Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lnfm1.sai.msu.ru/~rastor/Study/Nagirner-comptsc.ps Дата изменения: Mon Feb 2 16:41:01 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:02:23 2012 Кодировка: Поисковые слова: massive stars

sANKT-pETERBURGSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
d. i. nAGIRNER
kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE
W ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTAH
u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE
DLQ STUDENTOW ASTRONOMI^ESKOGO OTDELENIQ
sANKT-pETERBURG
2001

udk 52{64
bbk 22.632
n16
pE^ATAETSQ PO POSTANOWLENI@
rEDAKCIONNO-IZDATELXSKOGO SOWETA
s.-pETERBURGSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA
nAGIRNER d. i.
n16
kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE W ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTAH:
u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE. spB.: iZD-WO s.-pETERB. UN-TA, 2001. | 32 (55) S.
w POSOBII DAETSQ PREDSTAWLENIE O KOMPTONOWSKOM RASSEQNII I EGO ZNA^ENII W FORMIROWANII SPEKTROW
ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTOW.
rASSKAZYWAETSQ OB OTKRYTII \FFEKTA kOMPTONA I STANOWLENII KWANTOWOJ TEORII, NEOBHODIMOJ DLQ EGO
OPISANIQ. pRIWODQTSQ HARAKTERISTIKI PROCESSA: IZMENENIE ^ASTOTY RASSEIWAEMOGO FOTONA I \FFEKTIWNOE
SE^ENIE. pOLU^ENO RELQTIWISTSKOE KINETI^ESKOE URAWNENIE, OPISYWA@]EE PROSTRANSTWENNU@ I ^ASTNU@ \WO-
L@CI@ IZLU^ENIQ PRI MNOGOKRATNOM RASSEQNII, A TAKVE PREDELXNAQ FORMA URAWNENIQ, SPRAWEDLIWAQ DLQ
NERELQTIWISTSKIH \LEKTRONOW. rASSMOTRENY SLU^AI PLOSKOJ I BESKONE^NOJ ODNORODNOJ SRED. wYWODQTSQ IZ-
WESTNYE RE[ENIQ URAWNENIQ kOMPANEJCA, KOTORYE ILL@STRIRU@TSQ RISUNKAMI. nA RISUNKAH OTOBRAVENY
TAKVE NEKOTORYE ^ISLENNYE RE[ENIQ \TOGO URAWNENIQ. pERE^ISLQ@TSQ MODELI SWE^ENIQ OB_EKTOW, W KOTORYH
KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE IGRAET OPREDELQ@]U@ ROLX.
pOSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW I ASPIRANTOW, SPECIALIZIRU@]IHSQ PO ASTROFIZIKE.
bbk 22.632
c
d. i. nAGIRNER, 2001
c
iZDATELXSTWO
s.-pETERBURGSKOGO
UNIWERSITETA, 2001

rASSEQNIE IZLU^ENIQ \LEKTRONAMI, NAZYWAEMOE KOMPTONOWSKIM, IGRAET WAVNU@ ROLX W FORMIROWANII
SPEKTROW RQDA OB_EKTOW W mETAGALAKTIKE, IZU^AEMYH ASTROFIZIKAMI. zDESX DAETSQ PONQTIE OB \TOM WIDE
RASSEQNIQ.
x 1. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE: OTKRYTIE I OPISANIE
1. nEMNOGO ISTORII. w 1923 GODU Artur Holly Compton (1892{1962) OPUBLIKOWAL STATX@ OB OTKRYTII
\FFEKTA, WPOSLEDSTWII POLU^IW[EGO EGO IMQ. |FFEKT ZAKL@^ALSQ W TOM, ^TO PRI RASSEQNII IZLU^ENIQ
W LINII MOLIBDENA (DLINA WOLNY 0:71 A ф
) NA MI[ENI | PARAFINE | ^ASTOTA, A SLEDOWATELXNO I \NERGIQ
FOTONOW, UMENX[ALASX (DLINA WOLNY UWELI^IWALASX). kOMPTON DAL PRAWILXNU@ INTERPRETACI@ \FFEKTA
NA OSNOWE ZAKONOW SOHRANENIQ \NERGII I IMPULXSA. s TEH POR WELI^INA
C = h
mc = 0:024 A
ф
;  { C = h
mc = C
2 ; (1)
NAZYWAETSQ KOMPTONOWSKOJ DLINOJ WOLNY. zA SWOE OTKRYTIE kOMPTON W 1927 GODU POLU^IL nOBELEWSKU@
PREMI@ PO FIZIKE WMESTE S Charles Thomson Ries Wilson (1869{1959) | IZOBRETATELEM KAMERY wILXSONA.
w \TI GODY SOZDAWALASX KWANTOWAQ TEORIQ. w 1926{1927 GODAH BYL RAZRABOTAN METOD WTORI^NOGO KWANTO-
WANIQ, A W 1928 GODU Paul Adrian Morice Dirac (1902{1984) WYWEL URAWNENIE dIRAKA, OPISYWA@]EE ^ASTICY
SO SPINOM 1/2, W ^ASTNOSTI \LEKTRONY, I PREDSKAZAW[EE SU]ESTWOWANIE POZITRONOW.
dELO W TOM, ^TO URAWNENIE dIRAKA IMELO NE DWA, A ^ETYRE NEZAWISIMYH RE[ENIQ DLQ ^ASTICY S ODNOJ
WELI^INOJ \NERGII. dWA IZ NIH SOOTWETSTWOWALI DWUM PROEKCIQM SPINA \LEKTRONA, A DWA DRUGIH OPISYWALI
^ASTICY S OTRICATELXNOJ POLNOJ \NERGIEJ. |NERGIQ WKL@^ALA \NERGI@ POKOQ, TAK ^TO EE OTRICATELXNOSTX
OZNA^ALA, ^TO ^ASTICY IME@T OTRICATELXNU@ MASSU. ~ASTICA S OTRICATELXNOJ MASSOJ POKOQ | O^ENX SWOE-
OBRAZNOE QWLENIE. kOGDA NA NEE DEJSTWUET SILA, TAKAQ ^ASTICA POLU^AET USKORENIE W PROTIWOPOLOVNOM
NAPRAWLENII. e]E BOLEE STRANNO POWEDENIE PARY ^ASTIC, ODNA IZ KOTORYH IMEET POLOVITELXNU@, A DRU-
GAQ | RAWNU@ PO WELI^INE OTRICATELXNU@ MASSY. oNI PO ZAKONU nX@TONA PRITQGIWA@T DRUG DRUGA S
ODINAKOWOJ SILOJ, ODNAKO ESLI OBY^NAQ ^ASTICA USKORQETSQ W STORONU PRITQGIWA@]EJ EE KOMPANXONKI,
TO ^ASTICA S OTRICATELXNOJ MASSOJ | W TU VE STORONU. tAKIM OBRAZOM PARA BUDET USKORQTXSQ W STORONU
^ASTICY S OTRICATELXNOJ MASSOJ. qSNO, ^TO TAKIH ^ASTIC BYTX NE MOVET.
dIRAK PRIDUMAL SPOSOB USTRANENIQ \TOJ TRUDNOSTI, NAZWANNYJ TEORIEJ DYROK. oN PREDPOLOVIL, ^TO
WSE SOSTOQNIQ S OTRICATELXNOJ \NERGIEJ ZANQTY, NO NE NABL@DAEMY. tOGDA PEREHOD W \TI SOSTOQNIQ NEWOZ-
MOVEN PO PRINCIPU ZAPRETA pAULI DLQ FERMIONOW: DWA FERMIONA, W ^ASTNOSTI DWA \LEKTRONA, NE MOGUT
NAHODITXSQ W ODNOM SOSTOQNII. mEVDU POLNOSTX@ ZAPOLNENNYMI SOSTOQNIQMI S OTRICATELXNYMI \NERGI-
QMI I SOSTOQNIQMI S POLOVITELXNYMI \NERGIQMI IMEETSQ \NERGETI^ESKIJ ZAZOR [IRINOJ W 2mc 2 .
oDNAKO, NI^TO NE WOSPRE]AET ^ASTICE S OTRICATELXNOJ \NERGIEJ POLU^ITX PRIBAWKU \NERGII BOLX[E
2mc 2 I PEREJTI W SOSTOQNIE S POLOVITELXNOJ \NERGIEJ. tOGDA W MORE SOSTOQNIJ S OTRICATELXNYMI \NERGI-
QMI OBRAZUETSQ DYRKA. oTSUTSTWIE \LEKTRONA S OTRICATELXNOJ \NERGIEJ PROQWLQETSQ KAK ^ASTICA S PROTI-
WOPOLOVNYMI SWOJSTWAMI: U NEE \NERGIQ POLOVITELXNA, NO I ZARQD TOVE POLOVITELEN. tAKIE ^ASTICY NE
BYLI TOGDA IZWESTNY. dIRAK PREDPOLAGAL, ^TO \TO MOGUT BYTX PROTONY, ODNAKO MASSA PROTONA NE RAWNA
MASSE \LEKTRONA, TAK ^TO, KAK DOKAZAL Hermann Weil (1885{1955), PREDPOLOVENIE O PROTONE OKAZALOSX
NESOSTOQTELXNYM. pREDSKAZANIE SU]ESTWOWANIQ UKAZANNOJ ^ASTICY, NAZWANNOJ POZITRONOM, OPRAWDALOSX
\KSPERIMENTALXNO.
pOZITRONY BYLI OTKRYTY W 1932 GODU Carl David Anderson (1905{1991) W KOSMI^ESKIH LU^AH. |TO OT-
KRYTIE WESXMA POU^ITELXNO [4]. dELO W TOM, ^TO POZITRONY WIDELI I DO OPYTOW aNDERSONA. nEKOTORYE
FIZIKI-\KSPERIMENTATORY ZAME^ALI, ^TO W KAMERE wILXSONA S MAGNITNYM POLEM INOGDA ^ASTICA IZ RA-
DIOAKTIWNOGO OBRAZCA PRI BETA-RASPADE LETELA PO PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLENNOJ SPIRALI (PO SRAWNENI@
S TRAEKTORIQMI WSEH DRUGIH ^ASTIC | \LEKTRONOW). eSLI S^ITATX, ^TO TAKIE NEPRAWILXNYE ^ASTICY |
TOVE \LEKTRONY, TO NADO PRIZNATX, ^TO ONI LETQT NE IZ ISTO^NIKA, A W ISTO^NIK. nA \TI SOBYTIQ PROSTO
NE OBRA]ALI WNIMANIQ, S^ITAQ IH SLU^AJNYMI. pERWYM SKAZAL dIRAKU O PREDPOLAGAEMOM SU]ESTWOWA-
NII NOWOJ ^ASTICY Patrik Meinard Steward Blackett (1897{1974). oN OTMETIL, ^TO NEPRAWILXNYE SOBYTIQ
PROISHODQT SLI[KOM ^ASTO, ^TOBY IH S^ITATX SLU^AJNYMI. oDNAKO bL\KETT NE HOTEL PUBLIKOWATX SWOI
REZULXTATY BEZ T]ATELXNOJ PROWERKI. pOKA ON PEREPROWERQL OPYTY, EGO OPEREDIL aNDERSON.
zASLUGA aNDERSONA SOSTOIT W PRQMOM DOKAZATELXSTWE TOGO, ^TO STRANNO WEDU]IE SEBQ ^ASTICY NE \LEK-
TRONY, A ^ASTICY S MASSOJ \LEKTRONA I PROTIWOPOLOVNYM ZARQDOM. nA PUTI ^ASTIC ON POSTAWIL SWINCO-
WU@ PLASTINKU. pOSLE PROHOVDENII PLASTINKI \LEKTRONY TORMOZILISX I RADIUS IH KRUGOWOJ TRAEKTORII
UMENX[ALSQ. tO^NO TAK VE WELI SEBQ I ^ASTICY, DWIVU]IESQ QKOBY W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU. eSLI
3

BY \TO BYLI OBRATNYE \LEKTRONY, TO NADO BYLO BY S^ITATX, ^TO PRI PROHOVDENII ^EREZ PLASTINKU \TI
^ASTICY PRIOBRETA@T DOPOLNITELXNU@ \NERGI@, ^TO NEWOZMOVNO. zADNIM ^ISLOM OBNARUVILOSX, ^TO NA
STARYH FOTOGRAFIQH, DAVE OPUBLIKOWANNYH, MOVNO BYLO WIDETX SLEDY POZITRONOW. zA OTKRYTIE POZI-
TRONA aNDERSON POLU^IL nOBELEWSKU@ PREMI@ W 1936 GODU. zAMETIM POPUTNO, ^TO bL\KETT TAKVE POLU-
^IL nOBELEWSKU@ PREMI@, NO W 1948 GODU, ZA OSNA]ENIE KAMERY wILXSONA UPRAWLQ@]IMI S^ET^IKAMI,
^TO POZWOLILO SDELATX RQD OTKRYTIJ.
pOMIMO ZAKONOW SOHRANENIQ, KAK IZWESTNO, RASSEQNIE OPISYWAETSQ SE^ENIEM. fORMULU DLQ SE^ENIQ KOM-
PTONOWSKOGO RASSEQNIQ WYWELI PO^TI ODNOWREMENNO [WED Oskar Klein (1894{1977) I QPONEC Uoshio Nishina
(1990{1951) W 1929 GODU, A TAKVE NEZAWISIMO OT NIH SOWETSKIJ FIZIK iGORX eWGENXEWI^ tAMM (1895{1971)
W 1930 GODU. |TA FORMULA NAZYWAETSQ FORMULOJ kLEJNA|nI[INY, INOGDA kLEJNA|nI[INY|tAMMA.
wYWOD PODOBNYH FORMUL W TO WREMQ BYL SOPRQVEN S O^ENX GROMOZDKIMI WYKLADKAMI I ZANIMAL MNOGO
WREMENI. w 1949 GODU Richard Feynman (1918{1988) PRIDUMAL DIAGRAMMY fEJNMANA, KOTORYE NE TOLXKO
DAWALI SHEMU PROCESSOW KWANTOWOJ \LEKTRODINAMIKI, NO I POZWOLQLI O^ENX PROSTO WYPISYWATX I WY^IS-
LQTX MATRI^NYE \LEMENTY, ^EREZ KOTORYE WYRAVA@TSQ SE^ENIQ I WEROQTNOSTI PROCESSOW. tOLXKO POSLE
\TOGO W 1949 GODU OKAZALOSX WOZMOVNYM WYWESTI WYRAVENIQ DLQ MATRICY SE^ENIJ RASSEQNIQ \LEKTRONAMI
POLQRIZOWANNOGO IZLU^ENIQ (U. Fano). kWANTOWAQ \LEKTRODINAMIKA USTRANILA TAKVE NEOBHODIMOSTX WWE-
DENIQ MORQ ZANQTYH SOSTOQNIJ S OTRICATELXNYMI \NERGIQMI I LIKWIDIROWALA TEM SAMYM NESIMMETRI@
OPISANIQ \LEKTRONOW I POZITRONOW.
2. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE I IZMENENIE \NERGII FOTONA. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE | \TO
AKT WZAIMODEJSTWIQ \LEKTRONA I FOTONA, W REZULXTATE KOTOROGO \TI ^ASTICY IZMENQ@T SWOI IMPULXSY,
\NERGII I SOSTOQNIQ POLQRIZACII. pO\TOMU ^ASTO GOWORQT, ^TO ^ASTICY POSLE RASSEQNIQ | NE TE, ^TO BYLI
PERED RASSEQNIEM. pODROBNOE OPISANIE FIZIKI \TOGO PROCESSA I EGO ISPOLXZOWANIQ PRI INTERPRETACII
NABL@DENIJ ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTOW SODERVITSQ W OBZORAH [6, 22, 23].
pUSTX WZAIMODEJSTWU@T FOTON S IMPULXSOM k I \LEKTRON S IMPULXSOM p. pOSLE RASSEQNIQ IH IMPULXSY
IZMENQ@TSQ I STANOWQTSQ RAWNYMI SOOTWETSTWENNO k 1 I p 1 . |NERGII \TIH ^ASTIC ck; cp 0 ; ck 1 ; cp 0 1 . dLQ
IMPULXSOW \LEKTRONA SPRAWEDLIWY OBY^NYE RELQTIWISTSKIE SOOTNO[ENIQ [15]
p 0 =
p
m 2 c 2 + p 2 ; p 0 1 =
q
m 2 c 2 + p 2
1 : (2)
kOMPTONOWSKOMU RASSEQNI@ OTWE^A@T DWE DIAGRAMMY fEJNMANA [1], PREDSTAWLENNYE NA RIS. 1. |LEK-
TRON IZOBRAVAETSQ SPLO[NOJ LINIEJ, A FOTON WOLNISTOJ. wREMQ TE^ET SNIZU WWERH. wZAIMODEJSTWIE PRO-
ISHODIT W TO^KAH, GDE WSTRE^A@TSQ \LEKTRONNYE I FOTONNYE LINII.
p1 k1 p1 k1
k p k p
rIS. 1. dIAGRAMMY KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ.
oTMETIM, ^TO SWOBODNYJ \LEKTRON NE MOVET POGLOTITX ILI IZLU^ITX FOTON, TAK KAK PRI TAKIH PROCES-
SAH NEWOZMOVNO SOHRANENIE IMPULXSA I \NERGII. dEJSTWITELXNO, NAPRIMER, PRI POGLO]ENII \LEKTRONOM
S IMPULXSOM p FOTONA S IMPULXSOM k DOLVNY BYLI BY WYPOLNQTXSQ ZAKONY SOHRANENIQ
p + k = p 1 ; p 0 + k = p 0 1 : (3)
iSKL@^ENIE IZ DWUH RAWENSTW IMPULXSA p 1 PRIWODIT K SOOTNO[ENIQM, QWLQ@]IMSQ IH SLEDSTWIQMI:
p
m 2 c 2 + (p + k) 2 = p 0 + k; pk = p 0 k: (4)
nO POSLEDNEE SOOTNO[ENIE NEWOZMOVNO, TAK KAK EGO LEWAQ ^ASTX | SKALQRNOE PROIZWEDENIE TREHMERNYH
WEKTOROW | WSEGDA NE PREWOSHODIT pk, W TO WREMQ KAK PRAWAQ | WSEGDA BOLX[E pk.
4

kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE \LEKTRONOM FOTONA (ILI NAOBOROT) | \TO PROCESS WTOROGO PORQDKA: WZAIMO-
DEJSTWIE PROISHODIT DWAVDY [1]. dIAGRAMMY OTLI^A@TSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ IZLU^ENIQ I POGLO]ENIQ
FOTONOW \LEKTRONOM. mEVDU WZAIMODEJSTWIQMI LINII IZOBRAVA@T WIRTUALXNYE \LEKTRONY S NEOBY^NYMI
SWOJSTWAMI: U NIH NE WYPOLNQ@TSQ SOOTNO[ENIQ WIDA (2). oDNAKO NI^EGO STRA[NOGO W \TOM NET, TAK KAK
IME@T ZNA^ENIE SOSTOQNIQ ^ASTIC TOLXKO DO NA^ALA I POSLE KONCA POLNOGO PROCESSA WZAIMODEJSTWIQ.
nEZAWISIMO OT WIDA DIAGRAMMY PRI RASSEQNII WYPOLNQ@TSQ ^ETYRE ZAKONA SOHRANENIQ
p 0 + k = p 0 1 + k 1 ; p + k = p 1 + k 1 : (5)
wYRAZIM WEKTOR IMPULXSA \LEKTRONA POSLE RASSEQNIQ ^EREZ OSTALXNYE I PODSTAWIM W RAWENSTWO, WYRAVA-
@]EE ZAKON SOHRANENIQ \NERGII:
p 0 + k k 1 =
p
m 2 c 2 + (p + k k 1 ) 2 : (6)
wOZWODQ W KWADRAT I SOKRA]AQ, POLU^AEM
kp 0 kp = k 1 p 0 k 1 p + kk 1 kk 1 : (7)
oBOZNA^IM KOSINUSY UGLOW MEVDU PARAMI WEKTOROW k I k 1 , k I p, k 1 I p SOOTWETSTWENNO ^EREZ ,  I
 1 . tOGDA SOOTNO[ENIE (7) PEREPI[ETSQ W WIDE
k(p 0 p) = k 1 [p 0 p 1 + k(1 )]: (8)
iZ NEGO NAHODITSQ WELI^INA IMPULXSA FOTONA POSLE RASSEQNIQ
k 1 = k p 0 p
p 0 p 1 + k(1 )
: (9)
rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA DO RASSEQNIQ \LEKTRON POKOITSQ, T. E. p = 0. tOGDA p 0 = mc I
k 0
1 = k 0 mc
mc + k 0 (1  0 ) : (10)
wSPOMNIW, ^TO IMPULXS FOTONA k = h
c
= h

