Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.ru/upload/iblock/b46/2006-00-00-artyushkova.pdf Дата изменения: Wed Sep 17 23:25:52 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:08:42 2012 Кодировка: IBM-866 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п

пр в х рукописи

ртюшков ри вгеьев

01.01.03 { м тем тическ я физик

диссерт ции соиск ие учеой степеи к дид т физико-м тем тических ук

Mоскв 2006 г.


бот выполе к федре м тем тики физического ф культет осковского осуд рствеого иверситет имеи .. омоосов .

учый руководитель

: октор физико-м тем тических ук, профессор .. околов.

фици льые оппоеты:
дид т физико-м тем тических ук .. озедор. октор физико-м тем тических ук .. ыби.

едущ я орг из ция:
ститут мех ики сплошых сред г.ермь 2006 г. в ч с. з сед ии щит состоится иссерт циоого овет .501.001.17 при осковском осуд рствеом иверситете имеи .. омоосов по дресу: 119899, оскв , оробьевы горы, физический ф культет . диссерт цией можо оз комиться в библиотеке физического ф культет (119899, оскв , оробьевы горы, физический ф культет ). вторефер т р зосл 2006 год

чеый секрет рь иссерт циоого овет .501.001.17 доктор физико-м тем тических ук, профессор (..оляков)


I. бщ я х р ктеристик р боты
кту льость исследов ий

ще в 1964 году . . ельдович обр тил вим ие то, что влияие ебольших еодородостей плотости во селеой, которые присутствуют в ей, есмотря ее исключительую степеь одородости и изотропии, е сводится к флукту циям сети изотропых геодезических и екоторому шуму, восимому т ким обр зом в космологические тесты. к зыв ется, что возик ет ебольшое систем тическое иск жеие космологических тестов, которые дел ют селеую, кривиз простр ствеого сечеия которой в средем р в улю, в определеой степеи похожей открытую космологическую модель. д ется ввести поятие эффективой кривизы, котор я ок зыв ется отриц тельой и пропорцио льой величие еодородостей. о селеой с еодородостями блюд тель, измеряющий кривизу простр ствеого сечеия путем сопост влеия угловых р змеров и р сстояия до ст д ртого объект , получит вместо осредеого з чеия кривизы, р вого улю, ее эффективое з чеие, которое ок жется отриц тельым. есмотря большой литический прогресс в изучеии эффект . . ельдович , предст вляется еобходимым поддерж ть эти результ ты д ыми числеого моделиров ия. о-первых, литические результ ты предст вляют собой екоторые утверждеия об симптотическом поведеии решеий без оцеки скорости выход ссимптотику. о-вторых, теория в полой мере использует модель флукту ций к к случ його поля. т модель хорошо з рекомедов л себя в физике, о все же о е всегд может декв то примеяться к кокретым физическим з д ч м; в котексте космологии эту огр ичеость ук зыв л . . ельдович. оскольку литические результ ты о поведеии решеий ур веия коби к рди льо руш ют привычые предст влеия ст тистической физики, их


верифик ция метод ми числеого моделиров ия предст вляется еобходимой. то же время т кие р боты пр ктически отсутствуют в литер туре. бот . . ельдович был одой из р их р бот, в которых были об ружеы еожид ые свойств ур веий со случ йыми коэффицет ми. д льейшем изучеие этих явлеий проходило в осовом м тери ле физики кодесиров ого состояия, где ои входят в круг явлеий лок лиз ции (физик твердого тел ) и перемеж емости (гидроди мик ). р веие коби итересо е только в космологическом котексте, о и к к дост точо простое модельое ур веие, котором поведеие решеий ур веий со случ йыми коэффициет ми можо изучить гор здо глубже, чем сложых ур веиях физики кодесиров ого состояия. ч стости, модель ур веия коби, описыв ющ я эффект . . ельдович , может быть использов и в приложеии к м гитой гидроди мике в з д че турбулетого ди мо. литическое исследов ие обеих з д ч опир ется общие свойств м тричых опер торов, т кие к к екоммут тивость и уимодулярость, поэтому ур веие коби может р ссм трив ться к к модель мелком сшт бого ди мо. реимущество этой простой модели в р мк х обыковеых диффереци льых ур веий перед известыми трехмерыми лог ми в числеом эксперимете состоит в том, что для ур веия коби ре льо получить огромый объем выборки случ йых ре лиз ций, который позволяет оцеить средее и ст тистические мометы.
ели и з д чи р боты

