Eriksen et al., 2004).

5.4. Фазовый метод чистки и выделение реликтового излучения

Флуктуации РИ с мешающими компонентами на сфере могут быть представлены в виде суммы сферических гармоник

где - коэффициенты разложения, <T>=2.73K и <ΔT>=0. Напомним, что статистические свойства РИ полностью определяются угловым спектром мощности

и случайными фазами

которые равномерно распределены в диапазоне [0, 2π] для случайного Гауссова поля. Для мешающих фоновых компонент сигнал очевидно является не-Гауссовым. Таким образом, комбинируя сигналы РИ и компонент мы определяем

где - модуль, а - фаза каждой , m-гармоники.

Основная идея метода фазовой чистки (Phase cleaning method PCM) состоит в обобщении схемы минимизации Тегмарка и др. (Tegmark & Efstathiou, 1996; Tegmark et al., 2003: TOH) с включением минимизации корреляции между получаемым сигналом CMB и компонент фоновых излучений (Naselsky et al. 2003a, 2004a). Предлагаемый метод не требует предварительного удаления областей излучения Галактики. Следуя работе Насельского и др. (Naselsky et al., 2003a), мы используем комбинации карт WMAP: Ka-Q, Ka-V and Q-V, для которых корреляции между фазами компонент наибольшие (Рис.5.15).

Рис.5.15. Кросс-корреляции фаз из каналов WMAP. Слева направо верхний ряд: KA-Q, KA-V, нижний ряд: Q-V, Q-W. Фазы каналов Ka-Q, Ka-V и Q-V показывают высокую корреляцию, каналы Q-W - невысокую. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Verkhodanov et al., 2003a).

Для каждой пары карт мы вводим взвешивающие коэффициенты , аналогичные методу Тегмарка и др. (TOH), и минимизируем отклонение получаемой карты для каждой моды . Пренебрегая инструментальным шумом для ≤100, рассмотрим сигнал как суперпозицию РИ и компонент.

Для всего набора коэффициентов гармоник a^(j) найдем фазы (см. (5.11)-(5.12)). Каждый набор a^(j)-коэффициентов определяется комбинацией коэффициентов и сигнала a^cmb где индекс k обозначает синхротронное, свободно-свободное излучение и излучение пыли. Для каждой комбинации карт искомый сигнал РИ определяется как

где

и Ξ^(j) - фаза в j-канале. Фазы восстановленного РИ соотносятся с амплитудами и фазами компонент следующим образом (Naselsky et al. 2003):

где ξ - истинная фаза CMB и Ψ^(j) - фазы компонентов сигнала. Фазы восстановленного сигнала CMB Ψ^M могут иметь корреляции с фазами компонент. Основная цель метода PCM состоит в минимизации таких корреляций с помощью минимизации взвешивающего отклонения

используя соотношения (5.16) и взвешивающие коэффициенты w^(j) в форме

Заметим, что минимизация взвешивающего отклонения в формуле (5.17) эквивалентна минимизации ошибок восстановления РИ где - коэффициент гармоники реального сигнала CMB (Naselsky et al. 2003, 2004a).

Рис.5.16. Спектр мощности в мК2 для метода PCM восстановленного CMB (толстая сплошная линия), ILC (штриховая линия), TOH FCM (штрих-пунктирная линия) и карта TOH, обработанная фильтром Винера (тонкая сплошная линия). Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

Рис.5.17. Карта флуктуаций восстановленного реликтового излучения методом фазовой чистки с разрешением ≤50. Единицы измерения - мК. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

Восстановленные карты CMB в каждой паре K-W каналов слегка отличаются из-за невязок в компонентах. Чтобы минимизировать невязки, на последнем шаге мы использовали фильтр MIN-MAX для пикселов карты. Этот фильтр сравнивает сигналы ΔT_p, в каждом пикселе с номером p из набора карт. Далее мы выбираем минимальную амплитуду ΔT_p в пикселе как сигнал РИ, т.е. . где . Чтобы оценить вклад невязок от точечных источников, мы находим максимальную амплитуду сигнала в каждом пикселе , где , для всех предварительных карт CMB, полученных методом (5.17). Для истинного РИ различие равно 0 и мы рассматриваем как меру отклонения от карты CMB.

Сигнал в каждом пикселе является суперпозицией сигнала РИ и маленькой добавки, связанной с фоновыми компонентами. Если корреляция сигнала РИ и мешающих компонент минимальна, тогда можно ожидать, что все отклонения в пикселах обусловлены невязками. В нашем случае использовались два приближения карты CMB, восстановленной по данным каналов Ka-V и Q-V, а распределение ΔT^min было взято как карта РИ.

Результат применение метода PCM к данным WMAP в диапазоне мультиполей ≤100 показан на Рис.5.16. Карта флуктуаций РИ, полученная методом фазовой чистки, с разрешением ≤100 приведена на Рис.5.17. На Рис.5.18 показаны разности между картами ILC и PCM, TOH FCM и PCM (слева), TOH Wiener и PCM (справа). Основная разность между картами проявляется в галактической плоскости и в гармонике a₅₁, которая вероятно обусловлена излучением Галактики.