, PEREPI[EM FORMULU (10) ^EREZ DLINY WOLN
 0
1 =  0 + C (1  0 ) (11)
ILI ^EREZ WELI^INY, DELENNYE NA 2:
 { 0
1 =  { 0 +  { C (1  0 ): (12)
pRI RASSEQNII FOTONA NA POKOQ]EMSQ \LEKTRONE ^ASTOTA FOTONA WSEGDA UMENX[AETSQ , I W \TOM ZAKL@-
^AETSQ \FFEKT kOMPTONA. pRI  0 = 1, T. E. PRI RASSEQNII WPERED, RASSEQNNYJ FOTON PROLETAET, KAK BUDTO
NE ISPYTAL WZAIMODEJSTWIQ, A \LEKTRON OSTAETSQ NEPODWIVNYM. rASSEQNIE POD PRQMYM UGLOM ( 0 = 0)
DAET UWELI^ENIE DLINY WOLNY ROWNO NA C . mAKSIMALXNOE UWELI^ENIE  NA DWE KOMPTONOWSKIE DLINY
WOLNY DOSTIGAETSQ, KOGDA FOTON IZMENQET SWOE NAPRAWLENIE NA PROTIWOPOLOVNOE. pOTERQ \NERGII FOTO-
NOM, NAZYWAEMAQ \FFEKTOM OTDA^I, PROISHODIT WSLEDSTWIE PEREDA^I IM ^ASTI SWOEGO IMPULXSA, A ZNA^IT
I \NERGII, PERWONA^ALXNO POKOQ]EMUSQ \LEKTRONU, KOTORYJ PRIHODIT W DWIVENIE.
nAPOMNIM, ^TO kOMPTON NABL@DAL RASSEQNIE RENTGENOWSKOGO IZLU^ENIQ NA MOLEKULAH UGLEWODORODA, W
KOTORYH \LEKTRONY SRAWNITELXNO SLABO SWQZANY S QDRAMI I MOGUT S^ITATXSQ SWOBODNYMI I NEPODWIV-
NYMI: \NERGII IONIZACII MALY PO SRAWNENI@ S \NERGIEJ RENTGENOWSKOGO FOTONA, A DWIVENIQ MOLEKUL W
TWERDOM TELE NEZNA^ITELXNY.
eSLI \LEKTRON NE STOQL NA MESTE, TO PRI RAZLI^NOM SOOTNO[ENII NAPRAWLENIJ I WELI^IN IMPULXSOW
REAGIRU@]IH ^ASTIC FOTON MOVET KAK UWELI^IWATX, TAK I UMENX[ATX SWO@ \NERGI@, NO \TO UVE NE \F-
FEKT kOMPTONA W ^ISTOM WIDE, A SKOREE SLEDSTWIE \FFEKTA dOPLERA. dEJSTWITELXNO, MY DOLVNY PEREJTI
W SISTEMU OTS^ETA, SWQZANNU@ S \LEKTRONOM DO RASSEQNIQ, KOTORU@ MY BUDEM NAZYWATX LABORATORNOJ. tAM
FOTON UMENX[IT SWO@ \NERGI@, A ZATEM NAM NADO WERNUTXSQ W ISHODNU@ SISTEMU OTS^ETA. w REZULXTATE
TAKIH PEREHODOW FOTON MENQET SWO@ \NERGI@ WSLEDSTWIE \FFEKTA dOPLERA. oDNAKO W ASTROFIZI^ESKOJ LITE-
RATURE UWELI^ENIE \NERGII FOTONOW PRI KOMPTONOWSKOM RASSEQNII IH \NERGI^NYMI \LEKTRONAMI PRINQTO
NAZYWATX OBRATNYM \FFEKTOM kOMPTONA.
5

kOMPTONOWSKAQ DLINA WOLNY O^ENX MALA | EJ SOOTWETSTWUET \NERGIQ, RAWNAQ \NERGII POKOQ \LEKTRONA
511 K\w. pO\TOMU UWELI^ENIE DLINY WOLNY FOTONA PRI RASSEQNII NA NERELQTIWISTSKOM \LEKTRONE ZAMETNO,
TOLXKO ESLI DLINA WOLNY RASSEIWAEMOGO FOTONA NE O^ENX SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ OT KOMPTONOWSKOJ. gO-
RQ^IE \LEKTRONY MOGUT PEREDATX ZNA^ITELXNU@ DOL@ SWOEJ \NERGII FOTONU I WYZYWATX GORAZDO BOLX[IE
SME]ENIQ DLINY WOLNY, KOTORYE DOSTUPNY IZMERENIQM DAVE W RADIODIAPAZONE. rELQTIWISTSKIE VE \LEK-
TRONY SRAZU PEREWODQT IZLU^ENIE IZ RADIO W OPTI^ESKIJ DIAPAZON, IZ OPTI^ESKOGO | W RENTGENOWSKIJ, IZ
ULXTRAFIOLETOWOGO | W OBLASTX GAMMA-IZLU^ENIQ.
3. |FFEKTIWNOSTX KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE OBY^NO SRAWNIWA@T S
TAK NAZYWAEMYM TORMOZNYM IZLU^ENIEM, ILI SWOBODNO-SWOBODNYMI PEREHODAMI, T. E. IZLU^ENIEM \LEK-
TRONA, PROLETA@]EGO WBLIZI IONA I TORMOZQ]EGOSQ IM.
kO\FFICIENT TORMOZNOGO IZLU^ENIQ, ILI, INA^E, IZLU^ATELXNAQ SPOSOBNOSTX WE]ESTWA, | KOLI^ESTWO
\NERGII, IZLU^AEMOJ EDINICEJ OB_EMA ZA EDINICU WREMENI W EDINI^NOM TELESNOM UGLE PRI WZAIMODEJSTWII
\LEKTRONOW, IMPULXSY KOTORYH RASPREDELENY SOGLASNO FORMULE mAKSWELLA S TEMPERATUROJ T , S WODORO-
DOPODOBNYMI IONAMI S ZARQDOM QDRA Z, S TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ PORQDKA 1 DAETSQ FORMULOJ kRAMERSA
(SM., NAPRIMER, [24])
" cc () = n e n + 32 2
3
p
3
Z 2 e 6
c 3
kBT
(2mkBT ) 3=2 e h=kBT : (13)
zDESX n e I n + | KONCENTRACII \LEKTRONOW I IONOW, kB | POSTOQNNAQ bOLXCMANA,  | ^ASTOTA IZLU^ENIQ.
nAPI[EM URAWNENIE PERENOSA IZLU^ENIQ S U^ETOM TORMOZNYH PROCESSOW I KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ:
@I
@l
= ( cc + C )I + " cc (1 + n) + " C : (14)
zDESX  cc I C | KO\FFICIENTY OSLABLENIQ PRI TORMOZNOM POGLO]ENII I KOMPTONOWSKOM RASSEQNII SO-
OTWETSTWENNO, " C | KO\FFICIENT IZLU^ENIQ ZA S^ET KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ, I I n | INTENSIWNOSTX
I SREDNIE ^ISLA ZAPOLNENIQ FOTONNYH SOSTOQNIJ, I = (2h 3 =c 2 )n, l | GEOMETRI^ESKOE RASSTOQNIE WDOLX
LU^A. uRAWNENIE PERENOSA MOVNO ZAPISATX I DLQ SREDNIH ^ISEL ZAPOLNENIQ:
@n
@l
= ( cc + C )n + n cc (1 + n) + nC ; (15)
GDE
n cc = c 2
2h 3 " cc ; nC = c 2
2h 3 " C : (16)
pREDPOLOVIM, ^TO WE]ESTWO I IZLU^ENIE NAHODQTSQ W SOSTOQNII TERMODINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ
(tdr). tOGDA INTENSIWNOSTX IZLU^ENIQ NE ZAWISIT OT NAPRAWLENIQ I DAETSQ FORMULOJ pLANKA
I 0 = 2h 3
c 2 n 0 ; n 0 = 1
e h=kBT 1 : (17)
sLEDSTWIEM tdr QWLQETSQ USLOWIE DETALXNOGO BALANSA, KOTOROE WYPOLNQETSQ OTDELXNO DLQ TORMOZNOGO I
KOMPTONOWSKOGO PROCESSOW:
 cc n 0 = n cc (1 + n 0 ); Cn 0 = nC : (18)
iZ PERWOGO SOOTNO[ENIQ WYTEKAET ZAKON kIRHGOFA|pLANKA
 cc = n cc e h=kBT : (19)
nE UTO^NQQ ZDESX SLAGAEMOGO, OPISYWA@]EGO IZLU^ENIE ZA S^ET KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ, SOSTAWIM OT-
NO[ENIE KO\FFICIENTOW OSLABLENIQ. w KA^ESTWE SE^ENIQ RASSEQNIQ WOZXMEM TOMSONOWSKOE T = 8
3 r 2
e ; r e =
e 2
mc 2 . tOGDA BEZRAZMERNOE OTNO[ENIE
C
 cc
= n e T
n cc e h=kBT
=
n e
8
3

e 2
mc 2
 2
c 2
2h 3 n e n + 32 2
3
p
3
Z 2 e 6
c 3
kBT
(2mkBT ) 3=2
= v
c
p
3 2
n +  3
hc
Z 2 e 2 = 2:342
10 3 v
c
1
Z 2 (n +  3 ) ; (20)
6

GDE v =
r
8kBT
m
| SREDNQQ SKOROSTX \LEKTRONOW. dLQ WODORODNOGO GAZA NADO POLOVITX Z = 1 I n + = n e .
oTNO[ENIE (20) PREDSTAWLENO W WIDE PROIZWEDENIQ BEZRAZMERNYH MNOVITELEJ, W ^ASTNOSTI, PROIZWEDENIE
n +  3 ESTX ^ISLO IONOW W KUBIKE S DLINOJ REBRA, RAWNOJ DLINE WOLNY RASSEIWAEMOGO IZLU^ENIQ.
iZ POLU^ENNOJ FORMULY WIDNO, ^TO RASSEQNIE \LEKTRONAMI IGRAET BOLEE SU]ESTWENNU@ ROLX PO SRAW-
NENI@ S TORMOZNYM IZLU^ENIEM PRI NIZKIH KONCENTRACIQH \LEKTRONOW, WYSOKIH TEMPERATURAH GAZA I
MALYH DLINAH WOLN IZLU^ENIQ. kORO^E GOWORQ, TOMSONOWSKOE I KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE NEOBHODIMO PRI-
NIMATX WO WNIMANIE W GORQ^IH RAZREVENNYH SREDAH, PRI^EM KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE, T. E. RASSEQNIE S
IZMENENIEM ^ASTOTY IZLU^ENIQ, SU]ESTWENNO TOGDA, KOGDA SREDNIE \NERGII \LEKTRONOW I/ILI FOTONOW WE-
LIKI NASTOLXKO, ^TO SRAWNIMY S \NERGIEJ POKOQ \LEKTRONA. w TAKIH SREDAH \TO OSNOWNOJ MEHANIZM OBMENA
\NERGIEJ MEVDU WE]ESTWOM I IZLU^ENIEM.
sE^ENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ W OTLI^IE OT TOMSONOWSKOGO ZAWISIT OT ^ASTOTY RASSEIWAEMOGO
FOTONA, O ^EM GOWORITSQ W SLEDU@]EM PUNKTE.
4. sE^ENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ. |TO SE^ENIE RASS^ITYWAETSQ, KAK UVE GOWORILOSX, METODAMI
KWANTOWOJ \LEKTRODINAMIKI [1], KOTORAQ QWLQETSQ RELQTIWISTSKOJ TEORIEJ. pO\TOMU DLQ ZAPISI RELQTI-
WISTSKOGO SE^ENIQ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ WWEDEM RELQTIWISTSKIE OBOZNA^ENIQ DLQ NEKOTORYH WELI^IN.
iMPULXS \LEKTRONA ZADADIM ^ETYREHMERNYM WEKTOROM p = fp 0 ; pg, GDE ISPOLXZOWANY UVE PRIMENQW-
[IESQ OBOZNA^ENIQ. aNALOGI^NO IMPULXS FOTONA k = fk; kg. ~ETYREHMERNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE
pk = p 0 k pk. dLQ DRUGIH WEKTOROW ONO OPREDELQETSQ TO^NO TAK VE, SO ZNAKOM MINUS PERED TREHMER-
NYM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM. w ^ASTNOSTI, p 2 = p 2
0 p 2 = m 2 c 2 , k 2 = k 2 k 2 = 0: IMPULXS \LEKTRONA
| WREMENIPODOBNYJ WEKTOR, A IMPULXS FOTONA | NULEWOJ.
sU]ESTWENNOJ ^ASTX@ SE^ENIQ kLEJNA|nI[INY|tAMMA QWLQETSQ BEZRAZMERNYJ LORENCEWSKIJ IN-
WARIANT F (;  1 ) =  2
0 1 +B; B = 
 1
+  1
 : (21)
zDESX  = pk=m 2 c 2 = k 0 =mc;  1 = pk 1 =m 2 c 2 = k 0
1 =mc (22)
| BEZRAZMERNYE SKALQRNYE PROIZWEDENIQ IMPULXSOW \LEKTRONA I FOTONA, RAWNYE SOOTWETSTWENNO BEZRAZ-
MERNOMU VE IMPULXSU FOTONA DO I POSLE RASSEQNIQ W LABORATORNOJ SISTEME (GDE p = 0). wELI^INA  0 | \TO
UVE ISPOLXZOWAW[IJSQ KOSINUS UGLA RASSEQNIQ W TOJ VE LABORATORNOJ SISTEME OTS^ETA, KOTORAQ QWLQETSQ
SOBSTWENNOJ DLQ \LEKTRONA DO RASSEQNIQ. sOGLASNO (10) EGO MOVNO ZAPISATX W WIDE
 0 = 1 + 1

1
 1
: (23)
wELI^INA B WSEGDA BOLX[E 2, NO PRI NERELQTIWISTSKIH \LEKTRONAH I MQGKIH FOTONAH BLIZKA K 2.
nAPISAW SE^ENIE W WIDE
F (;  1 ) =  2
0 + 1 +B 2; (24)
UBEVDAEMSQ, ^TO ONO W LABORATORNOJ SISTEME PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU R\LEEWSKOJ INDIKATRISY (SLA-
GAEMOE  2
0 + 1) S NEBOLX[OJ DOBAWKOJ. |TA DOBAWKA ZAWISIT OT ^ASTOT FOTONA DO I POSLE RASSEQNIQ, NO
NE ZAWISIT OT IH NAPRAWLENIJ. tAKIM OBRAZOM, KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE W LABORATORNOJ SISTEME | \TO
KOMBINACIQ R\LEEWSKOGO I IZOTROPNOGO RASSEQNIQ.
rAZWERNUTOE WYRAVENIE DLQ F IMEET WID
F (;  1 ) =

1

1
 1
 2
+ 2

1

1
 1

+ 
 1
+  1
 : (25)
pOLNOE SE^ENIE RASSEQNIQ PREDSTAWLQETSQ INTEGRALOM, KOTORYJ WY^ISLQETSQ:
 0 = r 2
e
2 2
Z
Fx 2
1 d 2 ! 1 = r 2
e
2 2
1
Z
1
F  2
1 d 0
2
Z
0
d 0 = r 2
e
2 2 2

Z
=(1+2)
Fd 1 = T s 0 (); (26)
GDE  0 | AZIMUT RASSEQNNOGO FOTONA W LABORATORNOJ SISTEME, A s 0 () | PROFILX POLNOGO SE^ENIQ:
s 0 () = 3
8 2

4 +

 2 2


ln(1 + 2) + 2 2 1 + 
(1 + 2) 2

; (27)
NORMIROWANNYJ USLOWIEM s 0 (0) = 1 .
7

5. uPRO]ENNOE SE^ENIE. eSLI PRENEBRE^X OTLI^IEM WELI^INY B OT 2 I PRINQTX, ^TO W LABORATORNOJ
SISTEME RASSEQNIE IZOTROPNO, ZAMENIW TO^NOE SE^ENIE (21) EGO SREDNIM ZNA^ENIEM F apr = F = 1+1=3 = 4=3,
^TO SOHRANQET NORMIROWKU NA POLNOE SE^ENIE WIDA (26), TO DIFFERENCIALXNOE SE^ENIE PREDSTAWITSQ TAKOJ
VE FORMULOJ (26), NO S GORAZDO BOLEE PROSTYM WYRAVENIEM DLQ PROFILQ s 0 ():
s apr
0 () = 1
1 + 2 : (28)
mNOGIE WELI^INY MOGUT BYTX OCENENY PRI ISPOLXZOWANII TAKOGO SE^ENIQ, PRI^EM ZATRATY USILIJ DLQ
\TOGO ZNA^ITELXNO MENX[E, ^EM PRI TO^NOM SE^ENII. nA RIS. 2 IZOBRAVENY GRAFIKI TO^NOGO I UPRO]ENNOGO
POLNYH SE^ENIJ.
s0(); s apr
0
()
0 5 10 15 20
0.2
0.0
0.8
0.6
0.4
1.0

rIS. 2. gRAFIKI TO^NOGO (WERHNIJ) I UPRO]ENNOGO
(NIVNIJ) POLNYH SE^ENIJ.
nA BOLX[IH ^ASTOTAH \TI FUNKCII SILXNO RAZNQTSQ, ODNAKO PRI  < 0:1 ONI O^ENX BLIZKI. zAMETIM
TUT, ^TO ZNA^ENIE BEZRAZMERNOJ ^ASTOTY , RAWNOE 0:1, SOOTWETSTWUET DLINE WOLNY 0:1 C = 0:24 A ф
, T. E.
OBLASTX BLIZOSTI RASSMATRIWAEMYH FUNKCIJ WKL@^AET WIDIMU@ ^ASTX SPEKTRA, ULXTRAFIOLET I RENTGEN.
mY GOWORILI OB ODNOKRATNOM WZAIMODEJSTWII \LEKTRONA I FOTONA. mNOGOKRATNOE RASSEQNIE, T. E. WZAI-
MODEJSTWIE \LEKTRONNOGO I FOTONNOGO GAZOW POSREDSTWOM KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ OPISYWAETSQ KINETI-
^ESKIM URAWNENIEM, KOTOROE MY SFORMULIRUEM NIVE.
x 2. kINETI^ESKOE URAWNENIE DLQ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ I EGO ^ASTNYE
SLU^AI
1. rELQTIWISTSKIE OBOZNA^ENIQ. uPOMQNUTOE URAWNENIE QWLQETSQ RELQTIWISTSKIM OBOB]ENIEM
URAWNENIQ bOLXCMANA. dLQ EGO NAPISANIQ PODBEREM RELQTIWISTSKIE ANALOGI WELI^IN, WHODQ]IH W URAW-
NENIE bOLXCMANA.
w UKAZANNOM URAWNENII, TO^NEE W INTEGRALE STOLKNOWENIJ, PROIZWODQTSQ INTEGRIROWANIQ PO IMPULXSAM
^ASTIC. oDNAKO TREHMERNYJ \LEMENT OB_EMA W PROSTRANSTWE IMPULXSOW d 3 p NE QWLQETSQ RELQTIWISTSKIM
INWARIANTOM. dLQ POLU^ENIQ EGO SKALQRNOGO OBOB]ENIQ OTKAVEMSQ WREMENNO OT SOOTNO[ENIQ (2) I BUDEM
S^ITATX NULEWU@ SOSTAWLQ@]U@ ^ETYREHMERNOGO IMPULXSA \LEKTRONA p 0 NEZAWISIMOJ WELI^INOJ. o^E-
WIDNO, ^TO PROIZWEDENIE ^ETYREH DIFFERENCIALOW d 4 p = dp 0 d 3 p | SKALQRNAQ WELI^INA. oT ISKUSTWENNO
WWEDENNOJ NEZAWISIMOJ KOORDINATY p 0 NADO IZBAWITXSQ, T. E. WZQTX PO NEJ INTEGRAL. dLQ U^ETA SOOTNO[E-
NIQ (2) WWEDEM MNOVITELEM INWARIANTNU@ DELXTA-FUNKCI@ ф p 2 m 2 c 2