совой целью стоящей р боты является числеое исследов ие поведеия решеий ур веия коби и сопост влеие результ тов числеого исследов ия с литическими результ т ми в котек4


ст х двух кту льых обл стей в совремеой физике: космологии и м гитой гидроди мики. ходе исследов ия реш лись следующие з д чи: 1. ычислеие типичой ре лиз ции ур веия коби, средего и высших ст тистических мометов. опост влеие получеых числеых результ тов с известыми теоретическими результ т ми. 2. ислеое построеие ст тистических р спределеий р сстояий между сопряжеыми точк ми вдоль геодезических. р веие получеых результ тов в известыми теоретическими оцек ми. 3. ыявлеие общих свойств решеия ур веия коби и ур веия идукции. босов ие моделиров ия мелком сшт бого г л ктического ди мо ур веием коби геодезической со случ йой кривизой. 4. пределеие миим льых объем выборки и м сшт б времеи для возможости числеого моделиров ия мелком сшт бого ди мо. 5. ыявлеие роли п мяти в турбулетом потоке для перемеж емости и рост м гитого поля. ычислеие типичой ре лиз ции, средего и ст тистических мометов для ур веия коби с учетом эффект п мяти.
щищ емые положеия

1. ислео продемостриров экспоеци льый рост и эффект перемеж емости поля коби. ычислеы скорости рост типичой ре лиз ции и высших ст тистических мометов. ислео получе пок з тель скорости рост средего з чеия решеия ур веия коби, который совп д ет с теоретическим пок з телем с высокой точостью. 2. ислео пок з о, что фукция р спределеия р сстояий между сопряжеыми точк ми геодезической поми ет р спределеие у ссо , т кже выявлеы ебольшие отличия от этого р спределеия. олуче оцек средего р сстояия между сопряжеыми точк ми, 5


котор я согл суется с теоретическими оцек ми сверху и сизу. 3. ок з о, что р ссм трив ем я модель эффект . . ельдович может служить моделью для з д чи мелком сшт бого ди мо в м гитой гидроди мике. 4. цее объем выборки случ йых ре лиз ций еобходимый для моделиров ия средего и ст тистических мометов ур веия коби. тот объем ок з лся еожид о большим, порядк 105 . 5. ок з о, что эффекты п мяти, присутствующие в ре льом физическом процессе е под вляют перемеж емость, иогд д же увеличив ют ее.
уч я овиз

звесто, что решеия эволюциоых ур веий со случ йыми коэффициет ми имеют мого общих свойств, м ло з висящих от кокретого вид ур веия. д ой р боте проведео систем тическое числеое исследов ие простого моделього ур веия коби со случ йыми коэффициет ми, которое позволило дет льо изучить свойств , х р ктерые для широкого круг з д ч. роведео сопост влеие результ тов, получеых с помощью р зых ст д ртых геер торов псевдослуч йых чисел: V isual C ++ и M aple5. есмотря то, что геер торы имеют приблизительо оди ковые периоды повтореия, структур к ждого из их идивиду ль , что приводит к ебольшому отличию числеых результ тов. родемостриров связь между простым двумерым ур веием коби в космологии и трехмерым ур веием идукции в м гитогидроди мике. босов пост овк з д чи числеого моделиров ия мелком сшт бого ди мо с помощью простого моделього ур веия коби. ислеое исследов ие этого ур веия еожид о пок з ло, что еобходимый объем выборки случ йых 6


