Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lnfm1.sai.msu.ru/~rastor/Study/Nagirner-comptsc.ps Дата изменения: Mon Feb 2 16:41:01 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:02:23 2012 Кодировка:

sANKT-pETERBURGSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
d. i. nAGIRNER
kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE
W ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTAH
u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE
DLQ STUDENTOW ASTRONOMI^ESKOGO OTDELENIQ
sANKT-pETERBURG
2001

udk 52{64
bbk 22.632
n16
pE^ATAETSQ PO POSTANOWLENI@
rEDAKCIONNO-IZDATELXSKOGO SOWETA
s.-pETERBURGSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA
nAGIRNER d. i.
n16
kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE W ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTAH:
u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE. spB.: iZD-WO s.-pETERB. UN-TA, 2001. | 32 (55) S.
w POSOBII DAETSQ PREDSTAWLENIE O KOMPTONOWSKOM RASSEQNII I EGO ZNA^ENII W FORMIROWANII SPEKTROW
ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTOW.
rASSKAZYWAETSQ OB OTKRYTII \FFEKTA kOMPTONA I STANOWLENII KWANTOWOJ TEORII, NEOBHODIMOJ DLQ EGO
OPISANIQ. pRIWODQTSQ HARAKTERISTIKI PROCESSA: IZMENENIE ^ASTOTY RASSEIWAEMOGO FOTONA I \FFEKTIWNOE
SE^ENIE. pOLU^ENO RELQTIWISTSKOE KINETI^ESKOE URAWNENIE, OPISYWA@]EE PROSTRANSTWENNU@ I ^ASTNU@ \WO-
L@CI@ IZLU^ENIQ PRI MNOGOKRATNOM RASSEQNII, A TAKVE PREDELXNAQ FORMA URAWNENIQ, SPRAWEDLIWAQ DLQ
NERELQTIWISTSKIH \LEKTRONOW. rASSMOTRENY SLU^AI PLOSKOJ I BESKONE^NOJ ODNORODNOJ SRED. wYWODQTSQ IZ-
WESTNYE RE[ENIQ URAWNENIQ kOMPANEJCA, KOTORYE ILL@STRIRU@TSQ RISUNKAMI. nA RISUNKAH OTOBRAVENY
TAKVE NEKOTORYE ^ISLENNYE RE[ENIQ \TOGO URAWNENIQ. pERE^ISLQ@TSQ MODELI SWE^ENIQ OB_EKTOW, W KOTORYH
KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE IGRAET OPREDELQ@]U@ ROLX.
pOSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW I ASPIRANTOW, SPECIALIZIRU@]IHSQ PO ASTROFIZIKE.
bbk 22.632
c
d. i. nAGIRNER, 2001
c
iZDATELXSTWO
s.-pETERBURGSKOGO
UNIWERSITETA, 2001