:
Z
ф p 2 m 2 c 2

d 4 p = d 3 p
Z
dp 0 ф p 2
0 p 2 m 2 c 2

=
= d 3 p
Z
dp 0 ф

p 0
p
p 2 +m 2 c 2

p 0 +
p
p 2 +m 2 c 2

=
=d 3 p
Z
dp 0 ф

p 0
p
p 2 +m 2 c 2

2
p
p 2 +m 2 c 2

= d 3 p
2
p
p 2 +m 2 c 2
: (29)
8

pRI PROWEDENII WYKLADKI BYLO U^TENO, ^TO W NULX W ARGUMENTE DELXTA-FUNKCII OBRA]AETSQ TOLXKO MNO-
VITELX S RAZNOSTX@, A PRI PEREHODE K POSLEDNEMU WYRAVENI@ MNOVITELX S SUMMOJ BYL UPRO]EN (ZAMENEN
UDWOENNYM KORNEM) I WYNESEN IZ-POD ZNAKA \TOJ FUNKCII W ZNAMENATELX, TAK KAK ZAMENA PEREMENNOJ INTE-
GRIROWANIQ DAET TOT VE REZULXTAT. w DALXNEJ[EM W ZNAMENATELE WMESTO KORNQ DLQ KRATKOSTI BUDEM PISATX
p 0 , S^ITAQ SOOTNO[ENIE (2) WYPOLNENNYM. iTAK, RELQTIWISTSKIM INWARIANTOM QWLQETSQ OTNO[ENIE d 3 p
p 0
,
^TO MOVNO PROWERITX I NEPOSREDSTWENNO, PRIMENIW K NEMU PREOBRAZOWANIE lORENCA.
dEJSTWITELXNO, PUSTX [TRIHOWANNAQ SISTEMA OTS^ETA (W KOTOROJ KOORDINATY WEKTOROW OTME^ENY [TRI-
HAMI) DWIVETSQ PO OTNO[ENI@ K NE[TRIHOWANNOJ S BEZRAZMERNOJ (W EDINICAH SKOROSTI SWETA) SKOROSTX@
V. tOGDA KOORDINATY PROIZWOLXNOGO WEKTORA a = fa 0 ; ag K [TRIHOWANNOJ SISTEME PREOBRAZU@TSQ SOGLASNO
FORMULAM
a 0
0 = (a 0 Va); a 0 = a V a 0 +( 1)

a
V
V

V
V ; (30)
GDE = 1
p
1 V 2
. w ^ASTNOSTI,
dp 0 = dp V
pdp
p 0
+( 1)

dp V
V

V
V
: (31)
mATRICA PREOBRAZOWANIQ DIFFERENCIALOW IMPULXSOW
D(p 0 )
D(p) = 1
0
B B B B
@
V x
p x
p 0
V x
p y
p 0
V x
p z
p 0
V y
p x
p 0
V y
p y
p 0
V y
p z
p 0
V z
p x
p 0
V z
p y
p 0
V z
p z
p 0
1
C C C C
A
+( 1)
0
B B B B
@
V x V x
V 2
V x V y
V 2
V x V z
V 2
V y V x
V 2
V y V y
V 2
V y V z
V 2
V z V x
V 2
V z V y
V 2
V z V z
V 2
1
C C C C
A
: (32)
oPREDELITELX \TOJ MATRICY | QKOBIAN PREOBRAZOWANIQ:
det
   
D(p 0 )
D(p)
    = 1 Vp
p 0
+( 1) = (p 0 Vp)
p 0
= p 0
0
p 0
: (33)
oPREDELITELX WY^ISLQETSQ RAZLOVENIEM NA SUMMY, SOOTWETSTWU@]IE SLAGAEMYM 1 I OSTALXNYM. wSE
OPREDELITELI BEZ EDINIC RAWNY NUL@, TAK KAK IH \LEMENTY PROPORCIONALXNY.
tO^NO TAK VE POKAZYWAETSQ, ^TO INWARIANTNOJ WELI^INOJ QWLQETSQ OTNO[ENIE d 3 k
k
DLQ IMPULXSA FO-
TONA. pRI \TOM INWARIANTNY I DWA MNOVITELQ \TOGO OTNO[ENIQ, A IMENNO dk
k
I k 2 d 2 !, GDE ! | EDINI^NYJ
WEKTOR NAPRAWLENIQ IMPULXSA FOTONA: k = k!, A d 2 ! | \LEMENT TELESNOGO UGLA, T. E. PLO]ADI POWERHNOSTI
NA EDINI^NOJ SFERE. dLQ ^ASTIC S NE RAWNOJ NUL@ MASSOJ POKOQ \TO SWOJSTWO NE WYPOLNQETSQ. uKAZANNYM
SWOJSTWOM \LEMENTA OB_EMA IMPULXSA FOTONA OB_QSNQETSQ FORMA INTEGRALA W POLNOM SE^ENII (26), TAK
KAK x 2
1 d 2 ! 1 =  2
1 d 0 d 0 = d 1 d 0 .
e]E ODNU INWARIANTNU@ KOMBINACI@ NADO NAJTI DLQ LEWOJ ^ASTI KINETI^ESKOGO URAWNENIQ. w URAW-
NENII bOLXCMANA TAM STOIT @f
@t + p
m r r f + Frp f . nA FOTONY NIKAKIE SILY NE DEJSTWU@T, TAK ^TO
POSLEDNEE SLAGAEMOE NE NUVNO. dLQ DIFFERENCIROWANIQ NEOBHODIM ^ETYREHMERNYJ WEKTOR-GRADIENT. oN
DOLVEN BYTX WZQT W WIDE r =

1
c
@
@t ; r

, TAK KAK SKALQRNOE PROIZWEDENIE EGO S WEKTOROM dr = fcdt; drg,
T. E. dr r = dt @
@t + drr ESTX POLNYJ DIFFERENCIAL, INWARIANTNYJ OTNOSITELXNO L@BOGO PREOBRA-
ZOWANIQ PEREMENNYH, W TOM ^ISLE I LORENCEWSKOGO. iNWARIANTOM, SLEDOWATELXNO, BUDET PROIZWEDENIE
k r = k
c
@
@t + kr = k
c

@
@t + c!r

, KOTOROE I QWLQETSQ RELQTIWISTSKIM OBOB]ENIEM LEWOJ ^ASTI URAWNE-
NIQ bOLXCMANA S U^ETOM TOGO, ^TO SKOROSTX SWETA POSTOQNNA. iMENNO TAKAQ KOMBINACIQ PROIZWODNYH, KAK
W KRUGLYH SKOBKAH, STOIT W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ PERENOSA IZLU^ENIQ.
rELQTIWISTSKIMI INWARIANTAMI QWLQ@TSQ BEZRAZMERNYE SREDNIE ^ISLA ZAPOLNENIQ FOTONNYH SOSTO-
QNIJ. nAPRIMER, W SLU^AE WYPOLNENIQ tdr \TO SREDNEE ^ISLO DAETSQ FORMULOJ pLANKA (17), KOTORAQ
NAPISANA W SISTEME OTS^ETA, SWQZANNOJ S FOTONNYM GAZOM I NAZYWAEMOJ SOPUTSTWU@]EJ, T. E. W TAKOJ,
9

W KOTOROJ SREDNIJ IMPULXS FOTONOW RAWEN NUL@. |TU FORMULU MOVNO ZAPISATX W QWNO RELQTIWISTSKI
KOWARIANTNOM WIDE, T. E. SPRAWEDLIWOM W PROIZWOLXNOJ SISTEME OTS^ETA:
n 0 = 1
exp(ck V =kBT ) 1 ; (34)
GDE V = f ; Vg I V | ^ETYREHMERNAQ I TREHMERNAQ BEZRAZMERNYE SKOROSTI SOPUTSTWU@]EJ SISTEMY
OTNOSITELXNO UKAZANNOJ PROIZWOLXNOJ.
fUNKCI@ RASPREDELENIQ \LEKTRONOW f e (p) TAKVE BUDEM S^ITATX SKALQROM. eE NORMIROWKA W PROIZWOLX-
NOJ SISTEME OTS^ETA IMEET WID Z
pf e (p) d 3 p
p 0
= n e V ; (35)
GDE n e | KONCENTRACIQ \LEKTRONOW W SOPUTSTWU@]EJ \LEKTRONNOMU GAZU SISTEME OTS^ETA, W KOTOROJ SRED-
NIJ IMPULXS \LEKTRONOW RAWEN NUL@, A V IMEET TOT VE SMYSL, ^TO I W SLU^AE FOTONNOGO GAZA.
~ASTO MOVNO DOPUSTITX, ^TO RASPREDELENIE \LEKTRONOW PO IMPULXSAM W SOPUTSTWU@]EJ SISTEME IZO-
TROPNO. tOGDA FUNKCIQ RASPREDELENIQ W \TOJ SISTEME ZAWISIT TOLXKO OT \NERGII (PREDSTAWIM ARGUMENT
EE W BEZRAZMERNOM WIDE):
f e (p) = n e f e (p 0 =mc)=m 3 c 3 ; (36)
I IMEET NORMIROWKU
4
m 3 c 3
1
Z
0
p 2 f e (p 0 =mc)dp = 1; (37)
W KOTORU@ PREOBRAZUETSQ OB]EE USLOWIE (35) PRI PEREHODE W SOPUTSTWU@]U@ SISTEMU, T. E. PRI V = 0.
w ^ASTNOSTI, RELQTIWISTSKOE RASPREDELENIE mAKSWELLA W SOPUTSTWU@]EJ SISTEME OTS^ETA ZADAETSQ
FORMULOJ
f e (p 0 =mc) = fM (p 0 =mc); fM ( ) = y
4K 2 (y) e y ; (38)
GDE y = mc 2
kBT e
, A
K  (y) =
1
Z
0
e y ch  ch d (39)
| FUNKCIQ mAKDONALXDA. pOQWLENIE \TOJ FUNKCII ESTX SLEDSTWIE USLOWIQ NORMIROWKI (37). dLQ PROIZ-
WOLXNOJ SISTEMY OTS^ETA FORMULU (38) NADO PEREPISATX TAK:
fM (pV =c) = y
4K 2 (y) e cpV =kBT e : (40)
tEPERX MY IMEEM WSE, ^TOBY NAPISATX KINETI^ESKOE URAWNENIE DLQ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ.
2. rELQTIWISTSKOE KINETI^ESKOE URAWNENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ. pRI NAPISANII \TOGO
URAWNENIQ PRINIMAETSQ, ^TO \LEKTRONNYJ GAZ RELQTIWISTSKIJ, NO NE WYROVDENNYJ, TAK ^TO ZAPRET pAULI
NE U^ITYWAETSQ. fOTONNYJ VE GAZ MOVET BYTX ^ASTI^NO WYROVDEN, I PO\TOMU NEOBHODIMO U^ITYWATX
WYNUVDENNYE PEREHODY.
dLQ SREDNIH ^ISEL ZAPOLNENIQ SOSTOQNIJ FOTONOW n = n(r; t; k) W TO^KE r W MOMENT WREMENI t S IMPULX-
SAMI OKOLO k URAWNENIE IMEET WID
k rn = r 2
e
2 m 2 c 2
Z d 3 p
p 0
d 3 p 1
p 0 1
d 3 k 1
k 1
ф(p + k p 1 k 1 )F (;  1 ) [f e (p)n(1 + n 11 ) f e (p 1 )(1 + n)n 11 ] ; (41)
PRI^EM DLQ KRATKOSTI NE UKAZYWA@TSQ ARGUMENTY n I OBOZNA^ENO n 11 = n(r; t; k 1 ).
pERWOE SLAGAEMOE W KWADRATNYH SKOBKAH W URAWNENII (41) SOOTWETSTWUET OSLABLENI@ PRI RASSEQNII, A
WTOROE | IZLU^ENI@. iNTEGRALY BERUTSQ PO IMPULXSAM \LEKTRONOW DO I POSLE RASSEQNIQ I PO IMPULXSAM
FOTONOW, U^ASTWU@]IH W PROCESSE RASSEQNIQ WMESTE S FOTONAMI S IMPULXSOM k. dELXTA-FUNKCIQ OTRAVAET
ZAKONY SOHRANENIQ (3) I POZWOLQET WZQTX ^ETYREHKRATNYJ INTEGRAL, TAK ^TO OSTANETSQ INTEGRAL PO PQTI
PEREMENNYM, KAK I W INTEGRALE STOLKNOWENIJ bOLXCMANA.
rELQTIWISTSKI KOWARIANTNOE URAWNENIE (41) MOVNO RASSMATRIWATX W L@BOJ SISTEME OTS^ETA. nAIBOLEE
UDOBNO \TO DELATX W SISTEME, SWQZANNOJ S \LEKTRONNYM GAZOM, KOTORAQ NAZYWAETSQ SOPUTSTWU@]EJ. pRI
10

PEREHODE W \TU SISTEMU MY OBEZRAZMERIM WSE NA[I WELI^INY. iMPULXSY I \NERGII FOTONA I \LEKTRONA
BUDEM OBOZNA^ATX BEZRAZMERNYMI WELI^INAMI, POLOVIW k = mcx; k = mcx!; p 0 = mc ; p = mcz =
mcz
; p = mcz = mcf ; zg; k = mcx = mcfx; x!g I SOOTWETSTWENNO WELI^INY S INDEKSOM 1: x 1 = k 1 =mc I
T. D. pRIMEM TAKVE RELQTIWISTSKU@ KWANTOWU@ SISTEMU EDINIC, W KOTOROJ POSTOQNNAQ pLANKA, SKOROSTX
SWETA I MASSA \LEKTRONA PRINIMA@TSQ W KA^ESTWE OSNOWNYH EDINIC: h = c = m = 1. w \TOJ SISTEME
EDINICA DLINY | KOMPTONOWSKAQ DLINA WOLNY  { C = h=m c, \NERGII | m c 2 , ^ASTOTY | m c 2 =h, IMPULXSA
| m c. kLASSI^ESKIJ RADIUS \LEKTRONA SOWPADAET S POSTOQNNOJ TONKOJ STRUKTURY r e = e 2 =mc 2 = e 2 =h c =
1=137:036, A ZARQD \LEKTRONA RAWEN e = p
r e = 1=
p
137:036.
w SOPUTSTWU@]EJ SISTEME URAWNENIE (41) ZAPISYWAETSQ TAK:
x

@
@t
+!r

n = r 2
e
2
Z
d 3 z

d 3 z 1
1
d 3 x 1
x 1
ф(z+x z 1 x 1 )F (;  1 )[f e (z)n(1 + n 11 ) f e (z 1 )(1 + n)n 11 ]; (42)
GDE TEPERX n = n(r; t; x; !), n 11 = n(r; t; x 1 ; ! 1 ). k URAWNENI@ (42) NADO DOBAWITX GRANI^NYE I NA^ALXNYE
USLOWIQ.
zAMETIM, ^TO WELI^INA
 = x z = x(
z!
) = x 1 z 1 = x 1 ( 1 z 1 !
1
1 ) (43)
SOWPADAET S ^ASTOTOJ FOTONA x PRI z = 0 I S ^ASTOTOJ x 1 PRI z 1 = 0. pROIZWEDENIE
 1 = x z 1 = x( 1 z 1
!
1 ) = x 1 z = x 1 ( z!
1
) (44)
OBLADAET PROTIWOPOLOVNYM SWOJSTWOM.
tEPERX PEREJDEM K ^ASTNYM SLU^AQM GEOMETRII SREDY I RASPREDELENIQ \LEKTRONOW.
3. pLOSKAQ ATMOSFERA TEPLOWYH \LEKTRONOW. rASSMOTRIM \WOL@CI@ SPEKTRA IZLU^ENIQ W PLOS-
KOPARALLELXNOJ SREDE, ZAPOLNENNOJ MAKROSKOPI^ESKI NEPODWIVNYM \LEKTRONNYM GAZOM S KONCENTRACIEJ
^ASTIC n e . sISTEMA OTS^ETA, SWQZANNAQ SO SREDOJ, I QWLQETSQ SOPUTSTWU@]EJ \LEKTRONNOMU GAZU.
rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA \LEKTRONY IME@T RELQTIWISTSKOE MAKSWELLOWSKOE RASPREDELENIE fM ( ),
OPREDELQEMOE FORMULOJ (38). tOGDA
fM ( 1 ) = fM ( )e y( 1 ) = fM ( )e y(x x1 ) : (45)
uRAWNENIE (42) DLQ TAKOGO SLU^AQ POSLE WZQTIQ INTEGRALA PO z 1 PEREPI[ETSQ W WIDE
x

@
@t +!r

n= r 2
e
2 n e
Z
d 3 z
1
d 3 x 1
x 1
ф( +x 1 x 1 )F (;  1 )f M ( )
h
n(1 + n 11 ) e y(x x1 ) (1 + n)n 11
i
: (46)
~TOBY WZQTX INTEGRAL PO x 1 I TEM SAMYM IZBAWITXSQ OT POSLEDNEJ ф-FUNKCII, WOSPOLXZUEMSQ WYRAVE-
NIEM (9) DLQ \NERGII RASSEQNNOGO FOTONA, KOTOROE MY PEREPI[EM W BEZRAZMERNOM WIDE:
x 1 = x
z!
+ x ! 1 (z + x!) : (47)
tOGDA URAWNENIE (46) PREWRA]AETSQ W

@
@t + !r

n = r 2
e
2x n e
Z d 3 z

x 2
1 d 2 ! 1
 FfM ( )
h
n(1 + n 11 ) e y(x x1 ) (1 + n)n 11
i
: (48)
pRI PEREHODE K \TOMU URAWNENI@ ISPOLXZOWANO TOVDESTWO, QWLQ@]EESQ SLEDSTWIEM SWOJSTW DELXTA-
FUNKCII:
ф( + x 1 x 1 ) = ф

+ x x 1
p
1 + (z + x! x 1 ! 1 ) 2

=
= ф

2x 1 (z+x) 2zx
2 1

= 1
x 1
 ф

x 1 x
z!
+ x ! 1 (z + x!)