ре лиз ций очеь велик и яво едостижим для прямого числеого моделиров ия трехмерой з д чи.
еоретическ я и пр ктическ я цеость

езульт ты д ой р боты могут предст вить итерес для космологии, в ч стости, для построеия оцеок р сстояия до гр вит циоых лиз, вызв ых когеретым действием м лых возмущеий кривизы в простр стве, поскольку в р боте получеы ст тистические р спределеия р сстояий между гр вит циоыми лиз ми, изуче з висимость формы р спределеия от м сшт б флукту ций плотости в простр стве. роведеое исследов ие может приести пользу в числеом моделиров ии ур веия идукции для з д чи мелком сшт бого ди мо. олуче я оцек миим лього объем выборки, еобходим я для того, чтобы воспроизвести усредеое решеие ур веия коби и продемостриров ть явлеие перемеж емости, позволит оцеить точость р счетов трехмерой з д чи и позволит более и обосов о пл иров ть д льейшие числеые экспериметы.
проб ция р боты

езульт ты диссерт ции докл дыв лись втором следующих между родых семи р х и коферециях: 1. "кту льые проблемы вег л ктической строомии", г. ущио, 2003. 2. "ежду род я школ -семи р по геометрии и лизу п мяти ..фимов ", п. бр у-юрсо, 2004. 3. "Perm Dynamo Days", г. ермь, ститут мех ики сплошых сред , 2005. 4. "International Conference on Theoretical Physics", г. оскв , , 2005. 7


езульт ты диссерт ции докл дыв лись семи ре "еометрия в целом", мех ико-м тем тический ф культет , 2006.
ублик ции

езульт ты диссерт ции опубликов ы в 3 ст тьях в рецезируемых жур л х и 5 публик циях в м тери л х кофереций.
бъем р боты

иссерт ция состоит из введеия, четырех гл в и списк литер туры из 50 имеов ий. иссерт ция содержит 105 стр иц, включ я 28 рисуков.

I I. одерж ие р боты

является вводой. этой гл ве изл г ется опис ие эффект . . ельдович с помощью ур веия коби. риводятся известые результ ты литического исследов ия эффект и поясяется потребость в подтверждеии этих результ тов посредством прямого числеого моделиров ия. ок з о, что ур веие коби может являться моделью з д чи мелком сшт бого ди мо. ффект . . ельдович удобо опис ть в терми х полей коби. усть (, x) - семейство геодезических, проходящих через екоторую точку простр ствеом сечеии, причем x - р сстояие от точки их пересечеия, - угол, отсчитыв емый от екоторой б зовой геодезической, для которой = 0. огд р сстояие между точк ми, ходящимися р сстояии x близких геодезических семейств р во y (x), где y и есть поле коби вдоль б зовой геодезической. оле коби можо йти из ур веия коби:
y + K (x)y = 0,

ерв я гл в

8


где K - кривиз двумерого срез , производые берутся по р сстояию от ч льой точки. стествеые ч льые условия для ур веия (1) имеют вид: y (0) = 0 и y (0) = 1. ы р ссм трив ем кривизу K (x) к к случ йый процесс с обовлеием. огд решеие ур веия коби может быть предст влео в виде произведеия ез висимых случ йых м триц. р боте к решеию ур веия коби был примее теория ерстеберг . этой теории изучео произведеие ез висимых случ йых м триц и пок з о, что оо р стет экспоеци льо. оэтому модуль поля коби р стет экспоеци льо, причем скорость рост постоя и е з висит от ре лиз ции, и поле коби обл д ет сильой перемеж емостью, т. е. к ждый высший ст тистический момет p-го порядк р стет с постояой скоростью, котор я увеличив ется с ростом омер момет . литически получе только оди пок з тель скорости рост для средего поля, е его модуля. ля ост льых пок з телей скоростей рост уд ется получить лишь екоторые ер веств . стествео получить кокретые з чеия этих пок з телей в числеом эксперимете. еория ерстеберг примеяется и в более сложых могомерых з д ч х. римером т кой з д чи является ур веие идукции для мелком сшт бого ди мо. дея гидром гитого ди мо состоит в том, что движеия проводящей жидкости усилив ют ч льое сл бое м гитое поле в отсутствие веших электродвижущих сил. бщее решеие з д чи оши для ур веия идукции по логии с ур веием коби выр ж ется в виде произведеия случ йых м триц, поэтому при исследов ии этой з д чи с помощью теории ерстеберг об ружив ются те же свойств поведеия решеия, к к и для ур веия коби, имео перемеж емость и экспоеци льый рост решеия. ким обр зом ур веие коби может служить моделью для мелком сшт бого ди мо. реимущество этой модели отосительо исходой состоит в том, что ур веие коби имеет структуру 9