rASSEQNIE IZLU^ENIQ \LEKTRONAMI, NAZYWAEMOE KOMPTONOWSKIM, IGRAET WAVNU@ ROLX W FORMIROWANII
SPEKTROW RQDA OB_EKTOW W mETAGALAKTIKE, IZU^AEMYH ASTROFIZIKAMI. zDESX DAETSQ PONQTIE OB \TOM WIDE
RASSEQNIQ.
x 1. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE: OTKRYTIE I OPISANIE
1. nEMNOGO ISTORII. w 1923 GODU Artur Holly Compton (1892{1962) OPUBLIKOWAL STATX@ OB OTKRYTII
\FFEKTA, WPOSLEDSTWII POLU^IW[EGO EGO IMQ. |FFEKT ZAKL@^ALSQ W TOM, ^TO PRI RASSEQNII IZLU^ENIQ
W LINII MOLIBDENA (DLINA WOLNY 0:71 A ф
) NA MI[ENI | PARAFINE | ^ASTOTA, A SLEDOWATELXNO I \NERGIQ
FOTONOW, UMENX[ALASX (DLINA WOLNY UWELI^IWALASX). kOMPTON DAL PRAWILXNU@ INTERPRETACI@ \FFEKTA
NA OSNOWE ZAKONOW SOHRANENIQ \NERGII I IMPULXSA. s TEH POR WELI^INA
C = h
mc = 0:024 A
ф
;  { C = h
mc = C
2 ; (1)
NAZYWAETSQ KOMPTONOWSKOJ DLINOJ WOLNY. zA SWOE OTKRYTIE kOMPTON W 1927 GODU POLU^IL nOBELEWSKU@
PREMI@ PO FIZIKE WMESTE S Charles Thomson Ries Wilson (1869{1959) | IZOBRETATELEM KAMERY wILXSONA.
w \TI GODY SOZDAWALASX KWANTOWAQ TEORIQ. w 1926{1927 GODAH BYL RAZRABOTAN METOD WTORI^NOGO KWANTO-
WANIQ, A W 1928 GODU Paul Adrian Morice Dirac (1902{1984) WYWEL URAWNENIE dIRAKA, OPISYWA@]EE ^ASTICY
SO SPINOM 1/2, W ^ASTNOSTI \LEKTRONY, I PREDSKAZAW[EE SU]ESTWOWANIE POZITRONOW.
dELO W TOM, ^TO URAWNENIE dIRAKA IMELO NE DWA, A ^ETYRE NEZAWISIMYH RE[ENIQ DLQ ^ASTICY S ODNOJ
WELI^INOJ \NERGII. dWA IZ NIH SOOTWETSTWOWALI DWUM PROEKCIQM SPINA \LEKTRONA, A DWA DRUGIH OPISYWALI
^ASTICY S OTRICATELXNOJ POLNOJ \NERGIEJ. |NERGIQ WKL@^ALA \NERGI@ POKOQ, TAK ^TO EE OTRICATELXNOSTX
OZNA^ALA, ^TO ^ASTICY IME@T OTRICATELXNU@ MASSU. ~ASTICA S OTRICATELXNOJ MASSOJ POKOQ | O^ENX SWOE-
OBRAZNOE QWLENIE. kOGDA NA NEE DEJSTWUET SILA, TAKAQ ^ASTICA POLU^AET USKORENIE W PROTIWOPOLOVNOM
NAPRAWLENII. e]E BOLEE STRANNO POWEDENIE PARY ^ASTIC, ODNA IZ KOTORYH IMEET POLOVITELXNU@, A DRU-
GAQ | RAWNU@ PO WELI^INE OTRICATELXNU@ MASSY. oNI PO ZAKONU nX@TONA PRITQGIWA@T DRUG DRUGA S
ODINAKOWOJ SILOJ, ODNAKO ESLI OBY^NAQ ^ASTICA USKORQETSQ W STORONU PRITQGIWA@]EJ EE KOMPANXONKI,
TO ^ASTICA S OTRICATELXNOJ MASSOJ | W TU VE STORONU. tAKIM OBRAZOM PARA BUDET USKORQTXSQ W STORONU
^ASTICY S OTRICATELXNOJ MASSOJ. qSNO, ^TO TAKIH ^ASTIC BYTX NE MOVET.
dIRAK PRIDUMAL SPOSOB USTRANENIQ \TOJ TRUDNOSTI, NAZWANNYJ TEORIEJ DYROK. oN PREDPOLOVIL, ^TO
WSE SOSTOQNIQ S OTRICATELXNOJ \NERGIEJ ZANQTY, NO NE NABL@DAEMY. tOGDA PEREHOD W \TI SOSTOQNIQ NEWOZ-
MOVEN PO PRINCIPU ZAPRETA pAULI DLQ FERMIONOW: DWA FERMIONA, W ^ASTNOSTI DWA \LEKTRONA, NE MOGUT
NAHODITXSQ W ODNOM SOSTOQNII. mEVDU POLNOSTX@ ZAPOLNENNYMI SOSTOQNIQMI S OTRICATELXNYMI \NERGI-
QMI I SOSTOQNIQMI S POLOVITELXNYMI \NERGIQMI IMEETSQ \NERGETI^ESKIJ ZAZOR [IRINOJ W 2mc 2 .
oDNAKO, NI^TO NE WOSPRE]AET ^ASTICE S OTRICATELXNOJ \NERGIEJ POLU^ITX PRIBAWKU \NERGII BOLX[E
2mc 2 I PEREJTI W SOSTOQNIE S POLOVITELXNOJ \NERGIEJ. tOGDA W MORE SOSTOQNIJ S OTRICATELXNYMI \NERGI-
QMI OBRAZUETSQ DYRKA. oTSUTSTWIE \LEKTRONA S OTRICATELXNOJ \NERGIEJ PROQWLQETSQ KAK ^ASTICA S PROTI-
WOPOLOVNYMI SWOJSTWAMI: U NEE \NERGIQ POLOVITELXNA, NO I ZARQD TOVE POLOVITELEN. tAKIE ^ASTICY NE
BYLI TOGDA IZWESTNY. dIRAK PREDPOLAGAL, ^TO \TO MOGUT BYTX PROTONY, ODNAKO MASSA PROTONA NE RAWNA
MASSE \LEKTRONA, TAK ^TO, KAK DOKAZAL Hermann Weil (1885{1955), PREDPOLOVENIE O PROTONE OKAZALOSX
NESOSTOQTELXNYM. pREDSKAZANIE SU]ESTWOWANIQ UKAZANNOJ ^ASTICY, NAZWANNOJ POZITRONOM, OPRAWDALOSX
\KSPERIMENTALXNO.
pOZITRONY BYLI OTKRYTY W 1932 GODU Carl David Anderson (1905{1991) W KOSMI^ESKIH LU^AH. |TO OT-
KRYTIE WESXMA POU^ITELXNO [4]. dELO W TOM, ^TO POZITRONY WIDELI I DO OPYTOW aNDERSONA. nEKOTORYE
FIZIKI-\KSPERIMENTATORY ZAME^ALI, ^TO W KAMERE wILXSONA S MAGNITNYM POLEM INOGDA ^ASTICA IZ RA-
DIOAKTIWNOGO OBRAZCA PRI BETA-RASPADE LETELA PO PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLENNOJ SPIRALI (PO SRAWNENI@
S TRAEKTORIQMI WSEH DRUGIH ^ASTIC | \LEKTRONOW). eSLI S^ITATX, ^TO TAKIE NEPRAWILXNYE ^ASTICY |
TOVE \LEKTRONY, TO NADO PRIZNATX, ^TO ONI LETQT NE IZ ISTO^NIKA, A W ISTO^NIK. nA \TI SOBYTIQ PROSTO
NE OBRA]ALI WNIMANIQ, S^ITAQ IH SLU^AJNYMI. pERWYM SKAZAL dIRAKU O PREDPOLAGAEMOM SU]ESTWOWA-
NII NOWOJ ^ASTICY Patrik Meinard Steward Blackett (1897{1974). oN OTMETIL, ^TO NEPRAWILXNYE SOBYTIQ
PROISHODQT SLI[KOM ^ASTO, ^TOBY IH S^ITATX SLU^AJNYMI. oDNAKO bL\KETT NE HOTEL PUBLIKOWATX SWOI
REZULXTATY BEZ T]ATELXNOJ PROWERKI. pOKA ON PEREPROWERQL OPYTY, EGO OPEREDIL aNDERSON.
zASLUGA aNDERSONA SOSTOIT W PRQMOM DOKAZATELXSTWE TOGO, ^TO STRANNO WEDU]IE SEBQ ^ASTICY NE \LEK-
TRONY, A ^ASTICY S MASSOJ \LEKTRONA I PROTIWOPOLOVNYM ZARQDOM. nA PUTI ^ASTIC ON POSTAWIL SWINCO-
WU@ PLASTINKU. pOSLE PROHOVDENII PLASTINKI \LEKTRONY TORMOZILISX I RADIUS IH KRUGOWOJ TRAEKTORII
UMENX[ALSQ. tO^NO TAK VE WELI SEBQ I ^ASTICY, DWIVU]IESQ QKOBY W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU. eSLI
3