: (49)
w REZULXTATE POLU^ILOSX URAWNENIE S PQTIKRATNYM INTEGRALOM, KAK OBY^NO W KINETI^ESKIH URAWNENIQH.
|TO URAWNENIE TAKVE QWNO RELQTIWISTSKI KOWARIANTNO, HOTQ ZAPISANO W OBOZNA^ENIQH DLQ SOPUTSTWU@]EJ
SISTEMY OTS^ETA.
11

uRAWNENIE (46) MOVNO PREOBRAZOWATX PO-DRUGOMU. nE WY^ISLQQ INTEGRALA PO x 1 , OTDELIM INTEGRALY
PO IMPULXSAM \LEKTRONOW, OT KOTORYH FOTONNYE FUNKCII NE ZAWISQT. tOGDA URAWNENIE ZAPI[ETSQ W WIDE

@
@t +!r

n = T
x n e
1
Z
0
x 1 dx 1
Z
d 2 ! 1 R(x; x 1 ; )
h
n(1 + n 11 ) e y(x x1 ) (1 + n)n 11
i
: (50)
zDESX WNUTRENNIJ DWOJNOJ INTEGRAL BERETSQ PO WSEM NAPRAWLENIQM WEKTORA ! 1 , A
R(x; x 1 ; ) = 3
16
Z d 3 z

d 3 z 1
1
ф(z + x z 1 x 1 )F (;  1 )f M ( ) = 3
8
1
Z
 (x;x1;)
d fM ( )R(x; x 1 ; ; ) (51)
| FUNKCIQ PERERASPREDELENIQ PO ^ASTOTAM I NAPRAWLENIQM. pOD INTEGRALOM STOIT FUNKCIQ PERERAS-
PREDELENIQ PRI WZAIMODEJSTWII FOTONNOGO GAZA S \LEKTRONAMI OPREDELENNOJ \NERGII, A NIVNIJ PREDEL
INTEGRIROWANIQ
 (x; x 1 ; ) = 1
2
"
x x 1 +Q
s
1 + 2
xx 1 (1 )
#
; (52)
GDE Q = jx x 1 j =
p
x 2 + x 2
1 2xx 1 .
fUNKCIQ R(x; x 1 ; ; ) WYRAVAETSQ ^EREZ SE^ENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ I FUNKCI@ RASPREDELENIQ
\LEKTRONOW PO \NERGIQM:
R(x; x 1 ; ; )= z
2
Z
d
2
fM ( 1 )F (;  1 )
Z
d 3 z 1
1
ф(x 1 + z 1 x z) = z
2
Z
d
2
fM ( )F (;  1 )ф(  1 q): (53)
rAZLI^NYE FORMULY DLQ \TOJ FUNKCII BYLI POLU^ENY NESKOLXKIMI AWTORAMI. sSYLKI NA IH RABOTY
I POLNYJ WYWOD \TIH FORMUL SODERVITSQ W STATXE [21] I OBZORE [41]. zDESX PRIWEDEM FORMULU, KOTORAQ
POLU^AETSQ, ESLI SE^ENIE WZQTX W UPRO]ENNOM WIDE:
R(x; x 1 ; ; ) = 4
3
1
Q : (54)
mNOVITELX, STOQ]IJ SPRAWA W URAWNENII (50) PRI n, QWLQETSQ KO\FFICIENTOM OSLABLENIQ (POGLO]ENIQ)
ZA S^ET KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ. eGO PROFILX, KAK I FUNKCIQ PERERASPREDELENIQ (53), PREDSTAWLQETSQ
INTEGRALOM PO RASPREDELENI@ IMPULXSOW \LEKTRONOW:
s 0 (x; y) = 1
x
Z
fM ( ) d 3 z
s 0 () = 1
2K 2 (y)
1
Z
1
e y d
z [( + z) 2 s 0 (x( + z)) + ( z) 2 s 0 (x( z))]: (55)
sPOSOB ^ISLENNOGO WY^ISLENIQ \TOGO KO\FFICIENTA PRI L@BYH TEMPERATURAH \LEKTRONOW I L@BYH ^ASTO-
TAH x KAK PRI TO^NOM, TAK I PRI UPRO]ENNOM WYRAVENIQH DLQ SE^ENIQ DAN W STATXE [19]. w POSLEDNEM
SLU^AE FORMULA DLQ PROFILQ IMEET WID
s 0 (x; y) = 1
K 2 (y)
1
Z
1
e y d
z
2 2 + 2x 1
4x + 4x 2 + 1 : (56)
kINETI^ESKOE URAWNENIE W WIDE (50) PO FORME SOWPADAET S URAWNENIQMI, KOTORYE IZU^A@TSQ W TEORII
PERENOSA IZLU^ENIQ. tOT FAKT, ^TO FUNKCIQ PERERASPREDELENIQ ZAWISIT NE OTDELXNO OT NAPRAWLENIJ FO-
TONOW DO I POSLE RASSEQNIQ, A TOLXKO OT UGLA RASSEQNIQ arccos, OTRAVAET IZOTROPI@ SREDY, GDE LOKALXNO
NET WYDELENNOGO NAPRAWLENIQ.
4. oDNORODNOE BESKONE^NOE PROSTRANSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO TEPLOWOJ \LEKTRONNYJ GAZ ODNO-
RODNO ZAPOLNQET WSE PROSTRANSTWO I W \TOM PROSTRANSTWE NAHODITSQ IZOTROPNOE, ODNORODNOE POLE IZLU-
^ENIQ. |LEKTRONY I FOTONY WZAIMODEJSTWU@T ^EREZ KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE. tEMPERATURA \LEKTRONOW
PODDERVIWAETSQ POSTOQNNOJ KAKIM-TO MEHANIZMOM.
w TAKOM SLU^AE SREDNEE ^ISLO ZAPOLNENIQ FOTONNYH SOSTOQNIJ ZAWISIT TOLXKO OT DWUH PEREMENNYH:
^ASTOTY I WREMENI, TAK ^TO n = n(x; t) I n 11 = n(x 1 ; t). |TA WELI^INA OPREDELQETSQ URAWNENIEM
@n(x; t)
@t
= 1
x
1
Z
0
h
R(x 1 ; x)n(x; t) (1 + n(x 1 ; t)) vlR(x; x 1 )n(x 1 ; t) (1 + n(x; t))
i
x 1 dx 1 : (57)
12

zDESX FUNKCIQ PERERASPREDELENIQ, USREDNENNAQ PO NAPRAWLENIQM:
R(x; x 1 ) = 1
2
1
Z
1
R(x; x 1 ; )d: (58)
wYRAVENIQ DLQ NEE DA@TSQ W STATXQH [21, 41].
uRAWNENIE (57) STANOWITSQ OPREDELENNYM, ESLI K NEMU DOBAWITX NA^ALXNOE USLOWIE, T. E. ZADATX n(x; 0).
iZ URAWNENIQ (57) WYTEKAET USLOWIE SOHRANENIQ ^ISLA FOTONOW, TAK KAK IH ^ISLO NE MENQETSQ PRI
RASSEQNII. dEJSTWITELXNO, POSLE UMNOVENIQ (57) NA x 2 I INTEGRIROWANIQ PO WSEM ^ASTOTAM SPRAWA PO-
LU^AETSQ DWOJNOJ INTEGRAL, SIMMETRI^NYJ OTNOSITELXNO ^ASTOT PADA@]EGO I RASSEQNNOGO FOTONOW, I
PO\TOMU RAWNYJ NUL@, TAK ^TO
dN 0
dt = 0; N 0 =
1
Z
0
x 2 n(x; t)dx; (59)
I, SLEDOWATELXNO,
N 0 =
1
Z
0
x 2 n(x; t)dx =
1
Z
0
x 2 n(x; 0)dx: (60)
oBRATIMSQ K PREDELXNYM SLU^AQM PRIWEDENNYH URAWNENIJ, KOGDA RASPREDELENIE \LEKTRONOW PO IM-
PULXSAM MALO OTLI^AETSQ OT NERELQTIWISTSKOGO MAKSWELLOWSKOGO.
x 3. nERELQTIWISTSKIJ PREDEL
1. pO^TI NERELQTIWISTSKIE \LEKTRONY. pRIMEM TEPERX, ^TO TEMPERATURA \LEKTRONNOGO GAZA I
\NERGII FOTONOW NE O^ENX WELIKI, TO^NEE, ^TO WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ kBT  mc 2 I h  mc 2 , T. E. SREDNIE
\NERGII \LEKTRONOW I FOTONOW ZNA^ITELXNO MENX[E \NERGII POKOQ \LEKTRONA. ~TOBY PROIZWESTI PREDELX-
NYJ PEREHOD y = mc 2 =kBT ! 1, NAM NADO PEREOPREDELITX BEZRAZMERNYE ^ASTOTY FOTONOW I IMPULXSY
\LEKTRONOW. pOLOVIM x t = h=kBT , T. E. BUDEM IZMERQTX \NERGII FOTONOW W SREDNIH (PO PORQDKU WELI-
^INY) \NERGIQH \LEKTRONOW. nOWAQ BEZRAZMERNAQ ^ASTOTA SWQZANA SO STAROJ SOOTNO[ENIEM x t = yx. dLQ
TOGO ^TOBY WYQSNITX, KAK NUVNO PERENORMIROWATX IMPULXSY \LEKTRONOW, ZAMETIM, ^TO PRI y !1 FUNK-
CIQ K 2 (y) 
p
=2ye y (1 + 15=8y). pRI \TOM POLNYE \NERGII \LEKTRONOW BLIZKI K IH \NERGIQM POKOQ:
=
p
1 + z 2  1 + z 2 =2. sLEDOWATELXNO, BEZ U^ETA POPRAWO^NOGO SLAGAEMOGO PORQDKA 1=y
fM ( ) 
 y
2
 3=2
e y e y(1+z 2 =2) : (61)
~TOBY \TO RASPREDELENIE PERE[LO W NERELQTIWISTSKOE MAKSWELLOWSKOE, NADO POLOVITX z
p
y=2 = z t I
z
p
y=2 = z t . |TO RAWNOSILXNO ZAMENE p=mc
p
2=yz t . tAKIE VE ZAMENY SDELAEM I DLQ WELI^IN S INDEKSOM 1.
rAZLOVIM PO STEPENQM 1=y  1 WSE WHODQ]IE W URAWNENIE (48) SOMNOVITELI, UDERVIWAQ NULEWU@ I DWE
PERWYH STEPENI OTNOSITELXNO 1= p y.
uTO^NIM RAZLOVENIE FUNKCII RASPREDELENIQ \LEKTRONOW. s U^ETOM SKAZANNOGO WY[E IMEEM
fM ( )d 3 z  y
4
p
=2y(1 + 15=8y)
e y(z 2 =2 z 4 =8) d 3 z  d 3 z t
 3=2 e z 2
t

1 + 1
2y

z 2
t
15
4

: (62)
lEGKO PROWERITX, ^TO INTEGRAL PO z t OT STOQ]EGO W \TOM RAZLOVENII MNOVITELQ PRI 1=y RAWEN NUL@,
^TO QWLQETSQ SLEDSTWIEM SOHRANENIQ USLOWIQ NORMIROWKI. tAK KAK MY UDERVIWAEM SLAGAEMYE PORQDKA
MALOSTI NE BOLX[E 1=y, TO W KONE^NOM REZULXTATE \TOT MNOVITELX OKAVETSQ UMNOVENNYM NA SLAGAEMOE,
NE SODERVA]EE NI y, NI z t . pO\TOMU DOBAWO^NOE SLAGAEMOE W KWADRATNYH SKOBKAH W (62) MOVNO WOOB]E NE
PRINIMATX WO WNIMANIE, A OSTAWITX TOLXKO KLASSI^ESKOE (NERELQTIWISTSKOE) RASPREDELENIE mAKSWELLA.
2. rAZLOVENIE PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII. pOLU^IM PREDELXNU@ FORMU KINETI^ESKOGO URAWNENIQ
DLQ PLOSKOJ SREDY. dLQ \TOGO RAZLOVIM WHODQ]IE W URAWNENIE (48) MNOVITELI PRI FUNKCII RASPREDELENIQ
\LEKTRONOW.
pOLU^IM RAZLOVENIE ^ASTOTY FOTONA POSLE RASSEQNIQ x 1 . iZ FORMULY (47) DLQ NEE SLEDUET, ^TO x t1
x t =
x, A
13


x
x t
 1 + z 2 =2 z
1 + z 2 =2 + x (z 1 + x) 1  1 + z 2
t =y z t 
p
2=y
1 + z 2
t =y + x t (1 )=y z t  1
p
2=y
1 

p
2=yz t ( 1 ) x t (1 )=y + 2z 2
t  1 ( 1 )=y: (63)
zDESX, KAK I WY[E, DLQ SOKRA]ENIQ ZAPISI WWEDENY OBOZNA^ENIQ: 
=
!;  1
=
! 1 ;  = !! 1 .
pOLU^IM RAZLOVENIQ SKALQRNYH PROIZWEDENIJ (22):
 = x( z)  x t
y

1 + z 2
t
y z t 
r
2
y

; (64)
 1 = x 1 ( z 1 )  x t1
y

1 + z 2
t
y z t  1
r
2
y

: (65)
oSNOWNAQ ^ASTX SE^ENIQ kLEJNA|nI[INY | FUNKCIQ F | SOSTOIT IZ DWUH SLAGAEMYH. sLAGAEMOE
B  2 S TO^NOSTX@ DO ^LENOW PORQDKA 1=y 2 . wELI^INA
 0 = 1 x x 1
 1
= 1 1 
( z)( z 1 )   (1 )
r
2
y z t ( +  1 ) 2
y z 2
t (1  2  2
1  1 )

: (66)
oTS@DA
F  1 +  2 2(1 )
r
2
y z t ( +  1 ) + 2
y (1 )z 2
t [2(1  2  2
1  1 ) + (1 )( +  1 ) 2 ]: (67)
pOSKOLXKU SME]ENIE ^ASTOTY PRI RASSEQNII NA NERELQTIWISTSKIH \LEKTRONAH MALO, TO W PREDPOLO-
VENII DOSTATO^NOJ GLADKOSTI SREDNEGO ^ISLA ZAPOLNENIQ MOVNO RAZLOVITX I \TU FUNKCI@. pRI \TOM
ARGUMENTOM POLU^A@]EJSQ FUNKCII BUDEM S^ITATX NE x, KAK RANX[E, A x t . dLQ POLU^ENIQ TOJ VE TO^NO-
STI, ^TO I DLQ WSEH OSTALXNYH WELI^IN, NADO U^ESTX SLAGAEMYE W FORMULE tEJLORA SO WTOROJ PROIZWODNOJ:
n 11 = n(x t1 ; ! 1 ) = n(x t +
x;! 1 ) = n 1 +
xn 0
1 + (
x) 2
2 n 00
1 : (68)
zDESX n 1 = n(x t ; ! 1 ) I PROIZWODNYE BERUTSQ PO PEREMENNOJ x t . rAZLOVENIE RAZNOSTI
x SLEDUET IZ FOR-
MULY (63), A EE KWADRAT (
x) 2  x 2
t (2=y)z 2
t (  1 ) 2 .
rAZLOVENIE RAZNOSTI, STOQ]EJ W KWADRATNYH SKOBKAH W URAWNENII (48), POLU^AETSQ IZ RAWENSTWA (68)
I RAZLOVENIQ \KSPONENTY:
n(1 + n 11 ) e
x (1 + n)n 11  n

1 + n 1 + n 0
1
x + n 00
1
(
x) 2
2
 
1 +
x+ (
x) 2
2

(1 + n)


n 1 + n 0
1
x + n 00
1
(
x) 2
2

 n n 1 [n 0
1 + n 1 (1 + n)]
x [n 00
1 + (2n 0
1 + n 1 )(1 + n)]
(
x) 2
2 : (69)
oSTALXNYE MNOVITELI, STOQ]IE PRI DIFFERENCIALAH PEREMENNYH, PO KOTORYM WEDETSQ INTEGRIROWA-
NIE, TOVE RASKLADYWA@TSQ:
x 2
1
x 
= x 2
t1
x 2
t
1
( z) 
1 + 2
r
2
y z t ( 1 ) 2
y [x t (1 ) + 2z 2
t  1 ( 1 )z 2
t ( 2
1 +  2 2 1 )]
[1 + z 2
t =y][1 + z 2
t =y
p
2=yz t ]

 1 +
p
2=yz t (2 1 ) (2=y)[x t (1 ) + z 2
t (1 3 2
1 + 2 1 )]: (70)
pEREMNOVENIE \TIH MNOVITELEJ I SE^ENIQ DAET
x 2
1
x  F  1 +  2 +
r
2
y z t [2 1 (1  + 2 2 ) (1 + 2  2 )] + 2
y f(1+  2 )(1 )x t +
+ z 2
t [ 1 + 2 3 2 +  2 (1 ) 2 + 2 2
1 (2 4 + 5 2 ) 4 1 (2 )]g: (71)
eSLI OB_EDINITX, NAKONEC, WSE RAZLOVENIQ, TO PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ PREDSTAWITSQ W WIDE ODNOGO
RAZLOVENIQ, KOTOROE MY NE WYPISYWAEM IZ-ZA EGO GROMOZDKOSTI.
14

3. uSREDNENIE PO RASPREDELENI@ mAKSWELLA. pROIZWEDEM SNA^ALA USREDNENIE PO NAPRAWLENIQM
IMPULXSOW \LEKTRONOW, RASPREDELENIE KOTORYH IZOTROPNO. dLQ \TOGO PRIWEDEM ZNA^ENIQ INTEGRALOW
1

Z
d
2
= 4; 1

Z
d
2
 = 1

Z
d
2
 1 = 0; 1

Z
d
2
 2 = 1

Z
d
2
 2
1 = 4
3 ;
1

Z
d
2
 1 = 4
3 : (72)
tAKIM OBRAZOM, WSE SLAGAEMYE PORQDKA p
2=y PRI USREDNENII PROPADUT.
pRI USREDNENII PO DLINAM IMPULXSOW PONADOBQTSQ INTEGRALY
1
p

1
Z
0
e z 2
z 2 dz = 1
4 ;
1
p

1
Z
0
e z 2
z 4 dz = 3
8 : (73)
oBOZNA^IM POLNOE USREDNENIE PO RASPREDELENI@ mAKSWELLA UGLOWYMI SKOBKAMI, T. E.
1
 3=2
Z
e z 2
t d 3 z t (z t ) = h i: (74)
tOGDA
h1i = 1; hz 2
t i = 3
2 ; hz 2
t  2 i = hz 2
t  2
1 i = 1
2 ; hz 2
t  1 i = 1
2 : (75)
lEGKO POKAZATX TAKVE, ^TO
h
xi = x t
y (1 )(1 x t ); h(
x) 2 i = 2 x 2
t
y (1 ): (76)
iSHODQ IZ PRIWEDENNYH FORMUL, PROIZWEDEM USREDNENIE PO ^ASTQM, BEZ PEREMNOVENIQ WSEH RAZLOVENIJ.
uSREDNENIE PROIZWEDENIQ RAZLOVENIQ (71) NA NE ZAWISQ]IE OT y SLAGAEMYE IZ (69) DAET
(n n 1 )

1 +  2 + 2
y [1 2 3 2 + 2 3 (1 +  2 )(1 )x t ]

: (77)
uSREDNENIE POLU^A@]EGOSQ W (69) SLAGAEMOGO PORQDKA 1=y, KOTOROE NADO UMNOVITX NA NULEWOE SLAGAEMOE
W FORMULE (71), T. E. NA 1 +  2 , PRIWODIT K WYRAVENI@
x t
y (1 )f(1 x t )[n 0
1 +n 1 (1+n)]+x t [n 00
1 +2n 0
1 (1+n)+n 1 (1+n)]g: (78)
e]E ODNO NE IS^EZA@]EE W \TOM PRIBLIVENII SLAGAEMOE DAET PROIZWEDENIE ^LENOW PORQDKA 1= p y:
3 x t
y (1 )(1 +  2 )[n 0
1 + n 1 (1 + n)]: (79)
sOBIRAQ WSE POLU^ENNYE SLAGAEMYE RAZLOVENIJ POSLE USREDNENIQ, POLU^AEM OKON^ATELXNO URAWNENIE
bABU\LX-pEJRISSAKA|rUWIJ@A [25]:

@
@t + !r

n = r 2
e
2 n e
Z
d 2 ! 1

(n 1 n)

(1 +  2 )

1 2x t
y (1 )

+
+ 2
y (1 2 3 2 + 2 3 )

+ x t
y (1 )(1 +  2 )[4(n 0
1 + n 1 ) + x t (n 00
1 + n 0
1 ) + n(4n 1 + 2x t n 0
1 )]

: (80)
zAMETIM, ^TO PRI y = 1 URAWNENIE PEREHODIT W OPISYWA@]EE TOMSONOWSKOE RASSEQNIE, PRI^EM WSE
\FFEKTY WYNUVDENNYH PEREHODOW IS^EZA@T. |FFEKT OTDA^I I DOPLEROWSKOGO SME]ENIQ ^ASTOTY, PROISHO-
DQ]IE PRI KOMPTONOWSKOM RASSEQNII, QWLQ@TSQ MALYMI POPRAWKAMI K TOMSONOWSKOMU RASSEQNI@. oDNAKO
\TA MALAQ POPRAWKA MOVET BYTX O^ENX SU]ESTWENNOJ, TAK KAK PRI RASSEQNII IZMENQETSQ ^ASTOTA FOTONOW
I MOVET SILXNO IZMENITXSQ SPEKTR RASSEIWAEMOGO IZLU^ENIQ. oNO MOVET PEREMESTITXSQ W DRUGU@ OBLASTX
\NERGIJ, GDE PERWONA^ALXNO IZLU^ENIE OTSUTSTWOWALO, T. E. MALAQ POPRAWKA OKAVETSQ DOBAWLENNOJ K NUL@.
uRAWNENIE (80) MOVNO PEREPISATX W DRUGOM WIDE, WYDELIW SLAGAEMOE, PROPORCIONALXNOE n, WSE INTE-
GRALY PRI KOTOROM WY^ISLQ@TSQ. w ^ASTNOSTI, INTEGRAL OT WTOROGO SLAGAEMOGO W KWADRATNYH SKOBKAH
OKAZYWAETSQ RAWNYM NUL@. uRAWNENIE PRINIMAET WID