более простую, чем ур веие идукции, и возможости числеого моделиров ия его мого шире. о второй гл ве предст влеы результ ты числеого моделиров ия поведеия решеий ур веия коби. ти д ые подтвержд ют к чествеые свойств поведеия решеий ур веия коби со случ йыми коэффициет ми и, в ч стости, эффект . . ельдович . редст влеы числеые оцеки скорости рост типичой ре лиз ции, средего и высших ст тистических мометов. ля числеого решеия ур веия коби мы использов ли подход, связ ый с тем, что к ждом итерв ле обовлеия решеие выр ж ется через з чеие решеия и его производой левом коце и екоторую ст д ртую м трицу преобр зов ия, з висящую лишь от з чеия кривизы д ом итерв ле обовлеия. ешеие через есколько итерв лов обовлеия выр ж ется к к произведеие соответствующих случ йых м триц. езульт т ок з лся соответствующим теоретическим предск з иям, типич я ре лиз ция действительо р стет экспоеци льо. спользов ый ми подход является узко специ лизиров ым для шей з д чи. ы т кже воспользов лись ст д ртым методом уге-утт . ипич я ре лиз ция, построе я по методу уге-утт 2-го порядк тоже р стет экспоеци льо, о с есколько большей скоростью, чем в первом методе - это обусловлео тем, что еспеци лизиров ый метод уге-утт более еустойчив и в решеии к плив ется ошибк . ем е меее р зиц скоростей рост , получеых по двум метод м евелик , и это ук зыв ет спр ведливость получеых результ тов, т. е. что рост решеия е является следствием еустойчивости. к честве геер тор случ йых чисел мы использов ли геер тор, встроеый в язык V isual C ++ (версия 6.0) и в п кет M aple5, и геер торы д ют цепочку псевдослуч йых чисел с периодом повтореия 232 , что примеро соответствует требуемому в шей з д че 10


количеству случ йых чисел. б ружео ебольшое количествеое р схождеие результ тов, получеых с помощью этих двух геер торов. третьей гл ве р ссм трив ется явлеие возиковеия гр вит циоых лиз. следствие эффект . . ельдович в простр стве могут возик ть гр вит циоые лизы, связ ые е с к ким-то идивиду льым возмущеием кривизы, a с совместым действием могих возмущеий. р вит циоые лизы фокусируют изобр жеие источик свет в екоторых точк х простр ств , которые зыв ются сопряжеыми точк ми. р вит цио я лиз отлич ется от оптической тем, что искривлеие тр ектории луч происходит е з счет измееия пок з теля преломлеия в веществе, вследствие того, что пути его р спростр еия встреч ются м ссивые тел . геометрических терми х гр вит циоые лизы соответствуют сопряжеым точк м геодезической, т. е. точк м, в которых поле коби y обр щ ется в оль. редст влеы результ ты числеого моделиров ия р спределеия р сстояий между сопряжеыми точк ми вдоль геодезических. ислео пок з о, что фукция р спределеия р сстояий между сопряжеыми точк ми геодезической поми ет р спределеие у ссо , т кже выявлеы ебольшие отличия от этого р спределеия. редст влеы оцеки средего р сстояия между сопряжеыми точк ми для м лых з чеий модуля кривизы, которые согл суются с теоретическими оцек ми сверху и сизу при стремлеии к улю кривизы. четвертой гл ве проводится исследов ие явлеия геер ции м гитого поля в з д че мелком сшт бого ди мо. литические предск з ия в этой обл сти ок зыв ются д леки от совремеых результ тов числеого моделиров ия, вероято, вследствие огр ичеых возможостей прямого числеого эксперимет . ы предл г ем проясить ситу цию с помощью исследов ия простого 11