BY \TO BYLI OBRATNYE \LEKTRONY, TO NADO BYLO BY S^ITATX, ^TO PRI PROHOVDENII ^EREZ PLASTINKU \TI
^ASTICY PRIOBRETA@T DOPOLNITELXNU@ \NERGI@, ^TO NEWOZMOVNO. zADNIM ^ISLOM OBNARUVILOSX, ^TO NA
STARYH FOTOGRAFIQH, DAVE OPUBLIKOWANNYH, MOVNO BYLO WIDETX SLEDY POZITRONOW. zA OTKRYTIE POZI-
TRONA aNDERSON POLU^IL nOBELEWSKU@ PREMI@ W 1936 GODU. zAMETIM POPUTNO, ^TO bL\KETT TAKVE POLU-
^IL nOBELEWSKU@ PREMI@, NO W 1948 GODU, ZA OSNA]ENIE KAMERY wILXSONA UPRAWLQ@]IMI S^ET^IKAMI,
^TO POZWOLILO SDELATX RQD OTKRYTIJ.
pOMIMO ZAKONOW SOHRANENIQ, KAK IZWESTNO, RASSEQNIE OPISYWAETSQ SE^ENIEM. fORMULU DLQ SE^ENIQ KOM-
PTONOWSKOGO RASSEQNIQ WYWELI PO^TI ODNOWREMENNO [WED Oskar Klein (1894{1977) I QPONEC Uoshio Nishina
(1990{1951) W 1929 GODU, A TAKVE NEZAWISIMO OT NIH SOWETSKIJ FIZIK iGORX eWGENXEWI^ tAMM (1895{1971)
W 1930 GODU. |TA FORMULA NAZYWAETSQ FORMULOJ kLEJNA|nI[INY, INOGDA kLEJNA|nI[INY|tAMMA.
wYWOD PODOBNYH FORMUL W TO WREMQ BYL SOPRQVEN S O^ENX GROMOZDKIMI WYKLADKAMI I ZANIMAL MNOGO
WREMENI. w 1949 GODU Richard Feynman (1918{1988) PRIDUMAL DIAGRAMMY fEJNMANA, KOTORYE NE TOLXKO
DAWALI SHEMU PROCESSOW KWANTOWOJ \LEKTRODINAMIKI, NO I POZWOLQLI O^ENX PROSTO WYPISYWATX I WY^IS-
LQTX MATRI^NYE \LEMENTY, ^EREZ KOTORYE WYRAVA@TSQ SE^ENIQ I WEROQTNOSTI PROCESSOW. tOLXKO POSLE
\TOGO W 1949 GODU OKAZALOSX WOZMOVNYM WYWESTI WYRAVENIQ DLQ MATRICY SE^ENIJ RASSEQNIQ \LEKTRONAMI
POLQRIZOWANNOGO IZLU^ENIQ (U. Fano). kWANTOWAQ \LEKTRODINAMIKA USTRANILA TAKVE NEOBHODIMOSTX WWE-
DENIQ MORQ ZANQTYH SOSTOQNIJ S OTRICATELXNYMI \NERGIQMI I LIKWIDIROWALA TEM SAMYM NESIMMETRI@
OPISANIQ \LEKTRONOW I POZITRONOW.
2. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE I IZMENENIE \NERGII FOTONA. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE | \TO
AKT WZAIMODEJSTWIQ \LEKTRONA I FOTONA, W REZULXTATE KOTOROGO \TI ^ASTICY IZMENQ@T SWOI IMPULXSY,
\NERGII I SOSTOQNIQ POLQRIZACII. pO\TOMU ^ASTO GOWORQT, ^TO ^ASTICY POSLE RASSEQNIQ | NE TE, ^TO BYLI
PERED RASSEQNIEM. pODROBNOE OPISANIE FIZIKI \TOGO PROCESSA I EGO ISPOLXZOWANIQ PRI INTERPRETACII
NABL@DENIJ ASTROFIZI^ESKIH OB_EKTOW SODERVITSQ W OBZORAH [6, 22, 23].
pUSTX WZAIMODEJSTWU@T FOTON S IMPULXSOM k I \LEKTRON S IMPULXSOM p. pOSLE RASSEQNIQ IH IMPULXSY
IZMENQ@TSQ I STANOWQTSQ RAWNYMI SOOTWETSTWENNO k 1 I p 1 . |NERGII \TIH ^ASTIC ck; cp 0 ; ck 1 ; cp 0 1 . dLQ
IMPULXSOW \LEKTRONA SPRAWEDLIWY OBY^NYE RELQTIWISTSKIE SOOTNO[ENIQ [15]
p 0 =
p
m 2 c 2 + p 2 ; p 0 1 =
q
m 2 c 2 + p 2
1 : (2)
kOMPTONOWSKOMU RASSEQNI@ OTWE^A@T DWE DIAGRAMMY fEJNMANA [1], PREDSTAWLENNYE NA RIS. 1. |LEK-
TRON IZOBRAVAETSQ SPLO[NOJ LINIEJ, A FOTON WOLNISTOJ. wREMQ TE^ET SNIZU WWERH. wZAIMODEJSTWIE PRO-
ISHODIT W TO^KAH, GDE WSTRE^A@TSQ \LEKTRONNYE I FOTONNYE LINII.
p1 k1 p1 k1
k p k p
rIS. 1. dIAGRAMMY KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ.
oTMETIM, ^TO SWOBODNYJ \LEKTRON NE MOVET POGLOTITX ILI IZLU^ITX FOTON, TAK KAK PRI TAKIH PROCES-
SAH NEWOZMOVNO SOHRANENIE IMPULXSA I \NERGII. dEJSTWITELXNO, NAPRIMER, PRI POGLO]ENII \LEKTRONOM
S IMPULXSOM p FOTONA S IMPULXSOM k DOLVNY BYLI BY WYPOLNQTXSQ ZAKONY SOHRANENIQ
p + k = p 1 ; p 0 + k = p 0 1 : (3)
iSKL@^ENIE IZ DWUH RAWENSTW IMPULXSA p 1 PRIWODIT K SOOTNO[ENIQM, QWLQ@]IMSQ IH SLEDSTWIQMI:
p
m 2 c 2 + (p + k) 2 = p 0 + k; pk = p 0 k: (4)
nO POSLEDNEE SOOTNO[ENIE NEWOZMOVNO, TAK KAK EGO LEWAQ ^ASTX | SKALQRNOE PROIZWEDENIE TREHMERNYH
WEKTOROW | WSEGDA NE PREWOSHODIT pk, W TO WREMQ KAK PRAWAQ | WSEGDA BOLX[E pk.
4

kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE \LEKTRONOM FOTONA (ILI NAOBOROT) | \TO PROCESS WTOROGO PORQDKA: WZAIMO-
DEJSTWIE PROISHODIT DWAVDY [1]. dIAGRAMMY OTLI^A@TSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ IZLU^ENIQ I POGLO]ENIQ
FOTONOW \LEKTRONOM. mEVDU WZAIMODEJSTWIQMI LINII IZOBRAVA@T WIRTUALXNYE \LEKTRONY S NEOBY^NYMI
SWOJSTWAMI: U NIH NE WYPOLNQ@TSQ SOOTNO[ENIQ WIDA (2). oDNAKO NI^EGO STRA[NOGO W \TOM NET, TAK KAK
IME@T ZNA^ENIE SOSTOQNIQ ^ASTIC TOLXKO DO NA^ALA I POSLE KONCA POLNOGO PROCESSA WZAIMODEJSTWIQ.
nEZAWISIMO OT WIDA DIAGRAMMY PRI RASSEQNII WYPOLNQ@TSQ ^ETYRE ZAKONA SOHRANENIQ
p 0 + k = p 0 1 + k 1 ; p + k = p 1 + k 1 : (5)
wYRAZIM WEKTOR IMPULXSA \LEKTRONA POSLE RASSEQNIQ ^EREZ OSTALXNYE I PODSTAWIM W RAWENSTWO, WYRAVA-
@]EE ZAKON SOHRANENIQ \NERGII:
p 0 + k k 1 =
p
m 2 c 2 + (p + k k 1 ) 2 : (6)
wOZWODQ W KWADRAT I SOKRA]AQ, POLU^AEM
kp 0 kp = k 1 p 0 k 1 p + kk 1 kk 1 : (7)
oBOZNA^IM KOSINUSY UGLOW MEVDU PARAMI WEKTOROW k I k 1 , k I p, k 1 I p SOOTWETSTWENNO ^EREZ ,  I
 1 . tOGDA SOOTNO[ENIE (7) PEREPI[ETSQ W WIDE
k(p 0 p) = k 1 [p 0 p 1 + k(1 )]: (8)
iZ NEGO NAHODITSQ WELI^INA IMPULXSA FOTONA POSLE RASSEQNIQ
k 1 = k p 0 p
p 0 p 1 + k(1 )
: (9)
rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA DO RASSEQNIQ \LEKTRON POKOITSQ, T. E. p = 0. tOGDA p 0 = mc I
k 0
1 = k 0 mc
mc + k 0 (1  0 ) : (10)
wSPOMNIW, ^TO IMPULXS FOTONA k = h
c
= h