@
@t + !r

n = Tn e

1 2
y x t

n + 3
16 Tn e
Z
d 2 ! 1

n 1

(1 +  2 )

1 2x t
y (1 )

+
+
2
y
(1 2 3 2 + 2 3 )

+
x t
y
(1 )(1 +  2 )
h
4

n 0
1 + n 1 (1 + n)

+ x t (n 00
1 + n 0
1 (1 + 2n)
i 
: (81)
15

eSLI ISHODITX IZ UPRO]ENNOGO SE^ENIQ, TO UPRO]ENIE WYWODA ZAKL@^AETSQ TOLXKO W TOM, ^TO F = 4=3.
uRAWNENIE | ANALOG (81) | POLU^AETSQ NESKOLXKO PRO]E:

@
@t +!r

n = Tn e

1 2
y x t

n+
+ Tn e
4
Z
d 2 ! 1

n 1

1 2
y
[x t (1 ) + ]

+ x t
y
(1 )
h
4

n 0
1 + n 1 (1 + n)

+x t

n 00
1 + n 0
1 (1 + 2n)
i 
: (82)
dO SIH POR RASSMATRIWALOSX RASSEQNIE W PLOSKOJ SREDE. tEPERX PEREJDEM K IZOTROPNOMU PROSTRANSTWU.
4. bESKONE^NOE ODNORODNOE PROSTRANSTWO. eSLI SLABO RELQTIWISTSKIJ (PO^TI NERELQTIWISTSKIJ)
\LEKTRONNYJ GAZ I NE O^ENX VESTKOE POLE IZLU^ENIQ (WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA kBT  mc 2 I h  mc 2 )
ZAPOLNQ@T ONORODNOE I IZOTROPNOE PROSTRANSTWO, TO MOVNO PROIZWESTI TAKIE VE RAZLOVENIQ, KAK I W
PRED[ESTWU@]IH PUNKTAH W URAWNENII (57). oDNAKO PRO]E WOSPOLXZOWATXSQ PREDELXNYM URAWNENIEM (81),
WYWEDENNYM DLQ PLOSKOJ SREDY. pOLOVIW W NEM n 1 = n I WY^ISLIW INTEGRALY PO NAPRAWLENIQM, POLU^IM
URAWNENIE
@n
@t =  0 n e
y
1
x 2
t
@
@x t

x 4
t

n + n 2 + @n
@x t

: (83)
iNTERESNO OTMETITX, ^TO USREDNENIE URAWNENIQ (82), WYWEDENNOGO S UPRO]ENNYM SE^ENIEM, PRIWODIT
TO^NO K TAKOMU VE URAWNENI@ (83).
5. kOMPTONIZACIQ. |TIM SLOWOM NAZYWAETSQ PROCESS FORMIROWANIQ SPEKTRA IZLU^ENIQ W HODE MNOGO-
KRATNOGO KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ I EGO REZULXTAT. kAK PRAWILO, RASSMATRIWAETSQ \WOL@CIQ SPEKTRA OT
MQGKOGO K BOLEE VESTKOMU. dLQ OCENKI \FFEKTIWNOSTI \TOGO PROCESSA OCENIM IZMENENIE MALOJ ^ASTOTY
FOTONA.
pUSTX PERWONA^ALXNO FOTON IMEL IMPULXS x I ^ASTOTU x, A RASSEIWA@]IJ EGO \LEKTRON | IMPULXS
z I \NERGI@ . tOGDA ^ASTOTA FOTONA  W LABORATORNOJ SISTEME OPREDELQETSQ FORMULOJ (43). fORMULA,
WYRAVA@]AQ ^ASTOTU x ^EREZ , T. E. SOGLASNO PREOBRAZOWANI@ lORENCA (30) DLQ IMPULXSA FOTONA x S
V = z= , IMEET WID
x = ( + z 0 ); (84)
GDE  0 | KOSINUS UGLA MEVDU WEKTORAMI z I x. aNALOGI^NO
x 1 =  1 ( + z 0
1 ); (85)
GDE  0
1 | KOSINUS UGLA MEVDU IMPULXSAMI z I x 1 . |TOT KOSINUS WYRAVAETSQ ^EREZ UVE WWEDENNYE UGLY:
 0
1 =  0  0 +
q
1  2
0
p
1 ( 0 ) 2 cos  0 ; (86)
GDE  0 | DWUGRANNYJ UGOL MEVDU DWUMQ PARAMI WEKTOROW z; x I z; x 1 .
sREDNQQ ^ASTOTA RASSEQNNOGO FOTONA NAHODITSQ PO FORMULE, ANALOGI^NOJ (26):
hx 1 i 0 () = r 2
e
2 2
Z
Fx 3
1 d 2 ! 1 = r 2
e
2 2
1
Z
1
F  2
1 d 0
2
Z
0
d 0 x 1 =
= r 2
e
2 2

Z
=(1+2)
Fd 1
2
Z
0
d 0 x

+z

 0  0 +
q
1  2
0
p
1 ( 0 ) 2 cos  0

=
= r 2
e
2 2 2

Z
=(1+2)
Fd 1 x( +z 0  0 )= r 2
e
2 2 2

Z
=(1+2)
Fd 1 x

+ 0

x


: (87)
zDESX PODSTAWLENY FORMULA (86) DLQ  0
1 I FORMULA DLQ  0 , POLU^ENNAQ IZ SOOTNO[ENIQ (84). oSTAETSQ
PODSTAWITX WYRAVENIE (23) DLQ  0 I WY^ISLITX INTEGRAL. wY^ISLENIE DAET
hx 1 is 0 () =

x


s 0 () +

x + x


s 1 (); (88)
16

GDE
s 1 () = 3
8 3

ln(1 + 2) + 4
3  2 3
2  
2
1
1 + 2
1
3
 2
(1 + 2) 3

: (89)
oPREDELIM SREDNIE STEPENI ^ASTOTY FOTONA POSLE RASSEQNIQ IZOTROPNYMI \LEKTRONAMI, RASPREDELENIE
KOTORYH ZADAETSQ FUNKCIEJ f e ( ), FORMULOJ [41]
x j
1 s 0 (x)= 1
x
Z
d 3 z
f e ( )hx j
1 is 0 ()=4x j
1
Z
0
z 2 dzf e ( ) j (x; ): (90)
sREDNQQ ^ASTOTA FOTONA POSLE RASSEQNIQ BUDET POLU^ATXSQ PRI j = 1, A STOQ]IJ MNOVITELEM SREDNIJ
PROFILX OSLABLENIQ ZADAETSQ TOJ VE FORMULOJ PRI j = 0. wY^ISLIM SNA^ALA SREDNIE PRI ZAKREPLENNOJ
\NERGII \LEKTRONA, T. E. INTEGRALY
j (x; ) = 1
4 x j+1
Z
d
2
hx j
1 is 0 () (91)
PRI MALYH x (TOGDA I  MALY), NO PROIZWOLXNYH . iMEEM
s 0 ()  1 2 + 26
5  2 ; s 1 ()  1 3 + 47
5  2 ; (92)
hx j
1 is 0 ()  

+ 6
5 x
21
5 

: (93)
uSREDNENIE PO NAPRAWLENIQM \LEKTRONOW S ISPOLXZOWANIEM FORMUL (72) PRIWODIT K ASIMPTOTIKAM
0 (x; )1 2 x


2 + z 2
3

+ 26
5 x 2 ( 2 + z 2 ); (94)
1 (x; ) 2 + z 2
3 + 1
5
x


6 2 +2z 2 21 2 ( 2 +z 2 )

; (95)
1 (x; ) 0 (x; )  4
3 z 2 1
15
x
(126 4 127 2 + 16): (96)
oTNOSITELXNOE IZMENENIE ^ASTOTY FOTONA NA EDINICE OPTI^ESKOGO RASSTOQNIQ RAWNO KAK RAZ POSLEDNEJ
RAZNOSTI. tAKIM OBRAZOM, PERWOE VE RASSEQNIE MQGKOGO FOTONA RELQTIWISTSKIM \LEKTRONOM UWELI^IWAET
^ASTOTU FOTONA W 4z 2 =3 RAZ. nO ^ASTOTA FOTONOW RASTET I PRI RASSEQNII NERELQTIWISTSKIMI \LEKTRONAMI,
ESLI IH SREDNQQ \NERGIQ SU]ESTWENNO BOLX[E \NERGII FOTONA.
pUSTX MQGKIJ FOTON RASSEIWAETSQ NERELQTIWISTSKIMI \LEKTRONAMI S z 2  1. tOGDA IZ (96) NAHODIM
1 (x; ) 0 (x; )  4
3 z 2 x: (97)
uSREDNIM \TU RAZNOSTX PO NERELQTIWISTSKOMU MAKSWELLOWSKOMU RASPREDELENI@ S TEMPERATUROJ T e 
mc 2 =kB , PRIMENIW FORMULY (74). oDNAKO NELXZQ ZABYTX, ^TO W UKAZANNYH FORMULAH USREDNQETSQ KWADRAT
z t , A NE z. pO\TOMU NADO WWESTI SWQZYWA@]IJ \TI DWE WELI^INY MNOVITELX 2= p y. tOGDA POLU^ITSQ
[x 1 x]s 0 (x) = 4x
1
Z
0
z 2 dzfM ( )[ (x; ) 0 (x; )]  4
y x x 2 : (98)
tAK KAK s 0 (x)  1 2x, TO S PRINQTOJ TO^NOSTX@ POLU^ENNU@ FORMULU MOVNO ZAPISATX W WIDE [23, 41]

x
x
= 4
y
x (99)
I PREDSTAWITX KAK DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE
dx
du = x 4
y x 2 : (100)
17

pROIZWODNAQ ZDESX BERETSQ PO BEZRAZMERNOMU OPTI^ESKOMU RASSTOQNI@, SOWPADA@]EMU S ^ISLOM RASSEQNIJ.
uRAWNENIE (100) QWLQETSQ URAWNENIEM bERNULLI I EGO RE[ENIE LEGKO NAHODITSQ:
1
x = e 4u=y

1
x 0
+ y
4 (e 4u=y 1)

: (101)
pEREPISANNOE W WELI^INAH x t I t = u=y ONO WYGLQDIT PRO]E:
x t = x 0
t
e 4t
1 + x 0
t
4 (e 4t 1)
(102)
I IZ NEGO WIDNO, ^TO PRI MALYH x 0
t I UMERENNYH t ^ASTOTA RASTET \KSPONENCIALXNO. zATEM ROST ZAMEDLQETSQ
I ^ASTOTA x t STREMITSQ K SWOEMU ASIMPTOTI^ESKOMU ZNA^ENI@ 4. mY UWIDIM, ^TO TO^NOE ZNA^ENIE \TOGO
PREDELA RAWNO NE 4, A 3.
dALEE RASSMOTRIM RE[ENIQ URAWNENIQ (83) I EGO OBOB]ENIQ (57), BOLEE TO^NO OPISYWA@]IE MNOGOKRAT-
NOE RASSEQNIE.
x 4. rE[ENIQ KINETI^ESKIH URAWNENIJ
1. uRAWNENIE kOMPANEJCA I EGO SWOJSTWA. w \TOM PARAGRAFE OPUSTIM INDEKS t U ^ASTOTY (WWE-
DENNYJ DLQ TOGO, ^TOBY OTLI^ATX ^ASTOTU, IZMERQEMU@ W EDINICAH kBT=h, OT ^ASTOTY, IZMERQEMOJ W
EDINICAH mc 2 =h) I BUDEM PISATX PROSTO x.
uRAWNENIE (83) ZA S^ET WYBORA EDINICY IZMERENIQ WREMENI, RAWNOJ y= 0 n e , PRIWODITSQ K URAWNENI@
BEZ PARAMETROW:
@n
@t
= 1
x 2
@
@x

x 4

n + n 2 + @n
@x

: (103)
|TO URAWNENIE OPISYWAET WREMENNU@ \WOL@CI@ ODNORODNOGO I IZOTROPNOGO POLQ IZLU^ENIQ W BESKO-
NE^NOM ODNORODNOM I IZOTROPNOM PROSTRANSTWE, ZAPOLNENNOM RAWNOWESNYM NERELQTIWISTSKIM I NEWYRO-
VDENNYM \LEKTRONNYM GAZOM. oNO BYLO WYWEDENO a. s. kOMPANEJCEM W 1952 GODU (OPUBLIKOWANO [14] W 1956
POSLE RASSEKRE^IWANIQ) I NOSIT EGO IMQ.
uRAWNENIE kOMPANEJCA W RAZMERNYH WELI^INAH ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
@n  (t)
@t =  0 n e
mc
h
 2
@
@

 4

kBT
h
@n  (t)
@ + n  (t) + n 2
 (t)

: (104)
zDESX n  (t) = n(x t ; t) = n(x; t). w DALXNEJ[EM IZU^AEM \TO URAWNENIE W FORME (103).
iZ URAWNENIQ (103), TAK VE KAK I IZ (57), WYTEKAET ZAKON SOHRANENIQ ^ISLA FOTONOW. dEJSTWITELXNO,
POSLE UMNOVENIQ URAWNENIQ (103) NA x 2 I INTEGRIROWANIQ PO WSEM ^ASTOTAM POLU^AEM
d
dt
1
Z
0
x 2 n(x; t)dx =
1
Z
0
@
@x

x 4

@n
@x
+ n + n 2

dx =

x 4

@n
@x
+ n + n 2
     
x=1
x=0
= 0: (105)
mOVNO POKAZATX, ^TO KAVDOE IZ TREH SLAGAEMYH W KRUGLYH SKOBKAH PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ kOMPA-
NEJCA OPISYWAET OTDELXNYJ \FFEKT, A IMENNO: SLAGAEMOE S PROIZWODNOJ | \FFEKT dOPLERA, n | \FFEKT
kOMPTONA, A n 2 | WYNUVDENNOE RASSEQNIE.
uRAWNENIE (103) NELINEJNOE I, K SOVALENI@, TO^NYH ANALITI^ESKIH RE[ENIJ NE IMEET. w RAZNOE WREMQ
BYLI NAJDENY TO^NYE RE[ENIQ URAWNENIJ, POLU^A@]IHSQ IZ (103), ESLI OTBROSITX ODNO ILI DWA SLAGAEMYH
W KRUGLYH SKOBKAH, T. E. PRENEBRE^X ODNIM IZ UKAZANNYH \FFEKTOW. pRIWEDEM WSE \TI RE[ENIQ.
2. lINEJNOE URAWNENIE I FUNKCIQ gRINA. pRI NEBOLX[IH ^ISLAH ZAPOLNENIQ n  1 MOVNO NE
U^ITYWATX WYNUVDENNOE RASSEQNIE I W URAWNENII (103) OTBROSITX n 2 . uRAWNENIE PEREJDET W LINEJNOE:
@n(x; t)
@t
= 1
x 2
@
@x

x 4

@n
@x
+ n

: (106)
18

dLQ LINEJNOGO URAWNENIQ MOVNO OPREDELITX FUNKCI@ gRINA, WYRAVA@]U@ L@BOE RE[ENIE ^EREZ NA^ALX-
NOE RASPREDELENIE FOTONOW:
n(x; t) =
1
Z
0
G(x; x 1 ; t)n(x 1 ; 0)dx 1 : (107)
fUNKCIQ gRINA UDOWLETWORQET TOMU VE URAWNENI@ (106):
@G(x; x 1 ; t)
@t
= 1
x 2
@
@x

x 4

@G
@x
+G

; (108)
S NA^ALXNYM USLOWIEM
G(x; x 1 ; 0) = ф(x x 1 ): (109)
iNTEGRAL (60) DLQ \TOJ FUNKCII PEREHODIT W
1
Z
0
x 2 G(x; x 1 ; t)dx = x 2
1 : (110)
fUNKCIQ G(x; x 1 ; t) BYLA NAJDENA a. s. kOMPANEJCEM PUTEM RAZLOVENIQ PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM
(S. F.) OPERATORA PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (106). pODROBNYJ WYWOD EE METODOM PREOBRAZOWANIQ lAPLASA
PRIWEDEN W STATXE [17].
wYRAVENIE DLQ FUNKCII gRINA PREDSTAWIM W WIDE RAZLOVENIQ PO S. F. LINEJNOGO OPERATORA kOMPA-
NEJCA, KAK \TO BYLO SDELANO IM SAMIM:
G(x; x 1 ; t) = x 1
x e (x1 x)=2 [ 0 (x) 0 (x 1 ) +  2 (x) 2 (x 1 )e 2t +
1
Z
0
 9=4+ 2 (x) 9=4+ 2 (x 1 )e (9=4+ 2 )t d]: (111)
dWE DISKRETNYE S. F. IZ \TOGO NABORA QWLQ@TSQ PROSTYMI KOMBINACIQMI \KSPONENTY I LINEJNYH FUNK-
CIJ:
 0 (x) = x
p
2
e x=2 ;  2 (x) = x 2
p
2
e x=2 : (112)
oNI ORTOGONALXNY I NORMIROWANY NA EDINICU:
1
Z
0
 0 (x) 2 (x)dx = 0;
1
Z
0
 2
0 (x)dx =
1
Z
0
 2
2 (x)dx = 1: (113)
s. F. NEPRERYWNOGO SPEKTRA
 9=4+ 2 (x) =

2

 sh()
(1=4 +  2 )(9=4 +  2 )
 1=2 1
x
W 2;i (x) (114)
WYRAVA@TSQ ^EREZ FUNKCII uITTEKERA, SWQZANNYE S FUNKCIQMI mAKDONALXDA (39):
W 2;i (x)=
r
x
2

x 2
2
3
2 x+ 3
4  2

K i
 x
2

x
 z
2

K 0
i
 x
2
 
; (115)
fUNKCIQ K i (x) WE]ESTWENNA W SILU ^ETNOSTI EE PO INDEKSU.
fUNKCII (114) NORMIROWANY NA ф-FUNKCI@
1
Z
0
 9=4+ 2 (x) 9=4+ 2
1
(x)dx = ф(  1 ) (116)
I ORTOGONALXNY DISKRETNYM S. F.
1
Z
0
 9=4+ 2 (x) 0 (x)dx =
1
Z
0
 9=4+ 2 (x) 2 (x)dx = 0: (117)
19

wMESTE WSE \TI FUNKCII OBRAZU@T POLNU@ SISTEMU NA PROMEVUTKE [0; 1), ^TO WYRAVAETSQ USLOWIEM POL-
NOTY
 0 (x) 0 (x 1 )+ 2 (x) 2 (x 1 )+
1
Z
0
 9=4+ 2(x) 9=4+ 2 (x 1 )d=ф(x x 1 ): (118)
lEGKO USMOTRETX, ^TO PRI PROIZWOLXNOM NA^ALXNOM RASPREDELENII n(x; 0) SPEKTR IZLU^ENIQ \WOL@CI-
ONIRUET PRI t !1 K WINOWSKOMU. dEJSTWITELXNO, G(x; x 1 ; 1) = (x 2
1 =2)e x , TAK ^TO
lim
t!1
n(x; t) = 1
2 e x
1
Z
0
x 2
1 n(x 1 ; 0)dx 1 : (119)
fUNKCIQ x 2 n(x; 1) IMEET MAKSIMUM PRI x = 2. sREDNEE ZNA^ENIE ^ASTOTY PO WINOWSKOMU RASPREDELENI@
RAWNO 3. sOOTNO[ENIE (60) WYPOLNQETSQ I PRI t = 1. dLQ SRAWNENIQ NAPOMNIM, ^TO SOGLASNO FORMULE
pLANKA MAKSIMUM RASPREDELENIQ ^ISLA FOTONOW x 2 =(e x 1) LEVIT PRI x = 1:59362426014, A SREDNQQ
^ASTOTA RAWNA 2:70117803292.
A B
G(x; 0:1; t) G(x; 1; t)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0
10
20
30
40
1.0 0.5 0.2
0.1
0.01
0.005
0.02
0.03
0.05
0.5 2.0
3
0
1.0 1.5
0.0
1
2
4
1.0 0.5 0.2 0.1
0.005
0.01
0.02
0.03
0.05
t
t
t t
x x
rIS. 3. |WOL@CIQ FUNKCII gRINA G(x; x1 ; t) PRI x1 = 0:1 (A) I x1 = 1 (B).
A B
x 2 G(x; 1; t) x 2 G(x; 10; t)
0.5 2.0
4
1.5
1.0
0.0 2.5 3.0
0
2
3
1
0.005
0.01
0.02
0.03
0.05
0.1
1.0
0.5
0.2
0 2 8 10 12
40
50
60
70
80
90
100
4 6 14
30
20
10
0
0.001
0.005
0.01
1.0 0.5 0.2 0.1
0.02
0.03
0.05
t
t t t
x x
rIS. 4. |WOL@CIQ FUNKCII x 2 G(x; x1 ; t) PRI x1 = 1 (A) I x1 = 10 (B).
w STATXE [18] BYLI WY^ISLENY S. F., WHODQ]IE W FORMULU (111), I PO NIM NAJDENA FUNKCIQ gRINA. nA
RIS. 3 I 4 PREDSTAWLENY GRAFIKI \TOJ FUNKCII SOOTWETSTWENNO PRI x 1 = 0:1; 1 I 10, OTRAVA@]IE EE
UKAZANNYE WY[E SWOJSTWA. pRI \TOM NA RIS. 3 DANA SAMA FUNKCIQ gRINA, A NA RIS. 4 DAETSQ PROIZWEDENIE
x 2 G(x; x 1 ; t).
3. dIFFUZIONNOE RE[ENIE. eSLI OTBROSITX DWA SLAGAEMYH n I n 2 , ^TO DOPUSTIMO PRI MALYH ^A-
STOTAH, TO POLU^A@]EESQ URAWNENIE
@n(t; x)
@t
= 1
x 2
d
dx

x 4 @n
@x

(120)
TOVE QWLQETSQ LINEJNYM I DLQ NEGO OPREDELQETSQ FUNKCIQ gRINA TEM VE RAWENSTWOM (107), ^TO I WY[E.
pODSTANOWKAMI x = e u 3y ; t = y S OBRATNYMI IM y = t; u = 3t + ln x URAWNENIE (120) PRIWODITSQ K
URAWNENI@ DIFFUZII
@ 2 n
@u 2 = @n
@y : (121)
20

sOOTWETSTWU@]AQ FUNKCIQ gRINA W ISHODNYH PEREMENNYH
G dif (x; x 1 ; t) = 1
2x 1
p
t
exp