Используя оценку спектра мощности можно сравнить его для карт ILC, FCM, PCM и TOH Wiener. Как видно из Рис.5.16 карта PCM воспроизводит спектр TOH WFM.

Рис.5.18. Разность карт S-ILC-фоновые компоненты для полос WMAP V (слева) и W (справа). Единицы в мК. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

Рис.5.19. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (штриховые линии) выделенными сигналами РИ и фоновыми компонентами для каналов K-W, полученными как разности между данными каналов и сигналом РИ. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

5.5. Корреляции выделенных сигналов и компонент для карт ILC, FCM и PCM

Для сравнения методов мы использовали рассчитывали корреляционные коэффициенты наборов фаз используя статистику Фишера (Fisher, 1993) для угловой меры. Исходные данные для всех 5 частотных каналов WMAP были взяты с сайта (http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/m_products.html).

Рис.5.20. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (пунктирные линии) почищенных сигналов и свободно-свободным излучением (по данным сайта WMAP) для каналов K-W. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

Для расчета круговой кросс-корреляции использовались следующие соотношения (Fisher, 1993):



где M_sp и M_fp - p-ые тригонометрические моменты выборок, <φ> и <ψ> a соответствующие средние направления, - коэффициенты круговой кросс-корреляции в каждой моде , r_sf - средний коэффициент кросс-корреляции для всех фаз. Для m=0 и для всех , фаз здесь мы ими пренебрегаем.

Рис.5.21. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (пунктирные линии) почищенных сигналов и синхротронным излучением (по данным сайта WMAP) для каналов K-W. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ. Рисунок опубликован в работе (Naselsky, Doroshkevich, Verkhodanov, 2004a).

Рис.5.22. Круговая корреляция между фазами ILC (толстые сплошные линии), FCM (тонкие сплошные линии) и PCM (пунктирные линии) почищенных сигналов и излучением пыли (по данным сайта WMAP) для каналов K-W. Серая поверхность показывает уровень ошибок 1σ.

Таблица 5.1. Коэффициенты круговой кросс-корреляции <R_sf> между фазами сигнала в ILC карте и фоновыми компонентами, а также фазами сигналов PCM и FCM и фоновых компонент.

	K	KA	Q	V	W
ILC(o)	-0.026	-0.031	-0.030	-0.033	-0.033
ILC(d)	-0.017	0.018	0.022	0.112	0.262
FCM	0.031	0.051	0.071	0.157	0.320
PCM	-0.019	0.007	0.032	0.136	0.288

Коэффициенты круговой корреляции в зависимости от углового масштаба отображены на Рис.5.19 для ILC сигнала и для PCM сигнала. Для первых трех каналов коэффициенты распределены умеренно и не превышают случайный разброс (1σ), полученный из 200 200 случайных реализаций. Заметим, что форма функций одинаковая для этих каналов, что отражает сильную корреляцию фаз всех компонент (Naselsky et al. 2004a). Как можно видеть из Рис.5.20-5.22 для V и W каналов кросс-корреляция фаз PCM и ILC с фазами компонент является довольно значительной.

Аналогичная тенденция наблюдается для оценок средних коэффициентов <R_sf>, приведенных для 2≤≤50 в Таблице 5.1 для почищенных сигналов РИ и компонент. Для первых трех наблюдательных полос коэффициенты небольшие, но они возрастают для каналов V и W.

Корреляции фаз различных фоновых компонент с ILC, FCM и PCM сигналами CMB построены на Рис.5-7. Для свободно-свободного излучения корреляции очень умеренные и превышают случайный разброс только для гармоник 35 - 36. Однако, для синхротронной и пылевой компонент видны значительные (95%) корреляции для гармоник 21 - 23 и для всех почищенных карт. Для всех почищенных карт этот диапазон соответствует минимуму в спектре мощности. (Рис.16).

5.6. Выводы

Проверена Гауссовость двух карт: с вычищенными фоновыми компонентами (FCM: foreground-cleaned map) и обработанной фильтром Винера (WFM: Wiener-filtered map), полученными Тегмарком и др. (2003) из данных WMAP. На основании гипотезы о случайных фазах определена значимая негауссовость сигнала для обеих карт. Фазовый метод позволил разделить и исследовать статистику различных диапазонов мультиполей.

Предложена новая методика исследования статистических свойств сигнала для полос K-W эксперимента WMAP. Используя корреляционные свойства фаз гармоник в различных каналах и факт, что реликтовое излучение во всех каналах одинаковое, можно выделить этот сигнал, используя минимизацию невязок фаз. Предлагаемый метод не требует предварительного удаления областей излучения Галактики. Показано наличие значимых корреляций между фазами выделенного сигнала и фоновых компонент, особенно для канала W. Такие корреляции могут быть индикатором возможной негауссовости, обусловленной методикой разделения компонент.