, PEREPI[EM FORMULU (10) ^EREZ DLINY WOLN
 0
1 =  0 + C (1  0 ) (11)
ILI ^EREZ WELI^INY, DELENNYE NA 2:
 { 0
1 =  { 0 +  { C (1  0 ): (12)
pRI RASSEQNII FOTONA NA POKOQ]EMSQ \LEKTRONE ^ASTOTA FOTONA WSEGDA UMENX[AETSQ , I W \TOM ZAKL@-
^AETSQ \FFEKT kOMPTONA. pRI  0 = 1, T. E. PRI RASSEQNII WPERED, RASSEQNNYJ FOTON PROLETAET, KAK BUDTO
NE ISPYTAL WZAIMODEJSTWIQ, A \LEKTRON OSTAETSQ NEPODWIVNYM. rASSEQNIE POD PRQMYM UGLOM ( 0 = 0)
DAET UWELI^ENIE DLINY WOLNY ROWNO NA C . mAKSIMALXNOE UWELI^ENIE  NA DWE KOMPTONOWSKIE DLINY
WOLNY DOSTIGAETSQ, KOGDA FOTON IZMENQET SWOE NAPRAWLENIE NA PROTIWOPOLOVNOE. pOTERQ \NERGII FOTO-
NOM, NAZYWAEMAQ \FFEKTOM OTDA^I, PROISHODIT WSLEDSTWIE PEREDA^I IM ^ASTI SWOEGO IMPULXSA, A ZNA^IT
I \NERGII, PERWONA^ALXNO POKOQ]EMUSQ \LEKTRONU, KOTORYJ PRIHODIT W DWIVENIE.
nAPOMNIM, ^TO kOMPTON NABL@DAL RASSEQNIE RENTGENOWSKOGO IZLU^ENIQ NA MOLEKULAH UGLEWODORODA, W
KOTORYH \LEKTRONY SRAWNITELXNO SLABO SWQZANY S QDRAMI I MOGUT S^ITATXSQ SWOBODNYMI I NEPODWIV-
NYMI: \NERGII IONIZACII MALY PO SRAWNENI@ S \NERGIEJ RENTGENOWSKOGO FOTONA, A DWIVENIQ MOLEKUL W
TWERDOM TELE NEZNA^ITELXNY.
eSLI \LEKTRON NE STOQL NA MESTE, TO PRI RAZLI^NOM SOOTNO[ENII NAPRAWLENIJ I WELI^IN IMPULXSOW
REAGIRU@]IH ^ASTIC FOTON MOVET KAK UWELI^IWATX, TAK I UMENX[ATX SWO@ \NERGI@, NO \TO UVE NE \F-
FEKT kOMPTONA W ^ISTOM WIDE, A SKOREE SLEDSTWIE \FFEKTA dOPLERA. dEJSTWITELXNO, MY DOLVNY PEREJTI
W SISTEMU OTS^ETA, SWQZANNU@ S \LEKTRONOM DO RASSEQNIQ, KOTORU@ MY BUDEM NAZYWATX LABORATORNOJ. tAM
FOTON UMENX[IT SWO@ \NERGI@, A ZATEM NAM NADO WERNUTXSQ W ISHODNU@ SISTEMU OTS^ETA. w REZULXTATE
TAKIH PEREHODOW FOTON MENQET SWO@ \NERGI@ WSLEDSTWIE \FFEKTA dOPLERA. oDNAKO W ASTROFIZI^ESKOJ LITE-
RATURE UWELI^ENIE \NERGII FOTONOW PRI KOMPTONOWSKOM RASSEQNII IH \NERGI^NYMI \LEKTRONAMI PRINQTO
NAZYWATX OBRATNYM \FFEKTOM kOMPTONA.
5

kOMPTONOWSKAQ DLINA WOLNY O^ENX MALA | EJ SOOTWETSTWUET \NERGIQ, RAWNAQ \NERGII POKOQ \LEKTRONA
511 K\w. pO\TOMU UWELI^ENIE DLINY WOLNY FOTONA PRI RASSEQNII NA NERELQTIWISTSKOM \LEKTRONE ZAMETNO,
TOLXKO ESLI DLINA WOLNY RASSEIWAEMOGO FOTONA NE O^ENX SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ OT KOMPTONOWSKOJ. gO-
RQ^IE \LEKTRONY MOGUT PEREDATX ZNA^ITELXNU@ DOL@ SWOEJ \NERGII FOTONU I WYZYWATX GORAZDO BOLX[IE
SME]ENIQ DLINY WOLNY, KOTORYE DOSTUPNY IZMERENIQM DAVE W RADIODIAPAZONE. rELQTIWISTSKIE VE \LEK-
TRONY SRAZU PEREWODQT IZLU^ENIE IZ RADIO W OPTI^ESKIJ DIAPAZON, IZ OPTI^ESKOGO | W RENTGENOWSKIJ, IZ
ULXTRAFIOLETOWOGO | W OBLASTX GAMMA-IZLU^ENIQ.
3. |FFEKTIWNOSTX KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ. kOMPTONOWSKOE RASSEQNIE OBY^NO SRAWNIWA@T S
TAK NAZYWAEMYM TORMOZNYM IZLU^ENIEM, ILI SWOBODNO-SWOBODNYMI PEREHODAMI, T. E. IZLU^ENIEM \LEK-
TRONA, PROLETA@]EGO WBLIZI IONA I TORMOZQ]EGOSQ IM.
kO\FFICIENT TORMOZNOGO IZLU^ENIQ, ILI, INA^E, IZLU^ATELXNAQ SPOSOBNOSTX WE]ESTWA, | KOLI^ESTWO
\NERGII, IZLU^AEMOJ EDINICEJ OB_EMA ZA EDINICU WREMENI W EDINI^NOM TELESNOM UGLE PRI WZAIMODEJSTWII
\LEKTRONOW, IMPULXSY KOTORYH RASPREDELENY SOGLASNO FORMULE mAKSWELLA S TEMPERATUROJ T , S WODORO-
DOPODOBNYMI IONAMI S ZARQDOM QDRA Z, S TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ PORQDKA 1 DAETSQ FORMULOJ kRAMERSA
(SM., NAPRIMER, [24])
" cc () = n e n + 32 2
3
p
3
Z 2 e 6
c 3
kBT
(2mkBT ) 3=2 e h=kBT : (13)
zDESX n e I n + | KONCENTRACII \LEKTRONOW I IONOW, kB | POSTOQNNAQ bOLXCMANA,  | ^ASTOTA IZLU^ENIQ.
nAPI[EM URAWNENIE PERENOSA IZLU^ENIQ S U^ETOM TORMOZNYH PROCESSOW I KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ:
@I
@l
= ( cc + C )I + " cc (1 + n) + " C : (14)
zDESX  cc I C | KO\FFICIENTY OSLABLENIQ PRI TORMOZNOM POGLO]ENII I KOMPTONOWSKOM RASSEQNII SO-
OTWETSTWENNO, " C | KO\FFICIENT IZLU^ENIQ ZA S^ET KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ, I I n | INTENSIWNOSTX
I SREDNIE ^ISLA ZAPOLNENIQ FOTONNYH SOSTOQNIJ, I = (2h 3 =c 2 )n, l | GEOMETRI^ESKOE RASSTOQNIE WDOLX
LU^A. uRAWNENIE PERENOSA MOVNO ZAPISATX I DLQ SREDNIH ^ISEL ZAPOLNENIQ:
@n
@l
= ( cc + C )n + n cc (1 + n) + nC ; (15)
GDE
n cc = c 2
2h 3 " cc ; nC = c 2
2h 3 " C : (16)
pREDPOLOVIM, ^TO WE]ESTWO I IZLU^ENIE NAHODQTSQ W SOSTOQNII TERMODINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ
(tdr). tOGDA INTENSIWNOSTX IZLU^ENIQ NE ZAWISIT OT NAPRAWLENIQ I DAETSQ FORMULOJ pLANKA
I 0 = 2h 3
c 2 n 0 ; n 0 = 1
e h=kBT 1 : (17)
sLEDSTWIEM tdr QWLQETSQ USLOWIE DETALXNOGO BALANSA, KOTOROE WYPOLNQETSQ OTDELXNO DLQ TORMOZNOGO I
KOMPTONOWSKOGO PROCESSOW:
 cc n 0 = n cc (1 + n 0 ); Cn 0 = nC : (18)
iZ PERWOGO SOOTNO[ENIQ WYTEKAET ZAKON kIRHGOFA|pLANKA
 cc = n cc e h=kBT : (19)
nE UTO^NQQ ZDESX SLAGAEMOGO, OPISYWA@]EGO IZLU^ENIE ZA S^ET KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ, SOSTAWIM OT-
NO[ENIE KO\FFICIENTOW OSLABLENIQ. w KA^ESTWE SE^ENIQ RASSEQNIQ WOZXMEM TOMSONOWSKOE T = 8
3 r 2
e ; r e =
e 2
mc 2 . tOGDA BEZRAZMERNOE OTNO[ENIE
C
 cc
= n e T
n cc e h=kBT
=
n e
8
3