1
4t

ln x
x 1
+ 3t
 2
!
: (122)
tAKAQ FORMA FUNKCII gRINA BYLA POLU^ENA q. b. zELXDOWI^EM I r. a. s@NQEWYM [53].
mOVNO POKAZATX, ^TO FUNKCIQ (122) QWLQETSQ PREDELOM (111) PRI MALYH ^ASTOTAH. dEJSTWITELXNO,
FUNKCIQ G (x; x 1 ; t) = G(x; x 1 ; t), GDE SPRAWA STOIT FUNKCIQ gRINA (111), UDOWLETWORQET URAWNENI@
@G (x; x 1 ; t)
@t = 1
x 2
@
@x

x 4

@G
@x + G

; (123)
KOTOROE PEREHODIT W (120) PRI  ! 0. pO\TOMU
lim
!0
G (x; x 1 ; t) = 
4 2 x 2 e 9t=4
1
Z
0
e  2 t (xx 1 ) 1=2 d
" 
x
x 1
 i
+

x 1
x
 i
#
=
= x 1=2
1
x 3=2
1
 e 9t=4
1
Z
0
e  2 t cos

 ln x
x 1

d = x 1=2
1 x 3=2
2 (t) 1=2 e 9t=4 (ln 2 x=x1 )=4t = G dif (x; x 1 ; t): (124)
iSPOLXZUQ DIFFUZIONNU@ FUNKCI@ gRINA (124), AWTORY STATXI [7] POKAZALI, ^TO PLANKOWSKIJ SPEKTR
MALYH ^ASTOT PREOBRAZUETSQ W NABOR PLANKOWSKIH SPEKTROW S TEMPERATURAMI IZ NEKOTOROGO INTERWALA.
4. rE[ENIE STACIONARNOGO LINEJNOGO URAWNENIQ. eSLI POLE IZLU^ENIQ NE ZAWISIT OT WREMENI,
TO URAWNENIE (103) PEREHODIT W STACIONARNOE LINEJNOE URAWNENIE kOMPANEJCA
1
x 2
d
dx

x 4

dn
dx + n

= 0: (125)
|TO URAWNENIE SRAZU SWODITSQ K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA
dn
dx
+ n = C 2
x 4 : (126)
oB]EE RE[ENIE POLU^ENNOGO LINEJNOGO URAWNENIQ
n = C 1 e x + C 2 e x
x
Z

e x 0 dx 0
(x 0 ) 4 : (127)
zDESX  > 0 | NEKOTOROE ^ISLO. wTOROE RE[ENIE IMEET SMYSL TOLXKO PRI x  . wZQTX  = 0 NELXZQ, TAK
KAK \TA FUNKCIQ PRI x ! 0 STREMITSQ K BESKONE^NOSTI TAK SILXNO, ^TO INTEGRAL (60) NE SU]ESTWUET. pER-
WOE VE RE[ENIE OPISYWAET RASPREDELENIE wINA, T. E. PRAWILXNOE STACIONARNOE RE[ENIE. wTOROE RE[ENIE
NADO, PO-WIDIMOMU, OTBROSITX KAK NEFIZI^ESKOE.
rE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ WIDA (125), T. E. STACIONARNOGO URAWNENIQ S ISTO^NIKAMI
1
x 2
d
dx

x 4

dn
dx + n

= f(x) (128)
MOVNO ISKATX METODOM WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH, ODNAKO EGO MOVNO POLU^ITX GORAZDO PRO]E.
pROINTEGRIRUEM URAWNENIE PO x OT 0 DO x:

dn
dx + n

= 1
x 4
x
Z
0
x 2
1 f(x 1 )dx 1 : (129)
rE[ENIE POLU^IW[EGOSQ LINEJNOGO URAWNENIQ PREDSTAWLQETSQ POWTORNYM INTEGRALOM
n(x) = e x
x
Z
0
e x 0 dx 0
(x 0 ) 4
x 0
Z
0
x 2
1 f(x 1 )dx 1 = e x
x
Z
0
x 2
1 f(x 1 )dx 1
x
Z
x1
e x 0 dx 0
(x 0 ) 4 : (130)
21

fUNKCIQ gRINA, OPREDELQEMAQ FORMULOJ, ANALOGI^NOJ (107):
n(x) =
1
Z
0
G(x; x 1 )f(x 1 )dx 1 ; (131)
UDOWLETWORQET URAWNENI@
1
x 2
d
dx

x 4

dG
dx +G

= ф(x x 1 ) (132)
I MOVET BYTX PREDSTAWLENA W QWNOM WIDE
G(x; x 1 ) =
8
> > <
> > :
e x x 2
1
x
Z
x1
dx 0
(x 0 ) 4 ; x 1  x;
0; x 1  x:
(133)
w ^ASTNOM SLU^AE STEPENNOGO SPEKTRA ISTO^NIKA f(x) = x  RE[ENIE WYRAVAETSQ ^EREZ WYROVDENNU@
GIPERGEOMETRI^ESKU@ FUNKCI@ [17] :
n(x) = x 
( + 3) e x F(;  + 1; x) 
8
> <
> :
x 
( + 3) ; x  1;
x  1
+ 3 ; x  1:
(134)
lg n(x)
0 2 4 6 8 10
-1
1
0
-3
-2
0.2
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5

x
rIS. 5. sTACIONARNYE RE[ENIQ LINEJNOGO URAWNENIQ PRI NEKOTORYH
POKAZATELQH STEPENI ^ASTOTNOJ ZAWISIMOSTI ISTO^NIKA.
nA RIS. 5 PRIWEDENY GRAFIKI RE[ENIJ DLQ NEKOTORYH ZNA^ENIJ .
5. rE[ENIE NEDIFFUZIONNOGO URAWNENIQ. nAZOWEM TAK URAWNENIE, KOTOROE POLU^AETSQ IZ URAW-
NENIQ (103), ESLI W EGO KRUGLYH SKOBKAH OTBROSITX PROIZWODNU@ PO ^ASTOTE, OPREDELQ@]U@ ^ASTOTNU@
DIFFUZI@ FOTONOW. kAK WIDNO IZ URAWNENIQ kOMPANEJCA W FORME (104), \TO MOVNO SDELATX PRI DOSTATO^NO
NIZKOJ TEMPERATURE \LEKTRONNOGO GAZA. uRAWNENIE PRIMET WID
@n(x; t)
@t = 1
x 2
@
@x

x 4 n + n 2

: (135)
|TO URAWNENIE OBLADAET SWOJSTWOM AWTOMODELXNOSTI, A IMENNO DLQ EGO RE[ENIJ WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE
PODOBIQ: PRI PROIZWOLXNOM  > 0
n(x; t) = n(x; t); (136)
T. E. ODINAKOWOE IZMENENIE MAS[TABA ^ASTOT I WREMENI NE IZMENQET RE[ENIQ.
pOSKOLXKU URAWNENIE (135) | PERWOGO PORQDKA, RE[AEM EGO METODOM HARAKTERISTIK. uRAWNENIQ, OPRE-
DELQ@]IE HARAKTERISTIKI (135), ZAPISYWA@TSQ TAK:
dt =
dx
x 2 (1 + 2n)
=
dn
3x(n + n 2 )
: (137)
22

pERWYMI INTEGRALAMI URAWNENIJ HARAKTERISTIK QWLQ@TSQ SLEDU@]IE KOMBINACII PEREMENNYH: x 4 B = C 4
I 4Ct + 2 1=2 F (; 2 1=2 ), GDE B = n + n 2 ,
F (; k) =

Z
0
d 1
p
1 k 2 sin 2  1
(138)
| \LLIPTI^ESKIJ INTEGRAL PERWOGO RODA, A
 = (B) = 2 arctg(2 1=2 B 1=4 ): (139)
rE[ENIE, UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@, MOVNO ZAPISATX W NEQWNOM WIDE [17]
t = F ( 0 ; 2 1=2 ) F (; 2 1=2 )
2 3=2 C ; (140)
GDE  0 = (B 0 (x 0 )); B 0 (x) = n(x; 0)[1 + n(x; 0)]; C = xB 1=4 (x) = x 0 B 1=4
0 (x 0 ).
eSLI W NAJDENNOM RE[ENII S^ITATX, ^TO n  1, T. E. ^ISLA ZAPOLNENIQ FOTONNYH SOSTOQNIJ WELIKI
I WYNUVDENNOE RASSEQNIE IGRAET OPREDELQ@]U@ ROLX, TO, PODSTAWIW PREDELXNYE WYRAVENIQ B  n 2 ;  
2 1=2 n 1=2  1; F (; 2 1=2 ), SWEDEM RE[ENIE (140) K
t = 1
2

1
x 0 n(x 0 )
1
xn(x)

: (141)
|TO RE[ENIE, POLU^ENNOE q. b. zELXDOWI^EM I e. w. lEWI^EM [8], UDOWLETWORQET URAWNENI@
@n
@t 2x 2 n @n
@x = 4xn 2 : (142)
nA RIS. 6, WZQTOM IZ STATXI [17], POKAZANO, KAK \WOL@CIONIRUET NA^ALXNYJ SPEKTR n(x; 0) = xe x
SOGLASNO URAWNENI@ (135) I EGO RE[ENI@ (140).
lg x 2 n(x; t)
-3 -2 0 1
-5
-3
-2
0
-1 2
-1
1
-4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.0
1.0 0.5 0.4
t
t
lg x
rIS. 6. rE[ENIQ NEDIFFUZIONNOGO URAWNENIQ.
s TE^ENIEM WREMENI SPEKTR SME]AETSQ W STORONU NIZKIH ^ASTOT, PRI^EM STANOWITSQ WSE KRU^E. s
NEKOTOROGO MOMENTA SPEKTR OPROKIDYWAETSQ, ^TO OKAZYWAETSQ WOZMOVNYM IZ-ZA NEQWNOGO WIDA RE[ENIQ.
pRI^INA TAKOGO NEFIZI^ESKOGO POWEDENIQ SPEKTRA W TOM, ^TO KOGDA INTENSIWNOSTX IZLU^ENIQ O^ENX REZKO
MENQETSQ S ^ASTOTOJ, NELXZQ PRENEBREGATX PROIZWODNOJ W URAWNENII kOMPANEJCA, NESMOTRQ NA MALYJ
KO\FFICIENT PRI NEJ. kROME TOGO, I SAMO \TO URAWNENIE STANOWITSQ NEADEKWATNYM, TAK KAK PRI EGO WYWODE
PREDPOLAGALASX WOZMOVNOSTX RAZLOVENIQ INTENSIWNOSTI PO FORMULE tEJLORA (68), KOTORAQ OTSUTSTWUET
PRI BOLX[OJ PROIZWODNOJ PO ^ASTOTE.
tOT VE \FFEKT WOZNIKAET W RE[ENII (141), ^TO MOVNO POKAZATX I BEZ WY^ISLENIJ. dEJSTWITELXNO, ODNO
IZ URAWNENIJ HARAKTERISTIK URAWNENIQ (142) GLASIT: dx
dt = 2x 2 n, T. E. SKOROSTX IZMENENIQ ^AS-
TOTY x SO WREMENEM OTRICATELXNA I PROPORCIONALXNA WELI^INE n. pO\TOMU ^EM WY[E TO^KA NA KRIWOJ
RE[ENIQ, TEM BYSTREE ONA PRODWIGAETSQ W STORONU MENX[IH ^ASTOT.
|FFEKT PEREHLESTA SPEKTRA INTERPRETIROWALSQ AWTORAMI [8] KAK POQWLENIE UDARNOJ WOLNY W ^ASTOTNOM
SPEKTRE IZLU^ENIQ. dLQ WYQSNENIQ EGO REALXNOGO SMYSLA NEOBHODIMO POLU^ITX RE[ENIQ BEZ PRENEBREVENIQ
PROIZWODNOJ PO ^ASTOTE ILI TO^NOGO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ, ^TO WOZMOVNO TOLXKO ^ISLENNO.
23

6. ~ISLENNYE METODY. dLQ RAS^ETA KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ PRIMENQLOSX NESKOLXKO RAZLI^NYH
^ISLENNYH METODOW. rELQTIWISTSKIE ASTROFIZI^ESKIE OB_EKTY, KAK PRAWILO, PO TOMSONOWSKOMU RASSEQ-
NI@ OPTI^ESKI TONKI I IZLU^ENIE W NIH NE WYROVDENO (MOVNO NE PRINIMATX WO WNIMANIE NELINEJNYE
\FFEKTY). pO\TOMU PERWONA^ALXNO OGRANI^IWALISX U^ETOM TOLXKO ODNOKRATNOGO RASSEQNIQ. oDNAKO DAVE
PRI REDKIH MNOGOKRATNYH RASSEQNIQH RELQTIWISTSKIE \LEKTRONY MOGUT PEREWODITX FOTONY W OTDALENNYE
SPEKTRALXNYE OBLASTI, SOZDAWAQ MALU@ POPRAWKU K NUL@ (O ^EM UVE GOWORILOSX). u^ET POSLEDOWATELXNYH
RASSEQNIJ | NAIBOLEE [IROKO ISPOLXZUEMYJ METOD RAS^ETA [38, 43].
mNOGOKRATNOE KOMPTONOWSKOE RASSEQNIQ RASS^ITYWALI TAKVE METODOM mONTE-kARLO (SM., NAPRIMER,
RABOTY [22, 33, 39].
dAWNO I USPE[NO PRIMENQETSQ TAK NAZYWAEMOE DWAVDY DIFFUZIONNOE PRIBLIVENIE [48, 49]. oNO OSNO-
WANO NA SOOBRAVENII, ^TO PRI NEBOLX[IH \NERGIQH \LEKTRONOW PROSTRANSTWENNAQ I UGLOWAQ STRUKTURA
IZLU^ENIQ FORMIRUETSQ ZA 2-3 RASSEQNIQ, A SPEKTR WWIDU MALOSTI EGO IZMENENIQ PRI ODNOM AKTE WZAI-
MODEJSTWIQ DLQ SWOEGO FORMIROWANIQ TREBUET O^ENX BOLX[OGO ^ISLA RASSEQNIJ. k URAWNENI@ (80) BEZ
NELINEJNYH SLAGAEMYH PRIMENQLSQ METOD |DDINGTONA, TAK ^TO ^ASTOTNYJ REVIM RASS^ITYWALSQ W PRI-
BLIVENII DIFFUZII FOTONOW PO ^ASTOTE (S ISPOLXZOWANIEM DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA kOMPANEJCA),
A PROSTRANSTWENNO UGLOWOE RASPREDELENIE | W PRIBLIVENII DIFFUZII W PROSTRANSTWE.
dRUGIE ^ISLENNYE METODY, OSNOWANNYE NA RAZDELENII ^ASTOTNOJ I PROSTRANSTWENNO UGLOWOJ ZAWISIMO-
STI POLEJ IZLU^ENIQ, PRIMENQLISX W RABOTAH [35, 34] I DR.
mETOD, ANALOGI^NYJ PRIMENQEMOMU W TEORII OBRAZOWANIQ SPEKTRALXNYH LINIJ, ISPOLXZOWAN W RABOTE
[44]. |TOT METOD OSNOWAN NA OBRA]ENII MATRICY KO\FFICIENTOW POSLE DISKRETIZACII INTEGRALXNOGO URAW-
NENIQ DLQ FUNKCII ISTO^NIKOW. nAIBOLEE OB]IJ METOD RE[ENIQ KAK STACIONARNYH, TAK I NESTACIONARNYH
ZADA^ O MNOGOKRATNOM KOMPTONOWSKOM RASSEQNII BYL PREDLOVEN AWTORAMI [27]. |TI METODY TREBU@T O^ENX
BOLX[IH KOMPX@TERNYH RESURSOW.
~ASTNYE ZADA^I, SWODQ]IESQ K URAWNENIQM, OPISYWA@]IM WREMENNU@ \WOL@CI@ PROSTRANSTWENNO OD-
NORODNOGO POLQ IZLU^ENIQ W BESKONE^NOJ SREDE, W LINEJNOM PRIBLIVENII ^ISLENNO RE[ALISX NESKOLXKIMI
AWTORAMI (NAPRIMER, [11, 30]).
nEDAWNO s. i. gRA^EWYM [3] BYL PREDLOVEN \FFEKTIWNYJ METOD RE[ENIQ LINEJNYH I NELINEJNYH NESTA-
CIONARNYH (I KAK PREDEL | STACIONARNYH) ZADA^ TEORII PERENOSA IZLU^ENIQ. mETOD ZAKL@^AETSQ W RAZLO-
VENII RE[ENIQ PO FORMULE tEJLORA PO PRIRA]ENI@ WREMENI I USTANOWLENII REKURRENTNYH SOOTNO[ENIJ
MEVDU KO\FFICIENTAMI RAZLOVENIQ. |TIM METODOM IM POLU^ENY AKKURATNYE ^ISLENNYE RE[ENIQ NELI-
NEJNOGO URAWNENIQ kOMPANEJCA I TO^NOGO URAWNENIQ (57) (DLQ MAKSWELLOWSKIH \LEKTRONOW S FUNKCIEJ
PERERASPREDELENIQ, SOOTWETSTWU@]EJ UPRO]ENNOMU SE^ENI@). oB \TIH RE[ENIQH SKAVEM OTDELXNO.
7. |WOL@CIQ ODNORODNOGO POLQ IZLU^ENIQ. ~ISLENNYE RE[ENIQ INTEGRALXNOGO URAWNENIQ (57)
PRI MAKSWELLOWSKIH \LEKTRONAH S NIZKOJ TEMPERATUROJ BEZ U^ETA WYNUVDENNOGO RASSEQNIQ POLNOSTX@
SOWPALI S RE[ENIQMI LINEJNOGO VE URAWNENIQ kOMPANEJCA. iNDUCIROWANNOE RASSEQNIE, PRIWODQ]EE K
NELINEJNOSTI URAWNENIJ, OBNARUVIWAET TAKIE OSOBENNOSTI RE[ENIJ, KOTORYE TOLXKO UGADYWALISX PRI
RASSMOTRENII PREDELXNYH SLU^AEW, OBSUVDAW[IHSQ WY[E.
kONE^NO, PRI RE[ENII NELINEJNOGO URAWNENIQ kOMPANEJCA NIKAKIH PEREHLESTOW NE WOZNIKAET. wMESTE
S TEM RE[ENIQ OBLADA@T NEKOTORYMI OSOBENNOSTQMI.
dELO W TOM, ^TO RE[ENIQ LINEJNYH URAWNENIJ PRI PROIZWOLXNYH NA^ALXNYH RASPREDELENIQH FOTONOW
PO \NERGIQM, PRI KOTORYH POLNOE ^ISLO FOTONOW KONE^NO, OBQZATELXNO \WOL@CIONIRU@T K RAWNOWESNOMU
WINOWSKOMU SPEKTRU. |TO NE WSEGDA OSU]ESTWLQETSQ PO OTNO[ENI@ K NELINEJNYM URAWNENIQM. dLQ NIH
PREDELXNYM QWLQETSQ RASPREDELENIE bOZE||JN[TEJNA, NO SOGLASNO \TOMU RASPREDELENI@ POLNOE ^ISLO
FOTONOW NE MOVET BYTX PROIZWOLXNYM. dEJSTWITELXNO, PREDELXNOE BEZRAZMERNOE SREDNEE ^ISLO ZAPOLNENIQ
FOTONNYH SOSTOQNIJ IMEET OGRANI^ENIE
1
Z
0
x 2 dx
exp(x ) 1 
1
Z
0
x 2 dx
exp(x) 1 = 2:4041138: (143)
eSLI WELI^INA INTEGRALA (60) DLQ NA^ALXNOGO RASPREDELENIQ N 0 PREWOSHODIT \TU GRANICU, TO PREDELXNOGO
RASPREDELENIQ NE SU]ESTWUET.
nA RIS. 7 PREDSTAWLENY GRAFIKI FUNKCII x 2 n(x; t), WY^ISLENNOJ W RABOTE [20] PRI NA^ALXNYH RASPRE-
DELENIQH, IMITIRU@]IH DELXTA-FUNKCI@:
n(x; 0) = N 0
p
" e (x x1 ) 2 =" 2
: (144)
24