ур веия коби со случ йыми коэффициет ми, которое моделирует более сложые ур веия мелком сшт бого ди мо. ростое диффереци льое ур веие коби обл д ет всеми свойств ми, которые используются в литической теории для демостр ции перемеж емого поведеия и рост м гитого поля. результ те числеого исследов ия ур веия коби, р ссмотреом в гл ве 1, ок з лось, что для дет лього воспроизведеия перемеж емого поведеия р стущих решеий требуется около N = 5 § 105 ез висимых ре лиз ций. кой гром дый объем выборки едостижим при прямом числеом моделиров ии соответствующих трехмерых з д ч. другой стороы, количество ез висимых турбулетых ячеек, ск жем, для г л ктического ди мо к к р з ср вимо с N . ы усложили модель случ його процесс и доб вили в ее эффект п мяти. езульт ты числеого моделиров ия пок з ли, что эффекты п мяти ок зыв ют влияие результ т числеого эксперимет , о суть явлеия е иск ж ется. олее того, эффекты п мяти могут д же усилив ть еустойчивость. метим, что ур веие коби е учитыв ет омические потери. оэтому е исключео, что для ур веия идукции влияие эффектов п мяти будет р зообр зее, чем для простого ур веия коби.
совые результ ты опубликов ы в р бот х:

1. ртюшков .., околов .. ислеое моделиров ие решеий ур веия коби геодезической со случ йой кривизой // строомический жур л, - 2005, - . 82(7), - . 584 - 589. 2. ртюшков .., околов .. ислеое моделиров ие р спределеия сопряжеых точек геодезической со случ йой кривизой // ычислительые методы и прогр ммиров ие, - 2003, . 5(2), - . 172 - 177. 3. Artyushkova M.E., Sokolo D.D. Modelling small-scale dynamo by 12


Jacobi equation // Magnetohydrodynamics, - 2006, - V. 42(1), - P. 3 - 19. 4. ртюшков .., околов .. ислеое моделиров ие решеий ур веия коби для геодезической со случ йой кривизой. б. "кту льые проблемы вег л ктической строомии", тезисы ежегодой кофереции //ущио, - 2003, - . 44. 5. ртюшков .., в ов .., околов .. лукту ции кривизы и р спростр еие свет во селеой. б. "ежду род я школ -семи р по геометрии и лизу п мяти .. фимов . езисы докл дов"// остов- -оу, зд-во остовского у-т , - 2004, - . 173. 6. ртюшков .., околов .. ислеое исследов ие сопряжеых точек вдоль геодезической со случ йой кривизой, б. "ежду род я школ -семи р по геометрии и лизу п мяти .. фимов . езисы докл дов"// остов- -оу, зд-во остовского ут , - 2004, - . 174. 7. Artyushkova M.E., Ivanova E.V., Sokolo D.D. The eective curvature of the Universe with inhomogeneities and numerical modelling of Jacobi equation on a geodesic with random curvature, Dynamo wave nearby stellar equator // Perm Dynamo Days, Abstracts, Perm, - 2005, - P. 28 8. Artyushkova M.E., Ivanova E.V., Sokolo D.D. Intermittency in dynamo and Jacobi equations // International Conference on Theoretical Physics, Abstracts, Moscow, Lebedev Institute, - 2005, - . 80.

13