e 2
mc 2
 2
c 2
2h 3 n e n + 32 2
3
p
3
Z 2 e 6
c 3
kBT
(2mkBT ) 3=2
= v
c
p
3 2
n +  3
hc
Z 2 e 2 = 2:342
10 3 v
c
1
Z 2 (n +  3 ) ; (20)
6

GDE v =
r
8kBT
m
| SREDNQQ SKOROSTX \LEKTRONOW. dLQ WODORODNOGO GAZA NADO POLOVITX Z = 1 I n + = n e .
oTNO[ENIE (20) PREDSTAWLENO W WIDE PROIZWEDENIQ BEZRAZMERNYH MNOVITELEJ, W ^ASTNOSTI, PROIZWEDENIE
n +  3 ESTX ^ISLO IONOW W KUBIKE S DLINOJ REBRA, RAWNOJ DLINE WOLNY RASSEIWAEMOGO IZLU^ENIQ.
iZ POLU^ENNOJ FORMULY WIDNO, ^TO RASSEQNIE \LEKTRONAMI IGRAET BOLEE SU]ESTWENNU@ ROLX PO SRAW-
NENI@ S TORMOZNYM IZLU^ENIEM PRI NIZKIH KONCENTRACIQH \LEKTRONOW, WYSOKIH TEMPERATURAH GAZA I
MALYH DLINAH WOLN IZLU^ENIQ. kORO^E GOWORQ, TOMSONOWSKOE I KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE NEOBHODIMO PRI-
NIMATX WO WNIMANIE W GORQ^IH RAZREVENNYH SREDAH, PRI^EM KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE, T. E. RASSEQNIE S
IZMENENIEM ^ASTOTY IZLU^ENIQ, SU]ESTWENNO TOGDA, KOGDA SREDNIE \NERGII \LEKTRONOW I/ILI FOTONOW WE-
LIKI NASTOLXKO, ^TO SRAWNIMY S \NERGIEJ POKOQ \LEKTRONA. w TAKIH SREDAH \TO OSNOWNOJ MEHANIZM OBMENA
\NERGIEJ MEVDU WE]ESTWOM I IZLU^ENIEM.
sE^ENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ W OTLI^IE OT TOMSONOWSKOGO ZAWISIT OT ^ASTOTY RASSEIWAEMOGO
FOTONA, O ^EM GOWORITSQ W SLEDU@]EM PUNKTE.
4. sE^ENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ. |TO SE^ENIE RASS^ITYWAETSQ, KAK UVE GOWORILOSX, METODAMI
KWANTOWOJ \LEKTRODINAMIKI [1], KOTORAQ QWLQETSQ RELQTIWISTSKOJ TEORIEJ. pO\TOMU DLQ ZAPISI RELQTI-
WISTSKOGO SE^ENIQ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ WWEDEM RELQTIWISTSKIE OBOZNA^ENIQ DLQ NEKOTORYH WELI^IN.
iMPULXS \LEKTRONA ZADADIM ^ETYREHMERNYM WEKTOROM p = fp 0 ; pg, GDE ISPOLXZOWANY UVE PRIMENQW-
[IESQ OBOZNA^ENIQ. aNALOGI^NO IMPULXS FOTONA k = fk; kg. ~ETYREHMERNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE
pk = p 0 k pk. dLQ DRUGIH WEKTOROW ONO OPREDELQETSQ TO^NO TAK VE, SO ZNAKOM MINUS PERED TREHMER-
NYM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM. w ^ASTNOSTI, p 2 = p 2
0 p 2 = m 2 c 2 , k 2 = k 2 k 2 = 0: IMPULXS \LEKTRONA
| WREMENIPODOBNYJ WEKTOR, A IMPULXS FOTONA | NULEWOJ.
sU]ESTWENNOJ ^ASTX@ SE^ENIQ kLEJNA|nI[INY|tAMMA QWLQETSQ BEZRAZMERNYJ LORENCEWSKIJ IN-
WARIANT F (;  1 ) =  2
0 1 +B; B = 
 1
+  1
 : (21)
zDESX  = pk=m 2 c 2 = k 0 =mc;  1 = pk 1 =m 2 c 2 = k 0
1 =mc (22)
| BEZRAZMERNYE SKALQRNYE PROIZWEDENIQ IMPULXSOW \LEKTRONA I FOTONA, RAWNYE SOOTWETSTWENNO BEZRAZ-
MERNOMU VE IMPULXSU FOTONA DO I POSLE RASSEQNIQ W LABORATORNOJ SISTEME (GDE p = 0). wELI^INA  0 | \TO
UVE ISPOLXZOWAW[IJSQ KOSINUS UGLA RASSEQNIQ W TOJ VE LABORATORNOJ SISTEME OTS^ETA, KOTORAQ QWLQETSQ
SOBSTWENNOJ DLQ \LEKTRONA DO RASSEQNIQ. sOGLASNO (10) EGO MOVNO ZAPISATX W WIDE
 0 = 1 + 1

1
 1
: (23)
wELI^INA B WSEGDA BOLX[E 2, NO PRI NERELQTIWISTSKIH \LEKTRONAH I MQGKIH FOTONAH BLIZKA K 2.
nAPISAW SE^ENIE W WIDE
F (;  1 ) =  2
0 + 1 +B 2; (24)
UBEVDAEMSQ, ^TO ONO W LABORATORNOJ SISTEME PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU R\LEEWSKOJ INDIKATRISY (SLA-
GAEMOE  2
0 + 1) S NEBOLX[OJ DOBAWKOJ. |TA DOBAWKA ZAWISIT OT ^ASTOT FOTONA DO I POSLE RASSEQNIQ, NO
NE ZAWISIT OT IH NAPRAWLENIJ. tAKIM OBRAZOM, KOMPTONOWSKOE RASSEQNIE W LABORATORNOJ SISTEME | \TO
KOMBINACIQ R\LEEWSKOGO I IZOTROPNOGO RASSEQNIQ.
rAZWERNUTOE WYRAVENIE DLQ F IMEET WID
F (;  1 ) =