A B
x 2 n(x; t) x 2 n(x; t)
0
10
30
20
40
50
60
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.0 0.2 0.4 0.0 0.2 0.4 0.8
0.6 1.0 1.2 1.4
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0.002
0.003
0.005
0.01
0.002
0.003
0.502
0.529
t t
x x
rIS. 7. |WOL@CIQ DELXTAOBRAZNYH NA^ALXNYH SPEKTROW:
A | PRI N0 = 10, B | PRI N0 = 50.
pRI RAS^ETAH BRALOSX ZNA^ENIE " = 0:01. eSLI PRI N 0  1 RE[ENIQ NELINEJNOGO URAWNENIQ IME@T TOT VE
HARAKTER, ^TO I NA RIS. 4, TO S UWELI^ENIEM \TOGO PARAMETRA SINGULQRNOSTX RE[ENIJ, WYRAVA@]AQSQ W
KRUTIZNE SPEKTRA I SKOROSTI EGO PRIBLIVENIQ K OSI ORDINAT, WOZRASTAET.
A B
x 2 n(x; t) x 2 n(x; t)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2 4 6 8
0 10 0.0
0
10
40
50
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
20
30
60
0
1.82
4.82
8.82
16.82
50
0
1.32
2.32 1.82
2.82
t t
x x
rIS. 8. |WOL@CIQ STEPENNO-POKAZATELXNYH NA^ALXNYH SPEKTROW (145):
A | PRI N0 = 1, B | PRI N0 = 50.
nA RIS. 8 IZ TOJ VE RABOTY [20] POKAZANA \WOL@CIQ SPEKTRA IZLU^ENIQ PRI NA^ALXNYH RASPREDELENIQH
n(x; 0) = 8N 0
3 xe 2x : (145)
eSLI N 0 = 1, NIKAKIH OSOBENNOSTEJ W POWEDENII RE[ENIQ NE WOZNIKAET: ONO PLAWNO \WOL@CIONIRUET K
RASPREDELENI@ bOZE||JN[TEJNA. nAPROTIW, PRI N 0 = 50 S PRIBLIVENIEM K OSI ORDINAT WOZNIKA@T
WYSTUPY, NAPOMINA@]IE UDARNYE FRONTY ILI KWAZILINII. rE[ENIQ TO^NOGO, INTEGRALXNOGO URAWNENIQ
DEMONSTRIRU@T UKAZANNYE QWLENIQ E]E W BOLX[EJ STEPENI, ^EM POLU^ENNYE W PRIBLIVENII kOMPANEJCA.
zDESX MY PRIWELI RE[ENIQ URAWNENIJ, U^ITYWA@]IH TOLXKO KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE. kONE^NO, NEOB-
HODIMO PRINIMATX WO WNIMANIE I DRUGIE MEHANIZMY IZLU^ENIQ I POGLO]ENIQ FOTONOW. nAPRIMER, TOR-
MOZNOJ MEHANIZM, S KOTORYM SRAWNIWALOSX KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE W x 1, DOLVEN \FFEKTIWNO POGLO]ATX
FOTONY MALYH ^ASTOT I PREPQTSTWOWATX IH NAKOPLENI@. rEZULXTIRU@]IJ SPEKTR PRI \TOM DOLVEN BYTX
PLANKOWSKIM.
w ZAKL@^ENIE UKAVEM OB_EKTY, W KOTORYH OSU]ESTWLQ@TSQ USLOWIQ DLQ BOLX[OJ ROLI KOMPTONOWSKOGO
RASSEQNIQ.
x 5. aSTROFIZI^ESKIE OB_EKTY S BOLX[OJ ROLX@ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ
1. dVETY IZ AKTIWNYH QDER GALAKTIK. kAK POKAZYWA@T NABL@DENIQ [37, 42], IZ AKTIWNYH QDER
GALAKTIK (aqg), W CENTRE KOTORYH NAHODITSQ ^ERNAQ DYRA MASSOJ W 10 8  10 9 M , PROISHODQT WYBROSY
O^ENX GORQ^EGO, POLNOSTX@ IONIZOWANNOGO WE]ESTWA, NAZYWAEMYE DVETAMI. sAMAQ RASPROSTRANENNAQ MO-
DELX DVETA | STRUQ, SOSTOQ]AQ IZ SGUSTKOW S RAZOGNANNYMI DO RELQTIWISTSKIH SKOROSTEJ \LEKTRONAMI,
25

\NERGII KOTORYH PREWOSHODQT IH \NERGI@ POKOQ W DESQTKI I SOTNI RAZ (\NERGIQ POKOQ \LEKTRONA SOOTWET-
STWUET TEMPERATURE 6
10 9 k). w SGUSTKAH PRISUTSTWUET SLABOE MAGNITNOE POLE NAPRQVENNOSTX@ PORQDKA
10 6 gS. |LEKTRONY W MAGNITNOM POLE IZLU^A@T SINHROTRONNYM MEHANIZMOM FOTONY W RADIODIAPAZONE.
iZLU^ENNYE FOTONY RASSEIWA@TSQ TEMI VE \LEKTRONAMI I SILXNO UWELI^IWA@T SWO@ \NERGI@, PEREHODQ W
BOLEE \NERGI^NU@ ^ASTX SPEKTRA, W OPTIKU, RENTGENOWSKIJ I GAMMA-DIAPAZONY. |TOT MEHANIZM NAZYWAETSQ
SINHROKOMPTONOWSKIM (PO-ANGLIJSKI Synchrotron Self-Compton).
oBY^NO PRINIMAETSQ, ^TO RASPREDELENIE \LEKTRONOW PO IMPULXSAM IZOTROPNO, A PO \NERGIQM STEPENNOE
 S HARAKTERNYMI ZNA^ENIQMI PORQDKA 10{100 I BOLX[E WPLOTX DO NEKOTOROGO PREDELXNOGO ZNA^ENIQ
\NERGII. tOGDA SINHROTRONNOE IZLU^ENIE TOVE IMEET STEPENNOJ SPEKTR, PROPORCIONALXNYJ  ( 1)=2 [2].
w REZULXTATE DEJSTWIQ KOMPTONOWSKOGO MEHANIZMA W RENTGENOWSKOM DIAPAZONE SPEKTRA KOMPTONIZOWANNOGO
IZLU^ENIQ WOZNIKAET TAK NAZYWAEMYJ BAMP (bump), T. E. GORB. nA BOLEE WYSOKIH ^ASTOTAH \NERGII \LEKTRO-
NOW NE HWATAET I TAM INTENSIWNOSTX SPEKTRA BYSTRO SPADAET (ZAWAL SPEKTRA). ~EM DALX[E PROSTIRAETSQ
STEPENNOJ SPEKTR \LEKTRONOW, TEM NA BOLX[IH ^ASTOTAH PROISHODIT ZAWAL (W VESTKOM RENTGENE ILI W
GAMMA-DIAPAZONE).
|NERGIQ \LEKTRONOW PEREHODIT K FOTONAM, KOTORYE POKIDA@T DVET. dLQ PODDERVANIQ SWE^ENIQ NEOBHO-
DIMA PODKA^KA \NERGII \LEKTRONNOMU GAZU. iMEETSQ NESKOLXKO MODELEJ TAKOJ PODKA^KI. wOZMOVNA NEPRE-
RYWNAQ INVEKCIQ RELQTIWISTSKIH \LEKTRONOW ILI IH USKORENIE KAKIM-NIBUDX MEHANIZMOM. iSTO^NIKOM
\NERGII QWLQETSQ QDRO GALAKTIKI (central engine). nA PROTQVENII ZAMETNOGO WREMENI SU]ESTWUET STACI-
ONARNYJ REVIM SWE^ENIQ. bYLO POKAZANO [13], ^TO W REZULXTATE SINHROTRONNOGO IZLU^ENIQ W KA^ESTWE
STACIONARNOGO USTANAWLIWAETSQ IMENNO STEPENNOE RASPREDELENIE \LEKTRONOW PO \NERGIQM. wPOSLEDSTWII
AWTORAMI [32] BYLO POLU^ENO ^ISLENNOE RE[ENIE STACIONARNOGO URAWNENIQ TIPA fOKKERA|pLANKA, OPRE-
DELQ@]EGO RASPREDELENIE \LEKTRONOW S U^ETOM WSEGO SPEKTRA MAGNITOTORMOZNOGO IZLU^ENIQ I POGLO]ENIQ
(KAK SINHROTRONNOGO, TAK I CIKLOTRONNOGO), KOMPTONOWSKIH POTERX, A TAKVE INVEKCII I WYLETA \LEKTRO-
NOW IZ OBLASTI. rAS^ETY POKAZALI, ^TO STEPENNOJ SPEKTR \LEKTRONOW SOZDAETSQ TOLXKO NA O^ENX BOLX[IH
\NERGIQH, A NA MALYH I UMERENNYH OBRAZUETSQ MAKSWELLOWSKOE RASPREDELENIE S TEMPERATUROJ, OPREDELQE-
MOJ SOOTNO[ENIEM INVEKCII I POTERX. oBZOR RABOT PO \TOJ PROBLEME SODERVITSQ W STATXE [50].
2. nEJTRONNYE ZWEZDY I ^ERNYE DYRY W DWOJNYH SISTEMAH. w TAKIH SISTEMAH PROISHODIT
PERETEKANIE WE]ESTWA S OBY^NOJ ZWEZDY NA KOMPAKTNU@, W REZULXTATE ^EGO WOKRUG POSLEDNEJ OBRAZUETSQ
AKKRECIONNYJ DISK [26]. tEORIQ AKKRECIONNYH DISKOW IZLOVENA WO MNOGIH KNIGAH, NAPRIMER, W [29].
wNUTRI DISKA TEMPERATURA O^ENX BOLX[AQ, TAM GORQ^IJ \LEKTRONNYJ GAZ RASSEIWAET FOTONY, IZLU-
^AEMYE KAKIM-NIBUDX PERWI^NYM MEHANIZMOM: SINHROTRONNYM, TORMOZNYM ILI DWOJNYM KOMPTONOWSKIM.
rASSEQNNYE FOTONY MOGUT ROVDATX \LEKTRON-POZITRONNYE PARY, W SWO@ O^EREDX ANNIGILIRU@]IE I
DA@]IE FOTONY DLQ POSLEDU@]IH KASKADNYH PROCESSOW RASSEQNIQ, ROVDENIQ I ANNIGILQCII PAR [31].
kOMPTONOWSKOMU RASSEQNI@ OBQZANO I FORMIROWANIE SPEKTRA AKKRECIRU@]IH WE]ESTWO NEJTRONNYH
ZWEZD I ^ERNYH DYR [5].
iZ POLQRNYH OBLASTEJ ZWEZD, OKRUVENNYH DISKAMI, WYBRASYWA@TSQ DVETY, MAS[TAB KOTORYH ZNA^I-
TELXNO MENX[E, ^EM W SLU^AE aqg, TAK KAK MASSA NEJTRONNOJ ZWEZDY ILI ^ERNOJ DYRY ZDESX PORQDKA MASSY
sOLNCA. mOVNO DUMATX, ODNAKO, ^TO QWLENIQ, PROISHODQ]IE W aqg I W DWOJNYH SISTEMAH, PODOBNY, TAK
^TO IZU^ENIE WNUTRIGALAKTI^ESKIH DVETOW, KOTORYE NAHODQTSQ GORAZDO BLIVE K NAM I BOLEE DOSTUPNY DLQ
NABL@DENIJ, POMOGAET PONQTX PRIRODU AKTIWNOSTI aqg. nEKOTORYE AWTORY DWOJNYE SISTEMY S WYBRO-
SAMI WE]ESTWA NAZYWA@T MINIKWAZARAMI. pROBLEMAM OBRAZOWANIQ, STROENIQ I SWE^ENIQ DISKOW I DVETOW
IZ NIH POSWQ]ENY MNOGIE STATXI SBORNIKOW, NEKOTORYE IZ KOTORYH MY UPOMINALI [26, 50].
3. rENTGENOWSKIE ISTO^NIKI. pERETEKANIE WE]ESTWA MOVET PROISHODITX I W DWOJNOJ SISTEME S
OBY^NYMI ZWEZDAMI, ESLI ODNA IZ NIH ZAPOLNQET SWO@ POLOSTX rO[A. tOGDA NA WTOROJ OBRAZUETSQ GORQ^EE
PQTNO, DA@]EE RENTGENOWSKOE IZLU^ENIE, KOTOROE ISPYTYWAET KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE [10].
4. gORQ^IE KORONY AKKRECIONNYH DISKOW. aKKRECIONNYE DISKI OBRAZU@TSQ OKOLO KOMPAKTNYH
OB_EKTOW (NEJTRONNYH ZWEZD ILI ^ERNYH DYR ZWEZDNYH MASS) ILI WOKRUG ^ERNYH DYR W CENTRE GALAKTIK.
wE]ESTWO DISKOW WO WNE[NIH IH ^ASTQH IMEET TEMPERATURU PORQDKA 10 5 k, T. E. ^ASTICY TAM NERELQTIWIST-
SKIE. oDNAKO KORONY TAKIH DISKOW, T. E. BOLEE RAZREVENNYE IH OBOLO^KI, IME@T TEMPERATURU 10 9 10 10 k
(ANALOGI^NO, \LEKTRONY W KORONE sOLNCA, TEMPERATURA POWERHNOSTI KOTOROGO 6000 k, IME@T TEMPERATURU
PORQDKA 10 6 k). mEHANIZMY NAGREWA WE]ESTWA KORONY MOGUT BYTX ANALOGI^NY TEM, KOTORYE DEJSTWU@T
NA sOLNCE.
kORONY DISKOW O^ENX TONKIE, TAK ^TO W NIH RASSEIWAETSQ TOLXKO MALAQ DOLQ IZLU^ENIQ, IDU]EGO OT
DISKA. oDNAKO RASSEQNNOE IZLU^ENIE OKAZYWAETSQ W RENTGENOWSKOM I GAMMA-DIAPAZONE, GDE EGO DO RASSEQNIQ
NE BYLO SOWSEM I GDE ONO STANOWITSQ DOSTUPNYM NABL@DENI@, TAK KAK FOTONY TAM O^ENX \NERGI^NY [45].
nEOBHODIMO PRINIMATX WO WNIMANIE WZAIMNOE WLIQNIE KORONY I DISKA DRUG NA DRUGA [43]. sRAWNITELXNO
26