1

1
 1
 2
+ 2

1

1
 1

+ 
 1
+  1
 : (25)
pOLNOE SE^ENIE RASSEQNIQ PREDSTAWLQETSQ INTEGRALOM, KOTORYJ WY^ISLQETSQ:
 0 = r 2
e
2 2
Z
Fx 2
1 d 2 ! 1 = r 2
e
2 2
1
Z
1
F  2
1 d 0
2
Z
0
d 0 = r 2
e
2 2 2

Z
=(1+2)
Fd 1 = T s 0 (); (26)
GDE  0 | AZIMUT RASSEQNNOGO FOTONA W LABORATORNOJ SISTEME, A s 0 () | PROFILX POLNOGO SE^ENIQ:
s 0 () = 3
8 2

4 +

 2 2


ln(1 + 2) + 2 2 1 + 
(1 + 2) 2

; (27)
NORMIROWANNYJ USLOWIEM s 0 (0) = 1 .
7

5. uPRO]ENNOE SE^ENIE. eSLI PRENEBRE^X OTLI^IEM WELI^INY B OT 2 I PRINQTX, ^TO W LABORATORNOJ
SISTEME RASSEQNIE IZOTROPNO, ZAMENIW TO^NOE SE^ENIE (21) EGO SREDNIM ZNA^ENIEM F apr = F = 1+1=3 = 4=3,
^TO SOHRANQET NORMIROWKU NA POLNOE SE^ENIE WIDA (26), TO DIFFERENCIALXNOE SE^ENIE PREDSTAWITSQ TAKOJ
VE FORMULOJ (26), NO S GORAZDO BOLEE PROSTYM WYRAVENIEM DLQ PROFILQ s 0 ():
s apr
0 () = 1
1 + 2 : (28)
mNOGIE WELI^INY MOGUT BYTX OCENENY PRI ISPOLXZOWANII TAKOGO SE^ENIQ, PRI^EM ZATRATY USILIJ DLQ
\TOGO ZNA^ITELXNO MENX[E, ^EM PRI TO^NOM SE^ENII. nA RIS. 2 IZOBRAVENY GRAFIKI TO^NOGO I UPRO]ENNOGO
POLNYH SE^ENIJ.
s0(); s apr
0
()
0 5 10 15 20
0.2
0.0
0.8
0.6
0.4
1.0

rIS. 2. gRAFIKI TO^NOGO (WERHNIJ) I UPRO]ENNOGO
(NIVNIJ) POLNYH SE^ENIJ.
nA BOLX[IH ^ASTOTAH \TI FUNKCII SILXNO RAZNQTSQ, ODNAKO PRI  < 0:1 ONI O^ENX BLIZKI. zAMETIM
TUT, ^TO ZNA^ENIE BEZRAZMERNOJ ^ASTOTY , RAWNOE 0:1, SOOTWETSTWUET DLINE WOLNY 0:1 C = 0:24 A ф
, T. E.
OBLASTX BLIZOSTI RASSMATRIWAEMYH FUNKCIJ WKL@^AET WIDIMU@ ^ASTX SPEKTRA, ULXTRAFIOLET I RENTGEN.
mY GOWORILI OB ODNOKRATNOM WZAIMODEJSTWII \LEKTRONA I FOTONA. mNOGOKRATNOE RASSEQNIE, T. E. WZAI-
MODEJSTWIE \LEKTRONNOGO I FOTONNOGO GAZOW POSREDSTWOM KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ OPISYWAETSQ KINETI-
^ESKIM URAWNENIEM, KOTOROE MY SFORMULIRUEM NIVE.
x 2. kINETI^ESKOE URAWNENIE DLQ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ I EGO ^ASTNYE
SLU^AI
1. rELQTIWISTSKIE OBOZNA^ENIQ. uPOMQNUTOE URAWNENIE QWLQETSQ RELQTIWISTSKIM OBOB]ENIEM
URAWNENIQ bOLXCMANA. dLQ EGO NAPISANIQ PODBEREM RELQTIWISTSKIE ANALOGI WELI^IN, WHODQ]IH W URAW-
NENIE bOLXCMANA.
w UKAZANNOM URAWNENII, TO^NEE W INTEGRALE STOLKNOWENIJ, PROIZWODQTSQ INTEGRIROWANIQ PO IMPULXSAM
^ASTIC. oDNAKO TREHMERNYJ \LEMENT OB_EMA W PROSTRANSTWE IMPULXSOW d 3 p NE QWLQETSQ RELQTIWISTSKIM
INWARIANTOM. dLQ POLU^ENIQ EGO SKALQRNOGO OBOB]ENIQ OTKAVEMSQ WREMENNO OT SOOTNO[ENIQ (2) I BUDEM
S^ITATX NULEWU@ SOSTAWLQ@]U@ ^ETYREHMERNOGO IMPULXSA \LEKTRONA p 0 NEZAWISIMOJ WELI^INOJ. o^E-
WIDNO, ^TO PROIZWEDENIE ^ETYREH DIFFERENCIALOW d 4 p = dp 0 d 3 p | SKALQRNAQ WELI^INA. oT ISKUSTWENNO
WWEDENNOJ NEZAWISIMOJ KOORDINATY p 0 NADO IZBAWITXSQ, T. E. WZQTX PO NEJ INTEGRAL. dLQ U^ETA SOOTNO[E-
NIQ (2) WWEDEM MNOVITELEM INWARIANTNU@ DELXTA-FUNKCI@ ф p 2 m 2 c 2

:
Z
ф p 2 m 2 c 2

d 4 p = d 3 p
Z
dp 0 ф p 2
0 p 2 m 2 c 2

=
= d 3 p
Z
dp 0 ф

p 0
p
p 2 +m 2 c 2

p 0 +
p
p 2 +m 2 c 2

=
=d 3 p
Z
dp 0 ф

p 0
p
p 2 +m 2 c 2

2
p
p 2 +m 2 c 2

= d 3 p
2
p
p 2 +m 2 c 2
: (29)
8

pRI PROWEDENII WYKLADKI BYLO U^TENO, ^TO W NULX W ARGUMENTE DELXTA-FUNKCII OBRA]AETSQ TOLXKO MNO-
VITELX S RAZNOSTX@, A PRI PEREHODE K POSLEDNEMU WYRAVENI@ MNOVITELX S SUMMOJ BYL UPRO]EN (ZAMENEN
UDWOENNYM KORNEM) I WYNESEN IZ-POD ZNAKA \TOJ FUNKCII W ZNAMENATELX, TAK KAK ZAMENA PEREMENNOJ INTE-
GRIROWANIQ DAET TOT VE REZULXTAT. w DALXNEJ[EM W ZNAMENATELE WMESTO KORNQ DLQ KRATKOSTI BUDEM PISATX
p 0 , S^ITAQ SOOTNO[ENIE (2) WYPOLNENNYM. iTAK, RELQTIWISTSKIM INWARIANTOM QWLQETSQ OTNO[ENIE d 3 p
p 0
,
^TO MOVNO PROWERITX I NEPOSREDSTWENNO, PRIMENIW K NEMU PREOBRAZOWANIE lORENCA.
dEJSTWITELXNO, PUSTX [TRIHOWANNAQ SISTEMA OTS^ETA (W KOTOROJ KOORDINATY WEKTOROW OTME^ENY [TRI-
HAMI) DWIVETSQ PO OTNO[ENI@ K NE[TRIHOWANNOJ S BEZRAZMERNOJ (W EDINICAH SKOROSTI SWETA) SKOROSTX@
V. tOGDA KOORDINATY PROIZWOLXNOGO WEKTORA a = fa 0 ; ag K [TRIHOWANNOJ SISTEME PREOBRAZU@TSQ SOGLASNO
FORMULAM
a 0
0 = (a 0 Va); a 0 = a V a 0 +( 1)

a
V
V

V
V ; (30)
GDE = 1
p
1 V 2
. w ^ASTNOSTI,
dp 0 = dp V
pdp
p 0
+( 1)

dp V
V

V
V
: (31)
mATRICA PREOBRAZOWANIQ DIFFERENCIALOW IMPULXSOW
D(p 0 )
D(p) = 1
0
B B B B
@
V x
p x
p 0
V x
p y
p 0
V x
p z
p 0
V y
p x
p 0
V y
p y
p 0
V y
p z
p 0
V z
p x
p 0
V z
p y
p 0
V z
p z
p 0
1
C C C C
A
+( 1)
0
B B B B
@
V x V x
V 2
V x V y
V 2
V x V z
V 2
V y V x
V 2
V y V y
V 2
V y V z
V 2
V z V x
V 2
V z V y
V 2
V z V z
V 2
1
C C C C
A
: (32)
oPREDELITELX \TOJ MATRICY | QKOBIAN PREOBRAZOWANIQ:
det
   
D(p 0 )
D(p)
    = 1 Vp
p 0
+( 1) = (p 0 Vp)
p 0
= p 0
0
p 0
: (33)
oPREDELITELX WY^ISLQETSQ RAZLOVENIEM NA SUMMY, SOOTWETSTWU@]IE SLAGAEMYM 1 I OSTALXNYM. wSE
OPREDELITELI BEZ EDINIC RAWNY NUL@, TAK KAK IH \LEMENTY PROPORCIONALXNY.
tO^NO TAK VE POKAZYWAETSQ, ^TO INWARIANTNOJ WELI^INOJ QWLQETSQ OTNO[ENIE d 3 k
k
DLQ IMPULXSA FO-
TONA. pRI \TOM INWARIANTNY I DWA MNOVITELQ \TOGO OTNO[ENIQ, A IMENNO dk
k
I k 2 d 2 !, GDE ! | EDINI^NYJ
WEKTOR NAPRAWLENIQ IMPULXSA FOTONA: k = k!, A d 2 ! | \LEMENT TELESNOGO UGLA, T. E. PLO]ADI POWERHNOSTI
NA EDINI^NOJ SFERE. dLQ ^ASTIC S NE RAWNOJ NUL@ MASSOJ POKOQ \TO SWOJSTWO NE WYPOLNQETSQ. uKAZANNYM
SWOJSTWOM \LEMENTA OB_EMA IMPULXSA FOTONA OB_QSNQETSQ FORMA INTEGRALA W POLNOM SE^ENII (26), TAK
KAK x 2
1 d 2 ! 1 =  2
1 d 0 d 0 = d 1 d 0 .
e]E ODNU INWARIANTNU@ KOMBINACI@ NADO NAJTI DLQ LEWOJ ^ASTI KINETI^ESKOGO URAWNENIQ. w URAW-
NENII bOLXCMANA TAM STOIT @f
@t + p
m r r f + Frp f . nA FOTONY NIKAKIE SILY NE DEJSTWU@T, TAK ^TO
POSLEDNEE SLAGAEMOE NE NUVNO. dLQ DIFFERENCIROWANIQ NEOBHODIM ^ETYREHMERNYJ WEKTOR-GRADIENT. oN
DOLVEN BYTX WZQT W WIDE r =

1
c
@
@t ; r

, TAK KAK SKALQRNOE PROIZWEDENIE EGO S WEKTOROM dr = fcdt; drg,
T. E. dr r = dt @
@t + drr ESTX POLNYJ DIFFERENCIAL, INWARIANTNYJ OTNOSITELXNO L@BOGO PREOBRA-
ZOWANIQ PEREMENNYH, W TOM ^ISLE I LORENCEWSKOGO. iNWARIANTOM, SLEDOWATELXNO, BUDET PROIZWEDENIE
k r = k
c
@
@t + kr = k
c

@
@t + c!r

, KOTOROE I QWLQETSQ RELQTIWISTSKIM OBOB]ENIEM LEWOJ ^ASTI URAWNE-
NIQ bOLXCMANA S U^ETOM TOGO, ^TO SKOROSTX SWETA POSTOQNNA. iMENNO TAKAQ KOMBINACIQ PROIZWODNYH, KAK
W KRUGLYH SKOBKAH, STOIT W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ PERENOSA IZLU^ENIQ.
rELQTIWISTSKIMI INWARIANTAMI QWLQ@TSQ BEZRAZMERNYE SREDNIE ^ISLA ZAPOLNENIQ FOTONNYH SOSTO-
QNIJ. nAPRIMER, W SLU^AE WYPOLNENIQ tdr \TO SREDNEE ^ISLO DAETSQ FORMULOJ pLANKA (17), KOTORAQ
NAPISANA W SISTEME OTS^ETA, SWQZANNOJ S FOTONNYM GAZOM I NAZYWAEMOJ SOPUTSTWU@]EJ, T. E. W TAKOJ,
9