MQGKIE (uf) FOTONY DISKA, POPADAQ W KORONU I RASSEIWAQSX RELQTIWISTSKIMI \LEKTRONAMI, PRIOBRETA@T
BOLX[U@ \NERGI@ I SPOSOBNOSTX ROVDATX PARY. w SWO@ O^EREDX RASSEQNNOE W KORONE IZLU^ENIE ^ASTI^NO
WOZWRA]AETSQ W DISK I RAZOGREWAET EGO.
5. rELIKTOWOE IZLU^ENIE. sOGLASNO MODELI GORQ^EJ wSELENNOJ NA RANNIH \TAPAH EE \WOL@CII ONA
IMELA O^ENX WYSOKU@ TEMPERATURU, TAK ^TO WE]ESTWO BYLO POLNOSTX@ IONIZOWANO, A IZLU^ENIE NAHODILOSX
W RAWNOWESII S WE]ESTWOM. sPEKTR IZLU^ENIQ BYL ^ISTO PLANKOWSKIM. nESKOLXKO PROCESSOW WOZMU]ALI
\TOT SPEKTR. w OPREDELENNYE \POHI OSTYWANIQ wSELENNOJ PROIZO[LI ANNIGILQCIQ WE]ESTWA I ANTIWE-
]ESTWA, A ZATEM REKOMBINACIQ \LEKTRONOW S ATOMAMI. w HODE RAS[IRENIQ I, KAK SLEDSTWIE, OSTYWANIQ
WE]ESTWO I IZLU^ENIE RAZDELILISX. oDNAKO IZLU^ENIE WSE WREMQ OSTAWALOSX S BOLX[OJ TO^NOSTX@ PLAN-
KOWSKIM. oNO DO[LO DO NASTOQ]EGO WREMENI W WIDE RELIKTOWOGO IZLU^ENIQ (ri), ILI MIKROWOLNOWOGO
KOSMI^ESKOGO FONA.
pOSLE \POHI REKOMBINACII OBRAZOWALISX KRUPNOMAS[TABNYE STRUKTURY wSELENNOJ: GALAKTIKI I SKOP-
LENIQ GALAKTIK. pRI \TIH PROCESSAH TAKVE WYDELQLASX ZNA^ITELXNAQ \NERGIQ. tAM, GDE OBRAZOWALISX PER-
WI^NYE STRUKTURY, IZLU^ENIE POLU^ILO DOPOLNITELXNYJ WKLAD \NERGII I WOZNIKLI LOKALXNYE OTKLONENIQ
OT TEPLOWOGO SPEKTRA. s TE^ENIEM WREMENI OTKLONENIQ LOKALXNOJ INTENSIWNOSTI OT SREDNEJ ZAMYWALISX
PRI RASSEQNII NA \LEKTRONAH, NO WSE VE KAKIE-TO ISKAVENIQ W PROSTRANSTWENNOM RASPREDELENII IZLU-
^ENIQ, KOTOROE TEPERX NABL@DAETSQ W RADIODIAPAZONE KAK RELIKTOWYJ TEPLOWOJ FON S TEMPERATUROJ 2.7
k, DOLVNY OSTATXSQ. rAS^ET ZAMYWANIQ I OSTATO^NOJ ANIZOTROPII RELIKTOWOGO IZLU^ENIQ PREDSTAWLQET
BOLX[OJ INTERES DLQ KOSMOLOGII. iSKAVENIQ SPEKTRA I IH DALXNEJ[AQ \WOL@CIQ W ZNA^ITELXNOJ STEPENI
TAKVE OPREDELQ@TSQ RASSEQNIEM. pRI RAS^ETAH ISKAVENIJ SPEKTRA PRIMENQETSQ URAWNENIE kOMPANEJCA
[7, 12, 51]. iSKAVENIQ IZOTROPII ri I EGO SPEKTRA PO TEORETI^ESKIM OCENKAM SOSTAWLQ@T W NASTOQ]EE
WREMQ 10 5 OT INTENSIWNOSTI ri.
dWIVENIQ PERWI^NYH STRUKTUR wSELENNOJ MOGUT POROVDATX POLQRIZACI@ IZLU^ENIQ [28]. oVIDAEMAQ
STEPENX POLQRIZACII WOZMU]ENIJ ri DOSTIGAET 10 %, T. E. 10 6 OT INTENSIWNOSTI SAMOGO ri. w NASTO-
Q]EE WREMQ TEHNI^ESKIE WOZMOVNOSTI APPARATURY W RADIO-DIAPAZONE PODO[LI K TOMU UROWN@, KOTORYJ
POZWOLIT NABL@DATX WSE \TI QWLENIQ.
6. gORQ^IJ GAZ W SKOPLENIQH GALAKTIK. iZ NABL@DENIJ KONTINUUMA I LINIJ W RENTGENOWSKOJ OBLA-
STI SPEKTRA SLEDUET, ^TO W BOGATYH SKOPLENIQH GALAKTIK IMEETSQ GORQ^IJ \LEKTRONNYJ GAZ S TEMPERATUROJ
PORQDKA 10 8 k. mASSA GAZA SRAWNIMA S MASSOJ SOSTAWLQ@]IH SKOPLENIE GALAKTIK. |TOT GAZ RASSEIWAET
MIKROWOLNOWOE RELIKTOWOE IZLU^ENIE (ri) I SDWIGAET EGO SPEKTR W STORONU BOLX[IH ^ASTOT. fOTONY
POLU^A@T DOPOLNITELXNU@, HOTQ NE O^ENX BOLX[U@ \NERGI@, TAK ^TO NA MALYH DLINAH WOLN IZLU^ENIE
USILIWAETSQ, A NA BOLEE DLINNYH | OSLABLQETSQ. |TO QWLENIE NAZYWAETSQ \FFEKTOM s@NQEWA|zELXDOWI^A
[9]. oBZOR NABL@DATELXNYH DANNYH I TEORII \TOGO \FFEKTA PREDSTAWLEN W RABOTE [47].
hARAKTER ISKAVENIQ SPEKTRA OTRAVAET TAKVE PEKULQRNOE DWIVENIE SKOPLENIQ PO OTNO[ENI@ K RE-
LIKTOWOMU FONU. |TO VE DWIVENIE MOVET SOZDAWATX POLQRIZACI@ RASSEQNNOGO IZLU^ENIQ. nABL@DENIQ
HODA IZMENENIQ SPEKTRA I POLQRIZACII ri PO TELU NE O^ENX DALEKIH SKOPLENIJ MOVET POZWOLITX WY-
QWITX RASPREDELENIQ PLOTNOSTI, TEMPERATURY I MAKROSKOPI^ESKOJ SKOROSTI DWIVENIQ \LEKTRONNOGO GAZA
W SKOPLENIQH [46, 52].
7. dRUGIE OB_EKTY. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE IGRAET ZAMETNU@ ROLX I W RQDE OB_EKTOW, OTLI^NYH OT
UKAZANNYH WY[E. nAPRIMER, MEVZWEZDNOE IZLU^ENIE W gALAKTIKE RASSEIWAETSQ \NERGI^NYMI \LEKTRONAMI
KOSMI^ESKIH LU^EJ [40]. |TO IZLU^ENIE SILXNO NEIZOTROPNO, TAK KAK IDET W OSNOWNOM OT GALAKTI^ESKOJ
PLOSKOSTI. eGO PREOBRAZOWANIE W VESTKIE DIAPAZONY ME[AET IZU^ENI@ IZLU^ENIQ TEH VE DIAPAZONOW KOS-
MI^ESKOGO PROISHOVDENIQ.
rASS^ITYWA@TSQ MODELI ZWEZDNYH ATMOSFER S U^ETOM KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ RENTGENOWSKOGO IZLU-
^ENIQ NEKOTOROGO WNE[NEGO ISTO^NIKA, NAPRIMER, AKKRECIONNOGO DISKA [36].
w RABOTE [16] POKAZANO, ^TO NELINEJNYJ (INDUCIROWANNYJ) \FFEKT kOMPTONA SPOSOBSTWUET NAGREWU
WE]ESTWA WNE[NIH OBOLO^EK aqg I PULXSAROW.
pRIWEDENNYE SWEDENIQ DEMONSTRIRU@T WAVNOSTX DALXNEJ[EGO IZU^ENIQ \FFEKTA kOMPTONA, UTO^NENIQ
EGO WOZDEJSTWIQ NA SPEKTRY I (O ^EM ZDESX PO^TI NE GOWORILOSX) POLQRIZACI@ IZLU^ENIQ ASTROFIZI^ESKIH
OB_EKTOW, RAZRABOTKI I SOZDANIQ \FFEKTIWNYH I DOSTATO^NO BYSTRYH KOMPX@TERNYH PROGRAMM RAS^ETA
MNOGOKRATNOGO KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ W SREDAH PLOSKOJ I SFERI^ESKOJ GEOMETRII.
27

lITERATURA
1. bERESTECKIJ w. b., lIF[IC e. m., pITAEWSKIJ l. p. kWANTOWAQ \LEKTRODINAMIKA. m.: nAUKA, 1989.
727 S.
2. gINZBURG w. l. tEORETI^ESKAQ FIZIKA I ASTROFIZIKA. m.: nAUKA, 1987. 488 S.
3. gRA^EW s. i. nOWYJ METOD RE[ENIQ NESTACIONARNYH ZADA^ TEORII PERENOSA IZLU^ENIQ // aSTROFI-
ZIKA. 2001. t. 44. N 4. s. 619{632.
4. dIRAK p. a. m. wOSPOMINANIQ O NEOBY^AJNOJ \POHE. m.: nAUKA, 1990. 208 S.
5. zAWLIN w. e., {IBANOW `.a. kOMPTONIZACIQ RENTGENOWSKOGO IZLU^ENIQ W PLAZME AKKRECIRU@]IH
NEJTRONNYH ZWEZD // aSTRON. VURN. 1989. t. 66. s. 983{995.
6. zELXDOWI^ q. b. wZAIMODEJSTWIE SWOBODNYH \LEKTRONOW S \LEKTROMAGNITNYM IZLU^ENIEM // uSPEHI
FIZ. NAUK. 1975. t. 115. s. 161{197.
7. zELXDOWI^ q. b., iLLARIONOW a. f., s@NQEW r. a. wLIQNIE WYDELENIQ \NERGII NA SPEKTR IZLU^ENIQ
W GORQ^EJ wSELENNOJ // vURN. \KSPER. TEOR. FIZ. 1972. t. 62. s. 1217{1227.
8. zELXDOWI^ q. b., lEWI^ e. w. bOZE-KONDENSACIQ I UDARNYE WOLNY W SPEKTRE FOTONOW // vURN. \KSPER.
TEOR. FIZ. 1968. t. 55. s. 24{23.
9. zELXDOWI^ q. b., s@NQEW r. a. mEVGALAKTI^ESKIJ GAZ W SKOPLENIQH GALAKTIK, MIKROWOLNOWOE FONOWOE
IZLU^ENIE I KOSMOLOGIQ // aSTROFIZIKA I KOSMI^ESKAQ FIZIKA. m.: nAUKA, 1982. s. 9{65.
10. iLLARIONOW a. f., s@NQEW r. a. kOMPTON-\FFEKT NA TEPLOWYH \LEKTRONAH W ISTO^NIKAH RENTGENOW-
SKOGO IZLU^ENIQ // aSTRON. VURN. 1972. t. 49. s. 58{73.
11. iLLARIONOW a. f., s@NQEW r. a. kOMPTONIZACIQ, HARAKTERNYE SPEKTRY I TEPLOWOJ BALANS RAZREVEN-
NOJ PLAZMY // aSTRON. VURN. 1974. t. 51. s. 698{711.
12. iLLARIONOW a. f., s@NQEW r. a. kOMPTONIZACIQ, SPEKTR RELIKTOWOGO IZLU^ENIQ I TEPLOWAQ ISTO-
RIQ wSELENNOJ // aSTRON. VURN. 1974. t. 51. s. 1162{1176.
13. kAPLAN s. a., cYTOWI^ w. n. pLAZMENNAQ ASTROFIZIKA. m.: nAUKA, 1972. 440 S.
14. kOMPANEEC a. s. oB USTANOWLENII TEPLOWOGO RAWNOWESIQ MEVDU KWANTAMI I \LEKTRONAMI // vURN.
\KSPER. TEOR. FIZ. 1956. t. 31. s. 876{885.
15. lANDAU l. d., lIF[IC e. m. tEORIQ POLQ. m.: nAUKA, 1988. 509 S.
16. lEWI^ e. w., s@NQEW r. a. nAGREW GAZA WBLIZI KWAZAROW, QDER SEJFERTOWSKIH GALAKTIK I PULXSAROW
NIZKO^ASTOTNYM IZLU^ENIEM // aSTRON. VURN. 1971. t. 48. s. 461{470.
17. nAGIRNER d. i. rASSEQNIE PROSTRANSTWENNO ODNORODNOGO IZOTROPNOGO IZLU^ENIQ NA HOLODNOM \LEK-
TRONNOM GAZE // aSTROFIZIKA. 1984. t. 20. s. 149{156.
18. nAGIRNER d. i., lOSKUTOW w. m. fUNKCIQ gRINA LINEJNOGO URAWNENIQ kOMPANEJCA // aSTROFIZIKA.
1997. t. 40. s. 97{116.
19. nAGIRNER d. i., lOSKUTOW w. m. kO\FFICIENT KOMPTONOWSKOGO OSLABLENIQ PRI RASSEQNII MAKSWEL-
LOWSKIMI \LEKTRONAMI // aSTROFIZIKA. 2000. t. 43. s. 473{482.
20. nAGIRNER d. i., lOSKUTOW w. m., gRA^EW s. i. tO^NYE I ^ISLENNYE RE[ENIQ URAWNENIQ kOMPANEJCA:
\WOL@CIQ SPEKTRA I SREDNIH ^ASTOT // aSTROFIZIKA. 1997. t. 40. s. 350{364.
21. nAGIRNER d. i., kIKEC e. w., pOUTANEN `.j. oDNOKRATNOE KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE // u^. ZAP.
lENINGR. UN-TA. 1991. N 427. (tRUDY aSTRON. OBSERW. lgu. t. 43). s. 28{70.
22. pOZDNQKOW l. a., sOBOLX i. m., s@NQEW r. a. kOMPTONIZACIQ I FORMIROWANIE SPEKTROW RENTGENOWSKIH
ISTO^NIKOW. mETODIKA RAS^ETOW METODOM mONTE-kARLO // iTOGI NAUKI I TEHNIKI. sER. aSTRONOMIQ.
m.: winiti, 1982. t. 21. s. 238{307.
28

23. pOZDNQKOW l. a., sOBOLX i. m., s@NQEW r. a. kOMPTONIZACIQ I FORMIROWANIE SPEKTROW RENTGENOWSKIH
ISTO^NIKOW. II // iTOGI NAUKI I TEHNIKI. sER. aSTRONOMIQ. m.: winiti, 1986. t. 31. s. 267{331.
24. sOBOLEW w. w. kURS TEORETI^ESKOJ ASTROFIZIKI. m.: nAUKA, 1985. 502 S.
25. Babuel-Peyrissac J. P., Rouvillois G. Radiative transfer in an LTE atmosphere: an integral kernel
formulation of the Compton scatter source term // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1970. Vol. 10.
P. 1277{1290.
26. Charles Ph. Black holes in our Galaxy: observation // Theory of Black Holes Accretion Discs / Eds.
M. A. Abramowicz, G. B. Bjornsson, J. E. Pringle. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. P. 1{21.
27. Dermer C. D., Sturner S. J., Schlickeiser R. Nonthermal Compton and synchrotron processes in jets of
active galactic nuclei // Astrophys. J. Suppl. Ser. 1997. Vol. 109. P. 103{137.
28. Dolgov A. D., Doroshkevich A. G., Novikov D. I., Novikov I. D. Classication of singular points in
polarization eld of cosmic microwave background and eigenvectors of Stokes matrix // pISXMA W VURN.
\SPERIM. TEOR. FIZ. 1999. t. 69. s. 395{401.
29. Frank J., King A., Raine D. Accretion Power in Astrophysics. Cambridge: Cambridge University Press,
1997. 294 p.
30. Guilbert P. W. Numerical solution of time dependent Compton scattering problems by means of an integral
equation // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1981. Vol. 197. P. 451{460.
31. Ghisellini G. Pair production in steady synchrotron self-Compton models // Mon. Not. Roy. Astron. Soc.
1989. Vol. 238. P. 449{479.
32. Ghisellini G., Haardt F., Svensson R. Thermalization by synchrotron absorption in compact sources:
electron and photon distributions // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1998. Vol. 297. P. 348{354.
33. Hanawa T. Monte Carlo simulation of Comptonization in plasma accreting onto neutron stars //
Astrophys. J. 1991. Vol. 366. P. 495{500.
34. Illarionov A., Kallman T., McCray R., Ross R. Comptonization of X-rays by low-temperatute electrons
// Astrophys. J. 1979. Vol. 228. P. 279{292.
35. Lightman A., Rybicki G. B. Inverse Compton re ection: the steady-state theory // Astrophys. J. 1980.
Vol. 236. P. 928{944.
36. Madej J., Ro _
zanska A. X-ray irradiated model stellar atmospheres. II. Comprehensive treatment of
Compton scattering // Astron. Astrophys. 2000. Vol. 363. P. 1055{1064.
37. Madejski G. M. Black holes in active galactic nuclei: observation // Theory of Black Holes Accretion Discs
/ Eds. M. A. Abramowicz, G. B. Bjornsson, J. E. Pringle. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
P. 22{40.
38. Marscher A. P., Gear W. K. Models for high-frequency radio outbursts in extragalactic sources, with
application to the early 1983 millimetre-to-infrared are of 3C 273 // Astrophys. J. 1985. Vol. 298.
P. 114{127.
39. Molnar S. M., Birkinshaw M. Inverse Compton scattering in mildly relativistic plasma // Astrophys. J.
1999. Vol. 523 P. 78{86.
40. Moskalenko I. V., Strong A. W. Anisotropic inverse Compton scattering in the Galaxy // Astrophys. J.
2000. Vol. 528. P. 357{367.
41. Nagirner D. I., Poutanen J. Single Compton scattering // Astrophys. Space Phys. Rev. 1994. Vol. 9.
P. 1{80.
42. Peterson B. M. An Introduction to Active Galactic Nuclei. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
238 p.
29

43. Poutanen J. Accretion disc-corona models and X/ -ray spectra of accreting black holes // Theory of Black
Holes Accretion Discs / Eds. M. A. Abramowicz, G. B. Bjornsson, J. E. Pringle. Cambridge: Cambridge
University Press, 1999. P. 100{122.
44. Poutanen J., Nagendra K. N., Swensson R. Green's matrix for Compton re ection of polarized radiation
from cold matter // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1996. Vol. 283. P. 892{904.
45. Poutanen J., Svensson R. The two-phase pair corona model for active galactic nuclei and X-ray binaries:
how to obtain exact solutions // Astrophys. J. 1996. Vol. 470. P. 249{268.
46. Puy D., Grenacher L., Jetzer Ph., Signore M. Asphericity of galactic clusters and Sunyaev|Zel'dovich
eect // Astron. Astrophys. 2000. Vol. 363. 415{424.
47. Rephaeli Y. Comptonization of the cosmic microwave background: the Sunyaev|Zeldovich eect // Ann.
Rev. Astron. Astrophys. 1995. Vol. 33. P. 541{579.
48. Sunyaev R. A., Titarchuk L. G. Comptonization of X-rays in plasma clouds, typical radiation spectra //
Astron. Astrophys. 1980. Vol. 86. P. 121{138.
49. Sunyaev R. A., Titarchuk L. G. Comptonization of low-frequency radiation in accretion disks: angular
distribution and polarization of hard radiation // Astron. Astrophys. 1985. Vol. 143. P. 374{388.
50. Svensson R. Thermalization mechanisms in compact sources // High Energy Processes in Accreting Black
Holes / Eds. J. Poutanen and R. Svensson. Astronomical Society of the Pacic. Conference Series. 1999.
Vol. 161. P. 361{374.
51. Weymann R. The energy spectrum of radiation in the expanding universe // Astrophys. J. 1966. Vol. 145.
P. 560{571.
52. Xue Y.-J., Wu X.-P. Reconstruction of radial temperature prole of galaxy clusters // Astron. Astrophys.
2000. Vol. 360. L43{L46.
53. Zel'dovich Ya. B., Sunyaev R. A. The interaction of matter and radiation in a hot-model universe //
Astrophys. Space Sci. 1969. Vol. 4. P. 301{316. (zELXDOWI^ q. b., s@NQEW r. a. wZAIMODEJSTWIE WE]ESTWA
I IZLU^ENIQ W GORQ^EJ MODELI wSELENNOJ // Astrophys. Space Sci. 1969. Vol. 4. P. 285{300.)
30

sODERVANIE
x 1. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE: OTKRYTIE I OPISANIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. nEMNOGO ISTORII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
2. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE I IZMENENIE \NERGII FOTONA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. |FFEKTIWNOSTX KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. sE^ENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. uPRO]ENNOE SE^ENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
x 2. kINETI^ESKOE URAWNENIE DLQ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ
I EGO ^ASTNYE SLU^AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. rELQTIWISTSKIE OBOZNA^ENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
2. rELQTIWISTSKOE KINETI^ESKOE URAWNENIE
KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. pLOSKAQ ATMOSFERA TEPLOWYH \LEKTRONOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. oDNORODNOE BESKONE^NOE PROSTRANSTWO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
x 3. nERELQTIWISTSKIJ PREDEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1. pO^TI NERELQTIWISTSKIE \LEKTRONY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
2. rAZLOVENIE PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
3. uSREDNENIE PO RASPREDELENI@ mAKSWELLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. bESKONE^NOE ODNORODNOE PROSTRANSTWO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5. kOMPTONIZACIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
x 4. rE[ENIQ KINETI^ESKIH URAWNENIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1. uRAWNENIE kOMPANEJCA I EGO SWOJSTWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
2. lINEJNOE URAWNENIE I FUNKCIQ gRINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
3. dIFFUZIONNOE RE[ENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. rE[ENIE STACIONARNOGO LINEJNOGO URAWNENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. rE[ENIE NEDIFFUZIONNOGO URAWNENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6. ~ISLENNYE METODY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7. |WOL@CIQ ODNORODNOGO POLQ IZLU^ENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
x 5. aSTROFIZI^ESKIE OB_EKTY S BOLX[OJ ROLX@
KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1. dVETY IZ AKTIWNYH QDER GALAKTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
2. nEJTRONNYE ZWEZDY I ^ERNYE DYRY W DWOJNYH SISTEMAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. rENTGENOWSKIE ISTO^NIKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
4. gORQ^IE KORONY AKKRECIONNYH DISKOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
5. rELIKTOWOE IZLU^ENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. gORQ^IJ GAZ W SKOPLENIQH GALAKTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
7. dRUGIE OB_EKTY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {
lITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

u ^ E B N O E I Z D A N I E
dMITRIJ iSIDOROWI^ nAGIRNER
komptonowskoe rasseqnie
w astrofizi~eskih obektah
u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE
lICENZIQ lr N ф
040050 OT 15.08.96.
pODPISANO W PE^ATX S ORIGINALA-MAKETA 28.08.2001.
fORMAT 6084 1/16. pE^ATX OFSETNAQ.
uSL. PE^. L. 3,25. u^. IZD. L. 3,43. tIRAV 50 \KZ. zAKAZ N ф
512
ropi iZDATELXSTWA sANKT-pETERBURGSKOGO UNIWERSITETA.
199034, sANKT-pETERBURG, uNIWERSITETSKAQ NAB., 7/9.
cop TIPOGRAFII iZDATELXSTWA spBgu.
199034, sANKT-pETERBURG, NAB. mAKAROWA, 6.