W KOTOROJ SREDNIJ IMPULXS FOTONOW RAWEN NUL@. |TU FORMULU MOVNO ZAPISATX W QWNO RELQTIWISTSKI
KOWARIANTNOM WIDE, T. E. SPRAWEDLIWOM W PROIZWOLXNOJ SISTEME OTS^ETA:
n 0 = 1
exp(ck V =kBT ) 1 ; (34)
GDE V = f ; Vg I V | ^ETYREHMERNAQ I TREHMERNAQ BEZRAZMERNYE SKOROSTI SOPUTSTWU@]EJ SISTEMY
OTNOSITELXNO UKAZANNOJ PROIZWOLXNOJ.
fUNKCI@ RASPREDELENIQ \LEKTRONOW f e (p) TAKVE BUDEM S^ITATX SKALQROM. eE NORMIROWKA W PROIZWOLX-
NOJ SISTEME OTS^ETA IMEET WID Z
pf e (p) d 3 p
p 0
= n e V ; (35)
GDE n e | KONCENTRACIQ \LEKTRONOW W SOPUTSTWU@]EJ \LEKTRONNOMU GAZU SISTEME OTS^ETA, W KOTOROJ SRED-
NIJ IMPULXS \LEKTRONOW RAWEN NUL@, A V IMEET TOT VE SMYSL, ^TO I W SLU^AE FOTONNOGO GAZA.
~ASTO MOVNO DOPUSTITX, ^TO RASPREDELENIE \LEKTRONOW PO IMPULXSAM W SOPUTSTWU@]EJ SISTEME IZO-
TROPNO. tOGDA FUNKCIQ RASPREDELENIQ W \TOJ SISTEME ZAWISIT TOLXKO OT \NERGII (PREDSTAWIM ARGUMENT
EE W BEZRAZMERNOM WIDE):
f e (p) = n e f e (p 0 =mc)=m 3 c 3 ; (36)
I IMEET NORMIROWKU
4
m 3 c 3
1
Z
0
p 2 f e (p 0 =mc)dp = 1; (37)
W KOTORU@ PREOBRAZUETSQ OB]EE USLOWIE (35) PRI PEREHODE W SOPUTSTWU@]U@ SISTEMU, T. E. PRI V = 0.
w ^ASTNOSTI, RELQTIWISTSKOE RASPREDELENIE mAKSWELLA W SOPUTSTWU@]EJ SISTEME OTS^ETA ZADAETSQ
FORMULOJ
f e (p 0 =mc) = fM (p 0 =mc); fM ( ) = y
4K 2 (y) e y ; (38)
GDE y = mc 2
kBT e
, A
K  (y) =
1
Z
0
e y ch  ch d (39)
| FUNKCIQ mAKDONALXDA. pOQWLENIE \TOJ FUNKCII ESTX SLEDSTWIE USLOWIQ NORMIROWKI (37). dLQ PROIZ-
WOLXNOJ SISTEMY OTS^ETA FORMULU (38) NADO PEREPISATX TAK:
fM (pV =c) = y
4K 2 (y) e cpV =kBT e : (40)
tEPERX MY IMEEM WSE, ^TOBY NAPISATX KINETI^ESKOE URAWNENIE DLQ KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ.
2. rELQTIWISTSKOE KINETI^ESKOE URAWNENIE KOMPTONOWSKOGO RASSEQNIQ. pRI NAPISANII \TOGO
URAWNENIQ PRINIMAETSQ, ^TO \LEKTRONNYJ GAZ RELQTIWISTSKIJ, NO NE WYROVDENNYJ, TAK ^TO ZAPRET pAULI
NE U^ITYWAETSQ. fOTONNYJ VE GAZ MOVET BYTX ^ASTI^NO WYROVDEN, I PO\TOMU NEOBHODIMO U^ITYWATX
WYNUVDENNYE PEREHODY.
dLQ SREDNIH ^ISEL ZAPOLNENIQ SOSTOQNIJ FOTONOW n = n(r; t; k) W TO^KE r W MOMENT WREMENI t S IMPULX-
SAMI OKOLO k URAWNENIE IMEET WID
k rn = r 2
e
2 m 2 c 2
Z d 3 p
p 0
d 3 p 1
p 0 1
d 3 k 1
k 1
ф(p + k p 1 k 1 )F (;  1 ) [f e (p)n(1 + n 11 ) f e (p 1 )(1 + n)n 11 ] ; (41)
PRI^EM DLQ KRATKOSTI NE UKAZYWA@TSQ ARGUMENTY n I OBOZNA^ENO n 11 = n(r; t; k 1 ).
pERWOE SLAGAEMOE W KWADRATNYH SKOBKAH W URAWNENII (41) SOOTWETSTWUET OSLABLENI@ PRI RASSEQNII, A
WTOROE | IZLU^ENI@. iNTEGRALY BERUTSQ PO IMPULXSAM \LEKTRONOW DO I POSLE RASSEQNIQ I PO IMPULXSAM
FOTONOW, U^ASTWU@]IH W PROCESSE RASSEQNIQ WMESTE S FOTONAMI S IMPULXSOM k. dELXTA-FUNKCIQ OTRAVAET
ZAKONY SOHRANENIQ (3) I POZWOLQET WZQTX ^ETYREHKRATNYJ INTEGRAL, TAK ^TO OSTANETSQ INTEGRAL PO PQTI
PEREMENNYM, KAK I W INTEGRALE STOLKNOWENIJ bOLXCMANA.
rELQTIWISTSKI KOWARIANTNOE URAWNENIE (41) MOVNO RASSMATRIWATX W L@BOJ SISTEME OTS^ETA. nAIBOLEE
UDOBNO \TO DELATX W SISTEME, SWQZANNOJ S \LEKTRONNYM GAZOM, KOTORAQ NAZYWAETSQ SOPUTSTWU@]EJ. pRI
10

PEREHODE W \TU SISTEMU MY OBEZRAZMERIM WSE NA[I WELI^INY. iMPULXSY I \NERGII FOTONA I \LEKTRONA
BUDEM OBOZNA^ATX BEZRAZMERNYMI WELI^INAMI, POLOVIW k = mcx; k = mcx!; p 0 = mc ; p = mcz =
mcz
; p = mcz = mcf ; zg; k = mcx = mcfx; x!g I SOOTWETSTWENNO WELI^INY S INDEKSOM 1: x 1 = k 1 =mc I
T. D. pRIMEM TAKVE RELQTIWISTSKU@ KWANTOWU@ SISTEMU EDINIC, W KOTOROJ POSTOQNNAQ pLANKA, SKOROSTX
SWETA I MASSA \LEKTRONA PRINIMA@TSQ W KA^ESTWE OSNOWNYH EDINIC: h = c = m = 1. w \TOJ SISTEME
EDINICA DLINY | KOMPTONOWSKAQ DLINA WOLNY  { C = h=m c, \NERGII | m c 2 , ^ASTOTY | m c 2 =h, IMPULXSA
| m c. kLASSI^ESKIJ RADIUS \LEKTRONA SOWPADAET S POSTOQNNOJ TONKOJ STRUKTURY r e = e 2 =mc 2 = e 2 =h c =
1=137:036, A ZARQD \LEKTRONA RAWEN e = p
r e = 1=
p
137:036.
w SOPUTSTWU@]EJ SISTEME URAWNENIE (41) ZAPISYWAETSQ TAK:
x

@
@t
+!r

n = r 2
e
2
Z
d 3 z

d 3 z 1
1
d 3 x 1
x 1
ф(z+x z 1 x 1 )F (;  1 )[f e (z)n(1 + n 11 ) f e (z 1 )(1 + n)n 11 ]; (42)
GDE TEPERX n = n(r; t; x; !), n 11 = n(r; t; x 1 ; ! 1 ). k URAWNENI@ (42) NADO DOBAWITX GRANI^NYE I NA^ALXNYE
USLOWIQ.
zAMETIM, ^TO WELI^INA
 = x z = x(
z!
) = x 1 z 1 = x 1 ( 1 z 1 !
1
1 ) (43)
SOWPADAET S ^ASTOTOJ FOTONA x PRI z = 0 I S ^ASTOTOJ x 1 PRI z 1 = 0. pROIZWEDENIE
 1 = x